1、第一章 函數、極限與連續由于社會和科學發展的需要，到了17世紀，對物體運動的研究成為自然科學的中心問題與之相適應，數學在經歷了兩千多年的發展之后進入了一個被稱為“高等數學時期”的新時代,這一時代集中的特點是超越了希臘數學傳統的觀點，認識到“數”的研究比“形”更重要，以 積極的態度開展對“無限”的研究，由常量數學發展為變量數學，微積分的創立更是這一時期 最突出的成就之一.微積分研究的基本對象是定義在實數集上的函數極限是研究函數的一種基本方法，而連續性則是函數的一種重要屬性.因此，本章內容是整個微積分學的基礎.本章將簡要地介紹高等數學的一些基本概念，其中重點介紹極限的概念、性 質和運算性質，以及與

2、極限概念密切相關的，并且在微積分運算中起重要作用的無窮小量的概 念和性質.此外，還給出了兩個極其重要的極限.隨后，運用極限的概念引入函數的連續性概念，它是客觀世界中廣泛存在的連續變化這一現象的數學描述第一節變量與函數、變量及其變化范圍的常用表示法在自然現象或工程技術中，常常會遇到各種各樣的量.有一種量，在考察過程中是不斷變化的，可以取得各種不同的數值，我們把這一類量叫做變量；另一類量在考察過程中保持不變， 它取同樣的數值，我們把這一類量叫做常量.變量的變花若跳躍性的，如自然數由小到大變化、數列的變化等，而更多的則是在某個范圍內變化，即該變量的取值可以是某個范圍內的任何一 個數.變量取值范圍常用

3、區間來表示.滿足不等式a x b的實數的全體組成的集合叫做閉區加記為a,b ,即a,b x | a x b;滿足不等式a x b的實數的全體組成的集合叫做開區間，記為 （a,b）,即（a,b） x |a x b；滿足不等式a x b（或a xb）的實數的全體組成的集合叫做左.（右.）汪右一（左）閉區回,記為a,b （或 a,b ）,即a,b x |a x b(或 a,b x | a x b),左開右閉區間與右開左閉區間統稱為半開半閉區間，實數a, b稱為區間的端點以上這些區間都稱為有限區回.數b a稱為區間的殳度.此外還有無限區間二 （,）x| x R,bx |x b,（,b） x |x b,

4、a, x |a x,（a, ） x |a x,等等.這里記號"”與“”分別表示“負無窮大”與“正無窮大”鄰域也是常用的一類區間設xo是一個給定的實數,B是某一正數，稱數集：x |Xo 8 x Xo 8 為點 X0 的鄰域，記作 U (X0, a .即 U X0, 8 x |Xo 8 x Xo 8 稱點X 0為該鄰域的生心，跌該鄰域的半徑.(見圖1-1).稱U (Xo, aXo為X0的去心鄰域,o記作u(X0, a,即U (x0, ) x 10 x x08“-au 耳h圖1-1 下面兩個數集U x0, 8x|x0 8 x x0 ,U x0, 8x |x0 x x06 ,o分別稱為X0的

5、左B鄰域和右B鄰域.當不需要指出鄰域的半徑時，我們用 U(x0), U(X0)分別表 o示X0的某鄰域和X0的某去心鄰域，一 U X0,8 , U X0,8分別表示X0的某左鄰域和X0的某右鄰 域.二、函數的概念在高等數學中除了考察變量的取值范圍之外，我們還要研究在同一個過程中出現的各種彼 此相互依賴的變量，例如質點的移動距離與移動時間.曲線上點的縱坐標與該點的橫坐標，彈簧的恢復力與它的形變，等等.我們關心的是變量與變量之間的相互依賴關系，最常見的一類依賴 關系，稱為函數關系.定義1設A, B是兩個實數集，如果有某一法則f ,使得對于每個數 x A,均有一個確定的數y B與之對應，則稱f是從A

6、到B內的函數.習慣上，就說y是x的函數，記作y f x (x A) 其中，X稱為自變量，y稱為因變量，f x表示函數f在x處的函數值.數集A稱為函數f的 定義域，記為D f ;數集f (A) y |y f (x),x a b 稱為函數f的值域，記作R f .從上述概念可知，通常函數是指對應法則 f，但習慣上用“y f x , x A ”表示函數， 此時應理解為“由對應關系y f x所確定的函數f ”.確定一個函數有兩個基本要素，即定義域和對應法則.如果沒有特別規定，我們約定：定義域表示使函數有意義的范圍，即自變量的取 值范圍.在實際問題中，定義域可根據函數的實際意義來確定.例如，在時間t的函數

