1、分類討論思想分類討論思想1分類討論是處理問題的一種邏輯方法，同時分類討論是處理問題的一種邏輯方法，同時也是一種數學思想，這種思想對于簡化研討對象，也是一種數學思想，這種思想對于簡化研討對象，開展人的思想有著重要的協助，因此，有關分類討開展人的思想有著重要的協助，因此，有關分類討論的數學命題在高考試題中占有重要位置論的數學命題在高考試題中占有重要位置所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進展一致研討時，就需求對研討對象按某個規范分類，展一致研討時，就需求對研討對象按某個規范分類，然后對每一類分別研討得出每一類的結論，最后綜然后對每一類分別研討得出每一類的結

2、論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答本質上，分類討合各類結果得到整個問題的解答本質上，分類討論是論是“化整為零，各個擊破，再積零為整的數學戰化整為零，各個擊破，再積零為整的數學戰略略2運用分類討論思想解題的根本步驟：運用分類討論思想解題的根本步驟：(1)明確討論的對象：即對哪個參數進展明確討論的對象：即對哪個參數進展討論；討論；(2)對所討論的對象進展合理分類對所討論的對象進展合理分類(分類時分類時要做到不反復、不脫漏、規范要一致、分層要做到不反復、不脫漏、規范要一致、分層不越級不越級)；(3)逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐漸處理；逐漸處理；(4)歸納總結

3、：將各類情況總結歸納歸納總結：將各類情況總結歸納0)2( 22002mmm或002m0202或mm4、【例【例1 1】知數列】知數列anan的前的前n n項和為項和為Sn=32n-n2Sn=32n-n2，求其，求其 通項公式通項公式an.an. 分析分析 依依SnSn的意義知：的意義知：an=Sn-Sn-1an=Sn-Sn-1，化簡即可，化簡即可，但但 要留意單獨求要留意單獨求a1=S1.a1=S1. 解解 當當n=1n=1時，時，a1=S1=31.a1=S1=31. 當當n2,nNn2,nN* *時，時，an=Sn-Sn-1=32n-n2-32(n-an=Sn-Sn-1=32n-n2-32(

4、n- 1)+(n-1)2=33-2n. 1)+(n-1)2=33-2n. 調查調查a1=33-2a1=33-21=31,a11=31,a1也適宜也適宜an=33-2n.an=33-2n. 綜上綜上,an=33-2n ,an=33-2n nNnN* *. . 探求拓展 當普通性的結論在個別個體上無法使 用，或個體屬性特別時，往往要單獨處理，這是 產生分類討論的根底.就本例而言，an=Sn-Sn-1， 在n=1時，沒有意義a1無前項，只需單獨求 a1=S1,而在求得a1與an (n2,nN*)之后，還應 調查a1能否適宜ann2,nN*時的規律，假設 適宜那么合并寫出an,否那么，分段表述an.

5、練習1 2021徐州、淮安調研知集合 A=3，m2，B=-1，3，2m-1，假設 ,那么實數 m的值為 . 解析BA1 111-2或1222mmmmBmBA,2)(,時21,1當xfx，xxx，fx上是增函數221在1)(時2 ,21當.23,23)(此時xf2323225的值域為)(，xf【例【例3 3】假設不等式】假設不等式mx2+mx+20mx2+mx+20對一真實數對一真實數x x恒成立，恒成立， 試確定實數試確定實數m m的取值范圍的取值范圍. . 解解 1 1當當m0m0時，時，mx2+mx+20mx2+mx+20對于一真實數對于一真實數x x 2 2當當m=0m=0時，原不等式為

6、時，原不等式為20,20,顯然對一真實數顯然對一真實數x x 恒成立恒成立. . 綜合綜合1 1、2 2可得，當可得，當0m80m0,4-3m0,即即 二次函數二次函數y y的圖象開口的圖象開口向向 上，對稱軸上，對稱軸 它在它在0 0，1 1上的最大上的最大 值只能在區間端點到達由于此處不涉及最小值只能在區間端點到達由于此處不涉及最小 值，故不需討論區間與對稱軸的關系值，故不需討論區間與對稱軸的關系. . f(0)=m,f(1)=2-2m. f(0)=m,f(1)=2-2m. 當當m2-2m,m2-2m,又又,34234xy，m函數時.34)0(max fy，m時34, 0341mx，mm時

