1、1，、動量守恒是平衡關系能量守恒 我們稱研究對象的同一個量在兩個不同方面的表我們稱研究對象的同一個量在兩個不同方面的表現之間的關系為平衡原理。利用這些平衡關系導出研究現之間的關系為平衡原理。利用這些平衡關系導出研究對象的數學關系的過程稱為用平衡原理建模。對象的數學關系的過程稱為用平衡原理建模。第四章第四章 數學建模的常用方法數學建模的常用方法( (上上) )4.1 4.1 平衡原理建模平衡原理建模。充滿平衡關系自然界和社會領域到處一、平衡原理一、平衡原理”“事出有因。概括便是對平衡關系的高度。模中常用的依據這些平衡關系是數學建，收獲源于收獲前的耕耘，的方式和程度收獲量源于收獲前耕耘。等都是平衡

2、物種繁存量大于死亡量物種數量的增加源于該2思考題思考題用平衡原理方法建立某物種數量發展的數學模型用平衡原理方法建立某物種數量發展的數學模型. .用動態平衡的方法建立某可再生物種的動態平衡模型用動態平衡的方法建立某可再生物種的動態平衡模型. .34.2 4.2 數據資料建模數據資料建模一、數據資料建模方法的含義一、數據資料建模方法的含義1 1、數據資料建模方法的適用范圍、數據資料建模方法的適用范圍在科學研究中，人們經常遇到的有些問題具有以下特征：在科學研究中，人們經常遇到的有些問題具有以下特征： 能確定其中某些因素之間有因果關系，但不知道這能確定其中某些因素之間有因果關系，但不知道這種因果關系的

3、解析表達。種因果關系的解析表達。 當需要對研究對象進行類別劃分時，知道區分這些當需要對研究對象進行類別劃分時，知道區分這些對象的類別歸屬的描述指標，但面對一個給定的對象，對象的類別歸屬的描述指標，但面對一個給定的對象，怎樣確定它應該屬于哪一類？其科學標準和方法是什怎樣確定它應該屬于哪一類？其科學標準和方法是什么？么？ 哪些因素之間有因果關系，哪種因果關系是該問題哪些因素之間有因果關系，哪種因果關系是該問題中因果關系的更準確的表達？中因果關系的更準確的表達？ 哪些指標能更有力地區分研究對象的類屬？哪些指標能更有力地區分研究對象的類屬？42、多個原因的線性因果關系、多個原因的線性因果關系問題的表現

4、形式為：問題的表現形式為：11312111 yxxxxm22322212 yxxxxm33332313 yxxxxmnmnnnnyxxxx 321imiiiiyxxxx 321現假設因果關系的函數形式為：現假設因果關系的函數形式為：ppxxxy22110將問題中的數據代入模型即有誤差將問題中的數據代入模型即有誤差)(22110pipiiiixxxymin12niij自然應滿足所有上式便是模型中的系數應該滿足的條件。上式便是模型中的系數應該滿足的條件。應用求多元函數極值的方法不難求得全應用求多元函數極值的方法不難求得全部系數的估計值。在建模時，這一計算部系數的估計值。在建模時，這一計算求解過程由

5、專門的計算函數來完成。求解過程由專門的計算函數來完成。53、單一原因的非線性因果關系、單一原因的非線性因果關系問題的表現形式為：問題的表現形式為： , ,y,2211yxxiiyx ,nnyx ,這些數據全是具體數值，它們的任何已知函數值也是已知數值。這些數據全是具體數值，它們的任何已知函數值也是已知數值。如果猜想我們的模型是如果猜想我們的模型是bxaey ，其中，其中a a、b b是待定系數，它們是待定系數，它們由實際問題中收集到的數據所確定。對于任何一個原因數據由實際問題中收集到的數據所確定。對于任何一個原因數據xi，是一個已知數值。是一個已知數值。ixe 基于這一認識，上述模型中待定系數

6、的確定就等同于下基于這一認識，上述模型中待定系數的確定就等同于下述模型中相應系數的確定。述模型中相應系數的確定。bxAbxayYlnln 問題便轉化成一個原因的線性因果關系。我們還可以嘗試問題便轉化成一個原因的線性因果關系。我們還可以嘗試用下列模型進行擬合，以選擇擬合精度最高的模型作為我們的用下列模型進行擬合，以選擇擬合精度最高的模型作為我們的最終模型。最終模型。3232 xdxcxbaybxaydxcxbxay6個實例建立因果關系模型的幾三、.:1因果模型賽跑成績與賽跑距離的例:分析.其成績的的距離長度是怎樣影響本問題研究運動員跑過:假設:符號.環境等差異的影響地運動員的自身差異及場即不考慮

