1、2.4 等比數(shù)列等比數(shù)列如果能將一張厚度為如果能將一張厚度為0.050.05mm的報(bào)紙對(duì)折，的報(bào)紙對(duì)折，再對(duì)折，再對(duì)折再對(duì)折，再對(duì)折依次對(duì)折依次對(duì)折5050次，你次，你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋？間建一座橋？情境一情境一: :折紙折紙問題情境:對(duì)折一次對(duì)折二次對(duì)折三次對(duì)折四次.對(duì)對(duì)折折 次次n對(duì)折對(duì)折紙的紙的次數(shù)次數(shù)n紙的紙的層數(shù)層數(shù) 24816.情境二情境二: :莊子莊子天下篇天下篇中寫到：中寫到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。設(shè)木棰長(zhǎng)度為設(shè)木棰長(zhǎng)度為1木棰木棰長(zhǎng)度長(zhǎng)度第一天取半第一天取半第二天取半第二天

2、取半第三天取半第三天取半第四天取半第四天取半.121418116.第第 天取半天取半n觀察上述情境中得到的這幾個(gè)數(shù)列，看有觀察上述情境中得到的這幾個(gè)數(shù)列，看有何共同特點(diǎn)何共同特點(diǎn)? 2, 4, 8, 16, ; ;81,41,21, 1共同特點(diǎn)：共同特點(diǎn)：從從第二項(xiàng)第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)前一項(xiàng) 的的比比都等于都等于同一個(gè)常數(shù)同一個(gè)常數(shù)1, 20, 202, 203,； -2, 2, -2, 2, . 講授新課講授新課1. 等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的定義: 一般地，若一個(gè)數(shù)列從一般地，若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)第二項(xiàng)起，每一起，每一項(xiàng)與它的項(xiàng)與它的前一項(xiàng)前一項(xiàng)的的比比等于等于同一個(gè)常數(shù)同一個(gè)

3、常數(shù)，這個(gè)，這個(gè)數(shù)列就叫做數(shù)列就叫做等比數(shù)列等比數(shù)列.這個(gè)這個(gè)常數(shù)常數(shù)叫等比數(shù)列的叫等比數(shù)列的公比公比，用字母，用字母q 表示表示. (q0) 2.等比數(shù)列定義的符號(hào)語言等比數(shù)列定義的符號(hào)語言:qaann 1(q為常數(shù)，且為常數(shù)，且q0 ；n22且且nN*)或或 1nnaqa(q為常數(shù)，且為常數(shù)，且q0 ；nN*)(1) 1，3，9，27， (3) 5， 5， 5， 5，(4) 1，-1，1，-1，(2) ,161,81,41,21(5) 1，0，1，0， 練練 習(xí)習(xí) 判斷下列各組數(shù)列中哪些是等判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比比數(shù)列，哪數(shù)列，哪些不是？如果是，寫出首項(xiàng)些不是？如果是，寫出首項(xiàng)a1

4、1和公和公比比q, , 如如果不是，說明理由。果不是，說明理由。是是是是是是是是a1=1, q=3a1=5, q=1a1=1, q= -1不不是是11122aq，(6) 0，0，0，0，(7) 1, a, a2, a3 , (8) x0, x, x2, x3 , (9) 1，2，6，18，不是不是不是不是小結(jié)：小結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)列是不是等判斷一個(gè)數(shù)列是不是等比比數(shù)列，數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷：主要是由定義進(jìn)行判斷：a1=x0, q=x是是不是不是1nnaa看看 是不是同一個(gè)常數(shù)？是不是同一個(gè)常數(shù)？注意：注意：(2)公比公比q一定是由一定是由后項(xiàng)比前項(xiàng)后項(xiàng)比前項(xiàng)所得，而不所得，而不 能用前項(xiàng)比后

