1、函數(shù)及應(yīng)用 我們已經(jīng)歷了從08年到12年五年的新課標高考，在這五年的改革和變化中，我們已有了對新課標教學和高考較為深刻的理解和認識，但從目前的教學和高考成績不難發(fā)現(xiàn)，仍有很多問題需要我們一線老師急待解決。本文試圖從平時的教學、高考復(fù)習，如何來理解現(xiàn)行的高考，與此同時，又從五年的高考中提煉，來如何指導(dǎo)我們平時的教學工作說一些建議，僅供大家參考。 第一部分：課標、考綱中對函數(shù)的要求的解讀 在高中階段，如何認識函數(shù)的作用？如何把握函數(shù)的內(nèi)容？如何進行有效的函數(shù)教學？學生在學完高中課程，在函數(shù)的學習中應(yīng)積淀下什么？這些問題，是教師必須具備的和解決的問題。 1. 對函數(shù)的認識 （1函數(shù)是刻畫變量與變量之

2、間依賴關(guān)系的最佳“途徑之一 把函數(shù)看作是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，通過探索理解可以用變量與變量之間的依賴關(guān)系反映自然規(guī)律，這是我們認識現(xiàn)實世界的重要作用宏觀的看法）。 我們先來看一看高考是如何考察這一思想的：2019年文科）：選擇題第11題 已知函數(shù) ，假設(shè) , , 互不相等，且 ，則的取值范圍.A.（ 1，10） B.（5，6） C.（10，12D.（20，24） 10621100lgx x-x x| |xfa a aab c cfbfaf cfbfaf 解：分析：求范圍 由于 是相互依賴的變量關(guān)系 可以歸為求一類函數(shù)的值域問題 要點，將 看成一個整體 ，再 找出共同的自變量 . （

3、難點：要對函數(shù)有一個較為深刻的理解）cba ,ycba ,abcabcx 設(shè)依解析式 必須要知道 的范圍： 故可畫出函數(shù)的簡圖： tcfbfafabc, cba ,10a -ttaaaatt-af10101lglg1 tbbtbf10lg -tctc-cf62621 10 62621010t-t-tabct-t)12,10(abc （2函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁 把函數(shù)看做是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁，即通常說的映射關(guān)系。即用映射刻畫函數(shù)，反映兩個數(shù)集之間的關(guān)系。在兩個數(shù)集之間架起了橋梁。這樣的看法反映了數(shù)學中的一種基本思想。 這種理解方式是高中數(shù)學最為常見的一種形式，在高考中比比皆是，這里就不再細說。

4、 （3函數(shù)是“圖形” 函數(shù)關(guān)系是平面上點的集合，又可以看成平面上的一個“圖形”，在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件下的曲線。因此，研究函數(shù)就是研究曲線的性質(zhì)，研究曲線的變化。 運用這種看法，函數(shù)可以看做數(shù)形結(jié)合的載體之一。實際上，高中數(shù)學課程中的數(shù)形結(jié)合主要有三個載體：解析幾何、向量向量幾何）、函數(shù) 函數(shù) 的圖像與函數(shù) 的圖像所有交點的橫坐標之和等于 A. 2B. 4 C. 6D. 8 xy11) 42(sin2xxxy解析：圖像法求解。 的對稱中心是1，0也是 的對稱中心， 他們的圖像在 的左側(cè)有4個交點，那么 右側(cè)必有4個交點。不妨把他們的橫坐標由小到大設(shè)為： ，那么 ，所以選D. 11xy

5、) 42(sin2xxy42x1x1x87654321,xxxxxxxx254637281xxxxxxxx 所以，在討論函數(shù)問題時，幫助學生養(yǎng)成畫函數(shù)圖形，并且用函數(shù)圖形思考問題的習慣，樹立“圖形意識是掌握函數(shù)性質(zhì)，學好函數(shù)的關(guān)鍵所在。 這就是高中階段學生學完函數(shù)應(yīng)用留下的東西。 例如：2009年高考文科）用 表示 三個數(shù)中的最小值.設(shè) ,那么 的最大值為： A4 B. 5 C. 6 D. 7 （詳細分析和解答） 培育“把握圖形才干，幾何直觀的能力是數(shù)學 課程的基本目標之一。cba , ,mincba , 010 , 2 ,2minx-xxxfx xf 2. 中學數(shù)學研究函數(shù)的什么性質(zhì) 數(shù)學中

