1、小學數學數與代數 1 專題 1 ：數的認識、數的運算、常見的量的內容分析與建議 在這個模塊中 我們主要和大家交流數與代數領域中的數的認識、數的運算和常見的量的內容，關于這部分內容，我們一線教師作了交流，主要集中在以下四個問題。 1. 如何建立“數”的概念？ 2. 如何處理運算教學中的算理與算法的關系？ 3. 如何落實新課標對估算的要求？ 4. 如何依托現實情境幫助學生體現和理解常見的量。 問題一： 如何建立“數”的概念 一、課標中“數的認識”有何變化 數的概念是學生認識和理解數學的開始，理解數的意義伴隨著學生學習數學的整個過程，從自然數逐步擴展到有理數、實數，學生將不斷增加對數的理解和運用。在

2、小學階段數的認識包括 整數的認識、分數、小數和百分數的認識、負數的認識、數的整除性相關的內容、數的簡單應用等。在教材的安排中， 整數的認識中分為 10 以內認識、 20 以內的認識、 100 以內的認識、萬以內的認識、大數的認識等；分數和小數的認識都為兩個階段、一個是初步的認識，另一個分數和小數的意義。整體來說新課標中對數的認識的要求變化和調整不大，主要有以下幾點，在教學中我們要加以注意。內容 學段 標準要求的調整和變化 數的認識 第一學段 “ 知道用算盤可以表示多位數 ” 。 “ 能結合具體情境比較兩個一位小數的大小，能比較兩個同分母分數的大小。 ” 第二學段 不再要求 “ 比較百分數的大小

3、 ” 和 “ 探索小數、分數和百分數之間的關系 ” 在數的認識中要關注數的意義、數的表示、數與數的關系、數的應用。其中我們要特別關注數的意義，也就是數的概念的建立。在教學中如何建立數的概念是教學的重點，面對數的認識這一重要內容，我們又該怎樣幫助學生建立清晰的數概念，理解數的意義呢？ 二、在建立數概念中要注意的問題 （一） 在整數的認識中要注意的問題 建立正確的數的概念是認數教學的任務，也是學生學習數學的起點 。 理解數的意義一般有兩個角度 ， 一是從數的組成去理解，通過組成理解數的大小和多少，加強對數的感知。二是聯系生活實際來體會，通過在具體的現實情境中，理解數在生活實際中的意義，使抽象的數和

4、具體的量有機的結合，進一步理解數的意義。在實際教學中 我們要把這兩種方式有機地結合起來 ，這樣更有利于學生體會數的意義，建立數的概念。在整數數概念的建立過程中要注意以下幾點： 1. 依托多種形式建立整數數概念 （ 1 ）在具體情境中理解數的意義 學生對數并不陌生，在入學之前，學生已對具體的數有了比較豐富的感知，他們會讀、會寫，會說一些具體的數。我們在教學中就要關注從現實情景抽象出數的過程，例如從具體的 2 匹馬， 2 棵樹， 2 頭牛， 2 個人，抽象為 2 這個數。這時用一個數字也是一個特殊的符號來表示數量，已經把具體的單位和這個數量的具體含義去掉，抽象為數“ 2 ”。反過來， 2 可以表示

5、任何具有 2 這樣數量特征的事物，例如 2 只鉛筆， 2 個人、 2 只小動物，隨著教學的深入，還要引導學生認識到數的豐富含義，比如 計數的數、數量的數、度量的數和計算的數。 （ 2 ）用操作幫助學生具體感知 自然數的認識的教學重點在于使學生從數量抽象到數，抽象離不開直觀的支撐和 操作，例如：計數器、小棒、圖形等等，讓學生親自的數一數，擺一擺，圈一圈、畫一畫，學生數的過程也是一一對應的過程，同時感受具體的數量。 （ 3 ）多種模型的表征 在數的認識過程中，我們要注意運用多種模型幫助學生理解數的意義建立數的概念，比如說：計數器、數位桶，方格圖、數位順序表等，這樣逐漸建立起抽象的數和現實中的數量之