5、項(xiàng)來求，且能用前項(xiàng)比后項(xiàng)來求，且q0；(1) 等比數(shù)列等比數(shù)列an中中, an0；(3)若若q1，則該數(shù)列為，則該數(shù)列為常數(shù)列常數(shù)列 (4)(4)常數(shù)列常數(shù)列 a, a , a , a , 0a時(shí)時(shí), ,既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列;0a時(shí)時(shí), ,只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列. .思考：思考：如果在如果在a與與b的中間插入一個(gè)數(shù)的中間插入一個(gè)數(shù)G，使，使a, G, b成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么G應(yīng)該滿足什么條件？應(yīng)該滿足什么條件？2反之，若反之，若即即a,G,b成等比數(shù)列成等比數(shù)列.a, G, b成等比數(shù)列成等比數(shù)列,2abG 則則,G

6、baG abG (ab0) 分析：分析： 由由a, G, b成等比數(shù)列得：成等比數(shù)列得： abGabGGbaG 2(ab0) 如果在如果在a與與b中間插入一個(gè)數(shù)中間插入一個(gè)數(shù)G，使，使a, G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為為a與與b的的等比中項(xiàng)等比中項(xiàng). 3.等比中項(xiàng)：等比中項(xiàng)：2(0)(0)GabGababGabab 是 、 的等比中項(xiàng)即：即： 注意：注意：若若a，b異號(hào)則無等比中項(xiàng)異號(hào)則無等比中項(xiàng),若若a，b同號(hào)則有兩個(gè)等比中項(xiàng)同號(hào)則有兩個(gè)等比中項(xiàng).湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校14580（）求與的等比中項(xiàng)babccab求的等比中項(xiàng)，且與是）已知（,272603b練

7、習(xí)練習(xí)：湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校一、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: :遞推法遞推法qaaqaa1212212323qaqaaqaa 313434qaqaaqaa1n1nqaa湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：疊乘法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：疊乘法 11145342312.nnnnqaaaaaaaaaaaa11nnqaa等比數(shù)列注：等比數(shù)列注：（1 1）等比數(shù)列的首項(xiàng)不為）等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0 0； （2 2）等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為）等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0 0，即，即 （3 3） q=1q=1時(shí)，時(shí)，anan為常數(shù)列；為常數(shù)列；0na 以以a1為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，q為公比的

8、等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列an的通的通項(xiàng)公式為：項(xiàng)公式為：4.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：5.5.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：7.7.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用：知三求一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用：知三求一111nnmnnnnmaaaqqqaaa，6.6.等比數(shù)列的公比公式：等比數(shù)列的公比公式：1*11(,0)nnaaqa qnN；*(,0,)n mnmmaaqaqm nN；湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校 例、一個(gè)等比數(shù)列的第例、一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是項(xiàng)分別是12與與18,求它的第求它的第1項(xiàng)與第項(xiàng)與第2項(xiàng)項(xiàng). 解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第

9、1項(xiàng)是項(xiàng)是 ,公比是公比是q ，那么，那么82331612qaa3161a23q解得，解得， ， 因此因此316 答：這個(gè)數(shù)列的第答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是項(xiàng)分別是 與與 8.1a1831qa1221qa湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校課堂互動(dòng)課堂互動(dòng)（2 2）一個(gè)等比數(shù)列的第）一個(gè)等比數(shù)列的第2 2項(xiàng)是項(xiàng)是10,10,第第3 3項(xiàng)是項(xiàng)是20,20,求它的第求它的第1 1項(xiàng)與第項(xiàng)與第4 4項(xiàng)項(xiàng). .(1)(1)一個(gè)等比數(shù)列的第一個(gè)等比數(shù)列的第5 5項(xiàng)是項(xiàng)是 , ,公比是公比是 ，求它的第，求它的第1 1項(xiàng)；項(xiàng)；94315 1114()39a 136a 解得，解得，答：它的第一項(xiàng)是答：

