1、精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載空間向量及其運算2空間向量的運算定義：與平面對量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下OBOAABab ;BAOAOBab ; OPaR運算律：加法交換律：abba加法結合律：ab cabc數乘安排律：ab3平行六面體平行四邊形ABCD 平移向量a 到abA B C D的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作ABCD-AB C D它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱4. 平面對量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所

2、以平行向量也叫做共線向量向量 b 與非零向量a 共線的充要條件是有且只有一個實數，使 b a .要留意其中對向量a 的非零要求5. 共線向量假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，就這些向量叫做共線向量或平行向量 a 平行于 b 記作a / b 當我們說向量a 、 b 共線（或 a /b ）時，表示a 、 b 的有向線段所在的直線可能是同始終線，也可能是平行直線6 共線向量定理： 空間任意兩個向量a 、b （ b 0 ）， a /b 的充要條件是存在實數，使 a b .推論：假如l 為經過已知點A 且平行于已知非零向量a 的直線，那么對于任意一點O，點 P 在直線 l 上的充要條件

3、是存在實數t 滿意等式OPOAt a 其中向量a 叫做直線 l 的方向向量 .空間直線的向量參數表示式：OPOAt a 或 OP1OAt OBOA 1t OAt OB ，中點公式OPOA2OB 7向量與平面平行：已知平面和向量 a ，作 OAa ，假如直線 OA 平行于或在內，那么我們說向量a 平行于平面，記作：a /通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面對量說明：空間任意的兩向量都是共面的8共面對量定理：假如兩個向量a,b 不共線，p 與向量a,b 共面的充要條件是存在實數x, y 使 pxayb推論：空間一點P 位于平面 MAB 內的充分必要條件是存在有序實數對或對空間任一點O ，有 O

4、POMxMAyMB x, y ，使 MPxMAyMB或 OPxOAyOBzOM , xyz1上面式叫做平面MAB 的向量表達式9空間向量基本定理：假如三個向量a,b , c 不共面，那么對空間任一向量p ，存在一個唯獨的有序實數組x, y, z ，使 pxaybzc如三向量a,b,c不共面，我們把 a, b , c叫做空間的一個基底，a ,b , c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底推論：設O , A, B ,C 是不共面的四點，就對空間任一點P ，都存在唯獨的三個有序實數x, y, z ，使精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共

5、4 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載OPxOAyOBzOC10空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a , b ，在空間任取一點O ，作OAa, OBb ，就AOB 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作a, b；且規定0a ,b，明顯有a ,bb , a；如a , b，就稱 a 與 b 相互垂直，記作：ab .211向量的模：設OAa ，就有向線段OA 的長度叫做向量a 的長度或模，記作：| a | .12向量的數量積： 已知向量| a| | b| cos, a ba, b ，就 | a| |b

6、| cos,a b叫做a ,b 的數量積， 記作 ab ， 即 a b已知向量ABa 和軸 l ， e 是 l 上與 l 同方向的單位向量，作點A 在 l 上的射影 A ，作點 B 在 l上 的 射 影 B ， 就 A B叫 做 向 量 AB 在 軸 l 上 或 在 e 上 的 正 射 影 .可 以 證 明 A B的 長 度| A B| A B | c o sa ,e|ae13空間向量數量積的性質：（ 1） a e（ 3） | a |2| a | cos aa a, e（ 2）aba b0 14空間向量數量積運算律：（ 1） a bab ab （ 2） a bba （交換律）（ 3） abca

7、bac （安排律）空間向量的直角坐標及其運算1空間直角坐標系：（1）如空間的一個基底的三個基向量相互垂直，且長為1，這個基底叫單位正交基底，用 i ,j ,k表示；（ 2）在空間選定一點O 和一個單位正交基底 i,j ,k ，以點 O 為原點，分別以i , j , k 的方向為正方向建立三條數軸：x 軸、 y 軸、 z 軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系Oxyz ，點 O 叫原點， 向量i , j , k 都叫坐標向量 通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為 xOy 平面，yOz 平面， zOx 平面；2空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系Oxyz 中，對空間任一點A ，

8、存在唯獨的有序實z數組 x, y, z ，使 OAxiyjzk ，有序實數組x, y, z叫作向量A 在DC空間直角坐標系Oxyz 中的坐標，記作坐標， z 叫豎坐標常見坐標系正方體A x, y, z ， x 叫橫坐標，y 叫縱''AB''DCyABxz如下列圖， 正方體ABCDA ' B ' C ' D ' 的棱長為 a ，一般挑選點D 為原A點， DA 、 DC 、 DD ' 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系 Dxyz ，就各點坐標為亦可選 A 點為原點 .BOD在長方體中建立空間直角坐標系與