6、間的關系，并且能夠知道這個大小和現實中的多少之間的關系，這也是數感很重要的本質問題。例如，一位老師在教學萬以內的數的認識時，就運用方塊模型幫助學生建立一萬的概念，理解數的意義。 通過方格模型的演示，讓學生體會 10 個一是十， 10 個十是一百， 10 個一百是一千， 10 個一千是一萬，通過幾何圖形的點、線、面、體，使學生在頭腦中建立“一、十、百、千”的映像，同時建立十個千就是一個萬，在學生的頭腦中建立一個清晰的模型“滿十進一”，對于學生理解基數單位和位值制是有很大好處的。 2. 把握核心概念， 重視數位和位置值的理解 為了表示更大的數，數位概念的建立是十分重要的。數位的含意是不同位置上的數

7、字表示不同大小的數，沒有數位的規定就沒有辦法表示更大的數。認識個、十、百、千、萬等不同的數位，理解不同數位上的數字表示不同大小的數，是理解整數概念所必須的。學生必須清楚地了解，同樣一個數字“ 3 ” ，在個位上表示 3 個一；在十位上表示 30 ，即 3 個十；在百位上表示 300 ，即 3 個百。第一學段完成整數萬級的認識，第二學段認識萬以上的數，進而整理十進制計數法。我國的計數單位是每四位一級，萬以內數的個位、十位、百位、千位為個級，學生理解各級上的每個數字的意義，這是理解多位數各個數位上的數字意義的前提條件。我國計數單位是四位一級，在國際上普遍使用的是三位一級，在學習時可以讓學生了解。在

8、歷史上，曾經出現過以 2 、 3 、 4 為原始的數基，比較多的是以 5 、 20 、 60 為數基，即五進制、二十進制、六十進制。當然，最多的是以 10 為數基，即現在世界各國通用的十進制，即 重要的“滿十進一”的方法。 在古代文明中，世界各國大多數都是采用十進制，例如中國、古羅馬。但十進位記數法，離十進位值制還有關鍵的一步“位置值制要走。所謂“位值制”，是指相同的計數符號由于所處的位置不同可以表示大小不同的數目。有了位值制，就可以用有限的數字表示出無限的自然數，這是記數歷史上的一個創造，一個奇跡。因此馬克思在他的數學手稿一書中稱十進位值制記數法為“最妙的發明之一”。 （ 1 ）重視 10

9、的概念的建立 一個 十 和幾個 一 是十幾 ， 這就是位值制的基礎 ， 這樣 10 個數字就可以表示出生活中無限多的物。教學中建立好概念非常重要。在教學 10 的認識時要讓學生親自感受到由 9 再加 1 變成 10 的過程，可以通過數、擺、捆、撥、說等活動，讓學生感受 10 個一是 1 個十。在 11-20 各數的認識中仍然要關注 10 的概念的建立，讓學生體會滿十進一的過程。 （ 2 ）重視數計數單位： 為幫助學生了解十進制計數法 和位值制。要重視數計數單位 逐步建立新的計數單位，10 個一是 1 個十，10 個十是一百，10 個百是一千，10 個千是一萬，10 個萬是十萬，10 個十萬是一

10、百萬，10 個百萬是一千萬，從而引出新的計數單位十萬，在一個單位、一個單位地數的活動中，學生充分體會每數滿 10 個單位就產生一個新的計數單位，感受了兩個相鄰計數單位間的進率是十。 （ 3 ）重視數位順序表的使用 隨著認識的數越來越大教師應不斷擴充完善數位順序表，從認識 20 以內的數起就讓學生了解個位和十位，認識百以內數時補充認識百位，在認識萬以內數的時候第一次出現了數位順序表，在認識整數的最后一個單元里學生將認識萬級和億級的數以及比億更大的數。數位順序表可以分兩次擴展，先擴展到萬級，再擴展到億級。數位順序表有助于學生了解十進制計數法，理解數的意義并掌握讀、寫數的方法。 3. 關注對大數的感

