1、. 習題12-8 1. 求下列微分方程的通解: (1)y¢¢+y¢-2y=0; 解 微分方程的特征方程為 r2+r-2=0, 即(r+2)(r-1)=0, 其根為r1=1, r2=-2, 故微分方程的通解為 y=C1ex+C2e-2x. (2)y¢¢-4y¢=0; 解 微分方程的特征方程為 r2-4r=0, 即r(r-4)=0, 其根為r1=0, r2=4, 故微分方程的通解為 y=C1+C2e4x. (3)y¢¢+y=0; 解 微分方程的特征方程為 r2+1=0, 其根為r1=i, r2=-i, 故微分方程的通解

2、為 y=C1cos x+C2sin x. (4)y¢¢+6y¢+13y=0; 解 微分方程的特征方程為 r2+6r+13=0, 其根為r1=-3-2i, r2=-3+2i, 故微分方程的通解為 y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x). (5); 解 微分方程的特征方程為 4r2-20r+25=0, 即(2x-5)2=0, 其根為, 故微分方程的通解為 , 即. (6)y¢¢-4y¢+5y=0; 解 微分方程的特征方程為 r2-4r+5=0, 其根為r1=2-i, r2=2+i, 故微分方程的通解為 y=e2x(C1cos x+

3、C2sin x). (7)y(4)-y=0; 解 微分方程的特征方程為 r4-1=0, 即(r-1)(r+1)(r2+1)=0其根為r1=1, r2=-1, r1=-i, r2=i, 故微分方程的通解為 y=C1ex+C2e-x+C3cos x+C4sin x. (8)y(4)+2y¢¢+y=0; 解 微分方程的特征方程為 r4+r2+1=0, 即(r2+1)2=0, 其根為r1=r2=-i, r3=r4=i, 故微分方程的通解為 y=(C1+C2x)cos x+(C3+C4x)sin x. (9)y(4)-2y¢¢¢+y¢¢

4、;=0; 解 微分方程的特征方程為 r4-2r3+r2=0, 即r2(r-1)2=0,其根為r1=r2=0, r3=r4=1, 故微分方程的通解為 y=C1+C2x+C3ex+C4xex. (10)y(4)+5y¢¢-36=0. 解 微分方程的特征方程為 r4+5r2-36=0, 其根為r1=2, r2=-2, r3=3i, r4=-3i, 故微分方程的通解為 y=C1e2x+C2e-2x+ C3cos3x+C4sin3x. 2. 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: (1)y¢¢-4y¢+3y=0, y|x=0=6, y¢|x=0

5、=10; 解 微分方程的特征方程為 r2-4r+3=0, 即(r-1)(r-3)=0, 其根為r1=1, r2=3, 故微分方程的通解為 y=C1ex+C2e3x. 由y|x=0=6, y¢|x=0=10, 得 , 解之得C1=4, C2=2. 因此所求特解為 y=4ex+2e3x. (2)4y¢¢+4y¢+y=0, y|x=0=2, y¢|x=0=0; 解 微分方程的特征方程為 4r2+4r+1=0, 即(2r+1)2=0, 其根為, 故微分方程的通解為 . 由y|x=0=2, y¢|x=0=0, 得 , 解之得C1=2, C2=1

6、. 因此所求特解為 . (3)y¢¢-3y¢-4y=0, y|x=0=0, y¢|x=0=-5; 解 微分方程的特征方程為 r2-3r-4=0, 即(r-4)(r+1)=0, 其根為r1=-1, r2=4, 故微分方程的通解為 y=C1e-x+C2e4x. 由y|x=0=0, y¢|x=0=-5, 得 , 解之得C1=1, C2=-1. 因此所求特解為 y=e-x-e4x. (4)y¢¢+4y¢+29y=0, y|x=0=0, y¢|x=0=15; 解 微分方程的特征方程為 r2+4r+29=0, 其根為

7、r1, 2=-2±5i, 故微分方程的通解為 y=e-2x(C1cos5x+C2sin5x). 由y|x=0=0, 得C1=0, y=C2e-2xsin5x. 由y¢|x=0=15, 得C2=3. 因此所求特解為y=3e-2xsin5x. (5)y¢¢+25y=0, y|x=0=2, y¢|x=0=5; 解 微分方程的特征方程為 r2+25=0, 其根為r1, 2=±5i, 故微分方程的通解為 y=C1cos5x+C2sin5x. 由y|x=0=2, 得C1=2, y=2cos5x+C2sin5x. 由y¢|x=0=5, 得

8、C2=1. 因此所求特解為y=2cos5x+sin5x. (6)y¢¢-4y¢+13y=0, y|x=0=0, y¢|x=0=3. 解 微分方程的特征方程為 r2-4r+13=0, 其根為r1, 2=2±3i, 故微分方程的通解為 y=e2x(C1cos3x+C2sin3x). 由y|x=0=0, 得C1=0, y=C2e2xsin3x. 由y¢|x=0=3, 得C2=1. 因此所求特解為y=e2xsin3x. 3. 一個單位質量的質點在數軸上運動, 開始時質點在原點O處且速度為v0, 在運動過程中, 它受到一個力的作用, 這個力的大

9、小與質點到原點的距離成正比(比例系數k1>0)而方向與初速一至. 又介質的阻力與速度成正比(比例系數k2>0). 求反映這質點的運動規律的函數. 解 設數軸為x軸, v0方向為正軸方向. 由題意得微分方程 x¢¢=k1x-k2x¢, 即x¢¢+k2x¢-k1x=0, 其初始條件為x|t=0=0, x¢|t=0=v0. 微分方程的特征方程為 r2+k2r-k1=0, 其根為, 故微分方程的通解為 . 由x|t=0=0, x¢|t=0=v0, 得, 解之得 , . 因此質點的運動規律為 . 4. 在如圖所示

10、的電路中先將開關K撥向A, 達到穩定狀態后再將開關K撥向B, 求電壓uc(t)及電流i(t). 已知E=20V, C=0.5´10-6F(法), L=0.1H(亨), R=2000W. 解 由回路電壓定律得 . 由于q=Cuc, 故, , 所以 , 即. 已知, , 故 . 微分方程的特征方程為 , 其根為r1=-1.9´104, r2=-103, 故微分方程的通解為 . 由初始條件t=0時, uc=20, uc¢=0可得, . 因此所求電壓為 (V). 所求電流為 (A). 5. 設圓柱形浮筒, 直徑為0.5m, 鉛直放在水中, 當稍向下壓后突然放開, 浮筒在水中上下振動的周期為2s, 求浮筒的質量. 解 設r為水的密度, S為浮筒的橫截面積, D為浮筒