1、 n n階線性代數方程組的一般形式為階線性代數方程組的一般形式為：11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb第三章第三章 線性方程組的數值解法線性方程組的數值解法問題的提出問題的提出：寫成矩陣寫成矩陣- -向量形式向量形式 bAx 若矩陣若矩陣 非奇異，即非奇異，即 的行列式的行列式 ，根據，根據克萊姆（克萊姆（Gramer）法則，方程組有唯一）法則，方程組有唯一 解：解：AA0det ADDxii ni, 2 , 1 nnnnaaaaA1111 nxxx1 nbbb1Axb其中其中 為系數矩陣，為系數矩陣，

2、為解向量，為解向量， 為右端常向量。為右端常向量。其中其中 表示表示 ， 表示表示 中第中第 列換成列換成 后后所得的行列式。所得的行列式。ibiDDAdetD 當階數較高時用這種方法求解是不現實的。當階數較高時用這種方法求解是不現實的。 階階行列式有行列式有 項，每項又是項，每項又是 個數的乘積。對較大個數的乘積。對較大的的 ，其，其計算量之大計算量之大，是一般計算機難以完成的。，是一般計算機難以完成的。而且，這時的而且，這時的舍入誤差舍入誤差對計算結果的影響也較大。對計算結果的影響也較大。n!nnn例如，求解一個例如，求解一個20階線性方程組，用加減消元法需階線性方程組，用加減消元法需30

3、00次乘法運算，而用克萊姆法則要進行次乘法運算，而用克萊姆法則要進行 次次運算，如用每秒運算，如用每秒1億次乘法運算的計算機要億次乘法運算的計算機要30萬年。萬年。209.7 10線性代數方程組的計算機解法常用方法：線性代數方程組的計算機解法常用方法：直接法直接法 迭代法迭代法消去法消去法矩陣三角分解法矩陣三角分解法 直接法直接法：經過有限步算術運算，可求得方程組：經過有限步算術運算，可求得方程組的精確解的方法（若在計算過程中沒有舍入誤差）的精確解的方法（若在計算過程中沒有舍入誤差） 迭代法迭代法：用某種極限過程去逐步逼近線性方程：用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法組精確解的方法

4、迭代法具有占存儲單元少，程序設計簡單，原迭代法具有占存儲單元少，程序設計簡單，原始系數矩陣在迭代過程中不變等優點，但存在收始系數矩陣在迭代過程中不變等優點，但存在收斂性及收斂速度等問題斂性及收斂速度等問題3.1 消去法消去法消去法的基本思想：消去法的基本思想：是通過將一個方程乘或除以是通過將一個方程乘或除以某個常數，以及將兩個方程相加減，逐步減少方程中某個常數，以及將兩個方程相加減，逐步減少方程中的變元數，最終使每個方程只含一個變元，從而得出的變元數，最終使每個方程只含一個變元，從而得出所求的解。所求的解。消去法常用方法：消去法常用方法：高斯消去法高斯消去法選主元消去法選主元消去法高斯約旦消去

5、法高斯約旦消去法消去法消去法3.1 高斯消去法高斯消去法 按自然順序進行的消元法按自然順序進行的消元法例例 1 用高斯消元法求解方程組用高斯消元法求解方程組 12312312328214613225xxxxxxxxx解解 用第一個方程削去后兩個方程中的用第一個方程削去后兩個方程中的 得得 ,1x 9962214282232321xxxxxx再用第再用第2個方程消去第個方程消去第3個方程中的個方程中的 得得,2x 18962214282332321xxxxxx最后，經過回代求得原方程組的解為最后，經過回代求得原方程組的解為 52281412262918321323 xxxxxx例例 2 解方程組

