1、專題 6 分段函數【典例解析】x(x + 4), X3 0;1.(必修 1 第 45 頁復習參考題 B 組第 4 題)已知函數f X求f 1,f -3,f a 1x(x-4),x c0.的值.【解析】f(1) =1 (1 4) =5;f(_3) =(一3)(一3一4) =21;當a _ -1時，a 1 _ 0,f (a1(a1) (a 14 a26a 5，當a：-1時，a 1：0，f (a1) = (a1) (a 1-4) =a22a 3.【反思回顧】(1)知識反思；函數及分段函數的概念，函數求值；(2)解題反思；應用分段函數時，首先要確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應關系代入計算求解，

2、特別要注意分段區間端點的取舍，當自變量的值不確定時，要分類討論體現分類思想。【知識背囊】1 有些函數在其定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數稱為分段函數.分段函數每一段都有一個解析式，這些解析式組成的整體才是該分段函數的解析式(注意分段函 數是一個函數，而不是幾個函數)；2 分段函數有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成.在同一直角坐標系中，根據每段的定義區間和表達式依次畫出圖象，要注意每段圖象的端點是空心點還是實心點，組合到一起就得到整個分段函數的圖象分 段函數是一個函數，只有一個圖象，作圖時只能將各段函數圖象畫在同一坐標系中，而不能將它們分別 畫在不同的坐標系中.

3、3.( 1)分段函數的定義域：一個函數只有一個定義域，分段函數的定義域是所有自變量取值區間的并集，分段函數的定義域只能寫成一個集合的形式，不能分開寫成幾個集合的形式.(2)分段函數的值域：求分段函數的值域， 應先求出各段函數在對應自變量的取值范圍內的函數值的集合， 再求出它們的并集.(3 )分段函數求值：首先確定要求值的自變量屬于哪一段區間，然后代入該段函數的解析式中求值，直到求出值為止當出現f(f(a)的形式時，應從內到外依次求值.(4)對于分段函數應用題，尤其是求最值問題，不僅要分段考慮，最后還要再將各段綜合起來進行比較.要注意分段函數值域是各段上函數值域的并集，最大(小)值是各段上最大(

4、小)值中最大(小)的.【變式訓練】3-6，22變式 4.已知f (x(3a _1)x 4a,i1是(_：)上的減函數，那么a的取值范圍是()U0gaX,(X1)【答案】C【解析】據題意要使原函數在定義域R 上為減函數，要滿足 3a- 1v0，且 0vav1，及x= 1 時(3a-1)xi- 一1 1+ 4aloga1，解得a的取值范圍為,)，故選 C.7 3反思：在研究函數的單調性時，應注意以下兩方面的問題：一是必須在定義域的范圍內研究單調性，超出了定義域范圍的單調區間是沒有意義的變式 5.已知函數f(x)二1 _lOga(x 2),x是奇函數，則方程g(x)=2的根為(lg(x),xoA.-

5、3B. -6C.【答案】B變式 1.若 fx(：0)，則 f 壯一 2 二()B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】20,二-x, x乞0=x2,x 0知,f 也-2= f (2) =22=4，故選 C.,若f(a尸4，則實數 a=().-4 或 2 C . - 2 或 4 D . - 2 或 22-a =4,a - -4;a4,a =2,a - -21x 1, x _0 22-(x-1) , x 0(舍去)，即a - -4或2，選B.使f(x)- 1 成立的x的取值范圍是()B. - 4, 2C.( 0, 2D.(- 4, 2(x-lx QYxy或即故選B”A. (0,1)B.1(0,3

6、)C.舅)1D.-,1)A. 23【解析】因為函數f（X）為R上的奇函數，所以f（0） =0，即1 _loga2=：0，解得a=2.當x：0時，有1 _log2（-x 2）二2，整理得log2（2 -x） =3，解得x= -6.綜上，方程的根為-6，故選 B.變式 6.1og3（x + 1）, xKO設函數f x是定義在R上的奇函數，且f X，則g -8二g（x）,x“【答案】-2【解析】由分段函數的解析式可知：g -8二f -8二-f 8 =-log39 =-2.變式 7.已知函數f x=logx73x X：2，若f 2_a=1，則f a二_21,x啟2【答案】-211【解析】當2-a：2即

7、a 0時，-log23-2-a =1=a ,a(舍)；當2-a_2即a_0時，22dT=1=a = -1=fa= Tog24 = -2。【高考鏈接】1 +log2(2 x),x1,1.【2015 高考新課標 2 理 5】設函數f(X)=* |2x,xZ1,A. 3B【答案】C故f (-2) f (log212) =9，故選C.i J x 0 x 0,. x【答案】D12【解析】由于當x 0時，f(x)=x a在x=1時取得最小值2 a，由題意當x_0時，f(x) = (x-a)x應該是遞減的，則a _ 0，此時最小值為f (0) =a2，因此a2乞a 2，解得0乞a豈2，選D.1, x 0,4

8、.【2015 高考湖北理 6】已知符號函數 sgnx = 0, x =0, f (x)是R上的增函數，g(x)二 f (x) f (ax) (a 1)，-1, x：0.則( )A . sgng(x) =sgnxB sgng(x) - -sgnxC. sgng(x) =sgnf(x)D sgng(x) -sgn f (x)【答案】B【解析】因為 f(x)是R上的增函數，令f(x)二x，所以g(x) =(1-a)x，因為a 1，所以g(x)是R上的-1,x0sgng(x)=三 0, x =0 - -sgn x .1,x：0【答案】D【解析】由于分段函數的左右兩邊的函數圖象不關于y 軸對稱，所以 A

