1、 隨機信號分析基礎(chǔ) 第5章習題講解 四川大學電子信息學院5.8 解：由題可知，要求系統(tǒng)輸出過程的均值：設設X(t)是有界的平穩(wěn)過程，其均值為是有界的平穩(wěn)過程，其均值為m mX X，則，則 ) 3 . 2 . 5()()()()()()(dhmdtXEhdtXhEtYEX顯然，顯然， 是與時間無關(guān)的常數(shù)。是與時間無關(guān)的常數(shù)。dhmtYEmXY)()(（1）系統(tǒng)輸出的均值2( )XRabe22lim( )XXRmaXma 首先計算系統(tǒng)輸入過程均值已知有關(guān)系式：0 ( )( )( )XYE Y tmhdaedamt 系統(tǒng)所示的傳函為：1( )( ),( )1tRCj RCh tteHR

2、Cj RC為求得輸出的自相關(guān)函數(shù)，分別從時域和頻域可得兩種方法。2( )( )( )* ()( )( )( )YXYXRRhhGHG5.11 要求的是輸出的自相關(guān)函數(shù)5.11 從時域角度)()()()(),(212121YXYRddhhRttR )()()()(hhRRXY 若隨機輸入過程若隨機輸入過程X(t)X(t)是寬平穩(wěn)的，那么線性時不變是寬平穩(wěn)的，那么線性時不變系統(tǒng)的輸出過程系統(tǒng)的輸出過程Y(t)Y(t)也是寬平穩(wěn)的隨機過程。實際上，也是寬平穩(wěn)的隨機過程。實際上，對于嚴平穩(wěn)隨機過程結(jié)論同樣也成立。若輸入是各態(tài)對于嚴平穩(wěn)隨機過程結(jié)論同樣也成立。若輸入是各態(tài)經(jīng)歷過程，輸出也將是各態(tài)經(jīng)歷過程

3、。經(jīng)歷過程，輸出也將是各態(tài)經(jīng)歷過程。（2）系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸出的功率譜密度若輸入隨機過程若輸入隨機過程X(t)為平穩(wěn)過程，則輸出的自相關(guān)為平穩(wěn)過程，則輸出的自相關(guān)函數(shù)為：函數(shù)為：)(*)(*)()(hhRRXY利用傅立葉變換，可得輸出的功率譜密度利用傅立葉變換，可得輸出的功率譜密度 式中式中H()是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，其模（絕對值）的平是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，其模（絕對值）的平方方H()2稱之為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。稱之為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。 )()()()()()(2XXYGHGHHG5.11 從頻域角度5.11 解：先求出輸入電壓的自相關(guān)函數(shù)00000( )( )(

4、)(cos(2)(cos(2 ()11cos2 ()()32XRE X t X tE XtXt 記憶cos的傅里葉逆變換結(jié)果-+( )()FTXXRG所以輸入的功率譜密度：2( )( ) (2 )(2 )32XG (t) 11 2()cos0t (0)(0)2sin(t / 2)t / 2 rect()ea 2aa22eacos0 aa2(0)2aa2(0)21,10,else sin2(2)(2)2從計算復雜度考慮，我們從頻域的角度來計算輸出的自相關(guān)函數(shù)2222222( )( )( )2( )(2 )(2 )1322YXGHGRCRC 22222214 (2 )(2 )2 1 4R CR C

5、 2222222( )( )cos214YYR CRFGR C5.16 解：要求傳輸函數(shù)和輸出Z(t)的均方值，由系統(tǒng)圖可知： ( )()*( )Z tX tX tTU t( )* ( )()* ( )( )* ( )()X ttt TU tX tU tU t T( )( )()h tU tU tT所以傳函為：H() Fh(t) Tsin(T / 2)T / 2exp(jT2)（2）解： EZ2(t)12GY()d122N0sin2T22dN0T4GY() H()2GX() N02T2sin2(T /2)(T /2)2)()()(HGGXXY)()()(HGGXYX若輸入隨機信號為白噪聲過程，

6、其若輸入隨機信號為白噪聲過程，其Gx()=NGx()=N0 0/2/2，則有，則有 )(2)(0HNGXY)(2)(0HNGYX因此當系統(tǒng)性能未知時：若能設法得到互譜密度，就可因此當系統(tǒng)性能未知時：若能設法得到互譜密度，就可由式由式(5.2.42)(5.2.42)確定線性系統(tǒng)的的傳輸函數(shù)。確定線性系統(tǒng)的的傳輸函數(shù)。 系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度5.18 解：要求互功率譜密度( )Hj( )( )( )( )XYXXGGHj G所以：22( )( )( )( )YXXGHGG已知微分器傳遞函數(shù)為5.23 解：要求自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度由圖可知：( )( ) ( )Z tX t Y

7、t( ) ( ) () ( ) ( ) () ()ZREZ t Z tE X t Y t X tY t( )( )XYRR由維納辛欽定理可得：1( )( )( )*( )2ZZXYGF RGG5.26 解：由題可知，所求的系統(tǒng)為一白化濾波器，有：2( )( )( )1YXGHG2228()3H(8)(8)(3)(3)jjjj把已知的有色噪聲通過某系統(tǒng)后變?yōu)榘自肼暎@把已知的有色噪聲通過某系統(tǒng)后變?yōu)榘自肼暎@個系統(tǒng)稱為白化濾波器。個系統(tǒng)稱為白化濾波器。對于對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，當，當t0時，有時，有h(t)=0，所以有：，所以有：dtXhdthXtYt)()()()()(0如果一個線