6、研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征本質(zhì)）。 在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。 單調(diào)性是在高中階段討論函數(shù)“變化最為基本的性質(zhì)。 從幾何角度：就是研究函數(shù)圖象走勢的變化。 從代數(shù)角度：可利用單調(diào)性來確定函數(shù)范圍值域和有界性最值）。 從教材中研究函數(shù)這個性質(zhì)分成二階段： 第一階段：在必修1中，要求理解函數(shù)單調(diào)性的圖形直觀，理解單調(diào)性的數(shù)學定義，途徑是通過大量的具體函數(shù)來理解單調(diào)性在研究函數(shù)中的作用直觀感知）。 界定：用具體的函數(shù)，通過類比、歸納、總結(jié)其性質(zhì)，不需要嚴格的證明過程。 第二階段：安排在選修系列1，2課程的導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用中。導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)變化率的概念。導(dǎo)數(shù)可以幫

7、助我們對“函數(shù)的變化有進一步的了解，在這一部分的內(nèi)容中，要求學生理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。即：在一個區(qū)間中，如果函數(shù)在每一點的導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)是遞增的。如果函數(shù)在每一點的導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)是遞減的。反之，也可以用單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)的符號，在一個區(qū)間內(nèi)，遞增函數(shù)如果有導(dǎo)數(shù)，則每一點的導(dǎo)數(shù)大于或等于零。反之亦然。 界定：在高中階段，對嚴格單調(diào)性和單調(diào)性的區(qū)別不必深究，否則，會因小失大。 設(shè)函數(shù) 的最小正周期為 ，且 ，那么 A 在 單調(diào)遞減 B. 在 單調(diào)遞減 C 在 單調(diào)遞增 D. 在 單調(diào)遞增 )2| , 0(cossinxxxf xfxf xf xf xf xf），（20），（20），（20），

8、（434），（434 解析： ，所以 ，又 為偶函數(shù)， ， ， ，選A. )4sin(2xxf2 xfkk424zk xxxf2cos2)22sin(2例如： 1.知 ，函數(shù) （2019年高考） （1當 為何值時，取的最小值？證明你的結(jié)論。 （2設(shè) 在-1，1上是單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍。 0ax xeaxxxf22x x x xf xfa已知函數(shù) ，曲線 在點 處的切線方程為 . （1求 的值； （2如果當 ，且 時， ，求 的取值范圍. xbxxaxf1ln xfy) ) 1 (1 f，（032 yxba,0 x1x xkxxxf1lnk 解析:（1） ,由于直線 的斜率為 ，且過點1，1

9、），故 ，即 ，解得 ， . 22) 1()ln1(xbxxxxaxf032 yx2121111ff2121bab1a1b （2由(1)知 .考慮函數(shù) ，那么 . xxkxxxkxxxf11ln2 (11)1ln(22 011ln22xxxkxxh 22211xxxkxh 設(shè) ，由 知，當 時， 遞減，而 ，故當 時， ，可得 ；當 時， ，可得，從而當 時，且 時， ，即 .0k 222) 1() 1(xxxkxh1x xhxh, 001 h) 1, 0(x 0 xh 0112xhx), 1(x 0 xh 0112xhx0 x1x 0)1ln(xkxxxf xkxxxf1ln設(shè) 時，由于 的

10、圖像開口向下，且 ，對稱軸 當 時， ，故 ，而 ，故當 時， ，可得 ，與題設(shè)矛盾.10k12121122kxxkxxk01442k111kx)11, 1 (kx02112xxk 0 xh01 h)11, 1 (kx 0 xh 0112xhx 設(shè) ，此時 ，而 ，故當 時， ，可得 ，與題設(shè)矛盾. 綜合得， 的取值范圍為 .1k 00211,2122xhxxkxx01 h , 1x 0 xh 0112xhxk 0,( 2.設(shè)函數(shù) （I假設(shè) =0，求 的單調(diào)區(qū)間； （II若當 時， ，求 的取值范圍. （用在黑板上進行詳細分析和解答） 比較兩題的變化和課標上的要求，三維目標的解讀。 21axx

