1、誤差理論與數據處理第一章緒論1-1 研究誤差的意義是什么？簡述誤差理論的主要內容。答：研究誤差的意義為：(1) 正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，以消除或減小誤差；(2) 正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數據；(3) 正確組織實驗過程，合理設計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經濟條件下，得到理想的結果。誤差理論的主要內容：誤差定義、誤差來源及誤差分類等。1-2 試述測量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點是什么？答：測量誤差就是測的值與被測量的真值之間的差； 按照誤差的特點和性質，可分為系統誤差、隨機誤差、粗大誤差。系統誤差的特點是在所處測量

2、條件下，誤差的絕對值和符號保持恒定，或遵循一定的規律變化（大小和符號都按一定規律變化）；隨機誤差的特點是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號以不可預定方式變化；粗大誤差的特點是可取性。1-3 試述誤差的絕對值和絕對誤差有何異同，并舉例說明。答： (1) 誤差的絕對值都是正數，只是說實際尺寸和標準尺寸差別的大小數量，不反映是“大了”還是“小了”，只是差別量；絕對誤差即可能是正值也可能是負值，指的是實際尺寸和標準尺寸的差值。+多少表明大了多少，- 多少表示小了多少。(2) 就測量而言 , 前者是指系統的誤差未定但標準值確定的，后者是指系統本身標準值未定1 5 測得某三角塊的三個角度之和為o180

3、00 02”, 試求測量的絕對誤差和相對誤差解：絕對誤差等于： 180o 00 02180o2相對誤差等于：2220.00000308641 0.000031%180o18060 606480001-6 在萬能測長儀上，測量某一被測件的長度為50mm，已知其最大絕對誤差為 1 m，試問該被測件的真實長度為多少？解： 絕對誤差測得值真值，即： L LL0已知： L50， L 11 m 0.001mm，測件的真實長度0 L L 50 0.001 49.999 （ mm）1-7 用二等標準活塞壓力計測量某壓力得 100.2Pa ，該壓力用更準確的辦法測得為 100.5Pa ，問二等標準活塞壓力計測量

4、值的誤差為多少？解：在實際檢定中，常把高一等級精度的儀器所測得的量值當作實際值。故二等標準活塞壓力計測量值的誤差測得值實際值，即：100.2 100.5 0.3 （ Pa）1-8 在測量某一長度時，讀數值為2.31m，其最大絕對誤差為20m ，試求其最大相對誤差。絕對誤差 max相對誤差 max測得值2010- 6100%2.318.66 10- 4%1-9、解：由 g4 2 ( h1 h2 )，得T2g 4 2 1.04230 9.81053m/s22.0480對 g42 ( h1h2 )進行全微分， 令 hh1T2dT 得42hgT 2從而gh2T 的最大相對誤差為：ghTgmaxhmax

5、2TmaxghT= 0.00005 2 0.00051.042302.0480=5.3625 10 4%100%h2 ，并令g ， h ， T 代替 dg ，dh ，82h TT32由 g42 (h1h2 ) ，得 T42h ，所以T 2gT43.1415921.042202.047909.81053由gmaxhmax2Tmax，有ghTTmmT hmgmaT hig xnm(mABS ahaxABSxg2g2 h1-10 檢定 2.5 級（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V 的電壓表，發現50V 刻度點的示值誤差2V 為最大誤差，問該電壓表是否合格？最大引用誤差某量程最大示值誤差100

6、%測量范圍上限22%2.5%100%100該電壓表合格1-11 為什么在使用微安表等各種表時，總希望指針在全量程的2/3范圍內使用？答：當我們進行測量時，測量的最大相對誤差: xmaxxm s% 即 :maxxm s%A0A0A0所以當真值一定的情況下，所選用的儀表的量程越小，相對誤差越小， 測量越準確。 因此我們選擇的量程應靠近真值，所以在測量時應盡量使指針靠近滿度范圍的三分之二以上1-12 用兩種方法分別測量L1=50mm， L2=80mm。測得值各為50.004mm，80.006mm。試評定兩種方法測量精度的高低。相對誤差L 1:50mmI 150.00450100%0.008%50L

7、2:80mmI 280.00680100%0.0075%803I 1I 2所以 L2 =80mm 方法測量精度高。1 13 多級彈導火箭的射程為10000km時，其射擊偏離預定點不超過0.lkm ，優秀射手能在距離 50m遠處準確地射中直徑為2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高 ?解：多級火箭的相對誤差為：0.10.001%0.0000110000射手的相對誤差為：0.01m1cm0.00020.002%50m50m多級火箭的射擊精度高。1-14 若用兩種測量方法測量某零件的長度L1=110mm，其測量誤差分別為11 m 和9m ；而用第三種測量方法測量另一零件的長度L2=150mm。其測量誤