8、性時不變系統(tǒng)，對任意有限輸入其響應有如果一個線性時不變系統(tǒng)，對任意有限輸入其響應有界，則稱此界，則稱此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的。 5.1.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性與物理可實現(xiàn)的問題系統(tǒng)的穩(wěn)定性與物理可實現(xiàn)的問題 5.26 解：要求系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)的H(s)的極點在左半的極點在左半S平面，而平面，而零點不在右半零點不在右半S平面。平面。 H () 8 j3 j穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應h(t)應應絕對可積的，即滿足絕對可積的，即滿足 dh)(系統(tǒng)傳函的極點在系統(tǒng)傳函的極點在S平面的左半平面或平面的左半平面或Z平面的單位圓平面的單位圓內(nèi)。內(nèi)。5.26 解:5.27

9、 解：這是求解一個形成濾波器形成濾波器 對于某個具有有理譜密度的零均值平穩(wěn)隨機序?qū)τ谀硞€具有有理譜密度的零均值平穩(wěn)隨機序列，可以把它看作是一零均值單位譜高的白序列通列，可以把它看作是一零均值單位譜高的白序列通過離散線性系統(tǒng)形成的，這個離散線性系統(tǒng)的傳遞過離散線性系統(tǒng)形成的，這個離散線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為函數(shù)為H(z)（穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)），稱濾波器（穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)），稱濾波器H(z)為這個隨機過程的形成濾波器。為這個隨機過程的形成濾波器。 類似離散序列，任意一有理譜密度的平穩(wěn)過程類似離散序列，任意一有理譜密度的平穩(wěn)過程可以認為是零均值單位譜高的白噪聲通過因果線性可以認為是零均值單位譜高的白噪

10、聲通過因果線性定常系統(tǒng)定常系統(tǒng)H(s)后形成的。后形成的。)()()()(2jHjHjHGY穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)的H(s)的極點在左半的極點在左半S平面而平面而零點不在右半零點不在右半S平面。平面。同題5.26選取穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)：(2)( )(1)(3)jHjj2()()XGH(2)(2)(1)(1)(3)(3)jjjjjj自回歸或自回歸或AR(Autoregresive)模型模型 滑動平均滑動平均(MA)模型模型 自回歸滑動平均自回歸滑動平均(ARMA)模型模型 npllnlnXYaY1qmmnmnXbY0qmmnmpllnlnXbYaY01常見的隨機序列的模型5.30

11、 要求自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度5.30 （1）解：1nnnWXX顯然這是一個一階MA過程，該過程輸出的自相關(guān)函數(shù)滿足下列方程2,00,1,( )0,q kXi i kiWbbkqRkkq該方程可參考教材107頁式（5.5.5）輸入隨機序列在-1到1間均勻分布，所以：213X由上述方程可以算出：211(0);(1);( 1)333WWWRRR 功率譜為：112( )( )(1 cos)3kj kWWkGRk e（2）解：122nnnnZXXX X213,q 2,b01,b1 2,b21這是一個二階MA過程2,04,13( )1,230,2ZkkRkkk 2222( )( )( )412()()33

12、2(34coscos2 )3ZWj kZkjjjjGF RkRk eeeee可求得功率譜為：（3）解：112nnnYYX 這是一個一階AR過程，輸出的自相關(guān)函數(shù)可由Yule-Walker方程表示為：121(),0( )( ),0piYiYpiYXia Rki kRka Rik40,( )9140,( )()29YkYkRkkRk P 1,a1 12 RY(k) RY(k)14( )()29kYRk 功率譜密度為：0041( )()92411()()192241512coskj kYkjkjkkkGeee解法二：先計算功率譜，再得到自相關(guān)函數(shù)112nnnYYX 11()()()2Y ZZ Y Z

13、X Z 對方程兩邊作Z變換有：得傳函為：1( )1( )( )10.51()10.5jY ZH ZX ZZHe輸入和傳函知道了，就可得到功率譜：2( )( )( )1145 4cos315 12cosYXGHG計算相關(guān)函數(shù)之前，熟悉一下一個變換對222222(1)(1)2 coskXXbbaaaa該變換對見教材111頁式（5.5.29）和式（5.5.30) 利用上述公式可得：1 3141( )()()1 1 4292kkYRk 5.31 解：要求差分方程由題可知2()()()YXGGH21( )1.64 1.6cosH得到：2111( )1.640.80.811(0.81)(0.81)H ZZZZZ從穩(wěn)定性和系統(tǒng)特性考慮選取：11()10.8H ZZ數(shù)字濾波器的概念 濾波器是對輸入信號的波形或頻譜進行某種濾波器是對輸入信號的波形或頻譜進行某種變換，以得到一定的輸出信號。實現(xiàn)濾波的系統(tǒng)變換，以得到一定的輸出信號。實現(xiàn)濾波的系統(tǒng)是離散的稱為數(shù)字濾波。是