7、即3432,34，m時34;maxmy 當當m2-2m,m2-2m, 假設假設4-3m04-3m0，即，即 時，二次函數時，二次函數y y的圖象的圖象開開 口向下，又它的對稱軸方程口向下，又它的對稱軸方程 所以函所以函 數數y y在在0 0，1 1上是減函數上是減函數. . 于是于是ymax=f(0)=m.ymax=f(0)=m. 由由1 1、2 2可知，這個函數的最大值為可知，這個函數的最大值為，mm時即32,34，m時34, 0341mx.32,32,22maxmmmmy.22maxmy【例【例3 3】知不等式】知不等式 的解集為的解集為a a，b ba,ba,b是常數，且是常數，且0ab

8、0ab, , 求求a a、b b的值的值. . 分析分析 由于由于 的對稱軸為的對稱軸為x=2,x=2,區間區間 含參數可按含參數可按a a、b b、2 2的大小關系進展分類的大小關系進展分類. . 解解 設設 顯然，其對稱軸為顯然，其對稱軸為x=2.x=2. 1 1當當a2ba2b時，如圖時，如圖1 1所示，函數所示，函數f(x)f(x)的最小的最小值值 為為1 1，a=1.a=1. 又又axb,axb,243xa bx434343)(2xxxf4343)(2xxxf. 1)2(432x圖圖1 1 此時，函數此時，函數f(x)f(x)在在a a，b b上的最大值為上的最大值為f(1)f(1)

9、或或 f(b). f(b). f(b) f(b)為最大值為最大值. . 又由于又由于f(x)f(x)在在1,b1,b上的值域為上的值域為1,b1,b， f fb b=b.=b. 2 2當當2ab2ab時，如圖時，如圖2 2所示，所示， 函數函數f(x)f(x)在在a,ba,b上遞增，上遞增， f fa a=a=a，f fb b=b.=b.,247) 1 (時bf,4343)(2bbbbf從而由. 4, 1).34(4babb于是舍去得圖圖2 2 解之，得解之，得a=b=4,a=b=4,這與知這與知0ab0ab矛盾，應舍去矛盾，應舍去. . 3 3當當0ab20ab2時，如圖時，如圖3 3所示，

10、函數所示，函數f(x)f(x)在在a,ba,b 上遞減，上遞減， f fa a=b=b，f fb b=a=a， .4343,434322bbbaaa即.4343,434322abbbaa即圖圖3 3 解之，得解之，得 這與這與0ab0ab矛盾，應舍去矛盾，應舍去. . 綜上可知綜上可知,a=1,b=4.,a=1,b=4. 探求拓展探求拓展 對稱軸與目的區間的相對位置關系影對稱軸與目的區間的相對位置關系影 響函數最值的獲取，本例是典型的響函數最值的獲取，本例是典型的“定軸，動區定軸，動區 間類問題，要圍繞目的區間能否覆蓋定軸作討間類問題，要圍繞目的區間能否覆蓋定軸作討 論論. .另一類與之相對應

11、的問題是另一類與之相對應的問題是“定區間動軸問定區間動軸問 題，見本例變式訓練，備考者要細細領會這題，見本例變式訓練，備考者要細細領會這“一一 例一變的類似與相異之處例一變的類似與相異之處. . 當被處理的問題出現兩種或兩種以上情況時，為當被處理的問題出現兩種或兩種以上情況時，為 表達方便，使問題表述有層次、有條理，需作討表達方便，使問題表述有層次、有條理，需作討 論分別表達論分別表達. .,34 ba 當當1k21k2k2時時, ,解集為解集為(1,2)(k,+).(1,2)(k,+).規律方法總結規律方法總結1.1.分類討論是分類討論是“化整為零化整為零“各個擊破各個擊破 “積零為整的數學