6、解方程組 02115472321321321xxxxxxxxx解：解：消元消元 0121111547112 3235 . 2rr 620033307112 5 . 35 . 05 . 203330711231212124rrrr 回代回代得得, 3263 x, 233332 xx127321 xxx消去法消去法 1ijabAx 11bxA 1A 1b 1ibnji, 2 , 1, 1 0111 a niaamii, 3 , 2,111111 i1im n1x 22bxA 22211212222222211112111nnnnnnnbbbxxxaaaaaaa njibmbbamaaiiijiij

7、ij, 3 , 2,1111211112 k 12 nk1 k kkbxA knnknkkknkkknnkaaaaaaaaaaA2222322211112111 knkkkbbbbb2211 0 kkka nkiaamkkkkikik, 1, 0 kkka1 n nnbxA nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa2211212222211112111 0 nnna11,xxxnn 1 , 2 , 1 ,1 niaxabxabxiiinijjiijiiinnnnnn nkakkk, 2 , 1, 0 kkka1, 2 , 1 nk nkkjibmbbamaaaamkkikkikikkjikki

8、jkijkkkkikik, 2, 1, 11)()( 1 , 2 , 1 ,1 niaxabxabxiiinijjiijiiinnnnnnnkkiaaaikkkik, 2, 1,nkkjibbabaaaaijikiijkjikij, 2, 1, 1 , 2 , 1 1 nibaxabbabiiinijjijinnnnnbbb,21nxxx,21定理定理2 Ax=b 可用高可用高 斯消元法求解的充分必要條件是：斯消元法求解的充分必要條件是：系數矩陣系數矩陣 A 的各階順序主子式均不為零。的各階順序主子式均不為零。高斯消元法的條件高斯消元法的條件定理定理1 如果在消元過程中如果在消元過程中A的主元

9、素的主元素 (k=1,2,n) ,則可通過高斯消元法求出則可通過高斯消元法求出Ax=b 的解。的解。0)( kkka1110Da11110,2,3,kkkkkaaDknaa 引理引理 A的主元素的主元素 (k=1,2,n) 的充要條件的充要條件是矩陣是矩陣A的各階的各階順序主子式順序主子式不為零，即不為零，即0)( kkka33n高斯消去法的計算量高斯消去法的計算量無法進行；無法進行；或或| akk(k) |1時，帶來舍入誤差的擴散。時，帶來舍入誤差的擴散。如何處理？如何處理？ 0)( kkka例例 1 解方程組解方程組 0000. 10000. 10000. 10001. 20000. 30

10、003. 02121xxxx 0 .66660 .99990001. 20000. 30003. 0221xxx解法一解法一 用高斯消元法求解（取用高斯消元法求解（取5位有效數字），用第位有效數字），用第 一個方程消去第二個方程中的一個方程消去第二個方程中的,1x3.1.2 高斯主元素消元法高斯主元素消元法因而再回代，得因而再回代，得 216666.00.66679999.02.00013.00000.666700.0003xx而精確值為而精確值為 顯然該解與精確值相差顯然該解與精確值相差太遠，為了控制誤差，采用另一種消元過程。太遠，為了控制誤差，采用另一種消元過程。32,3121 xx解法二

11、解法二 為了避免絕對值很小的元素作為主元，先交為了避免絕對值很小的元素作為主元，先交換兩個方程，得到換兩個方程，得到 0001. 20000. 30003. 00000. 10000. 10000. 12121xxxx消去第二個方程中的消去第二個方程中的 得得 ,1x 9998. 19997. 20000. 10000. 10000. 1221xxx再回代，解得再回代，解得 3333. 06667. 00000. 10000. 16667. 09997. 29998. 112 xx結果與準確解非常接近。這個例子告訴我們，在采用高結果與準確解非常接近。這個例子告訴我們，在采用高斯消元法解方程組時