8、差為12 m ，試比較三種測量方法精度的高低。相對誤差I 111 m0.01%110mmI 29 m0. 0082%110mmI 312m0.0 0 8%1 5 0mmI 3I 2I1 第三種方法的測量精度是最高的第二章誤差的基本性質與處理2-1 試述標準差、平均誤差和或然誤差的幾何意義。答：從幾何學的角度出發，標準差可以理解為一個從N 維空間的一個點到一條直線的距離的函數；從幾何學的角度出發，平均誤差可以理解為N 條線段的平均長度；2-2 試述單次測量的標準差和算術平均值的標準差，兩者物理意義及實際用途有何不同。42-3 試分析求服從正態分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在中的概率2-4 測量

9、某物體重量共8 次，測的數據 ( 單位為 g) 為 236.45 ，236.37 ，236.51 ，236.34 ， 236.39 ， 236.48 ， 236.47 ， 236.40 ，是求算術平均值以及標準差。x 236.40.05 ( 0.03) 0.11 ( 0.06) ( 0.01) 0.08 0.07 08236.43n2vii 10.0599n 1x0.0212n2-5 用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計算2-4 ，并比較2-6 測量某電路電流共5 次，測得數據（單位為mA）為 168.41 ，168.54 ，168.59 ，168.40 ，168.50 。試求算術平均值及其標準

10、差、或然誤差和平均誤差。x168.41168.54168.59168.40168.505168.488( mA)5vi 2i 10.082( )5mA1x0.082n50.037( mA)或然誤差：0.67450.67450.0370.025()RxmA平均誤差：0.79790.79790.0370.030()TxmA2-7 在立式測長儀上測量某校對量具，重量測量 5 次，測得數據（單位為 mm）為 20.0015 ， 20.0016 ，20.0018 ，20.0015 ， 20.0011 。若測量值服從正態分布，試以 99%的置信概率確定測量結果。20.001520.001620.00182

11、0.001520.0011x5520.0015( mm)52i 1vi0.0002551正態分布p=99% 時， t2.58lim xtx2.580.0002550.0003( mm)測量結果： X xlim x(20.00150.0003)mm2 7 在立式測長儀上測量某校對量具，重復測量5 次，測得數據 ( 單位為mm)為 200015， 20.0016 ，20.0018 ， 20.0015 ，20.0011 。若測量值服從正態分布，試以99的置信概率確定測量結果。解：求算術平均值nlixi 120.0015mmn求單次測量的標準差nvi2i 126 1082.55 10 4 mmn14求

12、算術平均值的標準差x2.5510 41.14 10 4 mmn5確定測量的極限誤差因 n5 較小，算術平均值的極限誤差應按t 分布處理。現自由度為： n 14； 1 0.99 0.01 ，查 t分布表有： ta 4.60極限誤差為lim xtx4.60 1.1410 45.2410 4 mm寫出最后測量結果xlim x20.00155.2410 4mmL62-9用某儀器測量工件尺寸，在排除系統誤差的條件下，其標準差0.004mm ，若要求測量結果的置信限為0.005mm ，當置信概率為99%時，試求必要的測量次數。正態分布p=99% 時， t 2.58lim xtn2.580.004n2.06

13、40.005n4.26取n52 10 用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差 0.001mm，若要求測量的允許極限誤差為±0.0015mm，而置信概率P 為 0.95 時，應測量多少次？解：根據極限誤差的意義，有tx根據題目給定得已知條件，有t 0.0015nt0.0015n0.001查教材附錄表3 有若 n 5，v 4， 0.05 ，有 t 2.78 ，1.5t2.782.781.24n52.236若 n 4，v 3， 0.05 ，有 t 3.18 ，t3.183.18n41.592即要達題意要求，必須至少測量5 次。2-12 某時某地由氣壓表得到的讀數 （單位為 Pa）為 10

14、2523.85 ，102391.30 ， 102257.97 ， 102124.65 ， 101991.33 ，101858.01 ， 101724.69 ， 101591.36 ，其權各為 1， 3， 5，7， 8， 6，4， 2，試求加權算術平均值及其標準差。78pixixi 1102028.34(Pa)8pii 182pi vxixi1886.95()(81)piPai12-13測量某角度共兩次，測得值為124 13 36， 224 13'24'' ，其標準差分別為13.1 ,2 13.8，試求加權算術平均值及其標準差。p1 : p212:1219044: 961