11、受 在第一、二學段都提出感受大數意義和對大數進行估計的要求。第一學段是要求在生活情境中感受大數的意義，第二學段情境的范圍有所擴大，要求在現實情境中感受大數的意義。其本質是相同，都是希望通過具體的情境對大數加以感受，增加學生的數感。感受大數與情境的具體內容有關， 1200 張紙大約有多厚？你的 1200 步大約有多長？ 1200 名學生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？這些具體的情境學生可以通過實際操作和觀察感受。有時還要加入想象的成份， 1200 名學生需要多大場地，許多學校可能沒有這么多人，學生就需要了解自己的學校有多少人，占多大地方，再想象 1200 人會占多大地方。 這個抽象過程在小學一

12、年級開始認識數時就強調，直到認識較大的數。學生逐漸認識數的抽象表示，逐步建立數概念。 （二）在建立分數概念中要注意的問題 教師在數的認識的教學中 普遍認為分數的認識是數認識教學中的一個難點。 分數起源于分，當平均分出現不是整數結果的時候，逐漸有了分數的概念。后來，在土地測量、產品分配等過程中 , 常常得到不是整數的結果，便產生了分數。分數的產生經歷了一個漫長的過程，分數的真正來源在于自然數除法的推廣。 1. 加強對分數豐富意義的理解 教師要了解分數意義的多重多元性，才能引導學生深刻理解分數的意義。 對分數意義的理解應關注以下兩個主線和四個層面： 兩個主線 即“比的線索”和“數的線索”。“比”指

13、的是一部分與另一部分之間的關系；“數”指的是以有理數形式出現的分數，此時的分數表現的是一個結果。 分數意義理解的四個層面 “比率” 是指部分與整體的關系和部分與部分的關系。其中部分與整體的關系更多地體現在真分數的含義中。例如一個圓平均分成 4 份，每一份是整體的。又例如，長方形中的一部分是整個長方形的 ，整體圖形的面積應該是多少？顯然，整體圖形的面積應該是這樣的三份。這里的 和 所反映的就是取的份數與整體份數之間的關系。 而部分與部分之間的關系更多地表現為是一種“記號”。例如小紅有 5 個蘋果，小麗有 3 個蘋果，小紅的蘋果是小麗的 倍。對比率維度的理解，可以幫助學生完成對分數的基本性質以及通

14、分、約分等相關知識的正確認識。 “度量” 指的是可以將分數理解為分數單位的累積。例如 里面有 3 個 ，就是用分數 作為單位度量 3 次的結果。著名數學家華羅庚曾經說過：“數起源于數，量起源于量。”對度量維度的研究，可以大大豐富學生對分數的認識。度量維度的體驗也可以直接作用于分數加（減）法的學習中。 “運作” 主要指的是將對分數的認識轉化為一個運算的過程。例如，求 6 張紙的 是多少張紙，學生將 理解為整體 6 張紙的 ，即將 6 張紙這個整體平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6 ÷ 3 × 2 ，也就是 6 × 。 “商” 這個維度主要是指分數轉

15、化為除法之后運算的結果，它使學生對于分數的認識由“過程”凝聚到“對象”，即分數也是一個數，也可以和其他數一樣進行運算。 以上這四個維度沒有先后之分，主次之別，它們對學生多角度認識分數都發揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔著學生對于分數內涵豐富性認識的建構。 2 利用多種模型幫助學生理解分數的意義 在小學階段教材中往往以學生熟悉的日常事物與活動為模型，建立分數的概念。例如把一個月餅平均分為兩份，其中的一份是 個，把一張紙平均分為為四份其中的一份是 ，這僅僅是從“面積模型”的角度來理解分數，學生理解分數可以借助于多種“模型”。 （ 1 ）分數的面積模型：用面積的“部分整體”表示分數 兒童最早是

16、通過“部分整體” 來認識分數，因此在教材中分數概念的引入是通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認識分數的，這些直觀模型即為分數的“面積模型”。 （ 2 ）分數的集合模型：用集合的“子集全集”來表示分數 這是“部分整體”的另外一種形式，與分數的面積模型聯系密切，但學生在理解上難度更大，關鍵是“單位 1 ” 不再真正是“ 1 個整體”了，而是把幾個物體看作“ 1 個整體”，作為一個“單位”，所取的“一份”也不是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”，例如，把 4 個桃子看作“單位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 個占整體的 。分數的集合模型需要學生有更高程度的

