1、高等數(shù)學（同濟大學數(shù)學系第七版）上冊第七章：微分方程課后習題答案微分方程的基本概念圖1.試說出下列各微分方程的階數(shù):（1） My'）? -2yy'+4=0；（3） xyw+2/+x2y =0；(2) x2/-yr +y =0；(4 ) (7x - 6y) dx + (x + y) <ly = 0；(6 )半 +p = sin，0.解（1）一階；（2）二階；（3）三階；（4）一階；（5）二階；（6）一階.除2.指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：（1）x/=2y.y=5x2；(2)y"+y=0.y=3sinx-4cosx；(3)-2yf+y=0=x2el；

2、(4)y*-(A+八2)'，+入i>2y=()，>=Ce'J+C2eA-x.解(1)由y=57,得y=10x.4=10x2=2)，故V=5.v2是所給微分方程的解.(2)|y=3sinx-4cosxf得>'=3cosx+4sinx,進而得于是)“+>=(-3siiix+4cqs.r)+(3sinx-4cosx)=0.故y=3sinx-4cosx是所給微分方程的解.(3)由y=x2ex，得)'=2xea+x2ex=(2x+N)e*,進而得y"=(2+2x)ex+(2.v+x2)eM=(2+4.t+x:)e于是y"-2&l

3、t;+y=(2+4x+1)-2(2'+/)故），:/©不是所給微分方程的斛.（4）由y=6/聲+C?e4*，得9=%。”3+小。2。2進而得于是(入+a?)，'+22y二人:+4:C?eA”_41(入I+A2)C,eA|M_42(入|+42)(：2。M”+Z入1入2。1。*+A1A2C2eAjI=0,第七章微分方程251故)二是所給微分方程的解.以3.在下列各題中.驗證所給二元方程所確定的函數(shù)為所給微分方程的解:(1)(x-2y)yf=2x-y9x-xy+y2=C；(2)(xy-x)"-¥xy'2+yy'-2y'=0,y=l

4、n(xy).解(1)在方程“十/二。兩端對力求導,得2x-(y+xyr)+2yyr=0,即(x-2>)，=2x->.故所給二元方程所確定的函數(shù)是微分方程的解.(2)在方程y=ln(xy)兩端對二求導，得即(孫一=0.再在上式兩端對無求導，得(y+xy'-I)y'+(xy-x)yu-y'=0,即(g-x)>”+町2+»，_2/=0.故所給二元方程所確定的函數(shù)是所給微分方程的解.&4.在F列各題中，確定函數(shù)關系式中所含的參數(shù)，使函數(shù)滿足所紿的初值條件：/->2=。,兒=0=5；(2) >=(%+C2x)e2r|xsO=0y|x

5、sO=l；(3) >=G§in(x-G)，)"=1，1=0.解(I)由>=0=5,將“=。，二5代入函數(shù)關系中得C=-25,即x2=-25.(2)由y=(G,得y'=(。2+2g+2C2x)eJr.將x=0.y=0及>'=I代人以上兩式，得0=6，11=C2+2Ct,故C|=0,C2=1ty=xe2x.(3)由y=C|Sin(x-C2)，得y*=C1cos(x-C2).將:1及y'二0代人以上兩式,得(1=C)sin(it-C2)=C)sinC2,lo=C|cos(萬一。2)=一CjcosC2.由2+2得c；=J,不妨取G=1,由式

6、得C2=2/5+半，故注取-1,可得相同的結(jié)果.叁5.寫出由下列條件確定的曲線所滿足的微分方程:(1)曲線在點(1J)處的切線的斜率等于該點橫坐標的平方;(2)曲線上點(,y)處的法線與x軸的交點為。旦線段PQ被>軸平分.解(1)設曲線方程為y=y(*),它在點(*.>)處的切線斜率為依條件,不此為曲線方程所滿足的微分方程.(2)設曲段方程為y=>(*),因它在點(.*,>)處的切線斜率為)'，故該點處法線斜率為-ylh條件知PQ之中點位于y軸上，故點Q的坐標是(7.0),于是有y-01X-(7)尸即微分方程為'+2#=0.囪6用微分方程表示一物理命題：

7、某種氣體的氣壓對于溫度7的變化率與氣壓成正比，與溫度的平方成反比.AD解因當尸與。成正比,叼T2成反比.若比例系數(shù)為h則彳jd/.Pdr=a*FS7.個半球體形狀的雪堆,其體積融化率與半球面面積A成正比比例系數(shù)人>0.假設在融化過程中'：堆始終保持半球體形狀.已知半徑為0的雪堆住開始融化的3小時內(nèi)，做化共：體積的v，問'；見全部融化需要多少時間？O解沒T堆在時刻，的體積為1/二,巾3,側(cè)面積S=2m2.由額殳如(IV n 2 dr疝=2"獷- kS = _ 2tfAt2 t于是ill積分得r=-kt-¥C.由rIi=o得C=:，o-也又y=4"