12、，用做除法的小主元素可能使舍入斯消元法解方程組時，用做除法的小主元素可能使舍入誤差增加，誤差增加，主元素的絕對值越小，則舍入誤差影響越大主元素的絕對值越小，則舍入誤差影響越大。固應避免采用絕對值小的主元素，同時選主元素盡量的固應避免采用絕對值小的主元素，同時選主元素盡量的大，可使該法具有較好的數值穩定性。大，可使該法具有較好的數值穩定性。列主元素消元法列主元素消元法kkakka例：例：求解線性方程組求解線性方程組 000. 3000. 2000. 1643. 5072. 1000. 2623. 4712. 3000. 1000. 3000. 2001. 0321xxx解法一：用列主元素消元法，

13、方程組增廣矩陣為：解法一：用列主元素消元法，方程組增廣矩陣為： 000. 3643. 5072. 1000. 2000. 2623. 4712. 3000. 1000. 1000. 3000. 2001. 0A 002. 1003. 3001. 20500. 0801. 1176. 30000. 3643. 5072. 1000. 2000. 1000. 3000. 2001. 0000. 2623. 4712. 3000. 1000. 3643. 5072. 1000. 2 687. 0868. 100500. 0801. 1176. 30000. 3643. 5072. 1000. 2回代

14、計算解為回代計算解為 Tx3678. 0 ,05113. 0,4990. 0* 全選主元素消元法全選主元素消元法 回代計算得回代計算得0.367, 0.0511, 0.491Ty從而原方程的解為從而原方程的解為 Tx367. 0 ,051. 0,491. 0 3.1.3 3.1.3 高斯高斯- -約當約當(Jordan)(Jordan)消去法消去法 消元時將主元上方元素也消為消元時將主元上方元素也消為0 0，最后，最后系數矩陣化為對角矩陣。這種算法只有消系數矩陣化為對角矩陣。這種算法只有消元，沒有回代，這種方法稱做高斯元，沒有回代，這種方法稱做高斯- -約當約當(Jordan)(Jordan)

15、消去法。消去法。 例 用高斯-約當消去法解下列線性方程組 123123123223347712457xxxxxxxxx 解解 對線性方程組第 1 次消元，0211a，確定乘數 212111422ama，313111212ama ) 1 ()3() 1 ()2(3121mm12312312322330350684xxxxxxxxx 第2次 消 元 ，2230a， 確 定 乘 數12122221.53ama，323222623ama，有 1232(1)(2)(3)(2)mm12323371020330350066xxxxxx 第 3 次消元，3360a，確定乘數1313337/36ama，2323

16、3316ama有1323(1)(3)(2)(3)mm12323200403060066xxxxx 解出 1232,2,1xxx 比較而言比較而言,Gauss,Gauss順序消去法條件苛刻順序消去法條件苛刻, ,且且數值不穩定數值不穩定; Gauss; Gauss全主元消去法工作量偏大，全主元消去法工作量偏大，算法復雜；對于算法復雜；對于Gauss-JordanGauss-Jordan消去法形式上消去法形式上比其他消元法簡單，且無回代求解，但計算比其他消元法簡單，且無回代求解，但計算量大。因此從算法優化的角度考慮，量大。因此從算法優化的角度考慮， GaussGauss列主元消去法比較好。列主元消

17、去法比較好。消去法小結消去法小結3.2 矩陣三角分解法矩陣三角分解法nbAx n1 nnbxA LULUA ALUALUUALALU 1112121nnlll 1112112nnuuu 1131313111311121212111211111232322131211323121333231232221131211)3 , 2 , 1(11113,ualluaualluajauuakuuuuuulllaaaaaaaaanULjjjj得由；得由時：為例的各元素，以此分解在于如何算出杜里特爾分解杜里特爾分解 A=LU)(3223321331333333233213313322123132322332

18、12313213212323231321231221222222122122ululauuululakuulalululaulauuulaulauuulak得時：由得由；得由；得時：杜里特爾分解杜里特爾分解杜里特爾分解杜里特爾分解(一般算法一般算法)niulaniuaiiii, 3 , 2, 2 , 1,111111 由矩陣乘法規則由矩陣乘法規則LUA nnnnnnnnnnirrinnuuuuuulllaaaaaaaaaaa222112112121212222111211111由此可得由此可得 的第一行元素和的第一行元素和 的第一列元素的第一列元素niualniauiiii, 3 , 2, 2