17、抽象能力，其核心是把“多個”看作“整體 1 ”。 （ 3 ） 分數的“數線模型”：數線上的點表示分數 3. 把握好每一階段完成的任務 在小學階段，對于分數意義的學習，教材一般“顯性”地分為兩個階段：第一學段分數的初步認識和第二階段分數的意義。但實際上，基于對于分數意義內涵豐富性的理解，我們逐步認識到，對于分數意義的學習，決不是一兩次教學所能全部承載和實現的，需要通過系列設計，逐步滲透、多維度建立，將教材中的“顯性”和“隱性”結合起來。我們應該如何把握每一階段的教學呢？ 第一階段：認識平均分。 第二階段：在分數的初步認識教學中，幫助學生初步建立部分與整體關系的認識，感受分數。 第三階段：在分數意

18、義和分數基本性質的教學中，重點使學生發展對于分數理解的比率、度量的維度。 第四階段：在分數與除法關系的教學中，重點使學生發展對于分數理解的運作、商的， 第五階段：在分數的運算及解決問題的教學中，鼓勵學生綜合運用對于分數意義理解 的多個維度。 必須指出的是，這五個階段不是相對孤立的，更不是線性排列的，不能僵化地理解為到了某一階段就必須或者只能達成對某維度的學習，其他維度將不再涉及。這四個階段在完成對分數意義豐富認識方面各有側重，相互滲透，相互補充，共同幫助學生實現對分數意義理解的不斷發展和整體建構。 總之分數的認識是一個循序漸進的過程，需要系統的進行教學設計，才能使學生真正理解熟練運用。 （三）

19、在建立小數數概念中要注意的問題 在分數初步認識學習的基礎上，教材安排了小數的初步認識。 小數的出現標志著十進制記數法從整數（自然數）擴展到了分數，使分數與整數在形式上獲得了統一。由此可見小數和整數、分數有著密切的聯系。 1. 利用知識遷移建立小數概念 分數的學習對小數的學習特別是小數意義的理解有直接顯著的影響 ， 后者的學習對前者也有促進作用 ， 例如 8 分米是十分之八米是學生已有的知識 ， 只要通過提問 ， 引起學生的回憶和思考 ， 還可以寫成 0.8 米 ， 也就是同一對象的兩種不同形式 ， 使小數和分數建立起直接的聯系 ， 使學生進一步體會到 ： 十分之幾和一位小數， 百分之幾和兩位小

20、數之間的關系 。 再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用數軸表示數，這是認識整數、分數時常用的模型 ， 可以將其拓展到小數 。 例如：把一個正方形平均分成 10 份 100 份 ， 其中的若干份既可以用分數表示 ， 也可以用小數表示，這樣能夠 幫助學生理解的小數意義，建立小數的模型，培養學生的數感 。 2. 溝通整數、小數、分數之間的關系 （ 1 ） 溝通整數和小數的關系。 整數與小數的計數方法是一致的， 相鄰兩個計數單位間的進率都是 10 ， 小數的計數方法是整數計數方法的擴展 ， 教學中要設計相應的教學環節將整數的計數方法遷移到小數， 為學生在計數的經驗和方法上建立聯系 ， 不僅如此

21、， 還要利用這些活動幫助學生整理認數系統 ， 把原來認識的整數數位表擴充到小數 。 （ 2 ）溝通分數和小數的關系： 小數和分數上的溝通，主要是意義上的溝通，使學生理解小數是十進分數。（ 3 ）溝通分數、整數、小數之間的關系。 關于小數和整數、分數有著密切的聯系，在整數學習的基礎上，學習了小數， 小數的表征形式與整數相似， 數位順序表得到補充，都是十進制。如果以個位為基礎，向右擴展就是十位、百位、千位；如果向左擴展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。 換句話說：以個位為對稱軸，兩邊的數位呈現了對稱的關系，只是小數部分在位前增加了“分”；這樣“每相鄰的兩個計數單位之間的進率都是 1