8、;Y.即4"ir(r()-3A尸=<=3otxoa123 Trr830得k = Uo，從而O1:一石習題7-2因雪堆全部融化時,，=0.故得，=6,即可堆全部融化需6小時.可分離變量的微分方程2L求卜列微分方程的通解:(1 ) xy' - yin y = 0 ；(3) a/1= /1 -y2 ；(2 ) 3x? + 5x - 5y' = 0 ；(5)sec2xtan ydx + sec2 j Ian xdy = 0 ；( 6 )q, r, 理 (lx=10"”；(7)(</" -ex)dx + (e14y+ e' ) dy =

9、0 ； (8) cos xsin ydx + sin xcos ydy = 0 ；(10) ydx+(x2-4x)<b=0.(1)原方程為Xdy-yin y =0,分離變母得dy_dxylnyx兩端積分得Inny=In|x|+InC1=In|C)x(C)>0),即Iny=±C'/,故通解為Iny=Cx.即y=.(2)原方程可寫成5,'=3/+5工，枳分得5y=/+#+g,即通解為(3)原方程為半=/-/,分離變狀得dx(l>兩端枳分得arcsiny=arcsiiix+。，即為原方程的通解.(4)原方程可寫成程-4-泮=a/,分離變址得dx當=7<

10、;3y*1-x-a兩端積分得=-alnI1-x-aI-C,y即T=-T-n一!一是原方程的通解,aln11一4-aI+C(5)原方程分離變后，得22secy.secx.i-dv=dx,tany'tanx兩端積分得In|tany|=-In|tanx+InC|t可寫成InIanyIanx|=In,即tanytanx=±C.故原方程的通解為lanylanx=C.(6)原方程分離變程，得10>dy=10"ck,兩端枳分得107101,In10In101可寫成IO1f10=C(C=-C,ln10).(7)原方程為/(C-|)a+(e'+I)Ay=0,分離變ft得

11、eyexdr=-(lx.ey-Iex+1兩端積分得Ine1-1|=-ln(e'+1)+InC；,或?qū)懗蒷n|(ex+l)(ey-l)|=lng,即(c*+1)(e、-I)=，故原方程的通解為3+1)(。'-】)=c.(8)原方程分離變他,得手上匕=-WAk.兩端積分得sinv$mxIn>siny|=-In|sinx|+Int即In|sinysinx=hiC,，或?qū)懗蓅inysinx=±G,故原方程的通解為sinysinx=C.(9)原方程分離變ht,得(y+1尸廿二-r二Lr,兩端積分得"+1)3=+q.J4故原方程的通解為3x4+4(y+l)3=C(

12、6=126,).(10)原方程分離變hl.得包=rd：L7，兩端枳分得hl"='清加=力(白.抄、=(In | x - In I 4-X I) + In Cj = ；lnHPln|y4(4-x)|=ln14gxl,或?qū)懗蓮V(4-x)=±4x,故原方程的通解為值2求F列效分方程滿足所給初值條件的特解:y*=e2*,y|M=o=0；cosxsinydy=cosysinx(xIB=0=(3) x=/lny.y(4) cosydx+(1+eJ)sinydy=0,>|.二(5)xdy+2ydx=0,)"t-=1解(1)分離變量,得e'dy=e2ldx,

13、兩端積分得由)!x=o=OX"=e=ae°+C,故C=-,即得e，=(+1),于是所求特解(2)分離變量，得tanydy=Ianxdx,兩端積分得即cosy=Ceos代人初值條件：x=0,y=得標=C，于是y=cosx為所求待解.(3)分離變吊，得獸二上，兩端積分得yinysinxIn|Iny|=Intan+InC),即Iny=Clan代入初f|'條件：二年,y=c,得1=C,于是4乙為所求待解.(4)分離變出，得一;7dx=Ta”dy,兩端積分得ln(e1+1)=Incosy+InC即e*11=Ceosy.代人初做條件：x=。,y=?"，有2=C專,得C

14、=2，于是er+1=2cosy,即(e"+1)secy=2為所求特解.(5)分離變址，得小=-2.，兩端積分得yxIny|=-2Inx|+InC|=Inx+InC,即,二c.代人初值條件：無二2,y=l.得C=4,故所求特解為=4.降3.有一盛滿了水的圓錐形漏斗，高為10cm,頂角為60。，漏斗下面有面枳為0.5cm2的孔，求水面高度變化的規(guī)律及流完所需的時間.解水從孔口流出的流量。是單位時間內(nèi)流出孔口的水的體積,即。二號一.乂從(H力學知道，Q=0.62S/2初，其中0.62為流狀系數(shù)，S為孔口極面積.&為亞力加速度，為水面到孔口的高度.于是有=0.62sJlgh,(1/即

