1、刷題大卷練 13 解析幾何大卷練一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小 題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 直線 I 經過點 M(2,1),若點 P(4,2)和 Q(0, 4)到直線 I 的距 離相等，則直線 I 的方程為()A . 3x 2y 4 = 0B. x= 2 或 3x 2y 4= 0C. x= 2 或 x 2y= 0 D. x= 2 或 3x 2y 8= 0答案：B解析：解法一 當直線 I 的斜率不存在時，直線 I 的方程為 x = 2, 符合題意.當直線 I 的斜率存在時， 依題意可設直線 I 的方程為 y- 1 =k(x 2)，

2、即 kxy+ 1 2k= 0,因為 P(4,2)和 Q(0, 4)到直線 I 的3距離相等，所以|4k 2+ 1 2k|= |4 + 1 2k|,解得 k=2,則直線 I 的 方程為 3x 2y 4= 0,故選 B.解法二 由題意知， 所求直線經過 P(4,2)和 Q(0, 4)的中點或 過 P(4,2)和 Q(0,4)的直線平行.當所求直線經過 P(4,2)和 Q(0， 4)的中點(2,1)時，所求直線方程為 x = 2;當所求直線與過 P(4,2)4 一 2 3、和 Q(0， 4)的直線平行時，由 kPQ = 0=2，得直線 I 的方程為3口卄y 1 =2(x 2)，即 3x 2y 4=

3、0.2. 2019 大連模擬直線 4x 3y= 0 與圓(x 1)2+ (y 3)2= 10 相交所得的弦長為()A . 6 B . 3C. 6、：2 D. 3 2答案：A解析：假設直線 4x 3y= 0 與圓(x 1)2+ (y 3)2= 10 相交所得的弦為 AB.T圓的半徑 r = V10，圓心到直線的距離 d= /5= = 1,( 3)2+ 42弦長|AB| = 2Xr2 d2= 2 , 10 1 = 2X3= 6.故選 A.3. 2019 衡水武邑月考若直線 I: mx+ ny m n= 0(n0)將圓C： (x 3) + (y 2) = 4 的周長分為 2 1 兩部分，則直線 I

4、的斜率為()亠 3亠 4A . 0 或 2 B. 0 或 344C.3D.3答案：B解析：由題意知直線 I 將圓分成的兩部分中劣弧所對圓心角為2 2m2+n2m 4m 4=1,解得 m = 0 或 m = 3,所以直線 I 的斜率為 k= = 0 或 3,故C.才 +y=16答案：C解析：由題意可得圓經過點(0,1), (0， 1)和(2,0),設圓的方程2 2a + 1 = r , 為(x a)2+ y2=r2(a0),貝 S221(2-a)2= r2,3,2_254 +y 16.5. 2018 全國卷I已知橢圓 C:則 C 的離心率為()1B.2D 麵2n3，|3m+ 2n mn| 又圓心

5、為(3,2),半徑為 2,則圓心到直線的距離為 1,即選 B.4.一個圓經過點(0,1), (0, 1)和(2,0),且圓心在 x 軸的正半軸 上，則該圓的標準方程為32+宀253225()M 3b225BF+42+y=A. x3225、解得 a= 4, r = 16,則該圓的標準方程為 X2 2：2+ 4 = 1 的一個焦點為(2,0),1A.3C扳C.2答案:D. 3CTa2= 4+ 22= 8,Aa =血。令冷.6. 2019 長春監測已知 O 為坐標原點，設 F1, F2分別是雙曲線X2 y2= 1 的左、右焦點，P 為雙曲線左支上任一點，過點 Fl作/ F1PF2的平分線的垂線，垂足

6、為 H，則|0H|=()A . 1 B. 21C. 4 D.2答案：A解析：如圖所示，延長 FiH 交 PF2于點 Q,由 PH 為/F1PF2的 平分線及 PH 丄 FiQ，可知|PFi|= |PQ|，根據雙曲線的定義，得|PF2| |PFi| = 2,從而|QF2| = 2, 在F1QF2中，易知 OH 為中位線，故|OH| =1.故選 A.7. 2019 重慶調研已知點 F 是拋物線 y2= 4x 的焦點，P 是該拋 物線上任意一點，M(5,3),貝卩|PF| + |PM|的最小值是()A . 6 B. 5C. 4 D. 3答案:解析：由題意知，拋物線的準線 I 的方程為 x= 1,過點