9、之類似.y正四周體Cx如下列圖，正四周體ABCD 的棱長為 a ，一般挑選A 在BCD 上的射影為原點，OC 、OD （或 OB ）、OA 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸z建立空間直角坐標系Oxyz ，就各點坐標為正四棱錐P如下列圖，正四棱錐PABCD 的棱長為a ，一般挑選點P 在平面DCxAO精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -B第 2 頁，共 4 頁 y - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載ABCD 的射影為原點，OA （或 OC ）、 OB （或 OD ）、 O

10、P 所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系Oxyz ，就各點坐標為正三棱柱如下列圖， 正三棱柱ABCA ' B ' C ' 的底面邊長為a ，高為 h ，一般挑選AC 中點為原點， OC（或 OA ）、OB 、OE（ E 為 O 在 A' C ' 上的射影） 所在直線分別為x 軸、 yA軸、 z 軸建立空間直角坐標系Oxyz ，就各點坐標為z3空間向量的直角坐標運算律：E（ 1）如 a a ,a, a ， bb , b,b ，就CAB123123aba1aba1b1 ,a2b1 , a2b2 , a3 b2 , a3b3 ，b3 ，a

11、a1,a2 ,a3 OyR ，CB xa ba1b1a2 b2a3b3 ，a / ba1b1, a2b2 , a3b3 R ，aba1b1a2b2a3b30 （ 2）如A x1, y1, z1 ，B x2 , y2 , z2 ，就 ABx2x1, y2y1, z2z1 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標4模長公式：如aa1, a2 , a3 ， bb1 ,b2 , b3 ，就 | a |22a aaa2a ， | b |222b bbbb1231235夾角公式：cos a ba ba1b1a2b2a3b3| a | | b |222222aaabb

12、b6兩點間的距離公式：如A x1 , y1, z1 ，123123Bx2 , y2 , z2 ，2就 | AB |AB xx 2 yy 2zz 2212121，或 d xx 2 yy 2zz 2A, B212121空間向量應用一、直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量. 在空間直角坐標系中，由A x1, y1, z1 與 B x2 , y2 , z2 確定直線AB 的方向向量是ABx2x1 , y2y1 , z2z1 .平面法向量假如 a，那么向量二、證明平行問題a 叫做平面的法向量 .1證明線線平行：證明兩直線平行可用a / ba1b1 , a2b2 , a

13、3b3 R 或2.證明線面平行a / ba1a2a3.b1b2b3直線 l 的方向向量為a ，平面的法向量為n ，且 l，如 an 即 a n3.證明面面平行0 就 a /.平面的法向量為三、證明垂直問題1證明線線垂直n1 ，平面的法向量為n2 ，如n1 / n2即 n1n2 就/.證明兩直線垂直可用2證明線面垂直aba ba1b1a2 b2a3b30直線 l 的方向向量為a ，平面的法向量為n ，且 l，如3.證明面面垂直a / n 即 an 就 a.平面的法向量為n1 ，平面的法向量為n2 ，如 n1n2 即 n1n20就.精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 3

14、頁，共 4 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載四、夾角1求線線夾角設 aa1, a2 ,a3 ， bb1 ,b2 , b3 ，0 ,90 為一面直線所成角，就：a b| a | | b | cosa ,b；cosa , bab| a | | b |a1b1a2a 2a2 b2 a2b2a3b3b 2； cos| cosb 2a, b| .2求線面夾角123123如圖，已知 PA 為平面的一條斜線，n 為平面的一個法向量，過P 作平面的垂線 PO ，連結 OA 就PAO 為斜線 PA 和平面所成的

15、角，記為易得sin| sinOP, AP2 | cosOP, AP| cos3求面面夾角n, AP| cosn, PA| n PA |P.n| n | PA |設 n 、 n分別是二面角兩個半平面、的法向量，OA1當法向量2n1 、n2 同時指向二面角內或二面角外時，二面角的大小為n1, n2；當法向量五、距離n1 、 n2一個指向二面角內，另一外指向二面角外時，二面角的大小為n1 , n2.1求點點距離設 Ax , y , z ， B x, y , z ， d xx 2 yy 2 zz 2111222A,B212121| AB |ABAB xx 2 yy 2 zz 22求點面距離212121

16、如圖， A 為平面任一點，已知PA 為平面的一條斜線，n 為平面的一個法向量，過P 作平面的垂線 PO ，連結 OA 就PAO 為斜線 PA 和平面所成的角，記為易得| PO | | PA | sin| PA | | cos3求線線距離PA, n| PA | PAn | PA | | n | PA n |.| n |求異面直線間的距離可以利用向量的正射影性質直接運算. 如圖，設兩條異面直線a 、b 的公垂線的方向向量為n ,這時分別在a 、 b 上任取 A 、 B 兩點，就向量在n 上的正射影長就是兩條異面直線a 、b 的距離 . 即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數量積的肯定值與公垂線的方向向量模的比值.直線 a 、 b 的距離 d| ABn| AB