10、它的第一項(xiàng)是36 .解：設(shè)它的第一項(xiàng)是解：設(shè)它的第一項(xiàng)是 ，則由題意得，則由題意得1a解：設(shè)它的第一項(xiàng)是解：設(shè)它的第一項(xiàng)是 ，公比是，公比是 q ，則由題意得，則由題意得1a答：它的第一項(xiàng)是答：它的第一項(xiàng)是5，第，第4項(xiàng)是項(xiàng)是40.101qa2021qa，51a2q解得解得，40314qaa因此因此練習(xí)：練習(xí)： 求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1) a15, 且且2an13an .35(2)1 ,9aa課堂小結(jié)課堂小結(jié)等比數(shù)列等比數(shù)列名稱名稱等差數(shù)列等差數(shù)列概念概念常數(shù)常數(shù)通項(xiàng)通項(xiàng)公式公式1通項(xiàng)通項(xiàng)公式公式2中項(xiàng)中項(xiàng)()nmaan m d*( ,)n mN從第從第2項(xiàng)

11、起項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它每一項(xiàng)與它前前一項(xiàng)的一項(xiàng)的差差等于等于同一個(gè)常數(shù)同一個(gè)常數(shù)公差公差(d )d 可正、可負(fù)、可零可正、可負(fù)、可零從第從第2項(xiàng)起項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它每一項(xiàng)與它前前一項(xiàng)的一項(xiàng)的比比等于等于同一個(gè)常數(shù)同一個(gè)常數(shù)公比公比(q )q可正、可負(fù)、可正、可負(fù)、不可零不可零1(1)naand*()nN11nnaaq*(0)qnN，n mnmaa q*(0,)qn mN，A2Aabab是 、 的等差中項(xiàng)2(0)GabGabab是 、 的等比中項(xiàng)精講精練、創(chuàng)新精講精練、創(chuàng)新課后作業(yè)課后作業(yè)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的公差為的公差為2,若若a1,a3,a4成成等比數(shù)列等比數(shù)列,求求a2=？湖南省長(zhǎng)沙市

12、一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校練習(xí)練習(xí)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，12166,128,nnaaa a 且且q=2，求，求a1和和n.湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校2( )A. 0. 1. 2. 02bacf xaxbxcxBCD如果實(shí)數(shù) 是 ， 的等比中項(xiàng)，則的圖象與 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）.或A練習(xí)練習(xí):湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校若數(shù)列若數(shù)列an的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是a1=1,公比公比q=2,則用通項(xiàng)公式表示是：則用通項(xiàng)公式表示是：an=2 n1上式還可以寫成上式還可以寫成nna221可見，表示這個(gè)等比數(shù)列可見，表示這個(gè)等比數(shù)列的各點(diǎn)都在函數(shù)的各點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上，如右圖所示。的圖象上，如右圖所示。 0 1

13、2 3 4 nan87654321 的點(diǎn)函數(shù)的圖象上一些孤立的圖象是其對(duì)應(yīng)的等比數(shù)列結(jié)論na：xy221通項(xiàng)公式法通項(xiàng)公式法:an= bcn湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校判斷等比數(shù)列的方法判斷等比數(shù)列的方法:1、(定義法定義法)利用利用an / an-1是否是一個(gè)與是否是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)2、(通項(xiàng)公式法通項(xiàng)公式法)判斷判斷an= bcn (bc 0 為常數(shù)為常數(shù))湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校例、例、有三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積有三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積等于等于64，和等于，和等于14，求此三個(gè)數(shù)？，求此三個(gè)數(shù)？注意：注意：等比數(shù)列中若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可以設(shè)為等比數(shù)列中若三個(gè)數(shù)

14、成等比數(shù)列，可以設(shè)為 2,a aq aq 或, ,a aqaq練習(xí)：已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為練習(xí)：已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為2727， 它們的立方和為它們的立方和為8181，求這三個(gè)數(shù)。，求這三個(gè)數(shù)。湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校例、例、有四個(gè)數(shù)，若其中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，有四個(gè)數(shù)，若其中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積等于它們的積等于216，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于的和等于12，求此四個(gè)數(shù)？，求此四個(gè)數(shù)？注意：注意：等比數(shù)列中若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，等比數(shù)列中若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能不能設(shè)為設(shè)為 33,aaaq aqqq因?yàn)檫@種設(shè)法表示公比大于零！因?yàn)檫@

