1、一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)三、小結三、小結定定義義 設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有 定定義義，當當y固固定定在在0y而而x在在0 x處處有有增增量量x 時時， 相相應應地地函函數(shù)數(shù)有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，則則稱稱 此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx處處對對x的的 偏偏導導數(shù)數(shù)，記記為為 一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法00yyxxxz ，00yyxxx

2、f ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. . 函數(shù)對函數(shù)對 x 的偏增量的偏增量同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導的偏導數(shù)為數(shù)為 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為 00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. . .),(),(lim0000000 xyxfyxxfxfxyyxx 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點點),(yx處處對對x的的 偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導導數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)， 它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù))

3、,(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導導數(shù)數(shù)，記記作作 xz ，xf ，xz 或或 ),(yxfx. . 同同理理可可定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量y的的偏偏導導數(shù)數(shù)，記記作作 yz ，yf ，yz 或或 ),(yxfy. . 偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)),(zyxfu 例如，例如，處，處，在在 ),( zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 由偏導數(shù)的定義可知，偏導數(shù)本質(zhì)上是一

4、元函數(shù)的由偏導數(shù)的定義可知，偏導數(shù)本質(zhì)上是一元函數(shù)的微分法問題。微分法問題。時，時，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自變量暫時看成之外的其他自變量暫時看成常量，對常量，對 x 求導數(shù)即可。求導數(shù)即可。時，時，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自變量暫時看成之外的其他自變量暫時看成常量，對常量，對 y 求導數(shù)即可。求導數(shù)即可。其它情況類似。其它情況類似。例例 1 1 求求223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導數(shù)處的偏導數(shù) 解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 例例

5、2 2 求求yxz2sin2 的的偏偏導導數(shù)數(shù) 解解 xz;2sin2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 例例 3 3 設設yxz )1, 0( xx，求求證證 zyzxxzyx2ln1 . . 證證 xz,1 yyx yz,lnxxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結論成立原結論成立例例 4 4 設設22arcsinyxxz ，求求xz ，yz . . 解解 xz322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy xyxxyxx 2222211 yz32222)()(|yxxyyyx yyx

6、x1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在yyxxyxx 2222211 例例 5 5 已已知知理理想想氣氣體體的的狀狀態(tài)態(tài)方方程程RTpV （R為為常常 數(shù)數(shù)） ，求求證證：1 pTTVVp. . 證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏導數(shù)偏導數(shù)xu 是一個整體記號，不能拆分是一個整體記號，不能拆分; ; 有關偏導數(shù)的幾點說明：有關偏導數(shù)的幾點說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；例例 6 6（P17） 0 , 0 , 0 ,),(222222y

7、xyxyxxyyxf。 求求 ).,( ),(yxfyxfyx 解解時時，當當 0 22 yx時時，且且即即 0 0 yxxxyxxyyxf 22),( 22222)(2)(yxxyxyxy ,)()(22222yxxyy ).,( )1(yxfx先先求求xfxfx )0 , 0()0 ,0(lim0. 000lim0 xx于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxxyyyxfx考慮點考慮點 (0, 0) 對對 x 的偏導數(shù)，的偏導數(shù)，時時，當當 0 22 yx時時，且且即即 0 0 yxyyyxxyyxf 22),( 22222)(2)(yxxyyy

8、xx ).,( )2(yxfy求求,)()(22222yxyxx yfyfy )0 , 0()0 , 0(lim0. 000lim0 yy于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxyxxyxfy考慮點考慮點 (0, 0) 對對 x 的偏導數(shù)，的偏導數(shù)，例例 7 7 設設 222),(zyxzyxr 。求。求 ,xr .zr 解解 xry、z 看成常量看成常量 22222zyxx 222zyxx .rx zr22222zyxz 222zyxz .rz x、y 看成常量看成常量 、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系例如，函數(shù)例如，函數(shù) . 0

9、, 0 , 0,),(222222yxyxyxxyyxf, , 依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff. . 但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). .偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .一元函數(shù)中在某點可導一元函數(shù)中在某點可導多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在連續(xù)。連續(xù)。連續(xù)。連續(xù)。4 4、偏導數(shù)的幾何意義、偏導數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設設yxfzyxfyxM 如圖如圖xTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz 偏偏導導數(shù)數(shù)),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所

10、所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線xTM0對對x軸軸的的斜斜率率. . 偏偏導導數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線yTM0對對y軸軸的的斜斜率率. . 幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的二階偏導數(shù)為的二階偏導數(shù)為 混合偏導混合偏導二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)高階偏導數(shù). .),(3322yxfx

11、zxzxxxx ),(2322yxfxyzyzxyyx ),(32yxfyyxzyxzyxyy .111xyzyzxnnnn 同同樣樣可可以以定定義義三三階階、四四階階以以及及 n 階階偏偏導導數(shù)數(shù)： 例例 8 8 設設 13323 xyxyyxz， 求求 22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及及33xz . . 解解,33322yyyx ;9223xxyyx 22xz,62xy xxyxyyxxz13323 yxyxyyxyz13323 xyyyx 32233 yxz2, 19622 yyx yyyyx 32233 22yz;1823xyx 33xz,62y xyz2. 19622

12、 yyx 22xz,62xy xyyyx 32233 yxz2, 19622 yyx yyyyx 32233 xxxyyx 2392 yxxyyx 2392 xxy26例例 9 9 設設byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導導數(shù)數(shù). . 解解;sinbybeax 22xu 22yu yxu2 xyu2,cosbyaeax xaxbyexucos yaxbyeyucos ,cos2byeaax xaxbyaecos ,cos2byebax yaxbybesin ,sinbyabeax yaxbyaecos .sinbyabeax xaxbybesin 定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz

13、的的兩兩個個二二階階混混合合偏偏導導數(shù)數(shù) xyz 2 及及 yxz 2 在在區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該 區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩個個二二階階混混合合偏偏導導數(shù)數(shù)必必相相等等 問題：問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？例例 1010 驗證函數(shù)驗證函數(shù)22ln),(yxyxu 滿足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯 . 0 2222 yuxu方方程程解解),ln(21ln2222yxyxu 22221yxy ,22yxx ,22yxy ,)(22222yxxy 22221yxx xyxxu )ln(2122 yyxyu )ln(2122 22222)(2)(yxxxyx 22xuxyxx 22 22222)(2)(yxyyyx 22222222222222)()( yxyxyxxyyuxu 于于是是，. 0 .)(22222yxyx ,)(22222yxxy 22222)(2)(yxxxyx 22xuxyxx 22 22yuyyxy 22 偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限）( 注意：混合偏導數(shù)相等的條