7、過的距離長度相關運動員的成績僅與其跑、.運動員跑過的距離長度x).(成績距離所用時間運動員跑過 xt:建模收集數據世界紀錄的賽跑數據米距離x)(秒分時間 t59 . 9 9 .132 4 .421 68 .43 27 .19 1 .323 .式個量之間關系機理表達我們也找不到關于這兩查閱大量資料，.的要求且數據應該能滿足我們們的啟示于是只能利用數據給我，7.100米距離上的成績很慌謬但在在多數距離上吻合較好如表所示，:檢驗米距離x)(秒分時間 t59 . 9 9 .132 4 .421 68 .43 27 .19 1 .323 模型值對比世界紀錄的賽跑數據與)(秒分模型值 2 .283 5 .

8、152 4 .461 02 .48 01 .19 65 . 4 .68:這不能容忍值跑完全程所用時間為負米時當距離不超過特別，.曲線模型應該是一條下凸的較可知由模型值與實際值的比，:修正考慮baxxft)(:再求解它可線性化為這是一個非線性模型，得模型和進而得到.baxbatlnlnln.,bAbXAT和求得用線性模型的求解方法這可視為模型145. 148. 0 xt 8:再檢驗米距離x)(秒分時間 t59 . 9 9 .132 4 .421 68 .43 27 .19 1 .323 模型值對比世界紀錄的賽跑數據與)(秒分模型值 2 .283 5 .152 4 .461 02 .48 01 .

9、19 65 . 4 修正模型的值93 . 9 .多多了了這這個個曲曲線線模模型型的的效效果果好好顯顯然然，誤差平方和我們可以用它們各自的這兩個模型的好壞，87 .20 69 .45 86 .411 92 .112 88 .283 niiQ12而曲線模型的線性模型的誤差平方和經計算得,04.821Q，.55.2312小多了比的誤差平方和Q，Q 9.:2公路選線問題公路選線問題例例.:.米米單單位位高高程程據據為為所所在在坐坐標標點點的的海海拔拔的的高高程程的的數數現現已已測測得得該該地地區區一一些些點點要要在在山山區區修修一一條條公公路路.以以便便于于選選擇擇公公路路的的地地形形的的模模型型請請

10、給給出出這這個個平平面面區區域域內內，.修建的位置修建的位置平平面面區區域域的的海海拔拔高高程程表表xy10例例5 5：一個模型類型設定方面的例子：一個模型類型設定方面的例子問題：在錄音機運行過程中，我們觀測了錄音機運行的時問題：在錄音機運行過程中，我們觀測了錄音機運行的時 間和它的計數器的讀數的數據如下表。試建模分析其間和它的計數器的讀數的數據如下表。試建模分析其 運行規律。運行規律。時間：分時間：分12345101520253031-讀數讀數91828374797151211280362382385 仔細觀察表中數據的特征，讀數與時間之間的正向增長關系，仔細觀察表中數據的特征，讀數與時間之

11、間的正向增長關系，其增加速度并不均勻。由此，我們聯想到讀數記錄著磁帶輪的轉其增加速度并不均勻。由此，我們聯想到讀數記錄著磁帶輪的轉數。即磁帶輪的轉速隨纏在它身上的磁帶的減少而加快。因此，數。即磁帶輪的轉速隨纏在它身上的磁帶的減少而加快。因此，有理由設想磁帶輪轉動的線速度是常數。于是我們有假設：有理由設想磁帶輪轉動的線速度是常數。于是我們有假設：1 1、計數器的讀數、計數器的讀數n與纏有磁帶的輪的轉速與纏有磁帶的輪的轉速k成正比成正比。2、磁帶運動時的線速度是常數、磁帶運動時的線速度是常數v3、磁帶的厚度均為、磁帶的厚度均為d，各圈磁帶間無空隙各圈磁帶間無空隙4、磁帶纏繞一圈的長度等于它所纏顧的

