1、 ab aAaaAa如果一條直線如果一條直線 l和一個平面內的和一個平面內的任意一條直線任意一條直線都垂直，我們就說直線都垂直，我們就說直線 l 和平面和平面 互相垂直互相垂直. . 記作記作l lPL 叫做叫做的的, , 叫做叫做 L L的的, , l與與的交點的交點P P叫做叫做ba練習練習2.線面垂直判定定理的探究問題問題在長方體在長方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱中，棱BBBB1 1與底面與底面ABCD ABCD 垂直。觀察垂直。觀察BBBB1 1與與ABAB、BC BC 的位置關系的位置關系, ,由此你認由此你認為保證為保證BBBB1 1底面

2、底面ABCDABCD的條的條件是什么？件是什么？D D1 1C C1 1B BA AC CD DB B1 1A A1 1D mnP,mnm n Pllmln 線不在多線不在多,重在相交重在相交ABCa例例1.1.如圖，已知如圖，已知ABC ABC 在平面在平面內，直內，直線線a a與平面與平面相交，且相交，且a aACAC，a aBCBC. . 求證：求證：a aABAB例例2.2.如圖如圖(3)(3)，已知，已知a ab b，a a，求證：求證：b b（3）bamn如果兩條平行直線中的一條垂直于一個如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面平面，那么另一條也垂直于同

3、一個平面。bnmnmnbmbabnamaanm所以是兩條相交直線又所以又因為定義知根據直線與平面垂直的因為直線內作兩條相交直線在平面證明, , ,.,: 3.:=CD,EA , EB . : CD AB .例已知求證lnlmlBnm m (2) n (1),ababOAP3.直線和平面所成角直線和平面所成角1.斜線斜線2.斜足斜足3.斜線在平面內的射影斜線在平面內的射影和平面相交和平面相交,但不垂直的直線叫做平面的斜線但不垂直的直線叫做平面的斜線斜線和平面相交的交點斜線和平面相交的交點 過斜線上斜足以外的一點向平過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線面引垂線,過垂足和斜足的直線過垂足和斜足的直線平

4、面的平面的斜線斜線和它在平面和它在平面內的內的射影射影所成的所成的銳角銳角,叫叫做做直線和平面所成的角直線和平面所成的角說明說明:1.若直線若直線垂直垂直平面平面,則直線和平面所成的角為則直線和平面所成的角為902.若直線和平面若直線和平面平行平行,或直線或直線在平面內在平面內,則直線和平則直線和平面所成的角為面所成的角為0 直線和平面所成角的取值范圍為直線和平面所成角的取值范圍為0 0,90例例3在正方體在正方體ABCD-ABCD中中,求求:(1)直線直線AB和平面和平面ABCD所成的角所成的角(2)直線直線AB和平面和平面ABCD所成的角所成的角BBADCACDO1 1 二面角及二面角的平

5、面角二面角及二面角的平面角平面的一條直線把平面分平面的一條直線把平面分為為兩兩部分，其中的每一部部分，其中的每一部分都叫做一個分都叫做一個半平面半平面。從一條直線出發的兩個半從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二平面所組成的圖形叫做二面角。面角。(1)(1)半平面半平面: :(2)(2)二面角二面角: :llll AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB二面角的認識二面角的認識你從圖中看出了二你從圖中看出了二面角的幾種寫法面角的幾種寫法?(3)(3)二面角的平面角二面角的平面角 過二面角棱上任一點過二面角棱上任一點在兩個在兩個半平面內分別

6、作垂直于棱的射線，半平面內分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線所成的角叫做則這兩條射線所成的角叫做二面角二面角的平面角的平面角。B。OAB1。O1A1 垂直于二面角棱的任一平面垂直于二面角棱的任一平面與與兩個半平面的交線所成的角叫做兩個半平面的交線所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角。B。OAB。OAB。OA 二面角的平面角與二面角的平面角與點點（或（或垂垂直平面直平面）的位置無任何關系，只與二）的位置無任何關系，只與二面角的張角大小有關。面角的張角大小有關。二面角就是用它的二面角就是用它的平面角平面角來度量的。來度量的。一個二面角的平面角多大，我們就說一個二面角的平面角多大，我們就說這個二

7、面角是多少度的二面角。這個二面角是多少度的二面角。 以二面角的以二面角的棱上任意一點棱上任意一點為端點，為端點，在兩個面內在兩個面內分別作分別作垂直于棱垂直于棱的兩條的兩條射線，這兩條射線所成的射線，這兩條射線所成的角角叫做叫做二二面角的平面角面角的平面角。二面角的平面角必須滿足二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內角的兩邊分別在兩個面內10 lOABAOB二面角的平面角二面角的平面角哪個對哪個對?怎么畫才對怎么畫才對?VABCACVBBCABVCVAABCV求證中在三棱錐如圖,. 1._,).