19、 , 1,111111 UL 當已得出當已得出 的前的前 行元素和行元素和 的前的前 列元素，則對于列元素，則對于 ，由，由rruirlrkkruiklnkkruiklirariurkkiurklnkkiurklria 111111nrri, 1, U1 rL1 r又可得計算又可得計算 的第的第 行元素和行元素和 的第的第 列元列元素的公式素的公式: :nrrirrurkkruiklirairlnrrirkkiurklriariu, 2, 1 ,11, 1, ,11 UrLr例例 求矩陣求矩陣2144416512A 的的LU分解。分解。 u11=2 u12=1 u13=4 1213532 l2

20、2421 l32631 l212422u2312 47u 7)7(1431233u所以所以2141002144412100276512311007 700720412113012001ULa11 a12 a1k a1n u11 u12 u1k u1n 第第1框框 a21 a22 a2k a2n l21 u22 u2k u2n 第第2框框 ak1 ak2 akk akn lk1 lk2 ukk ukn 第第k框框 an1 an2 ank ann ln1 ln2 lnk unn 第第n框框 按下圖所示順序逐框進行按下圖所示順序逐框進行,先求先求 u 后求后求 l。矩陣三角分解算法總結矩陣三角分解算

21、法總結： 有了矩陣有了矩陣 A A 的的LULU分解計算公式，當求解線性方分解計算公式，當求解線性方程組程組 時，等價于求解時，等價于求解 。這時可歸結。這時可歸結為利用遞推計算相繼求解兩個三角形方程組（系數為利用遞推計算相繼求解兩個三角形方程組（系數矩陣為三角矩陣）。矩陣為三角矩陣）。用順代，用順代，由由 求出求出 ，再利用再利用回代，回代，由由 求出求出 。bAx bLUx bLy yUx xy3.2.2 解線性方程組的三角分解法解線性方程組的三角分解法用用杜里特爾杜里特爾三角分解法解線性方程組三角分解法解線性方程組 的的計算方法計算方法：bAx 對于對于 ，計算，計算 和和 。求解求解

22、，即計算，即計算求解求解 ，即計算。，即計算。nr, 3 , 2 nrriuri, 1, nrrilir, 2, 1, bLy niylbybyikkikii, 3 , 2,1111 yUx 1 , 2 , 1,1 niuxuyxuyxiinikkikiinnnn計算計算 和和 。niui, 2 , 1,1 nili, 3 , 2,1 30191063619134652. 1321xxx方程組方程組試用杜里特爾分解求解試用杜里特爾分解求解例例。，；，令、分解解：326246521101001636191346521311121131211332322131211323121luluuukuuu

23、uuulllALULUAululaukuulalulauulauk473652143121434/ )(7)6(21935213223321331333322123132321321232312212222所以時：，時：TyyyyyyybLy)4 , 1,10(43034, 12019,1030191014312112321321即得）解（、解方程組。所以方程組的解為所以方程組的解為解得：解得：解解TxxxxxxxyUx)1 , 2 , 3(3, 2,2(123321 其它其它矩陣分解法矩陣分解法求解特殊的線性方程組：求解特殊的線性方程組：平方根法：主要用于求解平方根

24、法：主要用于求解正定矩陣正定矩陣的線性方程組的線性方程組追趕法：主要用于求解特殊矩陣的三對角方程組追趕法：主要用于求解特殊矩陣的三對角方程組 見書見書 P78P87用用LU LU 直接分解的方法求解線性方程組的計算量直接分解的方法求解線性方程組的計算量為為 ，和高斯消去法的計算量的數量級基本相同，和高斯消去法的計算量的數量級基本相同。33n當方程組系數矩陣不變，只有右側向量當方程組系數矩陣不變，只有右側向量b b變化時，變化時，用用LULU分解法比消去法速度快。因為右側向量分解法比消去法速度快。因為右側向量b b的的改變改變不影響不影響LULU的變化。的變化。高斯消去法和高斯消去法和LU分解法

