1、§9.1直線的方程最新考綱考情考向分析1.掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.3.掌握過兩點的直線斜率的計算公式.4.掌握直線方程的幾種形式，了解斜截式與一次函數的關系.直線的傾斜角、斜率、直線方程是最根本的內容，高考中一般不單獨命題，主要在解答題中與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識進行綜合考查.1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0°<180°.2.斜率公式(1)假設直線l的傾斜角90°，那么斜率ktan.

2、(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1x2，那么l的斜率k.3.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式yy0k(xx0)不含直線xx0斜截式ykxb不含垂直于x軸的直線兩點式(x1x2，y1y2)不含直線xx1 和直線yy1截距式1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標系內的直線都適用概念方法微思考1.直線都有傾斜角，是不是直線都有斜率傾斜角越大，斜率k就越大嗎提示傾斜角0，)，當時，斜率k不存在；因為ktan.當時，越大，斜率k就越大，同樣時也是如此，但當(0，)且時就不是了.2.“截距與“距離有何區別當截距相等時應注意什么提示“截

3、距是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離是一個非負數.應注意過原點的特殊情況是否滿足題意.題組一思考辨析1.判斷以下結論是否正確(請在括號中打“或“×)(1)根據直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.()(2)假設直線的斜率為tan，那么其傾斜角為.(×)(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.(×)(4)經過定點A(0，b)的直線都可以用方程ykxb表示.(×)題組二教材改編2.假設過點M(2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，那么m的值為()A.1B.4C.1或3D.1或4答案A解析由題意得1，解得m1.3.直線斜率的絕

4、對值等于1，那么直線的傾斜角為_.答案或解析由|k|tan|1知tan±1，或.題組三易錯自糾4.兩點A(1，2)，B(m，3)，且m，那么直線AB的傾斜角的取值范圍是()A.B.C.D.答案D解析當m1時，；當m1時，k(， ，.綜合知直線AB的傾斜角的取值范圍是.5.過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為_.答案3x2y0或xy50解析當截距為0時，直線方程為3x2y0；當截距不為0時，設直線方程為1，那么1，解得a5.所以直線方程為xy50.6.直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)為端點的線段總有公共點，那么直線l的斜率的取值范圍是_.答案(，1，

5、)解析如下列圖，當直線l過點B時，k1.當直線l過點A時，k21，要使直線l與線段AB有公共點，那么直線l的斜率的取值范圍是(，1，).直線的傾斜角與斜率例1(1)直線2xcosy30的傾斜角的取值范圍是 ()A.B.C.D.答案B解析直線2xcosy30的斜率k2cos，因為，所以cos，因此k2cos1，.設直線的傾斜角為，那么有tan1，.又0，)，所以，即傾斜角的取值范圍是.(2)(2022·安陽模擬)點A(1，3)，B(2，1).假設直線l：yk(x2)1與線段AB恒相交，那么k的取值范圍是()A.kB.k2C.k或k2D.2k答案D解析直線l：yk(x2)1經過定點P(2

6、，1)，kPA2，kPB，又直線l：yk(x2)1與線段AB恒相交，2k.本例(2)直線l改為ykx，假設l與線段AB恒相交，那么k的取值范圍是_.答案3，)解析直線l過定點P(0，0)，kPA3，kPB，k3或k.思維升華(1)傾斜角與斜率k的關系當時，k0，).當時，斜率k不存在.當時，k(，0).(2)斜率的兩種求法定義法：假設直線的傾斜角或的某種三角函數值，一般根據ktan求斜率.公式法：假設直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據斜率公式k(x1x2)求斜率.(3)傾斜角范圍與直線斜率范圍互求時，要充分利用ytan的單調性.跟蹤訓練1(1)假設A(4，3)，B(5，a)

7、，C(6，5)三點共線，那么a的值為_.答案4解析由題意知kABkAC，即1，解得a4.(2)假設直線l經過A(3，1)，B(2，m2)(mR)兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是_.答案解析直線l的斜率k1m21，所以ktan1.又ytan在上是增函數，因此<.求直線的方程1.點M是直線l：2xy40與x軸的交點，將直線l繞點M按逆時針方向旋轉45°，得到的直線方程是()A.xy30B.x3y20C.3xy60D.3xy60答案D解析設直線l的傾斜角為，那么tank2，直線l繞點M按逆時針方向旋轉45°，所得直線的斜率ktan3，又點M(2，0)，所以y3(x2)，

8、即3xy60.2.直線過點(4，0)，傾斜角的正弦值為的直線方程為_.答案x±3y40解析由題意知，直線的斜率存在，設傾斜角為，那么sin(0，)，從而cos±，那么ktan±.故所求直線的方程為y±(x4)，即x±3y40.3.過點A(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的的直線方程為_.答案3x4y150解析設所求直線的斜率為k，依題意k×3.又直線經過點A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.4.過點(2，1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為_.答案xy30或x2y40解析由題意可設直線方程為

9、1.那么解得ab3，或a4，b2.故所求直線方程為xy30或x2y40.思維升華(1)求直線方程一般有以下兩種方法：直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程.待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數，即得所求直線方程.(2)在求直線方程時，應選擇適當的形式，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用.直線方程的綜合應用例2直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當AOB面積最小時，求直線l的方程.解方法一設直線l的方程為y1k(x2)，那么