8、3._,).2._,90,).1.,. 20心的是則若心的是則若點邊的是則若連接垂足為作外一點所在平面過ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABC1.定義法定義法 根據定義作出來根據定義作出來2.垂面法垂面法 作與棱垂直的平面與作與棱垂直的平面與 兩半平面的交線得到兩半平面的交線得到 lABO12 lOAB3.垂線法垂線法AO lD問題提出問題提出 1. 1.二面角與二面角的平面角分二面角與二面角的平面角分別是什么含義？二面角的平面角有別是什么含義？二面角的平面角有哪幾個基本特征？哪幾個基本特征？(1)(1)頂點在棱上；頂點在棱上；( (

9、2)2)邊在兩個面內；邊在兩個面內；(3)(3)邊垂直于棱邊垂直于棱.(4)(4)二面角的范圍二面角的范圍00。,180,180。 (5)(5)直二面角直二面角平面角為直角的二面角平面角為直角的二面角叫做直二面角叫做直二面角OABAO lD例例1、已知銳二面角已知銳二面角 l ，A為面為面 內一點內一點，A到到 的距離為的距離為 2 ，到到 l 的距離為的距離為 4，求求二面角二面角 l 的大小。的大小。3解解： 過過 A作作 AO 于于O，過過 A作作 AD l 于于D，連，連OD 則則AD l3AO=2 ，AD=4 AO為為 A到到 的距離的距離 ， AD為為 A到到 l 的距離的距離AD

10、O就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角sinADO= ADO=60二面角二面角 l 的大小為的大小為60 在在RtADO中，中，43223AOAD17尋找二面角的平面角尋找二面角的平面角在正方體在正方體ABCD-ABCDABCD-ABCD中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角D-AB-DD-AB-D和和A-AB-DA-AB-D；（2 2）二面角）二面角C-BD-CC-BD-C和和C-BD-A.C-BD-A.BACDABCDBACDABCD尋找二面角的平面角尋找二面角的平面角在正方體在正方體ABCD-ABCDABCD-ABCD中，找出下列二中，找出

11、下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角D-AB-DD-AB-D和和A-AB-DA-AB-D；（2 2）二面角）二面角C-BD-CC-BD-C和和C-BD-A.C-BD-A.尋找二面角的尋找二面角的 平面角平面角BACDABCDO尋找二面角的平面角尋找二面角的平面角在正方體在正方體ABCD-ABCDABCD-ABCD中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角D-AB-DD-AB-D和和A-AB-DA-AB-D；（2 2）二面角）二面角C-BD-CC-BD-C和和C-BD-A.C-BD-A.BACDABCDO尋找二面角的平面角尋找二面角的平

12、面角在正方體在正方體ABCD-ABCDABCD-ABCD中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角D-AB-DD-AB-D和和A-AB-DA-AB-D；（2 2）二面角）二面角C-BD-CC-BD-C和和C-BD-A.C-BD-A. 如果一個平面經過了另如果一個平面經過了另一個平面的一條垂線，那么一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直這兩個平面互相垂直.猜想：猜想： 如果一個平面經過另一個平面的一如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直條垂線，那么這兩個平面互相垂直l ll l面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理符號表示：符號表示：

13、 lABC D線面線面垂直垂直面面面面垂直垂直線線線線垂直垂直課堂練習：課堂練習：1.如果平面如果平面內有一條直線垂直于平面內有一條直線垂直于平面內的一條直線，則內的一條直線，則.（ ）3. 如果平面如果平面內的一條直線垂直于平面內的一條直線垂直于平面內內的兩條相交直線的兩條相交直線, 則則.（ ）一、判斷：一、判斷：4.若若m，m ，則，則.( )2.如果平面如果平面內有一條直線垂直于平面內有一條直線垂直于平面內的兩條直線，則內的兩條直線，則.（ ）1.過平面過平面的一條垂線可作的一條垂線可作_個平面個平面 與平面與平面垂直垂直.2.過一點可作過一點可作_個平面與已知平面垂直個平面與已知平面