25、是等價的，其關鍵是把一分解法是等價的，其關鍵是把一般方程組變為三角方程組，只是實現途徑不同般方程組變為三角方程組，只是實現途徑不同。3.4 向量與矩陣的范數向量與矩陣的范數 問題的提出問題的提出 向量范數向量范數概念是三維歐氏空間中向量長度概念的概念是三維歐氏空間中向量長度概念的推廣推廣, ,在數值分析中起著重要作用在數值分析中起著重要作用. . 為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代法的收斂性，我們需要對法的收斂性，我們需要對 （n n維向量空間）中向維向量空間）中向量及量及 （ 維矩陣空間）中矩陣的維矩陣空間）中矩陣的“大小大小”及及“距離距離”引

26、進某種度量引進某種度量向量與矩陣范數向量與矩陣范數的概念的概念.nRnn nnR 平面向量平面向量 x 大小：用大小：用 距離距離 反映。反映。2221xxx 3.4 向量與矩陣的范數向量與矩陣的范數 引入范數的目的：引入范數的目的：實數大小：用絕對值反實數大小：用絕對值反映映復數大小：用模反映復數大小：用模反映高維空間向量高維空間向量 x “大小大小” 用用 反映？反映？ 將將度量長度數值度量長度數值的計算方法引入高維空間，的計算方法引入高維空間，用來反映空間向量的大小，就是用來反映空間向量的大小，就是范數范數的概念的概念。 非負性非負性 |x| 0 ，等號僅當，等號僅當 x=0 時成立；時

27、成立； 齊次性齊次性 對任何實數對任何實數 , | x|=| | |x|； 三角不等式三角不等式 |x+y| |x| +|y| ； 則稱則稱 |x| 為向量為向量 x 的范數。的范數。定義定義 對任意對任意 n 維向量維向量 x Rn，若對應非負實數，若對應非負實數 |x| ， 滿滿足足 3.4.1 向量的范數向量的范數 由定義可知，向量由定義可知，向量 的范數的范數 是按一定規律是按一定規律與與 對應的實數，該實數的值沒有確定，但只要滿對應的實數，該實數的值沒有確定，但只要滿足這三個條件，這個實數就是向量足這三個條件，這個實數就是向量 的一種范數。的一種范數。因此定義中的三個條件稱為因此定義

28、中的三個條件稱為范數公理范數公理。xxxx當當 時時，0 x1 xx向量范數向量范數 有如下性質有如下性質x證：利用條件，有證：利用條件，有11 xxxxxx yxyx yyxyyxx yxyx 證：證：它們分別叫做向量的它們分別叫做向量的 -范數范數、1-范數范數、2-范數范數、p -范數（范數（0p+ ）。 p -范數是以上范數的統一表范數是以上范數的統一表達形式。達形式。常用的向量范數常用的向量范數: 滿足定義的范數不是唯一的滿足定義的范數不是唯一的.inixx 1maxnxxxx 211222212nxxxx ppnpppxxxx121)( 設設 x = ( x1 , x2 , , x

29、n)T ，常用的向量范數有，常用的向量范數有 對于對于范數，有范數，有當當 時，有時，有 ， 只有當只有當 時，才有時，才有 對任意實數對任意實數 ，因為，因為 ，所以，所以 。對任意向量對任意向量 ，有，有 0 x0max1 inixx0 x0 x Tnxxxx ,21 xxxxiiini maxmax1nRy 111maxmaxmaxmaxiiiiiii nii ni nxyxyxyxyxy iixxmax 例：例：范數的證明范數的證明可以證明這幾種范數滿足下述關系可以證明這幾種范數滿足下述關系 xnxxxnxx21事實上，對事實上，對 Rn 上任意兩種向量范數上任意兩種向量范數 |x|