15、dr=().62S/2hdt.(I)設在時刻/,水血高度為4=Mf).從圖7-I中可見"二Man300二乎,J是在時間間隔0.內(nèi)漏斗流出的水的體積,即水體積的改變吊圖7-1由(1),(2)式得微分方程0.62S后癡=-frdh.并有初值條件M,o=10.由微分方程分肉變垃，得d/-hTdht3x0.62S歷兩端積分，得t=+C.15xO.625/2g21T$代人初值條件：，=0/=10.得。=不二10二于是15xO.62S網(wǎng)t=-(10/-后).15X0.62S代入S=0.5(cnF),g=980(cm/s2),即得/=-0.0305/J+9.64,代入h=0得，流完所需時間z*10

16、(s).%4.質(zhì)V為Ig的質(zhì)點受外力作用作匕線運動，這外力和時間成正比，和質(zhì)點運動的速度成反比.在，=10時,速度等于50cm/s,外力為4gcm/s?,問從運動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少？解設在時刻f,質(zhì)點運動速度為=(，).據(jù)題設條件布.j=rnv,=A,V且由zn=l./=IO=5O./=4J5A=20.故有微分方程v9=20.v分離變fitflfVdv=20疝.積分得I2=20r2+C.代入條件“=10,r=50,得(：=500,于是有特解v=/20r+500.當/=60(s)時，=/20x602+500=269.3(cm/s).£5.鐳的衰變有如下的規(guī)律：鐳的裒變速度與

17、它的現(xiàn)存員R成正比.由經(jīng)驗材料得知，鋪經(jīng)過1600年后，只余原始量/的一半.試求鋪的存員R與時間/的函數(shù)關系.解設在時刻，鐳的存收為犬=及(，).由題設條件知，半=即坐二dzR-Ad/.枳分得InR=-A/+inCJ|IA=Ce5閃/=0時，"=勺，故C=R°,R=/eoe-A/.將，=16(K),/?=y/e0代人上式，得-L 600A2In 2r麗所以 /?-0.000433,B6.-曲線通過點(2,3),它在兩坐標軸間的任一切線線段均被切點所平分,求這曲線方程.第七章微分方程257解設曲線方程為y=y（x）,切點為（*,）.依條件，切線在x軸與y軸上的截距分別為2&#

18、171;與2y,于是切線的斜率，2>-01y=.0-2Xx分離變毋得dydxy工積分得ln|y|=-In|x+InG，即盯=C.代入初值條件丫=2j=3,得。=6,故曲線方程為文:6.S7.小船從河邊點。處出發(fā)駛向?qū)Π叮▋稍u為平行直線）.沒船速為.船行方向始終與河岸垂宜,又設河寬為入河中任一點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比（比例系數(shù)為4）.求小船的航行路線.解設小船的航行路線為C：則在時刻八小船的實際航行速度為。（f）=（/（）中*'（/）=Ay（/,->,）為水的流速，>'（）=。為小船的主動速度.由于小船骯行路線的切線方.向就是小船的實際速度方向

19、（圖7-2）,故行分離變量.得dx=j）d九積分得=J(Ark(h=T(Ty由小船始發(fā)點（u,o）,代人二。,尸。,得（；=（）.故小船航行的路線的方程為9）齊次方程習題7-3匕1.求下列齊次方程的通解:(1)xyr-y-y/y2-x2=0；(2)x半=yin工；(IXx(3)(x2+/)dx-xydy=0；(4)(x3+/)dx-3x/dy=0；(5)(2.xsin+3ycosjd.v-3xcosdy=0；(6)(1+2c,)d.v+(1-jdy=0.解(I)當x>0時.可將原方程篤成y'二5+1(：)-1,令”=即>=x”,有y'二+x，則原方程成為u+x/=+

20、-/u2-1，分離變玨.得/u2 - 1積分得In+-1=In|x|+InC,+/?_】=Cx(C=±Cj).將:二代人上式并整理得方程在(0,+8)內(nèi)的通解Xy+/y1-x2=Cx2.當x<o時，原方程可寫作/=7'7()2-L令=十，可變形為dudx積分得即ita/m?-I=一(C=±C,)x將二工代人上式并整理.得方程在(-8,0)內(nèi)的通解y-二7=C.X(2)原方程可表示成半=七】n2，令:上,即廠環(huán)有半二十、華,則原方(lxxxxdrax程成為U+X半="InU，分離變於,得dx<lu_dxtz(Inu-1)x積分得In|Inm-1|