7、f t中，t通常取非負實數.在理論研究中，若函數關系由數學公式給出，函數的定義域就是使數學表達式有 意義的自變量x的所有可以取得的值構成的數集.對應法則是函數的具體表現，它表示兩個變量 之間的一種對應關系.例如，氣溫曲線給出了氣溫與時間的對應關系，三角函數表列出了角度與 三角函數值的對應關系.因此，氣溫曲線和三角函數表表示的都是函數關系.這種用曲線和列表給出函數的方法，分別稱為圖示法和列表法.但在理論研究中，所遇到的函數多數由數學公式給出， 稱為公式法.例如，初等數學中所學過的募函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數 都是用公式法表示的函數.從幾何上看，在平面直角坐標系中，點集(x,y

8、)|y f x ,x D f 稱為函數y f x的第像,(如圖1-2所示).函數y f x的圖像通常是一條曲線，y f x也稱為這條曲線的方程.這樣，函數的一些特性常常可借助于幾何直觀來發現；相反，一些幾何問 題，有時也可借助于函數來作理論探討.現在我們舉一個具體函數的例子 .例1 求函數y4 x2解要使數學式子有意義,由此有因此函數的定義域為2,1 ,2 .圖1-21 的定義域.x 1x必須滿足x2 0,1>0 ,x>1.2,有時一個函數在其定義域的不同子集上要用不同的表達式來表示對應法則，稱這種函數為 分段函數.下面給出一些今后常用的分段函數.絕對值函數x ,x 0,x ,x

9、<0.的定義域例3D f (符號函數)，值域f 0,),如圖1-所示.sgnx1,x<0,0,x 0,1,x >0，值域R f 1,0,1,如圖1 4所示.-|圖1-4最大取整函數y x ，其中x表示不超過x的最大整數.例如，-1 , 0 0 ,3再 1,兀3等等.函數y x的定義域D f (,)，值域R f整數.一般地,y x n , n x n 1 , n 0, 1, 2,L ,如圖 1-5 所示.-2 -I 0 11 -1I F-2圖1-5 在函數的定義中，對每個 x D f ,對應的函數值y總是唯一的，這樣定義的函數稱為單 值函數.若給定一個對應法則 g ,對每個x

10、D g ,總有確定的y值與之對應，但這個 y不總 是唯一的，我們稱這種法則 g確定了一個多值函數.例如，設變量x與y之間的對應法則由方程 22一 .，.、一22 一x y 25給出，顯然，對每個x 5,5,由萬程x y 25可確te出對應的y值，當x 5 或5時，對應y 0 一個值；當x ( 5,5)時，對應的y有兩個值.所以這個方程確定了一個多 值函數.對于多值函數，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數，這樣得到的單值函數稱為多值函數的單值分支.例如，由方程x2 y2 25給出的對應法則中，附加“ y 0”的條 件，即以“x2 y2 25且y 0”作為對應法則，就可以得到一個單值分支

11、 y g1 x ,25 x2 ; 附加“ y 0”的條件，即以“ x2 y2 25且y 0”作為對應法則，就可以得到一個單值分支y g2(x)V25 x2 .在有些實際問題中，函數的自變量與因變量是通過另外一些變量才建立起它們之間的對應 關系的，如高度為一定值的圓柱體的體積與其底面圓半徑r的關系，就是通過另外一個變量其底面圓面積S建立起來的對應關系.這就得到復合函數的概念.定義2 設函數y f u的定義域為D f，函數u g x在D上有定義，且g D D f 則由下式確定的函數y f g x , x D 稱為由函數y f u與函數u g x構成的復合函數，記作y f g x f g x , x

12、 D , 它的定義域為D ,變量u稱為中間變量.這里值得注意的是，D不一定是函數u g x的定義域Dg,但D Dg.D是Dg中 所有使得g x D f的實數x的全體的集合.例如，y f u u , u g x 1 x2 .顯然， u的定義域為， ，而D f (0,).因此，D= 1,1，而此時R(f g) 0,1 .兩個函數的復合也可推廣到多個函數復合的情形例如，y xu a"ogax a 0且a 1可看成由指數函數 y au與u gg ax復合而成.又形 如y u(x)v(x) av(x)logau(x) u x >0 a 0且a 1的函數稱為騫指函數它可看成由y aw與w

13、v(x)log a u(x)復合而成.而 y Jsinx2可看成由2 一八一一u sin v , v x復合而成.例5設f (x) W x是通過兩個中間變量w和u復合而成的復合函數，因為xxriX1-1x2x-x2x1_x 3x所以3x1,定義3設給定函數關系式y f x中唯一確定的x:,其值域為值與之對應，.如果對于R f中的每一個y值，都有只從因變量的函數，稱為函數 y f x的反函數， 從幾何上看，函數y f x與其反函數x則得到一個定義在 R f上的以y為自變量，x為 記為x f 1 y . 1f y有同一圖像.但人們習慣上用x表不自變i=f_1 i . t _i=f i . t (