14、垂直.二、填空題：二、填空題：3.過平面過平面的一條斜線，可作的一條斜線，可作_個平個平 面與平面面與平面垂直垂直.4.過平面過平面的一條平行線可作的一條平行線可作_個平個平 面與面與垂直垂直.一一無數無數無數無數一一例例1 如圖，如圖，AB是是 O的直徑，的直徑， PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是圓周上不同于是圓周上不同于A, B的任意一點，求證：平面的任意一點，求證：平面PAC平面平面PBC. PABOC例例1 如圖，如圖，AB是是 O的直徑，的直徑， PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是圓周上不同于是圓周上不同于A, B的任意一點，求證：平面的任意一點，求證：

15、平面PAC平面平面PBC. 線線垂直線線垂直線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直 PABOC例例2、已知直線、已知直線PA垂直正方形垂直正方形ABCD所在的平面，所在的平面，A為垂足。為垂足。求證：平面求證：平面PAC 平面平面PBD。ABDPCO解答例例2、已知直線、已知直線PA垂直正方形垂直正方形ABCD所在的平面，所在的平面，A為垂足。為垂足。求證：平面求證：平面PAC 平面平面PBD。證明：證明：。平面PBD平面PBD平面PAC平面PAC B BD DC C正正方方形形A AB BC CD D中中，A ABDBDPAPA平面ABCD平面ABCDBDBD平面ABCD平面ABCDPAPAA A

16、PAPAACAC平面PAC平面PAC平面PAC，PA平面PAC，PAACAC平面PAC平面PACBDBD 平平面面P PB BD DB BD D ABDPCO練習練習1、如右圖：、如右圖：A是是BCD所在平面外一點，所在平面外一點，AB=AD，ABC=ADC=90，E是是BD的中點，的中點，求證：平面求證：平面AEC平面平面ABDDACBE練習練習2： ABCD是正方形，是正方形，O是正方形的是正方形的中心，中心，PO平面平面ABCD ， E是是PC的中點，的中點，求證求證：(1) PC平面平面BDE； (2)平面平面PACBDE.ABCD是正方形，POABCDE 例例3 3 如圖，四棱錐如圖

17、，四棱錐P-ABCDP-ABCD的底面為矩的底面為矩形，形，PAPA底面底面ABCDABCD，PA=ADPA=AD，M M為為ABAB的中的中點，求證：平面點，求證：平面PMCPMC平面平面PCD.PCD.P PA AB BC CD DM ME EF F歸納小結：歸納小結： (1)判定面面垂直的兩種方法：判定面面垂直的兩種方法： 定義法定義法根據面面垂直的判定定理根據面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不僅是面面垂直的判定定理不僅是判定兩個平面互相垂直判定兩個平面互相垂直 的依據，而且是的依據，而且是找出垂直于一個平面的另一個平找出垂直于一個平面的另一個平面面的依據；的依據；(3)從面面

18、垂直的判定定理我們還可以看從面面垂直的判定定理我們還可以看出出面面垂直面面垂直有有的問題可以轉化為的問題可以轉化為線面垂直線面垂直的問題來解決的問題來解決. 小結小結線面關系線線關系面面關系線面平行線面平行線線平行線線平行線面垂直線面垂直線線垂直線線垂直面面垂直面面垂直面面平行面面平行1、兩個平面垂直的判定定理、兩個平面垂直的判定定理“轉化思想”例例3 3 在四面體在四面體ABCDABCD中，已知中，已知ACBDACBD，BAC=CAD=45BAC=CAD=45，BAD=60BAD=60，求證：平面求證：平面ABCABC平面平面ACD.ACD.A AB BC CD DE E例例2題目題目1) 例例2解答解答應用應用例例2、已知直線、已知直線PA垂直于垂直于O所在的平面，所在的平面，A為垂足，為垂足，AB為為O的直徑，的直徑，C是圓周上異于是圓周上異于A、B的一點。的一點。1) 求證：平面求證：平面PAC 平面平面PBC；2) 若若PA=AB=a,C的大小。C的大小。PBPBa，求二面角Aa，求二面角A3 36 6ACAC2) 例例2解答解答應用應用1) 例例2解答解答例2題目例例2題目題目例例2、已知直線、已知直線PA垂直于垂直于O所