21、=In|x+InC).即111M-1=±CjX.將二士代人上式，得XIn=±C)x+1.x故通解為In-=Cx+1.x(3)原方程可表示為+2)dx-d)=0.令=上>.即>=XU、寸dr=dx+yxjxxd,則原方程成為+iijd.v-(i/dx+xdu)=0.即d=a,枳分得X2=liiIxI+Ci.將=Z代入上式并整理,得通解X>2=x2(2ln|x|+O.(4)原)f程可寫成+上)dx-<ly=0.令=上,即=xu，有dy=mix+yx)xid,則原方程成為15+“卜卜-(<1(l)=0.分離變IK得32,1.-dw=<LvtI-

22、2u3x枳分得-In|I-|=In!.v|+InC).-lir=±C：x將二工代入1二式并整理，得通解(5)原方程可寫成彳1上 3 x上+二-半二0.令二XJ X (lxX即y = xit，有半二 + ”半， dxix=0.分離變盤，得則原方程成為+“-/+4半3(lxtanux積分得sini<-In|x!+InC,t32sinu=±C|X.將=上代人上式，得通解sir?X=Cx2.(6)原方程可寫成半(1 + 2dye，) + 2e ( 1 - - )=0.令UP x = vu 有半=包二。y<1( n +2戶)u + 2。”+ 包=0.y*則原方程成為整理并

23、分離變M.得1+2。”.(1M+2cM積分得Inju+2eu|+In;y|=InC)ty(u+2。")=±CP將“二;代人叮闈通解1x+2,守，=C.a2.求f列齊次方程滿足所給初值條件的特解.#一.高等數(shù)學(第七版)上冊習題全斛(1) (/-3x2)dy+2xydx=O,y|,sO=1；(2) y'=二+上,兒=|=2；y1(3) (x2+2xy-y2)<h+(y2+2xy-x2)dy=0|xa)=1.解(1)原方程可寫成1-3J+23半=0.令=±，即x=).彳7牛=u+廣ydyydyy半，則原方程成為)=°分離變址.得積分得inu2-

24、1|=iny|+InC,即-1=Cy.代人=3并整理，得通解，->2=小3由初值條件/=0y=，得。=-1于是所y求特解為(2)令考入+儲，則原方程成為+3.分離變唬,得udu=.積分得將=上代入上式并整fl?得通解X/=2/(ln|x|+C).代人初值條件4=1,.y=2.解得d=2.于是所求特解為y2=2x2(Inx+2).(3)將原方程寫成令”>，有4'=+*半'除方程成為x(lxdx第七章微分方程263du1+2-u2十、”u,Jru"+2-1整理并分離變也得代人:上并整理，得通解/與=U以初值條件x=l,)=1定出。=1.故所求特x算/+x-*解

25、為"設有連結(jié)點。(0,0)和4(1,1)的段向上凸的Illi線弧力，對于日上任一點，(科),曲線弧涯與宜線段而所用圖形的面積為小,求曲線弧灰的方程.解設曲線弧的方程為y=y(“).依題意，有y(x)(x-xy(x)=x2.上式兩端對x求導,y(x)-)(x)-xyr(x)=2x,即得微分方程y*=4.x令=工,有?=+1，則微分方程成為xdxdxdu4石=.7積分得a=-4ln%+C,因=Z,故存y=x(-4Inx+C).又因曲線過點4(】，1),故1二C.于是得曲線弧的方程y=x(1-4lnx).逅Z化下列方程為齊次方程.并求出通解：(1)(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)

26、dy=0；(2)(3)(4) 解(x-y-1)dx+(4y+x-1)dy=0：(3y-7x+7)dv+(7y-3.r+3)dy=0:(x+y)<1v+(3x+3y-4)<ly=0.,>=V+匕則d*=dX,d>,dy.且原方程成為斛此方程組得=L故在變換、=X-(2X+4F)dr=0J*|J下原方程化為(2、-5)八(II_2X-5Y_族=2nH=2=4=+.V;：,則原方程成為<L積分4ir+7-2J'3«+22=Iu+2|+7鬲4-1=71n|(+2尸(4"-1)|In|(m+2)?(4/-I)=-IniA*1+InC>(=C

27、：)因=：；,故上式成為(21+Y)2(4Y-X)=±C.代入'=*-1,丫=y-1得原方程的通解lx+y-3)2(4y-x-3)=C.(2)將原方程寫成(!v- x + y + 1(x-1)(x4y+x-14y+(.t-1)*今X=X-I,y=1,則(b=<lk,<l,v=<LY,H.原方程化為dX(X4Y+V4F/X+I口八)/-<n又令十12,則原方程成為 (LX.X=0.枳分<hi + +41r + 14；ln(4+I)+；arctan(2)+In|X=C1.l!|lln|A2(4u2+1)+arclan(2M)=C(C=2C,).將=:

28、=4代入上式，得原方AX-1程的通解2yInI4r2+(x-1)2)+arclanx-1(3)令、="+八二b+A.則(卜:<,<>=",且原方程成為(3Y-7X+3A-7/<+7)(1I+(7Y-3X+Ik-3/i+3)<IV=0.3k-Ih+7=0,7k-3h+3=0,解此方程組，得4 = l,=0.故在變換x (7V-3Xdy = 0,即I 4 = 丫下，原方程化為(3丫 -7X)dX +(IV7X-3Y7-3Y/XdX1Y-3X1Y/X-3d2才獲,則原方程成為第七幸微分方程267即積分得21nw-1+51n;u+11=-7lnX|+I

29、nC|.即月（-1）2（+1）5=土g.籽“=;=±代人上式，得原方程的通斛AX-I(y-x+1)2(5+x-1)5=C.（4）將原方程寫成今二二言R該方程屬理二山）類型.解此類方程，一般可令一”令+>.唬4T.11原方程成為即積分得3 +2hi-2|=2x+C.將=x+y代入上式得原方程的通靴x+3y+21n|x+y-2|=C.一階線性微分方程求下列微分方程的通解:(3)y'+ycos"e2；(5)(x2-1)/*+2xy-cosx=0；(7)半+2%y=4*；(IX(2)xy (x-2)¥ = y + 2(x-2)3；llx+y=X2+3x+2；

30、(4)y9+ylanx=sin2.v：(6)事+3p=2；d(8)yinyd.v+(x-Iny)dy=0；(10)(y2-6x)y'2>=0.<Lv解(1)y=c4<UJc-X-ePsix+C=cje-1c，lx+tj=e-*(x+C).i2(2)將方程改寫成<+)，=、+3+上，則xxy=ef7'h|(A：+3+jej7，bdx+C=x+3+jxdx+cj=-j(x2+3x+2)dx+f=y(y+yx2+2x+cj(3) y=ef。一必(jefinx.J27thdx+C)=e'*"，x(|e-sin,eM,1dx+C)=e-*,ni(

31、x+C).(4) y=e'/,anxdx(Jsin2xe/Un,dxdx+C)=cos*(+c)=cos|2sinxdx+C)=Ceosx-2cos2x.(5)將原方程寫成二啜1,則X11x1sinx+Cx2-I(6)P=匕-卜,卜小/用+c)=/3北卜/do+c)=<i(看3"+c)=,+Ce-3。.(7)y=e->，k(卜+Q=e"(卜)山+C)=e-M，(2e?+0=2+CL'.(8)將原方程寫成?+一)=-.則(lyyinyyX=eJW(Ie/dy+CJ=eln1,n>|«,M!,n，1必+C=hT7(fvdy+c,)=馬

32、如、+"J.即2xny=n2y+C(C=2CX).2( 7 )2,則2(x - 2尸 ej占d、k + C(x - 2)|2(x -2)2 d.v + C(9)將原方程寫成=(X-2)12(X-2)dx+c=(x-2)1(x-2)2+C】二(1-2)3+C(x-2)(10)將城方程改寫成乎-=-；,則dy)2x=j-伊)dy+c)二川-3小廠。I，卜卜似gr八 d、 y sin x2) d7 + 7 = 值2.求下列微分方程滿足所給初值條件的特解：(I)?-ytan.t二secx.y=0：(lx(5)sec xe-hn rJ,dx + (；)secxeh,e、"卜+C)=(

33、Isecxcosa(Ia+CfcosaxJx+C=,COSX代入初值條件H=0J=0,將C=0.故所求侍解為cosX（2） ） 小（"c)T/T(一<<>»x+C)x代人初值條件%=%）=14!）C=行-I,故所求特解為271一、高等數(shù)學（第七版）上冊習題全解一(TT-1-COSX).=-r-(5ero>4.sinxdx+C)=一(-5e<ot1+C),sinxJ/sinx_5pc,X代人初值條件X=年.>:-4.得C=1,故所求特解為y=T，即2sinx(4) y=e-p'h(J8ej=e3+3*+C)=寺+CL,2代入初值條件

34、x=().)=2,得。=-q，故所求特»(為2,3=：(4-e3)(5) y=e-J(7-7)dije/(r-7)d«d,x+c=3.37je(*3M)dx+Q=+C卜J)+cCx3,代入初侑條件力二i,)=ojuc=-故所求特解為2e無3Ly=y(1-c“T)如3.求曲線的方程、這曲線通過原點，并且它在點(”,八處的切線斜率等于2"解設曲線方程為=>(%),依題意有y'=2x即>'-y=27：q=0.y=J'Ypte-pMx+c)=e4(|2ie-adx+C)=ca(-2xex-2(jT+C)=-2x-2+Ce1.由x=0,y