12、方法，其原那么是：積零為整的數學方法，其原那么是： 1 1分類規范一致、對象確定分類規范一致、對象確定. . 2 2所分各類沒有反復部分，也沒有脫漏部分所分各類沒有反復部分，也沒有脫漏部分. . 3 3分層討論，不能越級討論分層討論，不能越級討論. .有時，還要對討論有時，還要對討論 的結果綜合起來概述的結果綜合起來概述. .2.2.需求分類討論的知識點大致有：需求分類討論的知識點大致有： 絕對值的概念；根式的性質；一元二次方程的判絕對值的概念；根式的性質；一元二次方程的判 別式符號與根的情況；二次函數二次項系數的正別式符號與根的情況；二次函數二次項系數的正 負與拋物線開口方向；反比例函數負與

13、拋物線開口方向；反比例函數 (k0) (k0)的的 比例系數比例系數k,k,正比例函數正比例函數y=kxy=kx的比例系數的比例系數k k，一次函，一次函xky 數數y=kx+b (k0)y=kx+b (k0)的斜率的斜率k k與圖象位置及函數的單與圖象位置及函數的單調調 性的關系；冪函數性的關系；冪函數y=xny=xn的冪指數的冪指數n n的正、負與定義的正、負與定義 域、單調性、奇偶性的關系；指數函數域、單調性、奇偶性的關系；指數函數y=ax (a0y=ax (a0 且且a1)a1)、對數函數、對數函數y=logax (a0,a1)y=logax (a0,a1)中底數中底數a a的的 范圍

14、對單調性的影響；等比數列前范圍對單調性的影響；等比數列前n n項和公式中公項和公式中公 比比q q的范圍對求和公式的影響；復數概念的分類；的范圍對求和公式的影響；復數概念的分類； 不等式性質中兩邊同時乘以正數與負數對不等號不等式性質中兩邊同時乘以正數與負數對不等號 方向的影響；陳列組合中的分類計數原理；圓錐方向的影響；陳列組合中的分類計數原理；圓錐 曲線離心率曲線離心率e e的取值與三種曲線的對應關系；運用的取值與三種曲線的對應關系；運用 點斜式，斜截式直線方程時斜率點斜式，斜截式直線方程時斜率k k能否存在；角的能否存在；角的 終邊所在象限與三角函數符號的對應關系，等等終邊所在象限與三角函數

15、符號的對應關系，等等. .3.3.分類討論產生的時機：分類討論產生的時機： 1 1涉及的數學概念是分類定義的涉及的數學概念是分類定義的. . 2 2運算公式、法那么、性質是分類給出的運算公式、法那么、性質是分類給出的. . 3 3參數的不同取值會導致不同的結果參數的不同取值會導致不同的結果. . 4 4幾何圖形的外形、位置的變化會引起不同的幾何圖形的外形、位置的變化會引起不同的 結果結果. . 5 5所給題設中限制條件與研討對象不同的性質所給題設中限制條件與研討對象不同的性質 引發不同的結論引發不同的結論. . 6 6復雜數學問題或非常規問題需分類處置才便復雜數學問題或非常規問題需分類處置才便

16、 于處理于處理. . 7 7實踐問題的實踐意義決議要分類討論實踐問題的實踐意義決議要分類討論. .一、填空題一、填空題1.1.過點過點P P2 2，3 3且在坐標軸上的截距相等的直線方且在坐標軸上的截距相等的直線方 程是程是 . . 解析解析 從幾何圖形特征上看，分截距等于零、不從幾何圖形特征上看，分截距等于零、不 等于零兩種情況，所求直線方程為等于零兩種情況，所求直線方程為.523xyxy或xyxy523或2.2.直線直線l l過點過點P P-2-2，1 1，點，點A A-1-1，-2-2到直線到直線l l的的 間隔等于間隔等于1 1，那么直線，那么直線l l的方程的方程為為 . . 解析解

17、析 直線直線l l的斜率不存在時，滿足條件的方程為的斜率不存在時，滿足條件的方程為 x=-2, x=-2,當斜率存在時，設當斜率存在時，設l l的方程為的方程為y-1=k(x+2),y-1=k(x+2),由由 點到直線的間隔公式，可得點到直線的間隔公式，可得 所以直線所以直線l l的的方方 程為程為4x+3y+5=04x+3y+5=0或或x=-2.x=-2.,34k4x+3y+5=04x+3y+5=0或或x=-2 x=-2 3.3.正三棱柱的側面展開圖是邊長分別為正三棱柱的側面展開圖是邊長分別為2 2和和4 4的矩的矩 形，那么它的體積為形，那么它的體積為 . . 解析解析 正三棱柱外形確實定