15、12x 2413'20''19044 16' '9614''24 13'35''19044961pi3.1''190443.0''xxi2961pi19044i 12-14甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角各重復測量 5 次，測得值如下：甲 :7 220 ,7 30 ,7 235,7 220,7 215;乙 :7225,7 225,7 220 ,7 250,7 245;試求其測量結果。甲：甲20" 60" 35"20"15"7 2&

16、#39;30"x 7 2'55v2222（ -10"22ii 1（-10" ） （ 30"） 5"） （-15"）甲14518.4"8甲18.4"8.23"x甲55乙： x乙7 2'25"25"20"50"45"7 2'33"55vi222222i 1（-8" ）（-8"） （" ） （17"） （12"）13乙14513.5"乙13.5"6.04&qu

17、ot;x乙55p甲 : p乙11113648: 67732 :22 :2x甲x乙8.236.04xp甲 x甲p乙 x乙364830"6773 33"7 2'32"p甲p乙364867737 2'p甲8.2336484.87xx甲p甲p乙36486773Xx 3x7 2'32'' 15''2-15 試證明 n 個相等精度測得值的平均值的權為n 乘以任一個測量值的權。證明：解：因為n 個測量值屬于等精度測量，因此具有相同的標準偏差：n 個測量值算術平均值的標準偏差為：xn已知權與方差成反比，設單次測量的權為P1，

18、算術平均值的權為P2，則111 : nP1:P22:2xP2 nP12-16 重力加速度的20 次測量具有平均值為9.811m / s2 、標準差為0.014m / s2 。另外 30 次測量具有平均值為9.802m / s2 ， 標準差為90.022m / s2 。假設這兩組測量屬于同一正態總體。試求此50 次測量的平均值和標準差。p1 : p21:112 :1242:147220.0142x12x220.0222030x 242 9.811 147 9.802 9.808(m / s2 ) 242 1470.014242（2）x2421470.0025 m/s202-17 對某量進行 10

19、 次測量，測得數據為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8， 15.1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統誤差。x14.96按貝塞爾公式10.263310vi0.2642按別捷爾斯法21.253i 110(101)由21 u得 u1210.003412u0.67所以測量列中無系差存在。n12-18 對一線圈電感測量10 次，前 4 次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結果如下（單位為mH）：50.82， 50.83 ， 50.87 ， 50.89 ；50.78， 50.78 ， 50.75 ， 50.85 ， 50.

20、82 ，50.81 。試判斷前4 次與后 6 次測量中是否存在系統誤差。使用秩和檢驗法：排序：10序號12345第一組第二組50.7550.7850.7850.8150.82序號678910第一組50.8250.8350.8750.89第二組50.85T=5.5+7+9+10=31.5查表T14T30TT所以兩組間存在系差2-19 對某量進行10 次測量，測得數據為14.7 ，15.0 ， 15.2 ， 14.8 ， 15.5 ，14.6 ， 14.9 ， 14.8 ， 15.1 ， 15.0 ，試判斷該測量列中是否存在系統誤差。x14.96按貝塞爾公式按別捷爾斯法120.263310i1vi

21、1.2530.264210(10 1)由21 u得u210.003411u20.67所以測量列中無系差存在。n12-20 對某量進行 12 次測量，測的數據為20.06 ， 20.07 ， 20.06 ， 20.08 ，20.10 ，20.12 ，20.11 ，20.14 ，20.18 ，20.18 ，20.21 ，20.19 ，試用兩種方法判斷該測量列中是否存在系統誤差。解：(1) 殘余誤差校核法x20.125( 0.065 0.055 0.065 0.045 0.025 0.005) ( 0.015 0.015 0.055 0.055 0.085 0.0 0.5411因為顯著不為 0，存在

22、系統誤差。（ 2）殘余誤差觀察法殘余誤差符號由負變正，數值由大到小，在變大，因此繪制殘余誤差曲線，可見存在線形系統誤差。122（ 3）vii 10.0511112221vi1.253i10.06n(n1)1uu2110.192u0.603n1所以不存在系統誤差。2-2212第三章誤差的合成與分配3-1 相對測量時需用54.255mm 的量塊組做標準件， 量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸為l1 40mm，l 212mm，l 31.25mm，l 41.005mm 。 經 測 量 ， 它 們的 尺 寸 偏 差 及 其測 量 極 限 誤 差 分 別為13l 10.7 m ,l 20.5 m ,