35、=0J!JC=2.故所求曲線的方程為y=2(ex-x-I).以4.設外質(zhì)他為m的質(zhì)點作宜線運動，從速度等于零的時刻起,行一個與運動方向致.大小與時間成正比(比例系數(shù)為3)的力作用它，此外還受一與速度成正比（比例系數(shù)為自）的阻力作用.求質(zhì)點運動的速度與時間的函數(shù)關系.解依題意，有=A/-勺。，。=*，即dr m d/2，蟲=0 = °將方程改寫成學+V=I，則(1/tnni.=e-JQ.e/Xk+C)kifi由(=0,0=0,得C=故速度與時間的關系為A；3klnit工v二t-(1-e-f.k?k；S5.設有一個由電阻R=100電感=2H(亨)和電源電壓E=20sin5八(伏)串聯(lián)組成

36、的電路.開關K合上后，電路中仃電流通過求電流i與時間1的函數(shù)關系.解依題意，仃2()sin5/=IOi+2,即(1/*3=IOsin5/j|f=o=0.i=屋,北jIOsin5/eJ5d/d/+C,)='(Osin5fe"df+CJ,其中，id/=flOsin5/'山，則/=2Jsin5/(l(e5f)=2sin5/rSl-2je5,c(»s5/5tk=2sin5ft*'-2jcos5/d(r5z)=2sin5/e5'2<,os5/c，'-lojsin5fe”山=2e5r(sin5/-cos5/)-I.故/=(sin5/-cos

37、5/)+C'2«J"IAi=e"'e5<(gin5/一cos5/)+C(：=%+C2)第七章微分方程275=sin5/-cos5/+Ce代人初值條件f=0,i=0,得C'=l,故電流i與時間/的函數(shù)關系為i=e*5f+sin5/-cos5,按電學的習慣，可寫成e=e"5f+yTsin（5/&6.驗證形如yf（X）Ji+xg（xy）dy=0的微分方程，可經(jīng)變不：代換v=xy化為可分離變量的方程.并求其通解.解由.一.，即L（得d辿泮.乂原方程改寫成“必心+以）dr = 0 ,并將 v = xy ,<lyX2代入上

38、式,得vf(v)dx+g(v)(xdv-vdx)=0,可分離變員.得Kdrdxvf(v)-«(v)：X.積分得g(v)dv代人”=后，便是原方程的通解.E37,用適當?shù)淖兞看鷵Q將卜列方程化為可分離變量的方程，然后求出通解:dy1.(2)片=+I；(3)(4)(5)dxx-yxy"+y=y(Inx+Iny);y9=y2+2(sinx-1)y+siirx-2sinx-cosx+1；y(xy+1)dxfx(I+xy+x2y2)dy=0.(1)令用"九則半=1+半，且原方程變?yōu)?=公+,分離變也得dxdxdxd.r=<ix.I+u2積分得arctanu=x+C,即=

39、tan(x+C),代入=*+>,得原方程的.通解y=-x+lan(x+C).(2)令-九則半半，且原方程變?yōu)楹?-L即dxdx(lxu+dx=0枳分得代入=#-九得原方程的通解(工->尸+2%=C(C=2G).(3)令y,則'=y+xy',且原方程變?yōu)?#171;*=lnu,HPXuIn u x積分得ln|ln/=lnx+lng,即二.代入二xy,得原方程的通解n二。八,產(chǎn)即y二X(4)將原方程寫成)'=()+sinx-I)2-cosx，令"=>+sinx-1,則=/+CM.旦原方程變?yōu)?#39;"J即當=dr.積分得-1"

40、;二4+C',即=二.代人1/=)+sinX-1得原方程的通解tix+C)=1-sinxx+C=.WJX(5)原方程改寫成“(刈+1)+/(1+盯+J>2)半二0令.即duIXU今二C-,且原方程變?yōu)閡(w+I)+(I+。)(X早一):0,修理并分離變量.得:曲.枳分得+ln|=卜|.'|+g,代人X2二個,并整理得唾方程的通解為2x2y2ny-2xy-1=Cx2y2(C=2Cl).隔，8.求卜列伯努利方程的通解：(I)-+y=y2(cosx-ftinx)；(2)半-3xy=.vv?；dxd.v(3)半+-r-y=1-2x)y4；(4)J-)=a?5:(lx33<i

41、x(5)xiy-y+xyy(I+Inx)dx=0.解(1)將原方程改+=cosx-sinx,并令J=1.則：'=-4；i'.11y2y)廠原方程化為二'一二二sillX-COSA.比中=<>x J( sin x - cos x ) e ' 'dx + c=e Jsin xe- ldx - Jcos xe -ldx + C),sin .vc 'dx = - Jsin .vd( e -*) = - sin xe _1 +cos xdx ,故(一 sin x<57 + C) = Cel - sin x,即J-二c/ -sinx為所通斛

