1、二、數學與思維發展的關系 人類的思維是后天形成的，思維受到各種因素的影響，并表現出多面性。但符合邏輯的、精密的、深刻的、聰慧的思維是每個人希望達到的最高境界之一。 數學與數學教育如此受重視，不完全是因為其廣泛的用途，也不能完全從應用的角度來看待數學。在上一講中我們說明了數學能提供觀察世界的一般觀念和方法外，實際上數學對人的其他發展，尤其是對人的思維發展有不可或缺的作用和價值，數學是為人的更完美發展提供了良好訓練。二、數學與思維發展的關系 人們常把數學形容為思維的體操。培根說過，哲理使人深刻，詩歌使人聰慧，演算使人精密。其實數學不單單使人精密，數學同樣也使人深刻，使人聰慧！ 哲學、詩歌不要求每人

2、都會 數學每人必須會,因為數學能使青少年更精密、更深刻、更聰慧！ 1、歸納與完全歸納 思維的一種形式是歸納。那么歸納性質的表征是什么呢？所謂歸納，是指通過對有限多個同類對象的觀察分析，猜測一種共性或規律，并證明這種共性的確是正確的一種思維方法。 當“同類對象”為有限多個時，我們將對象一一驗證就可獲得結論（對或錯）；但當“同類對象”無法窮舉或實際上就是無限多時，我們原有的思維方法就無法具有說服力了。因此必須尋找一種處理無限的思維方法.即在數學上所要求的完全歸納,確保其正確性.1、歸納與完全歸納 我們熟悉的完全歸納法數學歸納法。 我們來看一些（非完全歸納）例子。 2( )11(1)13,(2)17

3、,(3)23(,(4)31(1)0)1211111nffxxxffffnf二 項 式滿 足 ：都 是 素 數 ，對那 么 是 否 可 以 下 結 語 ：顯 然 不所 有 的 ，是 素 數 ？能 。 實 際 上就 不 是 素 數 。1、歸納與完全歸納 2222( )72491( )72490(72490)72490724907249172490272490172491( )fxxxfnnnfnf對 所 有 的 ，是 素 數有 趣 的 是 二 項 式滿 足 ：當時 都 是 素 數？， 那 么 是 否可 以 下 結 語 ：也 不 能 。 實 際 上就 不 是 素 數 。1、歸納與完全歸納232425

4、43211(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)10,1, 1nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 在來看關于的分解式：是否可以下結論：的整系數分解式中，的系數只可能是呢？回答是否定的。1、歸納與完全歸納484746434241407221.xxxxxxxx105有一位老兄發現了x -1中有如下的一項：這說明，考察一組對象的性質或規律時，可能出錯。究其原因在于對于“無窮多”的思維方式不能按照“有限多”方式來處理，否則容易出現問題。這種方法通常成為不完全歸納。1、歸納與完全歸納 數學對歸納的完全性是要求十分嚴格，其意義不僅對所有的自然科學是重要的，而且對人文社會科學

5、也是重要的。借鑒數學思維的嚴格性，可以大大提高社會科學學科的科學性。以例帶證的方法屬于不完全歸納，顯然不能令人信服。目前許多社會科學學科還是按照這種方式來解釋其命題，科學性顯然要遭到質疑。 社會科學； 實驗學科；我們說過,進行歸納時應注意歸納的完全性,然而,全面地說應注意完全性與不完全性的關系。沒有不完全的歸納命題，就不可能有完全性的證明行為。 事實上，不完全歸納是發現的開始，是創造的開始，是十分珍貴的思維形式之一。事實是，兒童從小就有歸納的經歷，1-2歲語言符號就在迅速增加，第二信號系統在迅速擴張。其所以能這樣，原因之一就是首先他們接受歸納，并且能接受歸納。2、邏輯思維的代表：演繹 當歸納具

6、有完全性時，其方法可以說屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。 演義思維最早來自幾何學，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學的地位。實際上，一門學科是否為成熟的是以它是否已形成一套演繹體系（公理體系）為標志的。 數學的這一特點是與它極強的邏輯性和抽象性緊密聯系在一起的。2、邏輯思維的代表：演繹抽象：強抽象 弱抽象。任意四邊形凸四邊形梯形平行四邊形矩形菱形正方形2、邏輯思維的代表：演繹例子：函數概念的演變過程。17世紀：冪函數（多項式）的代名詞。18世紀：表達式（初等函數）。歐拉給出了y=f(x)的表示。初等函數非初等函數（級數、積分表示）解析表達式（一個式子）分段函數（偽函數，柯西引