18、需分側面矩形長、寬正三棱柱外形確實定需分側面矩形長、寬 分別為分別為2 2和和4 4、或、或4 4和和2 2兩種情況進展討論兩種情況進展討論. .938934或4. 4. 等比數列等比數列anan中，中，a3=7,a3=7,前前3 3 項之和項之和S3=21,S3=21,那么公比為那么公比為 . . 解析解析 當當q=1q=1時，時，a3=3,S3=21a3=3,S3=21合題意；合題意；5. 5. 將一顆骰子延續擲三次，它落地時向上點數依次將一顆骰子延續擲三次，它落地時向上點數依次 成等差數列的概率為成等差數列的概率為 ( (結果用最簡分數表示結果用最簡分數表示). ). 解析解析 根身手件

19、總數為根身手件總數為6 66 66,6,按公差為按公差為0 0、1 1、 2 2、-1-1、-2-2共分五類共分五類, ,能依次成等差的根身手件數能依次成等差的根身手件數18.18.21,2171)1 (1213313qqaaqqaS，q解得時當211或121二、解答題二、解答題6.6.不等式不等式(k2-1)x2+2(k+1)x+10(k2-1)x2+2(k+1)x+10對于對于xRxR恒成立恒成立, ,求求 實數實數k k的取值范圍的取值范圍. . 解解 (1) (1)假設假設k2-1=0k2-1=0即即k=k=1 1時時, ,分別將分別將k=k=1 1代入原代入原不不 等式驗證得等式驗證

20、得k=-1k=-1時不等式恒成立時不等式恒成立; ; (2) (2)假設假設k2-10k2-10時時, ,那么那么 解得解得k-1.k0,k2-10,4(k+1)2-4(k2-4(k+1)2-4(k2-1)0.1)0.7.7.知函數知函數f(x)=2asin2x- asin xcos x+a+b f(x)=2asin2x- asin xcos x+a+b (a0) (a0)的定義域為的定義域為 值域為值域為-5-5，1 1，求常，求常 數數a a，b b的值的值. . 解解 f fx x=a=a1-cos 2x1-cos 2x-3asin 2x+a+b-3asin 2x+a+b 由于由于f(x

21、)f(x)的值域為的值域為-5-5，1 1，可得：，可得：32,2, 0.2)62sin(2baxa,67626,2, 0 xx, 1)62sin(21x.125252)21(212120521212)21(20bababaabaaabaabaaa或解得或8.8.知方程知方程mx2+2y2=m+1 (mR)mx2+2y2=m+1 (mR)對于不同范圍的對于不同范圍的m m 值值, ,分別指出方程代表的圖形分別指出方程代表的圖形. . 解解 當當m=0m=0或或m=-1m=-1時時, ,系數出現零系數出現零, ,因此要對因此要對m=0m=0和和 m=-1 m=-1的情況進展討論的情況進展討論;

22、; 當當m0m0且且m-1m-1時時, ,方程變形為方程變形為 由由 這樣這樣-1,0,2,-1,0,2,把數軸分成四個把數軸分成四個 區間區間, ,所以要分多種情況討論所以要分多種情況討論. . (1) (1)當當m=0m=0時時, ,方程為方程為2y2=1,2y2=1,即即 圖形為兩圖形為兩 條平行直線條平行直線; ; (2) (2)當當m=-1m=-1時時, ,方程為方程為-x2+2y2=0,-x2+2y2=0,即即 圖圖形形 為兩條相交直線為兩條相交直線; ;, 121122mymmx, 2121mmmm得,22xy,22y ；，yx，m；xmmm，m；ymmm，m；xmmm，mmymmx，mm的圓徑為半圖形為圓心在原點方程化為時當軸上的橢圓圖形為焦點在時當上的雙曲線軸圖形為焦點在時當的雙曲線軸上圖形為焦點在時當方程化為時且當26,232,121020, 021, 0101, 021, 011. 121110)3(2222 綜上,當 m-1時,圖形為焦點在x軸上的雙曲線; 當m=-1時,圖形為兩條相交直線; 當-1m0時,圖