22、0 ”得到了全面的概括；小數是十進分數。 從這個意義上說，對小數的理解比對分數的理解更容易一些。 整數可以數，一個一個地， 一十一十地數，一百一百地數， 小數可以數： 0.1 、 0.2 、 0.3 、 0.4 、 0.5 、 0.6 、 0.7 分數可以數： 以此類推。這列數是按照一個單位進行數數的，無論是整數、小數、分數它們都是計數單位的累加。 3. 把握好小數認識的兩個階段的教學 我們知道關于小數的初步認識可以從學生熟悉的計量單位：元、角、分和米制系統（米、分米、厘米）來幫助學生學習。并不涉及到小數的計數單位和數位；到了第二學段學習小數的意義時，才抽象出小數的計數單位和數位，以及完善數位

23、順序表 兩個學段的重點不同，呈現的方式和學習的方式也應當有區別。要根據學生的實際選擇合適的學習方法，幫助學生理解小數的意義。 三、 建立數概念教學的具體建議 （一）在數認識中體現數感。 數感的建立非常重要，教師要設計多種活動培養學生的數感。 （二） 整體把握內容之間的聯系： 兩個學段相關內容的整體把握和遞進與銜接。 （三）鼓勵學生進行數學交流，關注數的應用 。關于數的認識包括從數的意義、數的表示、數和數之間的關系、數的應用；其中數的應用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個學習中。教學中要提供機會鼓勵學生運用數來表示日常生活中的一些事物，并進行交流。 問題二： 如何處理運算教學中算理與算法的關系 一

24、、 課標對“數的運算”有什么新要求 新課程標準中明確指出，在數學課程中，應當注重發展學生的運算能力。 運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。 培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。同時在課標解讀中也強調“應當淡化對運算的熟練程度的要求，選擇正確的計算方法，準確地得到運算結果，比運算的熟練程度更重要。應當重視學生是否理解了運算的道理，是否能準確地得出運算的結果，而不是單純地看運算的速度。”這一目標的提出就要求教師在數的運算教學中，不能僅僅關注于學生運算技能的掌握，更要注重學生理解算例、掌握算法的學習過程，也就是在教學中要注重將算理與算法有機的結

25、合在一起，從而發展學生的運算能力。 學習數的運算的過程就是發展邏輯思維能力的過程，數的運算的概念、性質、法則、公式之間都有內在聯系，存在著嚴密的邏輯性。每個概念、性質、法則、公式的引入與建立，都要經過抽象、概括、判斷、推理的思維過程。學生學習、理解和掌握“數的運算”內容時都要經過從具體到抽象、從感性到理性的過程，學生把這些應用到實際中去，還要經過由一般到特殊的演繹過程。因此，數的運算的學習有利于發展學生的思維能力。這就需要教師在教學的過程中不僅僅關注結果、關注方法更要關注得到結果、得到方法的思維過程，這個思維過程就是學生理解算理、掌握算法的過程。小學生仍然以直觀形象思維為主，而算理、算法又十分

26、抽象，因此如何結合學生的思維特點處理好運算教學中算理與算法的關系，往往就是教學的難點所在。我們可以結合學生的年齡特點借助生動有趣的童話情境、借助直觀模型、借助學生已有的認知基礎和生活經驗，處理好運算教學中算理與算法的關系。 二、如何處理運算教學中算理與算法的關系 （一）借助生動有趣的童話情境，處理好運算教學中算理與算法的關系。 小學生，尤其是低年級的學生，他們更多的是以形象思維為主，因此創設生動有趣的童話情境，不僅能夠很好地調動他們的學習積極性，更能夠借助童話情境幫助他們理解算例、掌握算法。 北京小學 魏來紅 老師在教學 20 以內進位加法一課中，就是為學生創設了學生喜愛的小動物上車的童話情境