12、圓的周長、磁帶纏繞一圈的長度等于它所纏顧的圓的周長11假設我們在開始運行時把計數器置為假設我們在開始運行時把計數器置為0 0空磁帶輪的半徑為空磁帶輪的半徑為r r與計數器相連的磁帶輪上纏有與計數器相連的磁帶輪上纏有N N圈磁帶；圈磁帶；于是由假設于是由假設1 1有：有：cnk NdrR且且令令L(k)表示從磁帶輪最外圈開始表示從磁帶輪最外圈開始k圈磁帶的長度，由假設圈磁帶的長度，由假設3和和4有有2)()22(2) 1(2)1(21 (2)1(2)2(2) 1(22)(kdkdNdrdkkkNdkrdkkNdkrdkNrdNrdNrNdrkL21)()22()()(kvdkvdNdrvkLkt

13、2221)()22()()()(bnannvdcnvdNdrcvkLktnt126 6、多指標對象類屬的判別方法、多指標對象類屬的判別方法13三、數據資料建模實例三、數據資料建模實例例例1 1：多原因的線性模型：多原因的線性模型14例例2 2：單原因的非線性模型：單原因的非線性模型15例例3 3：多原因的非線性模型：多原因的非線性模型16例4：多指標對象的分類實例174.3 數學規劃建模數學規劃建模（一）規劃模型的數學描述（一）規劃模型的數學描述一一 、 規劃模型的一般含義規劃模型的一般含義若某實際問題所表示成的數學形式為：若某實際問題所表示成的數學形式為： , 2 , 1 0)(, 2 ,

14、1 0)(, 2 , 1 0)(. .)( max(min)LxqkxlpjxhmixgtSxFukji稱稱為為決決策策變變量量其其中中 ),(21nxxxx。 ,)(它可能是一個函數向量它可能是一個函數向量稱為目標函數稱為目標函數xFS.t.為為subject to的縮寫，即的縮寫，即“受約束于”之意之意則稱該問題可則稱該問題可用數學規劃方法建用數學規劃方法建模，也稱該問題的模，也稱該問題的數學模型是一個數數學模型是一個數學規劃模型。學規劃模型。滿足所有約束條滿足所有約束條件的任一件的任一x x稱為稱為一個可行解；可一個可行解；可行解之集稱為可行解之集稱為可行域行域18（二）規劃模型的分類（

15、二）規劃模型的分類1.1.根據是否存在約束條件分為約束問題和無約束問題。根據是否存在約束條件分為約束問題和無約束問題。2.2.根據設計變量的性質分為靜態問題和動態問題。根據設計變量的性質分為靜態問題和動態問題。32532max22yxyxyxu無約束問題無約束問題NyNxyxyxtSyxu ,6038042. .80100max約束問題約束問題TtNtyNtxtyxttytxtStytxu,)( ,)(60)()(380)(4)(2. .)(80)(100max動態約束問題動態約束問題193.3.根據目標函數和約束條件表達式的性質可分為根據目標函數和約束條件表達式的性質可分為 線性規劃，非線性

16、規劃，二次規劃，多目標規劃等線性規劃，非線性規劃，二次規劃，多目標規劃等.,.,)(.mihtsi210 x.,.,),)()(piggii2100 xx xxfu )(min20四、建立優化模型的一般步驟四、建立優化模型的一般步驟1.1.確定設計變量和目標變量確定設計變量和目標變量2.2.確定目標函數的表達式確定目標函數的表達式3.3.尋找約束條件尋找約束條件 例例1 1：設某廠生產電腦和手機兩種產品，這兩種產品的生產需：設某廠生產電腦和手機兩種產品，這兩種產品的生產需要逐次經過兩條裝配線進行裝配。電腦在第一條裝配線每臺需要要逐次經過兩條裝配線進行裝配。電腦在第一條裝配線每臺需要2 2小時，

17、在第二條裝配線每臺需要小時，在第二條裝配線每臺需要3 3小時；手機在第一條裝配線每小時；手機在第一條裝配線每臺需要臺需要4 4小時，在第二條裝配線每臺需要小時，在第二條裝配線每臺需要1 1小時。第一條裝配線每小時。第一條裝配線每天有天有8080個可用工時，第一條裝配線每天有個可用工時，第一條裝配線每天有6060個可用工時，電腦和個可用工時，電腦和手機每臺的利潤分別為手機每臺的利潤分別為100100元和元和8080元。問怎樣制定生產計劃？元。問怎樣制定生產計劃？分析：分析：目標是利潤目標是利潤L L；而利潤是由電腦的產量；而利潤是由電腦的產量x x和手機的產量和手機的產量y y決定決定yxL80