42、.(2)將原方程改寫成>-2>'- 3xy T =4.并令Z =廠、則z，= - y 化為且原方程(J rJ1 H <> .3c) = j + c) _L + Ce"?.故原方程的通解為或?qū)懗?3-x2+ln(】+j)=G(C,=ln3C).(3)符原方程改寫成廠4>'+=»(j-2x),并令z二3y-4yF是原方程化為z'-z=1-2z.z=e，hJf1-2x)el，hdx+(：=ex|=ex(-2x-I)e-x+(：=-2x-I即廠3=.2x-I+Cex為所求通解.)'JL原方程(4)將原方程改寫成y-Sy,

43、-y4=X,)f令J=>“，則：'=-4y'化為=屋卜”(1-4.tJ4mdx+c)=C"4,(j-4xe41dx1C)=e-4x(-xe故摩方程的通解為#一、高等數(shù)學（第七版）上冊習題全解（5）原方程可寫成）'-y=(1+Inx)yB|)廠3/.±y-2=M%,令X.XZ=)2,則/=-2>3y，,且原方程化為z'+z=-2(1+Inx).xZ=e,件11J-2(1+Inx)e/dxdx+cx-2|-2(1+!nx)x2dx+C=X-2=X-2-yx3(l4-111X)22-X(1+Inx)+-故原方程通解為22、廠2一年4(1

44、+)+C/2,J7或?qū)懗?z23習題7-5-x-xhix+C.93可降階的高階微分方程陷l求下列各微分方程的通解:(1)(2)y = xer=zI+x2(5)(7)(9)>y"+2>'2 =0I(6)(8)xy9 + >1 =0；力"-1 =0；（i）r = /（x + sill x )dx-一 cos t + C>=/(-cosx+G)dx(2)y第七章微分方程281V*=J(X-1)cA+<lx=(X=(x-2)e*+Cx+Q,y-J(x-2)e'+Cfx+C2dr：=(r-3)e'+G；J+C2x+C(3)y

45、9;=J=ardanx+Cj,y=J"(arc1anx，C)<l.r=.varctan1.八c-1)r<-pdx+(：x+C2=(,r-2)e1-Je1d.r+-y5-x2+C2x+C3x-f-r<lv+J1+x2=xarctunxln(1+x*)+CX4(4)令y'=p，則y'=p',且原方'程化為p'=工=d.t1+/積分得arctanp=xC1，即p=y'=lan(a+g)y=Jtan(x+Cj)(lx="Inic(5)令=p,則/=/,旦原方程可化為P-P=x'利用一階線性方程的求解公式.得C

46、)eb1+p2.分離變址，得，再枳分得通解%+G)|+Gp=e/d，=c"(積分得通解y=(6)令=,則y'=/枳分得Inp=In'+IniX(7)令y'=，則y"=/他，得1|xe-Jdxd.r+g)=<*(Jxe-Xdx+cjxcxe1+C1)x1+(?c'.、r2-x-1)dx=Ge"-x+C2.人且原方程化為印'+P=o,分離變址，得dp<lx一=,PxG一g,即".用積分.得通解Xy=jjd%=C|ln|x|+G./=?*?=，'p,旦原方程化為"*+2P2=0.分離變<

47、;iy<lxdy<ly包二-2位.P>'積分得hiIpI=In-+Ing.即)'=分離變量，得Y<h=gdx,積分得'二,廠3Cox+G.即通斛為>3=C'lX+G.令力P.則八P半,且原方程化為P半-I=().分感變小，得dydy積分得p2=-；+G，故yy'=p=*J-+=±THc,y2'L分離變質(zhì).得由于IyI=y§gn(>)9枚上式兩端積分.sgn(y)、/Ci？I=±C1.v+C2.兩邊平方，得C|f-1=(Cp+C2)2.(9)方程)屬于，"="&g

48、t;)型方程,除了設/=。,>”=半來降階求斛外,還6dv可以用如卜.方法求解：在<=/(¥)的兩端乘以2./.得2>y=2/(即(>'2)'=2/(>)廣若尸(外是/(V)的原函數(shù).則行(>2)，:2F(y)積分得到降階的方程)，2=2F(y)+G，本小題按上述方法求解：用2乘力程的兩端.得/即(，'2)'=(4)',故y'2=4+仁.今>'=12分離變量.得積分，得1 drdx = ± ；,.26+ *91 ,二士行（方+G）丁-2G（6+G）1+g.（10）令'=