30、, |x| ，都存在與，都存在與 x 無關的正常數無關的正常數 c1 , c2 使使 這種性質稱為這種性質稱為向量范數的等價性向量范數的等價性。 xcxxc21 定理：定理：設設Rn上的任意兩種范數上的任意兩種范數|x|a , |x|b , 都存都存在與在與x無關的正常數無關的正常數c1,c2使得使得12abac xxcx|x|a , |x|bRn設給定設給定 中的向量序列中的向量序列 ，其中其中 若對任何若對任何 ，都有，都有，則向量則向量 稱為向量序列稱為向量序列 的極限，的極限，或者說向量序列收斂于向量或者說向量序列收斂于向量 ，記為：，記為：nR kx Tknkkkxxxx,21 ni

31、i, 2 , 1 *limikixx Tnxxxx*2*1*, kx*x *limxxkk 向量收斂的定義向量收斂的定義：向量序列收斂性定理：向量序列收斂性定理： 向量序列向量序列收斂收斂 ( (即即 ) )的充要條件的充要條件是是 ，其中，其中 為向量的任一種范數。為向量的任一種范數。 *limxxkk 0lim* xxkk 按按不同方式規定的范數不同方式規定的范數, ,其值一般不同。但在各種其值一般不同。但在各種范數下考慮向量序列范數下考慮向量序列收斂性的結論是一致的收斂性的結論是一致的。即向量。即向量序列如對某一種范數收斂則對其它范數也收斂，且有序列如對某一種范數收斂則對其它范數也收斂，

32、且有相同的極限。這樣，在研究某一具體問題時，可以選相同的極限。這樣，在研究某一具體問題時，可以選擇一較易簡單的范數。擇一較易簡單的范數。矩陣范數是用于定義矩陣矩陣范數是用于定義矩陣“大小大小”的量。的量。由于在大多數與估計誤差有關的問題中由于在大多數與估計誤差有關的問題中,矩矩陣和向量的乘積陣和向量的乘積經常出現經常出現,所以希望引進一種矩所以希望引進一種矩陣的范數陣的范數,它與向量范數有某種關系。它與向量范數有某種關系。3.4.2 矩陣的范數矩陣的范數 定義定義：設：設 ， ，定義矩陣，定義矩陣 的范數的范數 對于每一種向量范數對于每一種向量范數 ，相應的矩陣范數，相應的矩陣范數 為為其中其

33、中 是指是指 的最大可能值。即遍取所有不為的最大可能值。即遍取所有不為0 0的的 ，比值比值 中最大的中最大的，定義，定義為為 的矩陣范數的矩陣范數。 nnRA nRx AxAxA0 x maxpxppxpxAxA0max pAmaxxAxxxAxA矩陣范數的性質矩陣范數的性質： , ,且僅當且僅當 時，時， ； 對任意實數對任意實數 ， ； 對同維方陣對同維方陣 ，有，有: : 0 A0 A0 A AA B ,BABA BAAB 相容性條件：相容性條件： 由矩陣范數的定義可直接得到由矩陣范數的定義可直接得到 ，即有，即有 ，稱為，稱為相容性條件。即相容性條件。即所給的所給的矩陣范數與向量范數

34、是相容的。矩陣范數與向量范數是相容的。xAxA xAAx 證明證明 p92矩陣范數與向量范數的關系矩陣范數與向量范數的關系： 矩陣范數與向量范數密切相關，向量范數有相應矩陣范數與向量范數密切相關，向量范數有相應的矩陣范數，即：的矩陣范數，即： （如（如 ）pxpAxAp1max , 2 , 1pxxAxAxAxx00maxmax AxxAxxA 矩陣范數與向量范數的關系矩陣范數與向量范數的關系： 矩陣范數與向量范數密切相關，向量范數有相應矩陣范數與向量范數密切相關，向量范數有相應的矩陣范數，即：的矩陣范數，即： （如（如 ）pxpAxAp1max , 2 , 1p常用的矩陣范數有（矩陣范數的求