18、100 21假設：假設：1 1、兩種產品的銷量不受限制、兩種產品的銷量不受限制2 2、原材料供應不受限制、原材料供應不受限制約束條件：約束條件：裝配線裝配線1 1的工時限制的工時限制裝配線裝配線2 2的工時限制的工時限制8042yx603 yx0 , 0yx變量約束變量約束建立模型建立模型yxL80100max0 , 06038042 s.t.yxyxyx22模型求解：模型求解：8042yx603 yxcyx80100231243657例例2：最短路線問題的數學建模實例：最短路線問題的數學建模實例1415121013209128810變量否則的路通過到從01jixij模型)(121089813

19、1012151420min6757564745363425241312總路程xxxxxxxxxxxz. .ts.111312出發的一輛車考慮從節點 xx; 0252412xxx; 047453424xxxx; 0675636xxx1675747xxx; 057564525xxxx; 0363413xxx. 7 , 2 , 1,10ji，xij或取2412436579810例例3：最短路線問題算例：最短路線問題算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6

20、-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路線為最短路線為:1-4-6-9-10，長度：，長度：65025例例4：分派問題的數學模型：分派問題的數學模型，m，m且每人做一件工作個人員件設有工作.)(ijcji為或費用件工作所用時間人做第第.求分派方案模型變量否則的路通過到從01jixijmimjijijxcz11min. .tsmixmjij, 2 , 1. 11mjxmiij, 2 , 1. 11mjixij, 2 , 1,. 10 或2612436571415121013209128810變量模型例5：最小費用流問題沿該弧的運量到表示節點設jixij)(1210

21、898131012151420min6757564745363425241312總運費xxxxxxxxxxxz. .ts.1312考慮從產地出發的運量Qxx; 0252412xxx; 047453424xxxx; 0675636xxxQxxx675747; 057564525xxxx; 0363413xxx. 7 , 2 , 1,0ji，xij2712436571415121013209128810變量例6：最大流量問題。網絡的最大通車量求通過該公路.1沿該弧的車流量到為從發出的車流量表示從節點用jixvij28鋼管的訂購和運輸鋼管的訂購和運輸: , , .500 , .11 ).( , ).

22、( , , ., .1 , 7211521如下表萬元每單位鋼管鋼管出廠銷價為個單位管的最大數量為在指定期限內能生產鋼鋼廠個單位至少生產這種鋼管一個鋼廠如果承擔生產個單位主管道鋼管稱為為方便計單位伯數字表示里程路公路和管道旁的阿拉每段鐵圓圈表示火車站者建有施工公路道線或者原來有公路或假設沿管道雙細線表示要鋪設的管單細線表示公路線表示鐵路圖中粗管的鋼廠有可以生產這種主管道鋼經篩選所示如圖的輸送天然氣的主管道要鋪設一條從iiipsSkmkmSSSAAA i1234567si80080010002000200020003000pi16015515516015515016029 一單位鋼管的鐵路運價如下

23、表一單位鋼管的鐵路運價如下表：.51001000萬元運價增加以上每增加kmkm).1(1 . 01公里計不足整公里部分按萬元單位鋼管每公里公路運輸費用為)( , ).1 (給出總費用使總費用最小的訂購和運輸計劃請制定一個主管道鋼管而是運到管道全線鋪設地點不只是運到各鋼管可由鐵路公路運往jA.,) 1 ( ).2(據結果并給出相應的數費用影響最大的變化對購運計劃和總哪個鋼廠鋼管產量上限劃和總費用影響最大管銷價的變化對購運計的模型分析哪個鋼廠鋼請就.(1)2, 2, , ).3(給出模型和結果的要求按并對圖給出一種解決方法請就這種更一般的情形的網絡圖鐵路公路管線構成如而是一個樹形圖一條線如果要鋪設