27、（ PPT ）。首先 魏 老師通過讓學生在第一站幫助 9 個小動物上車，來復習十加幾的口算，學生的積極性一下子就被調動了起來，為他們能夠運用學過的知識幫助小動物而感到高興。接下來再通過第二站幫助 5 個小動物上車，復習連加，并通過追問“有什么好方法能讓我們算得又對又快？”使學生感受到先湊“十”再算“十加幾”簡便快捷，為理解“進位加”的算理做好了孕伏。 5 個小動物上車后，與在第一站上車的 9 個小動物合起來，這時車上一共有多少個小動物？從而引出了 9+5= ？這一進位加法。如何計算 9+5= ？學生結合生動、形象、具體的現實情境，很快就想到把 5 分成 1 和 4 ， 1 和 9 組成 10

28、， 10 加 4 等于 14 。就這樣學生在輕松、愉悅的童話情境中，順利的理解和掌握了進位加的算理與算法。 通過這節課我們看到，魏老師正是能夠很好的結合學生的年齡和心理需求以及他們的思維特點，創設了學生感興趣、喜愛的童話情境，使枯燥的數學變得生動有趣，使抽象的算理變得直觀形象，使學生在明理中順利、自然的掌握了算法。 （二）借助直觀模型，處理好運算教學中算理與算法的關系。 在皇城根小學史冬梅老師上的兩位數乘兩位數一課中，史老師結合三年級學生的思維特點，借助直觀模型較好地處理了算理與算法的關系。史老師在這節課上沒有將會寫“豎式”作為最終的教學目標，而是在學生已經能夠初步掌握豎式計算方法的基礎上，引

29、導學生探尋方法背后的道理。并提供給學生直觀的點子圖作為研究素材，在研究中，學生們呈現了豐富多彩的成果。雖然學生們的分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致的，這一點恰恰就是乘法豎式運算的基本思路。在這之后，史老師再次將分點子圖與豎式中的四句口訣進行了對應，引導學生一步步深入地理解豎式計算中每一個細節背后的道理。“分點子圖”不僅給學生創造了積累活動經驗的寶貴機會，同時又使學生能夠借助直觀模型，較好的理解了兩位數乘法算法背后的道理。 在我們以往的教學中，不少老師或者不重視引導學生探索計算的過程，或者當學生剛剛探索出方法后，就立即引導學生學習豎式，在學生對豎式運算的每個環節沒有真正理解的情況下就開

30、始追求計算方法。這就很可能造成學生在沒有真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來習得方法和技能。這顯然對學生的發展是不利的，史老師這節課恰恰是為學生真正地、扎扎實實地經歷理解的過程提供了鮮活而典型的案例。在教學中教師要舍得拿出時間讓學生有機會經歷，有機會感受，有機會理解，有機會創造。新的課程標準中也明確提出了學生活動經驗的目標，它背后深遠的意義還需要廣大教師在自己的實踐中開動腦筋，深入挖掘，潛心感悟。 （三）借助學生已有的認知基礎和生活經驗，處理好運算教學中算理與算法的關系。 北京小學于萍老師曾經上過的小數加減法一課，在這節課中于老師就是借助學生已有的認知基礎和生活經驗，幫助學生理解小數加減法的

31、算理。于老師讓學生自主進行編題，其中就有一名學生編出了一道 0.8+3.74= ，這種類型將要揭示的“小數點對齊”是本節課的重點所在，也是小數加減法總結算法的重要時機。為了讓學生有機會調動已有的整數加減法的認知經驗，經歷判斷、推理、抽象的思維過程，于老師就讓每個學生自己試做，并說明自己這樣做的道理。 師：你們以前做過很多很多加減法題，無一例外的都是把末位的兩個數字對齊，可這道題為什么不末位對齊呢？ 生：整數的末位是個位，末位對齊也就是個位對齊了。而小數的末位不一定是相同的，所以不能末位對齊。 師：你們雖然沒把末位對齊，但把誰對齊了？ 生：把小數點對齊，也就是相同數位對齊。 師：你看得很深、很準

32、，這樣做肯定有這樣做的道理。可為什么一定要小數點對齊、要相同數位對齊呢？ 生 1 ：如果不對齊算出來就錯了。 生 2 ：如果不把小數點對齊，而把末位對齊的話，十分位的 8 就和百分位的 4 對齊了，相加之后肯定就不對了。 生 3 ：我舉個例子說吧，比如買兩樣東西，一個是 0.8 元，另一個 3.74 元，如果把末位的 8 和 4 相加，就是用 8 角加 4 分，那肯定不對了。 師：我們研究同一個問題時可以從不同角度研究，比如，可以講道理，也可以舉例子。剛才這道題，就有同學想到了用我們都熟悉的“元角分”舉例子來解釋，簡單的事說明了深奧的道理，你真棒。看來只有相同計數單位的個數才能夠相加減。 小結