14、r 十、r>>11一 一. .1.重，y表不因變重，因此反函數x f y常改與成y f x .今后，我們稱 y f x為y f x的反函數.此時，由于對應關系 f 1未變，只是自變量與因變量交換了記號，因此反函數y f 1 x與直接函數y f x的圖像關于直線y x對稱，如圖1 - 6所示.圖1-6值得注意的是，并不是所有函數都存在反函數，例如函數y x2的定義域為， ，值域為，但0,對每一個y 0,有兩個x值即x Jy和x2百與之對應，因此x不是y的函數，從而y x2不存在反函數.事實上，由逆映射存在定理知， 若f是從D f到R f 的映射，則f才存在反函數f 1 .例 6 設函

15、數 f (x 1)x 1 ,求 f 1 x 1 .x 1解函數y f x 1可看成由y f u , u x 1復合而成.所求的反函數y f 1 x 1 可看成由y f 1 u , u x 1復合而成.因為x_ u 1f u, u 0,x 1 u即 y u1,從而，u y 11 , u ,u1 y所以因此三、函數的幾種特性1 .函數的有界性設函數f x在數集D上有定義，若存在某個常數L ,使得對任一 x D有f x L （或 f x L ）, 則稱函數f x在D上直上昇一（或有工量）常數L稱為f x在D上的一個上界（或下界）； 否則，稱f x在D上無上界一（或無工界）.若函數f x在D上既有上界

16、又有下界，則稱 f x在D上有界；否則，稱f x在D上無 界.若f x在其定義域D（f）上有界，則稱f x為有界函數.容易看出，函數f x在D上有界 的充要條件是：存在常數 M：0,使得對任一 x D,都有f x M .例如，函數y sin x在其定義域，內是有界的，因為對任一 x , 都有一 .一， 1sin x 1,函數y 一在0,1內無上界，但有下界.x從幾何上看，有界函數的圖像界于直線y M之間.2 .函數的單調性設函數f x在數集D上有定義，若對 D中的任意兩數x1,x2 （x1 x2），恒有 f x1 f x2或 f x1 f x2 ,則稱函數f x在D上是單調增加（或單調減少）的

17、 .若上述不等式中的不等號為嚴格不等號, 則稱為產贊里遇埴如或嚴格單調減少）.一的 .在定義域上單調增加或單調減少的函數統稱為單調例如，函數 f x x3在其定義域，內是嚴格單調增加的；函數 f x cosx在（0,城內是嚴格單調減少的.從幾何上看，若y f x是嚴格單調函數，則任意一條平行于x軸的直線與它的圖像最多交于一點，因此y f x有反函數.3 .函數的奇偶性若對任意設函數f x的定義域D f關于原點對稱(即若 x D f ,則必有 x D f 的x D f ,都有f x fx 或 f x f x ,則稱f x是D f上的奇函數(或偶函數)例7 討論函數f x ln x V1 尸的奇偶

18、性.解函數f x的定義域 ，是對稱區間，因為f x ln x , 1 x2In x 1 x2ln 1 =x 、1 x2f x所以，f x是上的奇函數4 .函數的周期性D f ,有T稱為T T （如設函數f x的定義域為D f ,若存在一個不為零的常數T ,使得對任意x(x T) D (f),且f (x T) f (x)，則稱f x為周期函數,.其中使上式成立的常數 f x的周期通常，函數的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正數 果存在的話).例如，函數f (x) sin x的周期為2n；f x tan x的周期是兀.并不是所有函數都有最小正周期，例如，狄利克雷( Dirichlet)

19、函數1, x為有理數，D(x) 0, x為無理數.任意正有理數都是它的周期，(!此函數沒有最小正周期四、函數應用舉例下面通過幾個具體的問題，說明如何建立函數關系式例8火車站收取行李費的規定如下： 當行李不超過50千克時，按基本運費計算.如從上海 到某地每千克以0.15元計算基本運費，當超過 50千克時，超重部分按每千克 0.25元收費.試求 上海到該地的行李費 y (元)與重量x (千克)之間的函數關系式，并畫出函數的圖像解 當 0 x 50 時，y 0.15x ;當 x 50 時，y 0.15 50 0.25(x 50).所以函數關系式為：0.15 x, 0x 50；y 7.5 0.25(x