7、 P 作 PE 丄 l于點 E,由拋物線的定義，得|PE|=|PF|，易知當 P, E, M 三 點在同一條直線上時，|PF |+ |PM|取得最小值，即(|PF|+ |PM|)min= 5 (1)= 6,故選 A.8. 2019 海口模擬過拋物線 y2= 4x 的焦點 F 的直線交拋物線于 A, B兩點，點 O 是坐標原點，若|AF|= 3,則厶 AOB 的面積為()解析:答案：CD.2,2B. J2解析：由題意知XAXB0.設/AFx=0(000, b0）的左、 右焦點分別為 F1, F2，直線 l 經過點 F1及虛軸的一個端點，且點 F2到直線 l的距離等于實半軸的長，則雙曲線的離心率為

8、（）1 + 5A.C.答案:解析：xax ：b2+ c2，即 bx2c= axb2+ c2, (c2 a2)4c2= a2( a2+ 2c2),4223+523 5 3+- 54e 6e + 1 = 0,解得 e = 廠或 e = 廠(舍去)，e=2故選 D.10. 2019 遼寧聯考一條動直線 I 與拋物線 C: x2= 4y 相交于 A, B兩點，O 為坐標原點，若 AB= 2AG,則（OAOB）24OG2的最大值 為（）A . 24 B. 16C. 8 D. 16答案：B解析：由 AB=2AG 知 G 是線段 AB 的中點，二 OG = 2（OA+OB）, （OAOB）24OG2=（OA

9、OB）2（OA+OB）2= 4OAOB.由A,B是動直線 l 與拋物線 C： x2= 4y 的交點，不妨設 AX1，:J,B 嚴，:丿,1 (X|OF|X|AB|Xsin0=產 1X3+1 lxB3+4511設虛軸的一個端點為 B，則 SAF1BF2=xbx2c =22 21=22 ,_2一2、，_2 _2-4OAOB= 4（X1X2+ 瞬）=-4佇+ 2*4 = 16-4 嘗 + 2）2b0)的左、 右焦點分別為 F1, F2.若在直線 x= 2a 上存在點 P 使得線段 PF1的垂 直平分線過點 F2，則橢圓的離心率的取值范圍是()A. 0,2B.2, 1C.0,1D.2, 1答案：B解析

10、：直線 x = 2a 上存在點 P 使線段 PF1的垂直平分線過點F2，二根據垂直平分線的性質以及直角三角形的性質可得，|PF2| =2|F1F2|= 202a c,2a3.又Te0, b0)的離心率 e =2,過雙曲線上一點 M 作直線 MA, MB 交雙曲線于 A, B 兩點，且 斜率分別為 k1, k2,若直線 AB 過原點，貝 S k1k2的值為( )A . 2 B. 3C. 3D. 6答案：B；1+a；=解析：由題意知，e= a=2? b2= 3a2，則雙曲線方程可化為 3x22 2y = 3a ,設 A(m, n), M(x,y),則 B( m, n), k1by n y+ n y

11、 n 3x 3a 3m + 3a=22=22= 3.故選 B.x m x+ m x2 mX m二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.把答案 填在題中的橫線上.13. 2019 湖南衡陽模擬直線 I 過點 A(1,1),且 l 在 y 軸上的截距的取值范圍為(0,2),則直線 I 的斜率的取值范圍為 _.答案：(1,1)解析：設直線 I 的方程為 y 1 = k(x 1),令 x= 0,可得 y= 1 k,T直線 I 在 y 軸上的截距的取值范圍是(0,2), 01 k2, 1k1.14.2019 泰安調研已知直線 3x y+ 2= 0 及直線3x y 10=0 截圓 C

12、 所得的弦長均為 8,則圓 C 的面積是_ .答案：25n解析：因為已知的兩條直線平行且截圓 C 所得的弦長均為 8,所一 1 |2+ 10|以圓心到直線的距離 d 為兩平行直線距離的一半，即 d =2x ；-=273+13又直線截圓 C 所得的弦長為 8,所以圓的半徑 r = 32+ 42= 5,所 以圓 C的面積是 25n.x2y21715._雙曲線代一9 = 1上的點P到焦點(5,0)的距離是2，則點 P 到另外一個焦點的距離是 .(5,0)同側的一支上，設點 P 到另外一個焦點的距離為33 解得 d= 3；.x2v216. 2019 遼寧聯考設 F1, F2分別是橢圓方+16= 1 的

