1、第四章 非線性模型 4.1 非線性模型的形式及其分類非線性模型的形式及其分類 4.2 可化為線性模型的非線性模型可化為線性模型的非線性模型 4.3 不可轉換成線性的非線性模型不可轉換成線性的非線性模型4.1 4.1 非線性回歸模型的形式和分類非線性回歸模型的形式和分類 在實際經濟活動中，經濟變量的關系是復雜的，在實際經濟活動中，經濟變量的關系是復雜的，直接表現為線性關系的情況并不多見。直接表現為線性關系的情況并不多見。 如著名的恩格爾曲線如著名的恩格爾曲線(Engle curves)表現為冪表現為冪函數曲線形式、宏觀經濟學中的菲利普斯曲線函數曲線形式、宏觀經濟學中的菲利普斯曲線（Pillips

2、 cuves）表現為雙曲線形式等。）表現為雙曲線形式等。 但是，大部分非線性關系又可以通過一些簡單但是，大部分非線性關系又可以通過一些簡單的數學處理，使之化為數學上的線性關系，從的數學處理，使之化為數學上的線性關系，從而可以運用線性回歸模型的理論方法。而可以運用線性回歸模型的理論方法。非線性回歸模型的形式非線性回歸模型的形式 常見的非線性模型 根據非線性回歸模型線性化的不同性質，上述模型一般根據非線性回歸模型線性化的不同性質，上述模型一般可以分成三種類型：可以分成三種類型： 第一類：直接換元型第一類：直接換元型 這類非線性回歸模型通過簡單的變量換元可直接化為線這類非線性回歸模型通過簡單的變量換

3、元可直接化為線性回歸模型，如式（性回歸模型，如式（1）、式（）、式（2）、式（）、式（3）、式（）、式（4）。）。 第二類：間接代換型第二類：間接代換型 這類非線性回歸模型經常通過對數變形代換間接地化為這類非線性回歸模型經常通過對數變形代換間接地化為線性回歸模型，如：式（線性回歸模型，如：式（5）、式（）、式（6）。）。 第三類：非線性型第三類：非線性型 這類非線性回歸模型屬于不可線性化的非線性回歸模型，這類非線性回歸模型屬于不可線性化的非線性回歸模型，如式（如式（7）和式（）和式（8）。）。 非線性回歸模型的分類非線性回歸模型的分類4.2 可化為線性模型的非線性模型可化為線性模型的非線性模型

4、 直接換元法直接換元法 間接換元法間接換元法 直接換元法直接換元法例例 4.2.1例例 4.2.1直接換元法計算表直接換元法計算表例例 4.2.1例例 4.2.1例例 4.2.1 由于商品零售額增加，流通費用率呈下降趨勢，二者之間為負由于商品零售額增加，流通費用率呈下降趨勢，二者之間為負相關關系，故相關系數取負值為：相關關系，故相關系數取負值為：0.9898。說明兩者高度相關，。說明兩者高度相關，用雙曲線回歸模型配合進行預測是可靠的。用雙曲線回歸模型配合進行預測是可靠的。 例例 4.2.1例例 4.2.1 對于式（對于式（5）、式（）、式（6）和式（）和式（7）所）所示的非線性回歸模型，因變量

5、與待估計參示的非線性回歸模型，因變量與待估計參數之間的關系也是非線性的。因此不能通數之間的關系也是非線性的。因此不能通過直接換元化為線性模型。對此類模型，過直接換元化為線性模型。對此類模型，通常可通過對回歸方程兩邊取對數將其化通?？赏ㄟ^對回歸方程兩邊取對數將其化為可以直接換元的形式。這種先取對數再為可以直接換元的形式。這種先取對數再進行變量代換的方法稱為間接換元法。進行變量代換的方法稱為間接換元法。 間接換元法間接換元法 間接換元法間接換元法間接換元法回歸實例間接換元法回歸實例 例例4.2.2 建立中國城鎮居民食品消費需求函數模型。 根據需求理論，居民對食品的消費需求函數大致為: ),(01P

6、PXfQ Q:居民對食品的需求量，X：消費者的消費支出總額P1：食品價格指數，P0：居民消費價格總指數。 (*) 零階齊次性零階齊次性，當所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變 )/,/(010PPPXfQ (*)為了進行比較，將同時估計（為了進行比較，將同時估計（* *）式與（）式與（* * *）式。）式。 )/,/(010PPPXfQ (*),(01PPXfQ (*) 根據恩格爾定律恩格爾定律，居民對食品的消費支出與居民的總支出間呈冪函數冪函數的變化關系: 首先首先, ,確定具體的函數形式確定具體的函數形式32101PPAXQ 對數變換: 031210lnlnln)l

7、n(PPXQ(*)e考慮到零階齊次性零階齊次性時時)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(*)式也可看成是對（*）式施加如下約束而得:0321因此，對（對（* * * * *）式進行回歸，就意味著原需）式進行回歸，就意味著原需求函數滿足零階齊次性條件求函數滿足零階齊次性條件。(*)X：人均消費X1：人均食品消費GP：居民消費價格指數FP：居民食品消費價格指數XC：人均消費（90年價）Q：人均食品消費（90年價）P0：居民消費價格縮減指數（1990=100）P1：居民食品消費價格縮減指數（1990=100表表 4.2.2 中國城鎮居民消費支出（元）及價格指數中國城鎮居民消費支出（元）

8、及價格指數 X (當年價) X1 (當年價) GP (上年=100) FP (上年=100) XC (1990年價) Q (1990年價) P0 (1990=100 ) P1 (1990=100 ) 1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1 1982 471.0 432.1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9 1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7 1984 559.4 514.3 102.7 104.0 690.4 350.5 81.

