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文檔簡介

1、.習題8-7 1. 求函數z=x2+y2在點(1, 2)處沿從點(1, 2)到點的方向的方向導數. 解 因為從點(1, 2)到點的向量為, 故 . 又因為 , , 故所求方向導數為 . 2. 求函數z=ln(x+y)在拋物線y2=4x上點(1, 2)處, 沿這拋物線在該點處偏向x軸正向的切線方向的方向導數. 解 方程y2=4x兩邊對x求導得2yy¢=4, 解得. 在拋物線y2=4x上點(1, 2)處, 切線的斜率為y¢(1)=1, 切向量為l=(1, 1), 單位切向量為. 又因為 , , 故所求方向導數為 . 3. 求函數在點處沿曲線在這點的內法線方向的方向導數. 解 令

2、, 則, . 從而點(x, y)處的法向量為 . 在處的內法向量為 , 單位內法向量為 . 又因為 , , 所以 . 4. 求函數u=xy2+z3-xyz在點(1, 1, 2)處沿方向角為, , 的方向的方向導數. 解 因為方向向量為 , 又因為 , , , 所以 . 5. 求函數u=xyz在點(5,1,2)處沿從點(5, 1, 2)到點(9, 4, 14)的方向的方向導數. 解 因為 l=(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12), , 并且 , , , 所以 . 6. 求函數u=x2+y2+z2在曲線x=t, y=t2, z=t3上點(1, 1, 1)處, 沿曲線在該點的切線正

3、方向(對應于t增大的方向)的方向導. 解 曲線x=t, y=t2, z=t3上點(1, 1, 1)對應的參數為t=1, 在點(1, 1, 1)的切線正向為 , , 又 , , , 所以 . 7. 求函數u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1上點(x0, y0, z0)處, 沿球面在該點的外法線方向的方向導數. 解 令F(x, y, z)=x2+y2+z2-1, 則球面x2+y2+z2=1在點(x0, y0, z0)處的外法向量為 , , 又 , 所以 . 8. 設f(x, y, z)=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z, 求grad f(0, 0, 0)及grad f(1, 1, 1). 解 , , . 因為 , , , , , , 所以 grad f(0, 0, 0)=3i-2j-6k, grad f(1, 1, 1)=6i+3j. 9. 設u, v都是 x, y, z的函數, u, v的各偏導數都存在且連續, 證明 (1) grad(u+v)=grad u+ grad v; 解 . (2) grad (uv)=vgrad u+ugrad v; 解 =vgrad u +ugrad v. (3) grad (u2)=2ugrad u. 解 . 10. 問函數u=xy2z在點p(1, -1, 2)處沿什么方向的方向導數最

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