23、l 30.3 m ,l 40.1 m,lim l10.35m,lim l 20.25 m, lim l 30.20 m,lim l 40.20m 。試求量塊組按基本尺寸使用時的修正值及給相對測量帶來的測量誤差。修正值 =(l 1l 2l 3l 4 )=(0.70.50.30.1)=0.4 (m)測量誤差 :l =2222lim l1lim l2lim l 3lim l4=(0.35) 2(0.25) 2(0.20) 2(0.20) 2= 0.51( m)3-2為求長方體體積V ，直接測量其各邊長為a 161.6mm ，b44.5 mm , c11.2mm , 已 知 測 量 的 系 統 誤 差

24、 為a 1.2mm ，b0.8mm ，c0.5mm ，測量的極限誤差為 a0.8mm，b0.5mm，c0.5mm， 試求立方體的體積及其體積的極限誤差。VabcVf (a,b, c)V0abc161.644.511.280541.44(mm3 )體積 V 系統誤差V 為：Vbc aac bab c142745.744(mm3 )2745.74(mm3 )立方體體積實際大小為：VV0V77795.70( mm3 )lim V(f) 2a2(f) 2b2(f) 2c2abc(bc) 22(ac) 22(ab) 22abc3729.11(mm3 )測量體積最后結果表示為:VV0Vlim V(7779

25、5.703729.11) mm33 3 長方體的邊長分別為 1， 2, 3 測量時：標準差均為；標準差各為 1、 2、 3 。試求體積的標準差。解：長方體的體積計算公式為：Va1 a2a3體積的標準差應為：V)22(V22(V)22V(1)2a33a1a2現可求出：Va2a3 ；Va1a3 ；Va1a2a1a2a3若：123則有：(V22V22(V22(V2(V2V)2V)1()2)3)a2)(a1a2a3a1a3( a2a3 ) 2(a1a3 ) 2(a1a2 ) 2若：123則有： V(a2 a3 )22(a1a3 )22( a1a2 )22123153-4測量某電路的電流I 22.5mA

26、 ，電壓 U12.6V ，測量的標準差分別為I0.5mA ， U0.1V ，求所耗功率P UI 及其標準差P 。PUI12.622.5283.5(mw)Pf (U , I )U 、 I 成線性關系UI1P( f )2U 2( f ) 2 I22( f )( f ) uIUIUIffI UUI 22.5 0.112.60.5UIIU8.55( mw)3-9測量某電路電阻R 兩端的電壓 U ，按式 I= U/R 計算出電路電流，若需保證電流的誤差為0.04A ，試求電阻 R 和電壓 U 的測量誤差為多少？解：是線性關系，若需要保證電流誤差不大于0.04A，則要保在 I=U/R 式中，電流 I 與電

27、壓 U證電壓的誤差也不大于 0.04 ×R。3 12 按公式 V= r2h 求圓柱體體積，若已知r 約為 2cm， h 約為 20cm，要使體積的相對誤差等于1，試問 r 和 h 測量時誤差應為多少?解：若不考慮測量誤差，圓柱體積為Vr 2h3.142220251.2cm3根據題意，體積測量的相對誤差為1，即測定體積的相對誤差為：V1%即V 1%251.21%2.51現按等作用原則分配誤差，可以求出測定 r的誤差應為：r測定 h 的誤差應為：12.5112 V / r1.41 20.007cmhrh12.5110.142cm2 V / h1.41r 2163-14 對某一質量進行4

28、次重復測量，測得數據( 單位 g) 為 428.6 ，429.2 ，426.5 ， 430.8 。已知測量的已定系統誤差2.6g, 測量的各極限誤差分量及其相應的傳遞系數如下表所示。若各誤差均服從正態分布，試求該質量的最可信賴值及其極限誤差。極限誤差 g序號誤差傳遞系數隨機誤差未定系統誤差12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81428.6429.2426.5430.8x4428.775( g)428.8(g )最可信賴值xx428.82.6431.4(g)5f23f)212 2x(ei()ii 1xi4 i 1xi4.9(g)測量結果表示為: x

29、xx(431.44.9) g第四章測量不確定度4 1 某圓球的半徑為 r ，若重復 10 次測量得 r ± r =(3.132± 0.005)cm ，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率17P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D2r其標準不確定度應為：uDr22224 3.1415920.0052r2r 0.0314cm確定包含因子。查 t 分布表 t 0.01 （ 9） 3.25 ，及 K 3.25 故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：U Ku 3.25 × 0.0314 0.102 求圓球的體積的測量不確定度圓球體積為： V4r