10、可得A，B(0，12k).與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，k<0.于是SAOB·|OA|·|OB|··(12k)4.當且僅當4k，即k時，AOB面積有最小值為4，此時，直線l的方程為y1(x2)，即x2y40.方法二設所求直線l的方程為1(a>0，b>0)，那么1.又2ab4，當且僅當，即a4，b2時，AOB面積Sab有最小值為4.此時，直線l的方程是1.本例中，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程.解方法一由例2知A，B(0，12k)(k<0).|MA|·|MB|·224.當且僅當

11、k，即k1時取等號.此時直線l的方程為xy30.方法二由例2知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，1.|MA|·|MB|·|·(a2，1)·(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)524，當且僅當ab3時取等號，此時直線l的方程為xy30.思維升華(1)求解與直線方程有關的最值問題，先根據題意建立目標函數，再利用根本不等式(或函數)求解最值.(2)求解直線方程與函數相結合的問題，一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數，借助函數的性質解決問題.跟蹤訓練2直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，

12、當0<a<2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，求實數a的值.解由題意知直線l1，l2恒過定點P(2，2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，所以四邊形的面積S×2×(2a)×2×(a22)a2a42，當a時，四邊形的面積最小.1.直線xya0(a為常數)的傾斜角為()A.30°B.60°C.150°D.120°答案B解析設直線的傾斜角為，斜率為k，化直線方程為yxa，ktan.0°<180°，60°.2.過點

13、(1，2)且傾斜角為150°的直線方程為()A.x3y60B.x3y60C.x3y60D.x3y60答案D解析ktan150°，直線方程為y2(x1)，即x3y60.3.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，那么 ()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2答案D解析直線l1的傾斜角1是鈍角，故k1<0，直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角且2>3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，應選D.4.直線l：axy2a0在x軸和y

14、軸上的截距相等，那么a的值是()A.1B.1C.2或1D.2或1答案D解析令x0，y2a，令y0，x，那么2a.即(a2)(a1)0，a2或a1.5假設經過兩點A(2,1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，那么m的取值范圍是()A(，1) B(1，)C(1,1) D(，1)(1，)答案C解析根據坐標可得出直線AB的斜率k1m2，因為直線AB的傾斜角是銳角，所以k>0，即1m2>0，所以1<m<1，應選C.6.(2022·保定模擬)直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數，那么直線l的方程為()A.yx2B.yx2C.yxD.yx2

15、答案A解析直線x2y40的斜率為，直線l在y軸上的截距為2.直線l的方程為yx2.7.直線kxy2k，當k變化時，所有的直線都過定點_.答案(1，2)解析kxy2k可化為y2k(x1)，根據直線方程的點斜式可知，此類直線恒過定點(1，2).8.直線l的斜率為，且和坐標軸圍成面積為3的三角形，那么直線l的方程為_.答案x6y60或x6y60解析設所求直線l的方程為1.k，即，a6b.又三角形面積S3|a|·|b|，|ab|6.那么當b1時，a6；當b1時，a6.所求直線方程為1或1.即x6y60或x6y60.9.(2022·福州模擬)假設直線axbyab(a>0，b&g

16、t;0)過點(1，1)，那么該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為_.答案4解析直線axbyab(a>0，b>0)過點(1，1)，abab，即1，ab(ab)2224，當且僅當ab2時上式等號成立.直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為4.10.設點A(1，0)，B(1，0)，直線2xyb0與線段AB相交，那么b的取值范圍是_.答案2，2解析b為直線y2xb在y軸上的截距，如圖，當直線y2xb過點A(1，0)和點B(1，0)時，b分別取得最小值2和最大值2.b的取值范圍是2，2.11.設直線l的方程為(a1)xy2a0(aR).(1)假設l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；(2)

17、假設l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，a2，方程即為3xy0.當直線不經過原點時，截距存在且均不為0，a2，即a11.a0，即方程為xy20.綜上，l的方程為3xy0或xy20.(2)將l的方程化為y(a1)xa2，或a1.綜上可知a的取值范圍是(，1.12.直線l：kxy12k0(kR).(1)證明：直線l過定點；(2)假設直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程.(1)證明直線l的方程可化為yk(x2)1，故無論k取何值，直線l總過定點(2，1).(2)解依題意

18、，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，且k>0，所以A，B(0，12k)，故S|OA|OB|××(12k)×(44)4，當且僅當4k，即k時取等號，故S的最小值為4，此時直線l的方程為x2y40.13.P(3，2)，Q(3，4)及直線axy30.假設沿的方向延長線段PQ與直線有交點(不含Q點)，那么a的取值范圍是_.答案解析直線l：axy30是過點A(0，3)的直線系，斜率為參變數a，易知PQ，QA，l的斜率分別為：kPQ，kAQ，kla.假設l與PQ延長線相交，由圖可知kPQ<kl<kAQ，解得<a<.14.動直線l0：axbyc30(a>0，c>0)恒過點P(1，m)，且Q(4，0)到動直線l0的最大距離為3，那么的最小值為_.答案解析動直線l0：axbyc30(a>0，c>0)恒過點P(1，m)，abmc30.又Q(4，0)到動直線l0的最大距離為3，3，解得m0.ac3.那么(ac)，當且僅當c2a2時取等號.15函數f(x)asinxbcosx(a0，b0)，假設ff，那么直線axbyc0的傾斜角為()A.B.C.D.答案C解析由ff知函數f(x)的圖象關于x對稱，所以f(0)