9、0 146.7 1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408.4 87.1 86.1 1986 799.0 418.9 107.0 107.2 826.6 437.8 96.7 95.7 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5 1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 127

10、8.9 693.8 100.0 100.0 1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0 1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694.7 943.1 124.6 112.2 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4 1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.

11、9 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9 145.6 112.8 1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 117.7 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3 2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1 2001 5309.0 2014.0

12、 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8 2004006008001000120014001600180082848688909294969800Q中中國國城城鎮鎮居居民民人人均均食食品品消消費費 特征特征：消費行為在19811995年間表現出較強的一致性；1995年之后呈現出另外一種變動特征。 建立建立19811994年中國城鎮居民對食品的消費年中國城鎮居民對食品的消費需求模型需求模型: )ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQ (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 按按零階齊次性零階齊次

13、性表達式回歸表達式回歸: :)/ln(09. 0)/ln(07. 183. 3)ln(010PPPXQ （75.86）(52.66) (-3.62) 為了比較，改寫該式為： 01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3lnPPXPPPXQ)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ln(01PPXQ與接近。意味著：所建立的食品需求函數滿足零階齊次所建立的食品需求函數滿足零階齊次性特征。性特征。01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3l

14、nPPXPPPXQ可化為線性模型的非線性模型處理方法總結可化為線性模型的非線性模型處理方法總結 1 1、倒數模型、多項式模型與變量的直接置換法、倒數模型、多項式模型與變量的直接置換法 例如，例如，描述稅收與稅率關系的拉弗曲線拉弗曲線：拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率設X1 = r，X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 c0 2、冪函數模型、指數函數模型與對數變換法、冪函數模型、指數函數模型與對數變換法 例如例如，Cobb-Dauglas生產函數：冪函數 Q = AKLQ：產出量，K：投入的資本；L：投入的勞動 方程兩邊

15、取對數： ln Q = ln A + ln K + ln L3、復雜函數模型與級數展開法、復雜函數模型與級數展開法 方程兩邊取對數后，得到： eLKAQ1)(21(1+2=1) Q:產出量，K：資本投入，L：勞動投入 ：替代參數， 1、2：分配參數)(211LKLnLnALnQ例如例如，常替代彈性CES生產函數 將式中ln(1K- + 2L-)在=0處展開臺勞級數,取關于的線性項，即得到一個線性近似式。 如取0階、1階、2階項，可得:22121ln21lnlnlnlnLKmLmKmAY4.3 不可轉換成線性的非線性模型不可轉換成線性的非線性模型一、不可線性化模型一、不可線性化模型1、不可線性化

16、模型：無論采取什么方式變換都不可、不可線性化模型：無論采取什么方式變換都不可 能實現線性化的模型。能實現線性化的模型。2、常用的處理方法：一般采用高斯一牛頓迭代、常用的處理方法：一般采用高斯一牛頓迭代 法進行參數估計，即借助于泰勒級數展開式法進行參數估計，即借助于泰勒級數展開式 進行逐次的線性近似估計。進行逐次的線性近似估計。 二、迭代估計法二、迭代估計法基本思路是：基本思路是：1、通過泰勒級數展開使非線性方程在某一組初始參數、通過泰勒級數展開使非線性方程在某一組初始參數 估計值附近線性化；估計值附近線性化；2 2、然后對這一線性方程應用、然后對這一線性方程應用OLSOLS法，得出一組新的參法

17、，得出一組新的參 數估計值；數估計值；3 3、使非線性方程在新參數估計值附近線性化，對新、使非線性方程在新參數估計值附近線性化，對新 的線性方程再應用的線性方程再應用OLSOLS法，又得出一組新的參數估法，又得出一組新的參數估 計值；計值；4、不斷重復上述過程，直至參數估計值收斂時為止。、不斷重復上述過程，直至參數估計值收斂時為止。三、迭代估計法的三、迭代估計法的EviewsEviews軟件實現軟件實現 設定代估參數的初始值，可采用以下兩種方式：設定代估參數的初始值，可采用以下兩種方式：（1 1）使用）使用paramparam命令。命令格式為命令。命令格式為param param 初始值初始值

18、1 1 初始值初始值2 2 初始值初始值3 3 （2 2）在工作文件窗口雙擊序列）在工作文件窗口雙擊序列C C，并在序列窗口中直，并在序列窗口中直接輸入參數的初始值（注意序列接輸入參數的初始值（注意序列C C中總是保留著剛建立中總是保留著剛建立模型的參數估計值，若不重新設定，系統自動將這些模型的參數估計值，若不重新設定，系統自動將這些值作為參數的默認初始值）。值作為參數的默認初始值）。 估計非線性模型估計非線性模型（1 1）命令方式）命令方式在命令窗口直接鍵入在命令窗口直接鍵入:NLS :NLS 非線性函數表達式非線性函數表達式例如，對于非線性模型例如，對于非線性模型 ，其估計命令格式，其估計

19、命令格式為為YAK LNLS y=c(1)*kc(2)*Lc(3)其中，其中， c(1)c(1)、c(2)c(2)、c(3)c(3)表示待估計的三個參數表示待估計的三個參數A A、 、 ?；剀嚭?，系統會自動給出迭代估計的參?；剀嚭?，系統會自動給出迭代估計的參數估計值。數估計值。在數組窗口，點擊在數組窗口，點擊ProcsMake EquationProcsMake Equation，在彈出，在彈出的方程描述對話框中，輸入非線性函數表達式：的方程描述對話框中，輸入非線性函數表達式：（2 2）菜單方式）菜單方式選擇估計方法為最小二乘法后，點擊選擇估計方法為最小二乘法后，點擊OKOK按鈕。按鈕。y=c(1)*kc(2)*Lc(3)幾點說明：幾點說明：（1）在方程描述