7、入了“對應”術語，但還是解析式子）Dirichlet函數： Dirichlet函數不但從表達式上突破了解析式的限制，而且還對“凡函數至少在一點連續”提出了挑戰。0( )xD xx當 為無理數時1當 為無理數時2、邏輯思維的代表：演繹雖然這個表達式是認為構造的，帶有主觀性質，但它卻推動了人們對函數本質的客觀認識。這也反映了認識論中的基本內涵。主觀判斷主觀事物一定要小心，不要把主觀臆相混同于主觀構想。科學需要主觀構想的。2( )lim(lim(cos!) ).nmnD xmx但是2、邏輯思維的代表：演繹Dirichlet函數對應規則（何為對應？）有序對（x,y） （新概念）集合函數（泛函）廣義函數

8、（函數）.上述過程實際上就是演繹思維弱抽象的例子.2、邏輯思維的代表：演繹再以函數為例給出強抽象的例子.連續性問題解決后,出現了可微性問題.f(x)=|x|是連續但在0點不可微的例子. 問題:連續函數至少有一個可微點? Weiestrauss構造了一個處處連續但處處不可微的例子, 這個例子讓數學家驚嘆:直觀似乎告訴我們不可能有這種函數,直觀欺騙了我們.03( )cos(), 01,1.2nnnf xbaxabab 是奇數，2、邏輯思維的代表：演繹函數連續函數不可微函數處處連續處處不可微函數。 強抽象過程。但抽象性依然很強。 數學的抽象方法很多，需要學習和實踐逐步加深了解，在你領會的同時，抽象思

9、維能力就得到了加強和提高。需要說明的是，邏輯思維是抽象思維，但抽象思維不一定是邏輯的。數學的邏輯性特點使得數學訓練直接有利于發展人的邏輯思維，其作用特別突出。最能表現這一點的當屬公理方法的作用。一門學科實現公理化的標志是：一、它有一套基本術語或原始概念；二、它有一組基本命題或原始命題或公理；三、其它的概念全由原始概念出發予以定義其他的命題全由公理出發予以推理論證。數學的分支學科都是建立在公理化基礎上，其它學科（力學、物理學、哲學、倫理學等）的許多分支也利用了公理方法。力圖建立自己學科的演繹體系，提高邏輯化水平和科學化水平。數學公理化方法的影響已經超出數學范圍而進入其它自然科學領域和人文科學領域

10、，數學的公理思想使數學作為文化具有更實際的意義。這是由公理化本身的優點所決定的。公理化不僅使數學本身的內在統一性、和諧性得到充分的揭示，而且有利于人們更清晰地從微觀到宏觀看到數學世界；不僅使人更易認識世界，而且為數學發現和創造提供必要的啟示和工具；對人自身邏輯思維的發展起極為積極的推動作用。它的論證過程是“到了底”的，因而能使人確信不疑，其邏輯線索如此清晰、如此嚴謹，這種“窮根究底”的思想風格正是哲學的思想風格由此亦可看到數學在如何體現人的精神！ 公理化和演繹屬于收斂性思維，它對于思維的條理化、系統化是必需的，使思維更健康。然而，它不能使思維更活潑。如果過分強調公理的作用，只重視演繹訓練，也會帶來不良后果，數學教育令人擔憂的現狀也恰在這里。過分地集中于收斂性思維，忽視了發散性思維。 對人的發散性思維起積極作用的一般有這樣幾種形式：三、其它三、其它n直觀、直感 數學是忌諱直觀的。但是，忌諱的不應該是直觀，而是把直觀的結果當最后的結論，忌諱的是受直觀的欺騙。直觀能力、觀察能力、洞察能力，也是重要的創造能力之一。應當在直觀、聯想等活動中發現問題、提出問題并積極地進行思考。 舉例：四色問題 任一凸多面體的頂點數V、面數F和邊數E之間的關系：F+V-E=2三、其它n直覺 直覺是指對事物直接的覺察、領悟甚至是印象 數學直覺則是指對數學