11、exfxa xf0 x 0 xfa 周期性是中學階段學習函數(shù)的另一個基本性質(zhì)。周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。在我們的生活中，小到粒子，大到宇宙都大量存在著周期性變化規(guī)律。因此，學會用周期的觀點來看待周圍事物的變化是非常重要和必須要做的。 在高中階段，不討論一般函數(shù)的周期性，只討論基本的具體三角函數(shù)的周期性。例如，正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性。 例如：2009年高考文科） 知的圖象如圖所示，那么 =_. , 0 sin xy 奇偶性也是我們在中學階段學習函數(shù)時要研究的函數(shù)性質(zhì)，但要注意它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性質(zhì)反映了函數(shù)圖形的對稱性質(zhì)，但它與坐標系的選擇有關(guān)。在高中數(shù)學課程中，對于一般函

12、數(shù)的奇偶性，也不做深入討論，只討論基本的具體函數(shù)的奇偶性。 例如：2019年文科）設(shè)偶函數(shù) ，那么 =A B. C. D. 0 83xxxf02|xfx42|xxx或40|xxx或60|xxx或22|xxx或22|xxx或 3. 具體函數(shù)模型 了解函數(shù)的形式定義，僅僅是理解函數(shù)的一部分，理解函數(shù)的一個重要的方法，就是在頭腦中留住一批具體函數(shù)的模型。在高中，要幫助學生對每一個抽象的數(shù)學概念，使他們在頭腦中都有一批具體的“模型”。是學習數(shù)學一種良好的習慣。 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)是基本初等函數(shù)，這些函數(shù)是最基礎(chǔ)的，也是最重要的，還有一些簡單的分段函數(shù)，一些有實際背

13、景的函數(shù)例如： 等。等等，這些都是基本的、重要的函數(shù)模型。 ，0 101 x - xyxxy1 例如：冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)講解） （補充：這些基本函數(shù)都是“好的函數(shù)，所謂好，是指它具有任意階導(dǎo)數(shù)，非常地光滑，在高中數(shù)學中，對于任意一個“好的函數(shù)”，在一定的范圍內(nèi)都可以用多項式函數(shù)來近似的表達。泰勤公式，這是高等數(shù)學的重要結(jié)果之一。） 另一個基本特點是：他們在研究世界運動變化規(guī)律時，應(yīng)用的最多的函數(shù)，也是刻畫變量變化最為基本的形式。 關(guān)于一元二次函數(shù)是重要的一類多項式函數(shù)，在高中，對于此類函數(shù)做了詳細的研究研究的方法和過程），應(yīng)該要求學生首先很好的掌握此類函數(shù)。 4. 三角函數(shù) 高中階段，我們通過三

14、角函數(shù)幫助我們更好的理解周期函數(shù)它也是“好的函數(shù)，具有任意階系數(shù)和對稱性，對于上述的基本初等函數(shù)模型，我們希望給學生腦子里留下三個方面的東西： （1背景，從函數(shù)模型的實際背景的角度把握函數(shù)；（源） （2圖像，從幾何直觀的角度把握函數(shù)； （3基本變化，從代數(shù)的角度把握函數(shù)的變化情況。 例如，指數(shù)函數(shù)變化之所以快 “將和變積” 對數(shù)函數(shù)變化之所以慢 “將積變和”總之，要使函數(shù)在學生頭腦中“扎下根”。 已知角 的頂點與原點重合，始邊與 軸的正半軸重合，終邊在直線 上，那么 A. B. C. D. xxy 22cos54535354 解析：由題知 ， ， 選B.2tan 53tan1tan1sinco