20、 50), x 50.這是一個分段函數，其圖像如圖1 9所示.例9某人每天上午到培訓基地 A學習，下午到超市B工作，晚飯后再到酒店 C服務，早、 晚飯在宿舍吃，中午帶飯在學習或工作的地方吃 .A, B, C位于一條平直的馬路一側，且酒店在基地與超市之間，基地與酒店相距3km,酒店與超市相距 5km,問該打工者在這條馬路的 A與B之間何處找一宿舍(設隨處可找到)，才能使每天往返的路程最短 .解 如圖1-10所示，設所找宿舍 D距基地A為x (km),用f (x)表示每天往返的路程函當D位于A與C之間，即0 x 3時，易知 f x x 8 (8 x)當D位于C與B之間，即3 x 8時，則 f x

21、x 8 (8 x)所以2 3 x2(x 3)22 2x ,10 2x.這是一個分段函數，如圖f (x)2 2x,0 x 3;10 2x,3 x 8.1-11所示，在0,3上,f x是單調減少，在3,8上，f x是單調增加.從圖像可知，在x 3處，函數值最小.這說明，打工者在酒店 C處找宿舍，每天走的 路程最短.五、基本初等函數初等數學里已詳細介紹了募函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數，以上我 們統稱為基本初等函數.它們是研究各種函數的基礎.為了讀者學習的方便，下面我們再對這幾類 函數作一簡單介紹.1.募函數函數y x 11 （ 是常數） 稱為募函數.哥函數y x也的定義域隨的不同而

22、異，但無論M何值，函數在0,內總是有定義的.當科0時，y x11在0,上是單調增加的，其圖像過點（0,0）及點1,1 ,圖1-12列出了科2，科1,科2時哥函數在第一象限的圖像 .1當科0時，y x% 0,上是單調減少的，其圖像通過點1,1 ，圖1-13列出了科-,科1,科2時哥函數在第一象限的圖像 .圖 1-12圖 1-132.指數函數函數xy a （a是常數且a 0, a 1）稱為指數函數Xa是單倜減少的，如圖 1-14所本.指數函數yax的定義域是，圖像通過點0,1 ,且總在x軸上方.當時a 1, y ax是單調增加的；當0 a 1時，y 以常數e 271828182L為底的指數函數是科

23、技中常用的指數函數3.對數函數指數函數y ax的反函數，記作y 10g ax 稱為對數函數.對數函數y log ax的定義域為 0,當0 a 1時，y log ax單調減少，如圖 科學技術中常用以e為底的對數函數（a是常數且a 0,a 1）,圖像過點1,0 .當a 1時,1-15所示.y log ax單調增加;它被稱為自然對數函數，簡記作y 1n x .另外以10為底的對數函數y 10g 10x , 也是常用的對數函數，簡記作y 1 gx .4.三角函數常用的三角函數有正弦函數y sin x ,余弦函數y cosx , 4«1, -rf-正切函數y tanx ,金切HIL y cot

24、x ,其中自變量x以弧度作單位來表示.它們的圖形如圖1-16,圖1- 7,圖1- 8和圖1-19所示，分別稱為正弦曲線，余弦曲線,WMWWWWWWMWW'WMIWWWMW正切曲線和余切曲線.圖 1-16圖 1-17正弦函數和余弦函數都是以2n為周期的周期函數，它們的定義域都為，值域都為1,1 .正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數.弦曲線y cosx .正切函數y tan x in-x-的定義域為 cosxD f x |x R, x (2n 1),n為整數.余切函數y cotx壁區的定義域為sin xD f x| x R, x n%n為整數.正切函數和余切函數的值域都是，且它們都是以兀為

25、周期的函數，且都是奇函數另外，常用的三角函數還有正割函數 y secx ；余割函數 y cscx .它們都是以2n為周期的周期函數，且11secx - cscx cosx 'sin x5.反三角函數反正弦函數yarcsin x（如圖 1-20）;反余弦函數yarccos x（如圖 1-21）;反正切函數yarctan x（如圖 1-22）;反余切函數yarccot x（如圖 1-23）.它們分別稱為三角函數y sin x ,y cosx , y tanx 和 y cotx 的反函數常用的反三角函數有這四個函數都是多值函數.嚴格來說，根據反函數白概念，三角函數 y sin x , y c

26、osx , y tanx和y cot x在其定義域內不存在反函數，因為對每一個值域中的數y ,有多個x與之對應.但這些函數在其定義域的每一個單調增加 （或減少）的子區間上存在反函數.例如，y sinx在閉區間里,工 上單調增加，從而存在反函數，稱此反函數為反正弦函數2 2arcsin x的主值,記作y arcsinx.通常我們稱y arcsin x為反正弦函數.其定義域為1,1 ,值域為工,工.反正2 2弦函數y arcsin x在 1,1上是單調增加的，它的圖像如圖1-20中實線部分所示類似地，可以定義其他三個反三角函數的主值它們分別簡稱為反余弦函數，反正切函數和反余切函數y arccosx