33、：原來看似和整數加減法不太一樣的“小數點對齊”其實和“末位對齊”一樣，都是為了確保“相同數位對齊”，而相同數位對齊背后的道理就是“相同計數單位的個數直接相加減”。你們不僅找到了方法，還理解了方法背后的數學道理，真了不起。 小數加減法在小學“數與代數”的學習領域中占有什么位置？如何把握它與整數加減法的關系？在這節課中又該如何呈現知識的本質，抓住核心概念進行教學？于萍 老師的教學實踐回答了上面的問題。教師在引導學生探究小數加減法計算方法的過程中，始終抓住了本節課知識的“魂”實施教學，她沒有滿足學生能正確地計算出結果，而是步步深入引導學生逼近數學本質的理解。引發學生對小數加減計算道理的深刻理解，即：

34、小數加減法與整數加減法的本質意義是一致的，即相同的計數單位相加減。像這樣，將“講理”與“明法”有機的結合，讓學生在理解算理的基礎上總結算法，有助于學生更深入地理解數學核心概念，才能夠更好地實現“培養學生根據法則和運算律正確地進行運算的能力。”的目標。 三、 對“數的運算”教學的建議 （一）處理好算理直觀與算法抽象的關系 。這個理是學生不容易理解的，教師可以通過現實情境、直觀的圖、學生已有的知識基礎等幫助學生去理解。 （二）處理好算法多樣化與算法優化的關系 。算法多樣化，要關注學生的個性，可能這個學生適合這樣的方法，那個學生喜歡另一種方法，但是它們背后的道理是一樣的，老師要想辦法通過不同的方法，

35、讓學生去理解這個道理，使學生能夠更有效的進行數學學習。 （三）處理好技能訓練與思維訓練的關系 。它不是一種單純的、機械的、做題量的積累，在這個過程當中，要注重幫助學生積累經驗，發展思維。 （四）注重計算與日常生活以及解決問題的聯系 。學習加減乘除的計算，最終要為解決問題服務，在解決問題過程中，讓學生體會到計算方法的實際價值。 問題三 如何落實新課標對估算的要求 一、課標對“估算”有什么新要求 課標修訂版中加強了對“估計”以及“選擇適當的單位”進行簡單估算。如何理解“選擇適當的單位”進行簡單的估算？ 例如：學校組織 987 名學生去公園游玩。如果公園的門票每張 8 元，帶 8000 元錢夠不夠？

36、 解決此題的適當方法是把 987 人看成 1000 人，所以適當的單位是“ 1000 人”。結合具體情境，選擇適當的單位是第一學段估算的核心。在對大數進行估計的時候，選擇合適的單位也很重要。教室到學校體育館有多遠，就應當選用米作單位。而從家到學校有多遠，就要選擇千米作單位。太陽到地球的距離就要用光年作單位。 第一學段的估算強調在具體的情境中選擇合適的單位，剛才的例子是選擇了 1000 人作單位。一般來說，估計教室的長度時，通常以“米”為單位；估計書本的長度時，通常以“厘米”為單位。也可以用身邊熟悉的物體的長度為單位，如步長、臂長等。教學中，要讓學生結合實際熟悉一些常見的計量單位真正了解其長短，

37、大小和輕重等，并在頭腦中建立起相應的表象。 二、如何把握估算教學的內容及其要求 （一）為什么教   估算在日常生活中有著廣泛的應用。   有利于人們事先把握運算結果的范圍，是發展學生數感的重要方面。   為判斷計算器、口算和筆算結果是否合理提供了依據。   在具體情境中估算，有利于學生提高判斷、選擇的能力。   估算有利于培養學生做事的計劃性。   估算對學生后續的數學學習有重要作用。 （二）教什么 關于“教什么”要依據新課標中的要求，展開教學。至少教學要涉及“估算方法”、“估算策略”。 估算方法： 湊整的方法。 如湊成一個整十、整百