49、p.則"=p半，原方程化為p半;p3十人即dyayp¥-（i+p2）=°-ay若,三0,則ymC.三C是原方程的解，但不是通解.若,由于P的連續(xù)性，必在X的某區(qū)間有pHO.于是分離變.，得，蚱2=d>,積分得arctanp=y-箕，即p=tan(y-%),亦即cot(y-Ct)1+P，<ly=<lr.積分得Insin(y-C)=x+InC2.即sin(y-g)=Qo;也可寫成y-arcsin(C2ex)+6).由于當C2=0時,=G，故前面所得的解y=C也包含在這個通解之內(nèi).團2.求下列各微分方程滿足所給初值條件的特斛：(1)"+=0,

50、y|1Bl=1,/LbI=0；，2)>"">":0,兒()=0,I=-1;廣中,兒力i=ri,i=o；(4)/=c2-,yImm0=7*I,»o=°；(5)/=36，,Ix.o=1SIi»o=2：(6)/*3)2=I,L.o=0,1=0.解(I)將原方程寫成y"+；=o,兩端乘以2人得y，“42)n2yy+y=0t:r即由此得#一、高等數(shù)學（第七版）上冊習題全解廣-；=G.y代人初值條件:>=1,<=0,得g=-I,故有f21,/y=-1=JJ.-ry=±-y分離變址，得=士&,積分

51、得-/二)：=士工+6代人初位條件：4=1.y=1，得。:彳1于是有-/1-y2=±(x-1).兩邊平方，得一+尸=2x.由于在點x=|處，J=1.故在:1的某鄰域內(nèi))>0因而特解可表示為y=y/lx-X2.(2)令)J=p,則y”=p'.原方程化為p'-q/=0,分離變玳即什=乜/廠積分得-；=#+G.代入初值條件X=0,=>'=-I.得g=1.從而有-二ax+1,即,I)=一;7T又積分得y=ln(ax+I)+C2.a代人初值條件><=o=o.得。2=0,故所求特解為y-L|n(ax+i).a(3)因)lf,=e«并由初值

52、條件x=1,/=(),故枳分得y"=>*°dx=(eG,(Lv=(e,K-e").乂因x二l時，/二。,故枳分得>-/Mx=(e,*'-e')(lx=(eai-t?,)-e"(x-1)1JiJiaalaJ第七章微分方程285又因”=1時9>=0,故再積分得7）（八）吸（1 一）（X - 1）=e，n-a:'十二(a-1)x+-r(2a-«2-2)./2a(r2a3(4)在京方程兩端同乘以2y得2>丁=2>儲,.即(),，2)，二(©2。，積分得y23+c代入初值條件："0

53、,>=>'=o.得G=-I,從而有<=±/e2r-I.分離變Q后枳分土加,牌.小得urrsin(e->)=”+g.代入初值條件：x=0,>=0,得C2二手.于是得特解c=sin（-±xj=cosx,即>=-Ineosx=Insecx.(5)在熾方程兩端同乘以2>，,得2)。"=6/77,即(4)'=(4/)，積分得尸=4。+g.代入初值條件x=0,y=1,4=2,得G=0,從而有),'=±2盧.并由于。二2.故取<=2/.分離變H后積分Jj=2">得4/=2#+。2代

54、人初值條件/=0,)=1,得C2=4.是得特解y=(t+,)4-(6)令)'=",則y"=p半，原方程變?yōu)榘?p?=I.分離變量，得dydy由初值條件:y=0,=0,枳分r*7%即p=±/1-e-2乂分離變聯(lián)，得d>由初值條件：=o,>=ov 1 - e或?qū)懗蒝=In-+ + 1相切的積分曲線.J9圖3.試求<=工的經(jīng)過點“（0/）且在此點與宜線）=991解由于宜線>=+I在（0）處的切線斜率為:,依題設知，所求積分曲線是初值向超兒;0的解.由<二#.積分得代入”=064,得G斗即有再積分，得）:1+彳 C2，代入*o 2二0

55、）二1 得c2=I 于是所求積分曲線的方程為XX.y=十+I.62國4.設布一質(zhì)H為1的物體，住空中由靜止開始卜落,如果空邙II力為K=e（H：中C為常數(shù).為物體運動的速度）,試求物體F落的距離$與時間/的函數(shù)關系解根據(jù)牛頓第二定律，有關系式d2idsfn-7=mg-c,并依據(jù)題設條件,得初值問題金=M_=45|=0包I=0d?8，山L=o，山ko令¥=匕,方程成為半=*一J,分離變量后積分<1/<1/mgVm得ln（g-v）=-I+%,mm代人初值條件=0,得CI=lng.于是布f”=業(yè)=慳c）；（Ifc'積分得m”代入初值條件s|o=0,得Q=-空.故所求特解（即F落的距離與時間的關系）為高階線性微分方程習題7-6弋F列函數(shù)組在其定義IX間內(nèi)哪些是線性無關的？孫J；(3)一j(5)cos2x.sin2x；(7)sin2x,cosxsinx；(9)I