27、, y arctan x 和 y arccot x ,反余弦函數y arccos x的定義域為 其圖像如圖1-21中實線部分所示.反正切函數y arctan x的定義域為加的，其圖像如圖1- 22中實線部分所示反余切函數y arccot x的定義域為 的，其圖像如圖1-23中實線部分所示.1,1 ，值域為 0,兀，在 1,1上是單調減少的,上是單調增，值域為（0,同，在上是單調減少圖 1-21圖 1-22圖 1-23六、初等函數sin xx2 1有些分由常數和基本初等函數經有限次四則運算和復合運算得到并且能用一個式子表示的函數， 稱為加笑更婺.例如,y 3x2 sin4x , y ln x J

28、i x2 , y arctan2 x3 Jlg(x_11) 等等都是初等函數.分段函數是按照定義域的不同子集用不同表達式來表示對應關系的， 段函數也可以不分段而表示出來，分段只是為了更加明確函數關系而已.例如，絕對值函數也可以表示成y xJI_2 ；函數f (x)1' * a，也可表示成f(x)- i M(x)- .這兩個函0, x a2 x a數也是初等函數.七、雙曲函數與反雙曲函數1 .雙曲函數雙曲函數是工程和物理問題中很有用的一類初等函數.定義如下:雙曲正弦次四金芨一雙曲正切其圖像如圖shxchxthxex ex2xxe e2xshx echx),)， x1-24和圖1-25所示

29、圖 1-24圖 1-25），它是奇函數，其圖像通過原點 0,0且關于原點對雙曲正弦函數白定義域為（ x稱.在（ x ）內單調增加.雙曲余弦函數白定義域為（x），它是偶函數，其圖像通過點 0,1且關于y軸對稱,在 ,0內單調減少；在 0,內單調增加.雙曲正切函數白定義域為（x），它是奇函數，其圖像通過原點 0,0且關于原點對稱.在（ x ）內是單調增加的.由雙曲函數的定義，容易驗證下列基本公式成立sh x y shxchy chxshy ,ch x y chxchy shxshy ,sh2x 2shx chx , ch2x ch2x sh2x 1 2sh2x 2ch2x 1 , 22ch x s

30、h x 1 .2 .反雙曲函數shx , y chx和y th x的反函數，依次記為,，它是奇函數，在 ， 內單調增加，y arsh x的圖像，如圖1-26所示.利用求反函數雙曲函數的反函數稱為反及曲班數?y 區雙曲正茗理藜.yarshx ,反雙曲余弦函數yarchx ,反雙曲正切函數yarthx .反雙曲正弦函數y arsh x的定義域為由y shx的圖像，根據反函數作圖法，可得的方法，不難得到y arsh x lnx x2 1反雙曲余弦函數 y arch x的定義域為1, ，在1, 利用求反函數的方法，不難得到y archx ln x x2 1上單調增加，如圖 1-27所示,反雙曲正切函數

31、y artanh x的定義域為（1,1）,它在（1,1）內是單調增加的其圖像關于原點（0,0）對稱，如圖1-28所示.容易求得y arth x ln 1-x1 x.它是奇函數,第二節數列的極限、數列極限的定義，、. t t-T-t st/- r- r t ， 、 .» r r、*.定乂 1 如果函數f的定乂域Df N 1,2,3,L ,則函數 f的值域f N f n |n N 中的元素按自變量增大的次序依次排列出來，就稱之為一個無窮數列。簡稱數列2即f 1，f 2 ,L ,f n ,L .通常數列也寫成X1, X2,L ,Xn,L ,并簡記為Xn ,其中數 列中的每個數稱為一項，而

32、Xn f n稱為二:般項一.對于一個數列，我們感興趣的是當n無限增大時，Xn的變化趨勢.我們看下列例子：數列；2,L , e ,L 2 3 n 1的項隨n增大時，其值越來越接近 1;數列 2,4,6,L ,2n,L的項隨n增大時，其值越來越大，且無限增大；數列 1,0,1,L ,1 ( 1) ,L(1 2 1)(1 2 2)n的各項值交替地取1與0;n 1數列 1, 1,1,L ,1 ,L2 3 n的各項值在數0的兩邊跳動，且越來越接近0;數列 2,2,2,L ,2,L各項的值均相同.在中學教材中，我們已知道極限的描述性定義,(1 23)(1 一 2 一 4)(1 25)的一般項Xn無限地趨近