24、的管道不是30030圖131圖23212436579810最短路線問題算例最短路線問題算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路線為最短路線為:1-4-6-9-10，長度：，長度：65033最小運費單價表最小運費單價表34最小運費單價表最小運費單價表35符號說明：符號說明：量在指定期限內的最大產鋼廠iiSs :11:,iki，kAAwkiji或的里程數到所需的最小購運費用運到單位

25、鋼管從jiijASc :是否承擔制造任務iiSx :)(:不含路過的部分的鋼管數量運抵jiijASy鋪設的量沿運到1:jjjjAAAz運費單位鋼管每公里路程的：36工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產之用；工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產之用；商店成批購進各種商品，放在貨柜里以備零售；商店成批購進各種商品，放在貨柜里以備零售；水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發電。水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發電。例例1 1 存貯模型存貯模型（四）簡單優化模型舉例（四）簡單優化模型舉例存貯量多少合適？存貯量多少合適？存貯

26、量過大，存貯費用太高；存貯量太小，會導致一存貯量過大，存貯費用太高；存貯量太小，會導致一次性訂購費用增加，或不能及時滿足需求。次性訂購費用增加，或不能及時滿足需求。37問題問題1 不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 配件廠為裝配線生產若干種部件，輪換生產不同的部件時因更換設備要付生產準備費（與生產數量無關），同一部件的產量大于需求時因積壓資金、占用倉庫要付存貯費。今已知某一部件的日需求量100件，生產準備費5000元，存貯費每日每件1元。如果生產能力遠大于需求，并且不允許出現缺貨，試安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次（稱為生產周期），每次產量多少，可使總費用最小。38問題分析問題分析

27、若每天生產一次，每次100件，無存貯費，生產準備費5000元，每天費用5000元；若10天生產一次，每次1000件，存貯費900+800+100=4500元，生產準備費5000元，總計9500元，平均每天費用950元；若50天生產一次，每次5000件，存貯費4900+4800+100=122500元，生產準備費5000元，總計127500元，平均每天費用2550元；尋找生產周期、產量、需求量、生產準備費和尋找生產周期、產量、需求量、生產準備費和存貯費之間的關系，使每天的費用最少。存貯費之間的關系，使每天的費用最少。39模型假設模型假設1 連續化，即設生產周期 T 和產量 Q 均為連續量；2 產

28、品每日的需求量為常數 r ；3 每次生產準備費 C1，每日每件產品存貯費 C2；4 生產能力為無限大（相對于需求量），當存貯量 降到零時，Q件產品立即生產出來供給需求，即 不允許缺貨。40模型建立模型建立總費用與變量的關系總費用=生產準備費+存貯費存貯費=存貯單價*存貯量存貯量=？41設 t 時刻的存貯量為 q(t) ，t = 0時生產 Q 件，存貯量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 線性遞減，直至q(T) = 0，如圖。q(t) = Q- r t， Q = r T 。otqQTrA不允許缺貨模型的存貯量不允許缺貨模型的存貯量q q( (t t) ) 存貯量的計算42一個周期內

29、存貯量dttqT0)(一個周期內存貯費dttqcT02)(2QT(A的面積)一個周期的總費用dttqccCT021)(2222121rTccQTcc每天平均費用221rTcTcTCTC)(432 21rTcTcTCT)(min滿足求模型求解模型求解用微分法02221rcTcTC)(rccT212212crcrTQ每天平均最小費用rccC212著名的 經濟訂貨批量公式（經濟訂貨批量公式（EOQ公式）公式）。44思考思考 建模中未考慮生產費用（這應是最大一筆費 用），在什么情況下才可以不考慮它？ 建模時作了“生產能力無限大”的簡化假設，如 果生產能力有限，是大于需求量的一個常數， 如何建模？45結果解釋結果解釋rccT212212crcrTQrccC212當準備費 c1 增加時，生產周期和產量都變大；當存貯費 c2 增加時，生產周期和產量都變小；當日需求費 r 增加時，生產周期變小而產量變大。這些定性結果符合常識，而定量關系（平方根，系數2 等）憑常識是無法得出的，只能由數學建模得到。46rccT212rccC212100010 10015000 21CTrcc，得當,這里得到的費用C與前面計算得950元有微小差別，你能解釋嗎？在本例中47敏感性分析敏感性分析討論參數rcc,21 有微小變化時對生產周期T 影響。由相對變化量衡量對參數的敏感程度。T 對c1 的敏感程度記為),