9、 不正確.由于圖象左邊不單調，所以 B不正確.由于圖象 x0 部分的圖象不是沒有周期性，所以 C 不正確.故選 D.I3XT,X：1fa6.【2015 高考山東理 10】設函數f x,則滿足f f a =2的a取值范圍是()3.【2014 上海理 18】(A)-1,2(B)-1,0(C)1,2(D)0,2減函數，由符號函數1, x 0sgnx = 0, x =0 知，-1, x：05.【2014 福建理 7】已知函數f (xx21cosx,X 0則下列結論正確的是(x乞0A.f x是偶函數B.f x是增函數C.f x是周期函數 D.f x的值域為L1亠-j52,xA1(A)2,1( B)0,1

10、(C)(D)1-1, -_3_36【答案】C【解析】當a _1時，f a =2a.1,所以，f f ai；i；= 2f a，即a 1符合題意.22當a v1時，f (a )=3a 1,若f (f (a ) = 2f(a)，則f (a f 1，即：3a 1 K1,a蘭一,所以一a133適合題意綜上，a的取值范圍是I-垃),故選 C.収丿7.【2014 四川理 12】設f(X)是定義在 R 上的周期為 2 的函數，當X一1,1)時，f(x)二; 2-4x2,一1乞x：0,沖32，則f()=.【答案】1【解析】311f() = f( )-42=1.2248.【2014 年安徽卷】若函數f X X，R

11、是周期為 4 的奇函數，且在0,2 1上的解析式為f(X )=ggg，則伯+f住卜in雙，1 ex蘭2(4丿(6丿【答案】_5_16【解析】本題考查函數的周期性和奇偶性因為周期是 4,且在0,2 1上的解析式為=7(3) _ f (7)- si n7二46446 的值為x(1x),0 x蘭12941、373丿，所以f() + f ()sin雙，1 x蘭246=f(8：)+ f(8 亍=f(；) + f46475169.【2018 年江蘇卷】函數肛初滿杲十幻二 f0)0町|，且在區間上也上,rW =nxcos,0 x2|x +2 110.【2015 高考浙江理 10】已知函數f(x)二x 一 ，

12、貝U f(f(-3)=,f (x)的最小值2lg(x 1),x是_.【答案】0,2、2-3.【解析】f(f(-3) = f(1) = 0，當x _1時，f(x) _2.2一3，當且僅當x2時，等 號成立，當x：1時，f(x)_0，當且僅當x=0時，等號成立，故f (x)最小值為2.、.23.x, x匸(一,a),11.【2014 上海理 4】設f(x)=2若f(2)=4，則a的取值范圍為/ ,xwa,+.【答案】(-：，2【解析】由題意，若a 2，則f (2) =2不合題意，因此a乞2，此時xa,=)時,2f(x) =x，滿足f(2) =4.2x +x X 012.【2014 年浙江卷理 15

13、】設函數 f(x)= 若 f(f(a)蘭 2，則實數 a 的取值范圍是 _j-x ,xK0【答案】a2I f(ac0I f(a)M0r acO f aO【解析】由題意2，或2，解得f a _ -2，當2或2f2(a)+f(a)蘭2f2(a)蘭2a2+a啟2a2Z2解得，解得a乞、2.13.【2016 高考江蘇卷】設f (x)是定義在R上且周期為 2 的函數，在區間上,【答案】-3 45【解析】f (-5) = f ()=f (9) = f (丄)=-1a = - a,222222 5532因此f (5a)二f (3) = f (1) = f (1)=T -55”x +a, -1 Wx 0, f

14、 (x)=2其中a乏R.|一一x ,0 Exc1,055fV9匕)，貝U f(5a)的值是8_x + 6 x 2.14.【2015 高考福建，理 14若函數f(x)=q - (a0且a幻)的值域是4,址)，丿3 + logaX,x2,丿則實數a的取值范圍是_.【答案(1,2【解析當x_2，故-x，6_4，要使得函數f (x)的值域為4,亠,只需f1(x 3 logax(x 2)的值域包含于4,=，故a 1，所以f1(x) 3 loga2，所以3 loga2 _4，解得1：a乞2，所以實數a的取值范圍是(1,2.【答案-1,I4,【解析：令gx=fxfx-2當x1時，g x = f x fx-2

15、1 2x，,2I 2丿2x +3,x蘭02112xx ,0 :：x E一21 2當x乞0時，g x=f x fx2=2x -,2當0：x _ 1時，g x = f x i亠f !1x一.2丿=2xx -,2，兄三段區間內均單調遞增,2 2函數g x在區間 -：,0 J,10,-且：g0 011飛1嚴1,15. 2017 課標 3 理 15設函數 f(x) =x T, x _0,2x, x 0,1則滿足 f (x)亠 f (x -. 1 的x的取值范圍是2寫成分段函數的形式：g x = f xifix-91若a =0,貝U f (x)的最大值為 _；2若f (x)無最大值，則實數a的取值范圍是 _ .【答案】2,(-：，-1)【解析】如圖