35、取）常用的矩陣范數有（矩陣范數的求取）)(maxmaxmax211111AAAaAaATniijnjnjijni （矩矩陣陣的的行行范范數數）（矩矩陣陣的的列列范范數數）)(maxmaxmax211111AAAaAaATniijnjnjijni （矩矩陣陣的的行行范范數數）（矩矩陣陣的的列列范范數數）它們分別叫做矩陣的它們分別叫做矩陣的 -范數范數、1-范數、譜范數范數、譜范數。 max()TA ATA Amax2()TAA A（譜范數）（譜范數） 表示表示的最大特征值。的最大特征值。例例4 設設 4321,5, 3AxT則則 TAx11, 7 求相應各范數。求相應各范數。解解11751868

36、111 AxAxAxAx35114818111 xAAxxAAx3.5 3.5 方程組的性態方程組的性態 前幾節討論了求解線性代數方程組的直接法前幾節討論了求解線性代數方程組的直接法. .給出給出系數矩陣系數矩陣A A和自由項和自由項b,b,求未知向量求未知向量x.x.實踐中實踐中,A,A和和b b往往往是實驗觀測數據或是計算所得結果往是實驗觀測數據或是計算所得結果. .因此我們處理因此我們處理的線性方程組的線性方程組 實際上變成了實際上變成了bAx bbxxAA )(的關系怎樣的關系怎樣, ,是人們十分關心的問題是人們十分關心的問題. .xbA 和和3.5.1 3.5.1 方程組的性態和矩陣

37、的條件數方程組的性態和矩陣的條件數例例 1 解方程組解方程組 其中其中,bAx 615141514131413121A 現用絕對精確的計算（即不帶任何舍入誤差的計算）現用絕對精確的計算（即不帶任何舍入誤差的計算） 求解，可以看出求解，可以看出11232123312372240180240900720180720600 xbbbxbbbxbbb 此時，我們發現對于兩組不同的自由項此時，我們發現對于兩組不同的自由項 TTbbbbbbbb 321321, 600720180720900240180240721A它的差只有它的差只有 ,Tbbb 而所得解而所得解 與與 之差卻是之差卻是xx Txxx

38、1500,1860,492 兩組不同的右端其分量之差不過是兩組不同的右端其分量之差不過是 可是解的差高可是解的差高 達達 之之1860倍像這樣的方程組或矩陣倍像這樣的方程組或矩陣A 就叫做病態的就叫做病態的 , 定義定義1 若方程組若方程組 Ax=b 的系數矩陣的系數矩陣 A 或或右端向量右端向量 b 的微小變化（小擾動）引起解產生巨大變化的微小變化（小擾動）引起解產生巨大變化,則稱則稱此方程組為此方程組為病態方程組病態方程組; A稱為稱為病態矩陣病態矩陣, 否則稱為否則稱為良態方程組良態方程組, A 稱為稱為良態矩陣良態矩陣。 定理定理：設：設 非奇異，非奇異， ，且且 則則 0 bAxA

39、bbxxA bbAAxx 1 為了定量地刻劃方程組的為了定量地刻劃方程組的“病態病態”程度，下程度，下面就一般方程組面就一般方程組 進行討論。首先考察右進行討論。首先考察右端項端項b b 的擾動對解的影響的擾動對解的影響。bAx 證證： 設設x為為Ax=b的準確解，當方程組右端有小擾動的準確解，當方程組右端有小擾動 b而而A準確時準確時,受擾解為受擾解為 x + x , 即即 A(x + x)=b+ b 因為因為 Ax=b 所以所以 x=A-1 b 又由又由xAAxb 得得bAx 1因此因此bAbAx 11 bbAAxx 1bAx 1 即：即：此不等式表明此不等式表明,解的相對誤差不超過解的相