33、于某一個常數a (即 xn極限”.于是我們用觀察法可以判斷數列U ,n即“如果當項數n無限增大時，無窮數列xn 無限地接近于0),那么就說a是數列Xn的 (二，2都有極限，其極限分別為1,0,2.n但什么叫做“ xn無限地接近a”呢？在中學教材中沒有進行理論上的說明我們知道，兩個數a與b之間的接近程度可以用這兩個數之差的絕對值b a來度量.在數軸上b a表示點a與點b之間的距離，b為a越小，則a與b就越接近，就數列（1-2-1）來說，因Xn我們知道，當n越來越大時，-越來越小, n從而Xn越來越接近1.因為只要n足夠大，Xn就可以小于任意給定的正數，如現在給出一個很小的正數Xn 1 福，n 1

34、01,102,L如果給定，則從10001項起，都有下面不等式 10000Xn110000成立.這就是數列Xn一般地，對數列定義2設Xnn 1-n- (n 1,2,L ),當Xn有以下定義.若存在常數時無限接近于1的實質.a對任意給定的正數e（無論多么小），總存在正整數N ,當n N時，有不等式即XnU （a,九則稱數列 XnXn a收斂，a稱為數列lim Xn a 或Xn n nXn當n-8時的極限，.記為若數列Xn不收斂，則稱t數列發散一.定義中的正整數 N與泊關, 顯然，如果已經證明了符合要求的般說來，N將隨e減小而增大，這樣的 N也不是唯一的.N存在，則比這個N大的任何正整數均符合要求,

35、關數列極限的敘述中， 如無特殊聲明，N均表示正整數.此外，由鄰域的定義可知,在以后有xn U a, e等價于Xn a£.我們給“數列Xn的極限為a” 一個幾何解釋：將常數a及數列X1,X2,X3,L ,Xn,L在數軸上用它們的對應點表示出來，再在數軸上作點a的&鄰域，即開區間（a *”如圖1-29所示2tL因兩個不等式圖 1-29|xn a| e, a e xn a &等價，所以當n N時，所有的點Xn都落在開區間（aN個點）在這區間以外.為了以后敘述的方便，我們這里介紹幾個符號，符號“,a9內，而只有有限個點（至多只有有的”或“對于每一個“；符號“”表示存在&quo

36、t;；符號“”表示“對于任意的”、“對于所 maX X "表示數集X中的最大數；符號"min X ”表示數集X中的最小數.數列極限lim Xn a的定義可表達為: nlim Xn a e 0,正整數 N ,當 n N 時，有 Xn a£.n因此,因此,證明nim會£ 0(不防設0,取N證明由于0.1),ln要使.12n/ln2limn-cos -cos 0.n兀 cos412nlim -1 n 2N時,e,只要 2n1 ,即 n (ln£N時，有0.0,要使一 cos一一 cos -)/ln2 .£e.由極限定義可知0&由極限

37、定義可知.1 n R lim cos 用極限的定義來求極限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，將逐步介紹其他求極限的方 法.二、數列極限的性質定理1 (惟一性)若數列收斂，則其極限惟一.證 設數列Xn收斂，反設極限不惟一：即lim xn a , lim xn b,且a b ,不妨設a b , nn由極限定義，取 e bya ,則 N1>0,當n N1時，xn a<bya,即3a b / a b< xn<,(1-2-6)2 n 2b a N2 0 ,當 n N2 時，xn b <ba ,即2 a b - - 3b a"2<xn<2,(1-2-7)

38、取N max N1 ,N2 ,則當n N時，(1-3-6), (1-3-7)兩式應同時成立，顯然矛盾 .該矛盾證明 了收斂數列xn的極限必惟一.定義3 設有數列xn ,若存在正數 M ,使對一切n 1,2,L ,有xn M ,則稱數列xn是有界的，否則稱它是無界的.對于數列xn ,若存在常數 M ,使對n 1,2,L，有xn M ,則稱數列x0有上界一；若存在常數M ,使對n 1,2,L，有xn M ,則稱數列 x0有下界.顯然，數列xn有界的充要條件是xn既有上界又有下界.例3 數列- 有界；數列 n2有下界而無上界；數列 n2有上界而無下界；數列 n2 1定理2 （有界性）若數列Xn收斂，

39、則數列Xn有界.證 設lim Xn a ,由極限定義，£ 0 ,且£ 1 , N 0 ,當n N時，|Xn a| £ 1 ,n從而|xn <1耳.取 M max 1 a,xJ,X2 , ,xN| ,則有 M ,對一切 n 1,2,3,L ,成立，即 Xn 有 界.定理2的逆命題不成立，例如數列（1）n有界，但它不收斂.定理3 （保號性）若lim Xn a , a 0 （或a 0）,則 N 0 ,當n N時，Xn 0 （或nXn °）.證由極限定義，對£ 2 0, N 0,當n N時，Xn a "2,即"2 Xn |a