13、左、右焦 點,P為橢圓上任一點，點 M 的坐標為(6,4)，則|PM| + |PF11 的最大值 為.答案：152 2解析：在橢圓 25+ 6= 1 中，a = 5, b = 4, c= 3,所以焦點坐標分別為 F1( 3,0), F2(3,0).根據橢圓的定義得 |PM| + |PF1|=|PM|+ (2a|PF2|)= 10+ (|PM| |PF2|).v|PM| |PF2| |MF2|,當且僅當 P 在直線 MF?上時取等號,當點 P 與圖中的點 Po重合時，有(|PM| |PF2|)max= 此時得|PM|答案:3317解析：點 P 到點(5,0)的距離是20)的焦點為 F(1,0),

14、拋物線 E: x2=2py 的焦點為 M.(1)若過點M的直線I與拋物線C有且只有一個交點， 求直線I 的方程；(2) 若直線 MF 與拋物線 C 交于 A, B 兩點，求 OAB 的面積.解析：(1)： 拋物線 C: y2=2px(x0)的焦點為 F(1,0),拋物線 E: x2= 2py的焦點為 M,二 p= 2, M(0,1).若直線 I 的斜率不存在，則 I 的方程為 x = 0,滿足題意. 若直線 I 的斜率存在，設其方程為 y= kx+1,代入 y2= 4x, 得 k2x2+ (2k 4)x +1=0.1 、當 k= 0 時，x= 4.滿足題意，方程為 y= 1.當 kz0 時，=

15、 (2k 4)2 4k2= 0,解得 k= 1,方程為 y= x+1. 綜上，直線 I 的方程為 x= 0 或 y= 1 或 y=x+ 1.直線 MF 的方程為 y= x+1,代入 y2= 4x,得2y + 4y4 = 0.設 A(x , y), B(X2, y2),則 y+ y2= 4, y“2= 4.1OAB 的面積 S= 2OF|y1 y?|=1X, 16+16=2 2.20. (本小題滿分 12 分)2019 海南聯考已知橢圓 C1,拋物線 C2的焦點均在 x 軸上， G 的中心和 C2的頂點均為原點 O,從 C1, C2上分別取兩個點，將其坐 標記錄于下表中：lx 324V2 IIy

16、 1 2 弋r 042(1)求 C1, C2的標準方程;(2)若直線 I: y = kx+ m(kz0)與橢圓 Ci交于不同的 M, N 兩點，(1y且線段 MN 的垂直平分線過定點 G, 0 J,求實數 k 的取值范圍.2解析：(1)設拋物線 C2: y2= 2px(pM0),則有=2p(xM0), zv據此驗證 4 個點知(3, 2 3), (4, 4)在拋物線 C2上， 所以 C2的方程為 y2= 4x.設 ：；2+b=1(ab0),把點(一 2,0),；2,；代入得解得 a2= 4, b2= 3,2 2所以 Ci的方程為才+y3=i.設 M(X1, y) Ng, yj，將 y= kx+

17、 m 代入橢圓方程,消去 y 得(3 + 4k2)x2+ 8kmx + 4m2 12= 0,所以= (8km)2 4(3 + 4k2)(4m212)0, 即 m24k2+ 3. 8km 6mx1+x2=3+ 4k2則y1+y2= 3 + 4k2,4km 3m所以線段 MN 的中點 P 的坐標為一,齊示.、1(1、又線段 MN 的垂直平分線 I的方程為 y=匸占一8,3mV 4km1由點 P 在直線丨上，得 =k3+ 4k28,1即 4k + 8km+ 3 = 0,所以 m= 8k(4k + 3).(4k2+ 3?221V5V5由得64k220,即 k10，所以 實數 k 的取值范圍是(一=,專

18、(U 呼南+丿.21.(本小題滿分 12 分)x22018 全國卷I設橢圓 C:2+ y2= 1 的右焦點為 F，過 F 的直a2=1,2 6da2+4b2=1,由根與系數的關系得22.線 l 與 C 交于 A, B 兩點，點 M 的坐標為(2,0).(1) 當 I 與 x 軸垂直時，求直線 AM 的方程；(2) 設O為坐標原點， 證明： / OMA=ZOMB. 解析：(1)由已知得 F(1,0),I 的方程為 x= 1. 由已知可得，點A的坐標為 J,乎或J,又 M(2,0)，所以 AM 的方程為 y=乎 x+Q2 或 y=xJ2.(2)證明：當 I 與 x 軸重合時，/ OMA=ZOMB= 0當|與 x 軸垂直時，OM 為 AB 的垂直平分線，所以/ OMA=ZOMB.當 I 與 x 軸不重合也不垂直時，設 I 的方程為y=k(x1)(kz0),A(xi,yi),B(x,y?),則 xi 2, X20, 解得 kb0