15、ssincos2cos222222 5. 函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系 函數(shù)作為高中數(shù)學的一條主線，貫穿于整個高中數(shù)學課程中，特別是在方程、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機變量、數(shù)列等內(nèi)容中都突出地體現(xiàn)了函數(shù)思想。 （1函數(shù)與方程 用函數(shù)的觀點看待方程，是高中數(shù)學和初中數(shù)學最大的差異之一，初中局限于恒等變形。 （進而可以用來對不等式的理解可以把方程的根看成函數(shù)與軸交點的橫坐標。從而，方程可以看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了思考函數(shù)圖形與軸的交點問題，這是解決方程問題的基本思想。 （此部分內(nèi)容一般都是融于其它內(nèi)容進行考查） （2函數(shù)與數(shù)列 數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，也是高中數(shù)學唯一的離散型函數(shù)，數(shù)列在研究

16、連續(xù)函數(shù)中發(fā)揮著重要作用。在高中階段，主要討論一些特殊的數(shù)列等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，故等差數(shù)列、等比數(shù)列都是最為基本的二類數(shù)列模型。 中心：等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化。 等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。 例如：2009年高考文科16題 等差數(shù)列 的前 項和為 ，知 ， ，那么 nannS0211mmmaaa3812mS._m 等比數(shù)列 的各項均為正數(shù)，且 , （1求數(shù)列 的通項公式； （2設(shè) ，求數(shù)列 的前 項和. na6223219, 132aaaaa nannaaab32313logloglog)1nbn 解析：（1設(shè)數(shù)列 的公比為 ，由 ，所以 ，由條件可知 ，故 ，由 得 ，所以 ，故數(shù)列

17、的通項式為 . naq62239 aaa 912q0a31q13221 aa13221qaa311a nanna31 （2） nnaaab32313logloglog)21 (n2) 1( nn 故 所以數(shù)列 的前 項和為 .)111( 2) 1(21nnnnbn12)111()3121()211(211121nnnnbbbnnb1n12nn 2019年高考文科17題 設(shè)數(shù)列 滿足 ， ，（1求數(shù)列 的通項公式；（2令 ，求數(shù)列 的前 項和 ； （3函數(shù)與不等式 na21a12123nnnaa nannnab nbnnS 函數(shù) 的圖象把坐標系的橫坐標軸分成若干部分區(qū)域，一部分區(qū)域是使函數(shù)值等于

18、0，即 ，一部分區(qū)域是使函數(shù)值大于0，即 ，一部分區(qū)域是使函數(shù)值小于0，即 。用函數(shù)的觀點看，就是確定使 的圖象在 上方和下方的 的區(qū)域。 xfy 0|xfyx 0|xfx 0|xfx xfyxx例：已知函數(shù) ，則滿足不等式 的 的取值范圍是_.（2019年高考理科江蘇省第11題） 0 1 0 12xxxxf xfxf212x （4函數(shù)與線性規(guī)劃、函數(shù)與算法 線性規(guī)劃問題是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點看，首先要確定目標函數(shù)，用目標函數(shù)刻畫“好、壞、大、小等。一般而言，目標函數(shù)是二元函數(shù)，可行 實質(zhì)上是這個函數(shù)的定義域，最優(yōu)值即為函數(shù)的最值。 在算法中，最基本的結(jié)構(gòu)之一是循環(huán)結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)是理解算法的一個難點，其要點是通過給循環(huán)變量賦值來實現(xiàn)循環(huán)的。用函數(shù)來刻畫循環(huán)變量，把循環(huán)變量看成“運算次數(shù)的函數(shù)。一種循環(huán)變量的值可以取“運算次數(shù)”，以此來控制循環(huán)次數(shù)，另一種循環(huán)變量的值可以取“運算結(jié)果”，是用來控制精確度的變量。 若變量 滿足約束條件 ，那么 的最小值為_. yx,96923yxyxyxz2 解析：畫出區(qū)域圖知，當直線 過 的交點4，-5時， .yxz2932yxyx6minz 知 與 均為單位向量，其夾角為 ，有下列四個命題 其中的真命題是 AP1，P4 B. P1，P3 C. P2，