40、,故當n N 時，Xn 2 0.類似可證a 0的情形.推論 設有數列 Xn , N 0 ,當n N時，Xn 0 （或Xn 0）,若ljmXn a,則必有a 0 （或 a 0 ）.在推論中，我們只能推出a 0 （或a 0）,而不能由Xn 0 （或Xn 0）推出其極限（若存在）也大于0（或小于0）.例如X0 ,但 lim Xn lim 10 .nn n n卜面我們給出數列的子列的概念定義4 在數列Xn中保持原有的次序自左向右任意選取無窮多個項構成一個新的數列,稱它為Xn的一個子列. n在選出的子列中，記第 1項為Xn1 ,第2項為Xn2，第k項為Xnk ,，則數列 X。的 子列可記為 Xnk *表

41、示Xnk在子列Xnk中是第k項，上表示X n在原數列Xn中是第1項.顯 kkkk然，對每一個k ,有nk k ；對任意正整數h , k ,如果h k ,則必 拆；若之 明，則h k 由于在子列Xnk中的下標是k而不是時,因此Xnk收斂于a的定義是： £ 0, K 0, 當k K時，有*叫a £.這時，記為kim Xnk a .定理4 lim% a的充要條件是：Xn的任何子列Xn 都收斂，且都以a為極限.kk證 先證充分性.由于Xn本身也可看成是它的一個子列，故由條件得證 下面證明必要性.由limXn a,£ 0, N 0,當n N時，有kXn a < S.今

42、取K N ,則當k K時，有nk nK nN N ,于是Xnk a &故有lim Xna.k k定理4用來判別數列Xn發散有時是很方便的.如果在數列Xn中有一個子列發散，或者 有兩個子列不收斂于同一極限值，則可斷言Xn是發散的.例4判別數列 sin譬,n N*的收斂性.8解在Xn中選取兩個子列：sin8k, k N816k 4 sin87t-,k20 71sin16k 4 兀_8顯然，第一個子列收斂于0,而第二個子列收斂于1,因此原數列sin皆發散.三、收斂準則定義5 數列Xn的項若滿足X1 X2 LXnXn 1 L ,則稱數列Xn為單調增加數列工若滿足X1 X2立時，則分別稱收斂準則

43、Xn 1 L ,則稱數列 X為單調減少數列.當上述不等式中等號都不成是嚴格單調增加和嚴格單調減少數列.單調增加有上界的數列必有極限；單調減少有下界的數列必有極限該準則的證明涉及較多的基礎理論，在此略去證明n例5證明數列 11 收斂.n證根據收斂準則，只需證明n1 單調增加且有上界（或單調減少且有下界） n由二項式定理，我們知道(1 / 111 1 (12!'11-)1(1n， 3!'nn)(1z 1Cn - n逐項比較(1 n1 Cn2)C2L -(1 n!'112(n 1)12力1PL (1n 1、RCn111n 1(n 1)-1(1 n!1點11n 11 、1 “)

44、(11 3!'12n)(1ni)(11) L(1(n 1)!(1 -4n 1)(11)(11)，Xn與Xn 1的每一項,XnXn12!1213i1221 n!12n12n12n 13.n1 - 收斂.nn即數列 11 有界，由收斂準則可知nn我們將 1 -的極限記為e,即nn lim 1 1 e.n n第三節 函數的極限函數概念反映了客觀事物相互依賴的關系.它是從數量方面來描述這種關系，但在某些實際問題中，僅僅知道函數關系是不夠的，還必須考慮在自變量按照某種方式變化時，相應的函數 值的變化趨勢，即所謂的函數極限，才能使問題得到解決.正如我們對數列極限的定義，數列xn 可看做自變量為正整

45、數 n的函數： * xn f n , nN,所以，數列的極限可視為函數極限的特殊類型.下面介紹函數極限的一般類型 .x 時函數的極限當自變量x的絕對值無限增大時，函數值無限地接近一個常數的情形與數列極限類似，所 不同的只是自變量的變化可以是連續的.定義1設函數f x在區間a,)上有定義，如果存在常數 A,對于任意給定的正數 e(無 論它多么小)，總存在正數X ,使得當x滿足不等式x X時，對應的函數值f x都滿足不等 式f x A e,那么，稱函數f x當x趨于+8時極限存在并以 a為極限，記作lim f (x) A 或 f (x) A (x ).在定義中正數X的作用與數列極限定義中的正整數