40、對誤差不超過b的相對誤差的的相對誤差的 |A| |A-1| 倍倍.bbAAxx 1 bbAAAAAAAAxx111若系數矩陣若系數矩陣A也有小擾動也有小擾動 A ,則還可進一步導出更一則還可進一步導出更一般的誤差估計式般的誤差估計式定義定義2 設設A 為非奇異矩陣，稱數為非奇異矩陣，稱數cond(A)= |A| |A-1| 為為A 矩陣的條件數矩陣的條件數矩陣的條件數與范數有關，通常使用的條件數有矩陣的條件數與范數有關，通常使用的條件數有 AAAAAAAcondAAAcondTTminmax21221 所以，所以，Cond(A)越大越大,A的病態程度越嚴重。的病態程度越嚴重。 對任何非奇異矩陣

41、對任何非奇異矩陣A，都有，都有 。 1 Acond不難證明，條件數具有如下不難證明，條件數具有如下性質性質例例 求矩陣求矩陣A 的條件數，其中的條件數，其中 615141514131413121A解：解：1213max3131 jijiaA 600720180720900240180240721A于是于是 從而從而,18601 A 20151 AAAcond所以所以A是病態的是病態的 由于計算條件數涉及到計算逆矩陣，很麻煩。由于計算條件數涉及到計算逆矩陣，很麻煩。因此實際計算中一般通過可能產生病態的現象來判斷。因此實際計算中一般通過可能產生病態的現象來判斷。 若在消元過程中出現小主元，則若在消

42、元過程中出現小主元，則 A A可能是病態可能是病態矩陣。但病態矩陣未必一定有這種小主元。矩陣。但病態矩陣未必一定有這種小主元。 若解方程組時出現很大的解，則若解方程組時出現很大的解，則A A可能是病態矩可能是病態矩陣。但病態矩陣也可能有一個小解。陣。但病態矩陣也可能有一個小解。 從矩陣本身看，若元素間數量級相差很大且無從矩陣本身看，若元素間數量級相差很大且無一定規律；或者矩陣的某些行或列近似相關，這樣的一定規律；或者矩陣的某些行或列近似相關，這樣的矩陣則有可能是病態矩陣。矩陣則有可能是病態矩陣。3.5.2 直接法的精度分析直接法的精度分析定理定理：設：設 是方程組是方程組 的一個近似解，的一個

43、近似解，其精確解記為其精確解記為 ， 為為 的余量，則有的余量，則有xbAx *xrxbrAAxxx1* 求得方程組求得方程組 的一個近似解的一個近似解 后，希望能判后，希望能判斷其精度。檢驗精度的一個簡單辦法是將近似解斷其精度。檢驗精度的一個簡單辦法是將近似解再回代到原方程組去求其余量再回代到原方程組去求其余量 。如果。如果 很很小，就認為解小，就認為解 是相當準確的。是相當準確的。bAx xxAbr rxx該定理給出了方程組近似解的相對誤差界。該定理給出了方程組近似解的相對誤差界。即相對誤差的事后估計即相對誤差的事后估計證：證：由于由于 ，而，而 ，故有，故有 bAx *rxxA *bAx

44、xAAxb *1rArAxx11* 所以所以brAAxxx1* 生成向量序列生成向量序列 x(k) ，若，若 xxkk)(lim稱為迭代格式（稱為迭代格式（1）的）的迭代矩陣。迭代矩陣。則有則有x* =Bx*+f ， 即即x*為原方程組為原方程組Ax=b 的解，的解，B迭代法基本思想迭代法基本思想：將方程組將方程組 Ax=b ( |A| 0 ) 轉化為與其等價的方程組轉化為與其等價的方程組x = Bx+fx(k+1) = Bx(k) + f （k=0,1,2,) (1)取初始向量取初始向量 x(0)按下列按下列迭代格式迭代格式雅可比迭代法雅可比迭代法 對線性方程組可以建立不同的迭代格式。下面對線性方程組可以建立不同的迭代格式。下面介紹構造迭代