15、種設(shè)法表示公比大于零！練習(xí)：有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三練習(xí)：有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)。，求這四個(gè)數(shù)。可以設(shè)這可以設(shè)這四個(gè)數(shù)為四個(gè)數(shù)為a,b,c,d15,9,3,1或或0,4,8,16某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%.這種物這種物質(zhì)的質(zhì)的半衰期半衰期為多長(zhǎng)為多長(zhǎng)(精確到精確到1年年)？放射性物質(zhì)衰變放射性物質(zhì)

16、衰變到原來的一半所到原來的一半所需時(shí)間稱為這種需時(shí)間稱為這種物質(zhì)的半衰期物質(zhì)的半衰期 .nnnaa解:設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，經(jīng)過 年，剩留量是由條件可得，數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，其中l(wèi)g0.84lg0.54nn兩邊取對(duì)數(shù)，得得0.840.5n1110.84 0.840.84nnnnaa q又10.840.840.5naqa，4.答：這種物質(zhì)的半衰期大約為 年湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校1.等差數(shù)列等差數(shù)列：銀行利息按單利計(jì)算（利息沒有利息）本利和=本金（1+利率存期）例如：存入10000元，利率為0.72%存期年初本金年末本利和（元）結(jié)果第一年1000010000（1+0.7251）10072

17、第二年1000010000（1+0.7252）10144第三年1000010000（1+0.7253）10216第四年1000010000（1+0.7254）10288特點(diǎn)：每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校2.等比數(shù)列：銀行利息按復(fù)利計(jì)算（利滾利）本金和=本金（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）第一年1000010000（1+1.98%）1第二年100001.019810000（1+1.98%）2第三年100001.0198210000（1+1.98%）3第四年100001.0198310000（1+1.98%）4例如：存入10000元，利率為1.98%特點(diǎn)：

18、后一頂與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校n2n3n6是n）21(n)31(n)61(是湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校結(jié)論：如果是項(xiàng)數(shù)相同的等結(jié)論：如果是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列 na nbnnba 證明：設(shè)數(shù)列證明：設(shè)數(shù)列 的公比為的公比為p， 的公比為的公比為q，那么數(shù)列，那么數(shù)列 的第的第n項(xiàng)與第項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分項(xiàng)分別為別為 與與 ，即，即 與與 因?yàn)橐驗(yàn)樗且粋€(gè)與它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個(gè)以無關(guān)的常數(shù)，所以是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列 na nbnnba 1n11n1qbpan1n1qbpa1n11)pq(ban

19、11)pq(ba,pq)pq(ba)pq(bababa1n11n11nn1n1n 特別地特別地，如果是如果是 等比數(shù)列，等比數(shù)列，c是不等是不等于的常數(shù)，那么數(shù)列于的常數(shù)，那么數(shù)列 也是等比數(shù)列也是等比數(shù)列 nanac湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校探究探究對(duì)于例中的等比數(shù)列與，數(shù)列也一定是等比數(shù)列嗎？ na nbnnba是湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校a a若若aan nbbn n 是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，nnba都是等比數(shù)列都是等比數(shù)列則則aan nb bn n 和和b b若若aan n 是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，c c是不等于是不等于0 0的常數(shù)，的常數(shù)， 那么那么cacan n 也是等比數(shù)列也是等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校性質(zhì) : 在等比數(shù)列 中， 為公比， 若 且naq*,Nqpnm qpnm那么： 等比數(shù)列的性質(zhì)nmpqa aa a推論: 在等比數(shù)列 中， 為公比， 若 且nad*,Npnmpnm2那么： 2nmsa aa特殊地特殊地: 211( )(2)nnnaaan湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校小組展示任