46、N類似，說明x足夠大的程度，所不同 的是，這里考慮的是比 X大的所有實數x，而不僅僅是自然數 n ,因此，當x 時，函數f x 以A為極限意味著：A的任何鄰域必含有f在某個區間 X, 的所有函數值.定義1的幾何意義如圖1-30所示，作直線y A e和y A e,則總有一個正數 X存在， 使得當x X時，函數y f x圖形位于這兩條直線之間.時函數的極限的概念,類似于定義1,我們定義x趨于區間(,a上有定義，如果存在常數£ 0, A則稱f時極限存在并以A為極限，記作1 證明limxcosxx由于cosx要使因此， £則當證明0,可取時,lim 10xx0,即有10x0<

47、定義論它多么小)那么，常數由定義定理1lim f (x) x0.A 或 f (x) A (x只要1-X-12 ，£cosxx£>0,0.要使10x 0故由定義1得cosx lim x10x0.E,只要limx我們簡述如下：設函數使得當x X時，總有).x lg e.因此可取X |l g e| 1 ,當x X時,10x 0.設函數f x當|x充分大時有定義，如果存在常數 A,對于任意給定的正數 e(不總存在正數X ,使得當x滿足不等式f (x) AA就稱為函數f x當x時的極限,I I 1 1 n i ,ii 1*01*x > X時，對應的函數值f x都滿足不等3

48、記作lim f (x) A 或 f (x) x1、定義2及絕對值性質可得下面的定理lim f (x) A的充要條件是lim f (x) xxA (x ).Jim f (x) A例3證明lim U 1 . x x 1證 £ 0 ,要使X-2 1 x 1即 x >1 3. £因此， £ 0 ,可取X 1二、x X0時函數的極限對一般函數而言，除了考察自變量x的絕對值無限增大時，函數值的變化趨勢問題，還可研究x無限接近xo時，函數值f x的變化趨勢問題.它與x時函數的極限類似，只是 x的趨向不同，因此只需對 x無限接近xo時f x的情形作出確切的描述即可.定義3設

49、函數f x在點xo的某個去心鄰域內有定義，A為常數，若對于任意給定的正數e (無論它多么小)，總存在正數使得當x滿足不等式0 x xo8時，對應的函數值f x都滿足f(x) A 3 則稱函數f x當x xo時的極限存在并以 A為極限，記作lim f (x) A ,或 f x A ( x x0 時). x xo上述定義稱為x xo時函數極限的分析定義或 x xo時函數極限的“ £ B”定義.研究f x當 x xo的極限時，我們關心的是x無限趨近xo時f x的變化趨勢，而不關心f x在x xo處 有無定義、其值的大小如何，因此定義中使用了去心鄰域.這就是說f x在x xo處有無極限與函數

50、在該點有沒有定義無關 .函數f x當x xo時的極限為 A的幾何解釋如下：任意給定一正數£,作平行于x軸的兩條直線y A £和y A 3介于這兩條直線之間是一橫條區域.根據定義，對于給定的£,存在著點xo的一個B鄰域(xo B, xo B),當y f x的圖形上的點的橫坐標 x在鄰域(x° B, xo B)內，但x xo時，這些點的縱坐標f(x)滿足不等式f (x) A 3 或 A £ f (x) A £.亦即這些點落在上面所作的橫條區域內，如圖1-31所示.3,則當£>X時，有例4證明則。2.1 >3屋而x 1

51、 x1>3,£八故由定義2得xim汨J 一)36 A圖 1-312證函數f (x ) x一1在x1處無定義.x 1X 1 I < e成立.2e成立,因此， £ 0,據上可取B £,則當0 x 1<8時，一1 x 1由定義1得lim x一1 2 . x 1 x 1例 5 證明 lim sin x sin x0.x x00證 因為xO 0時，由于sin x x , cosx 1,所以|sin xsin x0|o x2 cos x0 . xsin 一2x0x x0因此， e 0,取B 。則當0 x x。8時，|sinx sinx0| 城立，由定義 3得

52、lim sinx sin x0. x x0在考察函數f x當xx0的極限時，應注意 x趨于點x0的方式是任意的，動點 x在x軸上既可以從x0的左側趨于x°,也可以從x0的右側趨于x°,甚至可以跳躍式地時左時右地從左 右兩側趨于x0.但在有些實際問題中，有時只能或只需考慮 x從點x°的一側(x x0或x x°)趨 于x0,這時函數的極限，即所謂的單側極限.定義4 設函數y f x在x0的某個右(左)鄰域內有定義，如果存在常數A,對于任意給定的正數£ (無論它多么小)，總存在著正數使得當x滿足不等式0 x x0 B(0 x° x B)時，對應的函數值f x都滿足不等式f (x) A £則稱A為f x當x x0時的右(左)極