38、的數。 取一個中間數。 如32、37、 30 和39這四個數求和，這些數都很接近35，有的比35多一點，有的比35少一點，就取一個中間數35，直接用35×4，就大約地計算出了這幾個數相加的結果。 用特殊的數據特點進行估數。如126 × 8，就可以想到125 × 8，125的8倍，就得到1000。 尋找區間。 也就是說叫尋找它的范圍，也叫做去尾進一，去尾就是只看首位，那么只看首位的時候，估得的結果就是它的至少是多少；進一就是首位加一，假如說278，就看成了300，首位加一，這樣就是它最多可能是多少，這樣得到一個范圍，就是尋找它的區間范圍。 大小協調。 兩個數，一個數

39、 往大了估，一個數往小了估，或者一個數估一個數不估。 先估后調。 利用乘法口訣湊數。 這種方法一般用于除法的估算，一般用除數乘一個整十數、整百數或整百整十數，如果乘積最接近被除數，則這個數就是除法估算的商。如 358÷6 ，用除數 6 乘整十數 60 ，其積 360 最接近被除數 358 ，那么整十數 60 即是所求的商。 （三）怎么教？ 估算教學，不是單純的教給學生記住一種估算的方法，而是通過我們的課堂教學，使 學生逐步地去理解估算的意義和價值，發展學生估算的意識。在這個過程當中，應當多增加一些學生的體驗，不斷地豐富學生這方面的經驗，并逐步加以積累。 教學建議： 1. 整體把握估算

40、教學，把估算意識的培養作為重要的教學目標 所謂整體把握估算教學，就是要把握自己所教估算教學部分的知識結構與地位，要知道自己所教學的估算知識部分在整個小學階段處于什么位置 ? 對今后的估算學習能起到什么作用 ? 要在自己所教的一段達到什么樣的目標 ? 這樣一來在教學中就會做到游刃有余，心中有數。 學習估算的開始階段，對學生來說可能有一定的難度，或許會影響一點教學進度或計算速度，這時老師不能為了趕進度而著急，應該給學生充分理解的空間和時間。要知道開頭的 “ 慢 ” 正是為了不久之后的 “ 快 ” 和 “ 好 ” 。 在教學中 首先要考慮估算的教學目標，如果把目標僅僅定位在就教會湊整估算，或是見到

41、“ 大約 ” 就要估算，做一些機械的訓練，可能就會給學生形成一種錯誤的定勢。而估算教學中，首要重要的如何培養學生近似的意識，這是我們數學教學本身應該關注的問題，應該作為重要的教學目標來進行實施。 引導學生在問題情境的對比中，選擇估算或精確計算，不斷地積累這方面的經驗。作為數學教師，要想辦法搜集或者捕捉一些好的素材，在具體的問題情境當中讓學生去感受，什么樣的問題解決需要近似值，就是需要估算，哪些問題解決一定要算出精確值，比如“全家吃飯”飯費大約200元，就是估算。沒有必要精確地計算。但作為飯店的收銀員就需要精確計算，估算顯然不行。 2. 要選好題目，提出好問題，讓學生體會估算的意義和價值。 作為

42、教師，在教學設計當中，首先要選好題目，提出有估算價值的問題。比如，三位數除以兩位數，你估一估這道題，它的商是幾位數？這個問題就有價值。另外，只有選好題目、提出好問題學生才能自覺體會到估算的價值，學生有了對估算價值這種體驗以后，他的估算意識才能不斷增強。 另外，鼓勵學生利用估算來驗證計算結果，養成好習慣。估算教學，要結合具體的問題情境讓學生體會到估算的意義和價值，結合學生的實際，尤其是已有的知識水平和生活經驗提出合適的問題，才能使得學生對估算的意義有深刻的體會，尤為重要的是，給學生充分的交流時間和空間，通過學生的交流讓學生解釋過算的過程。 面對不同的算式，學生有時用計算器計算，有時用精確筆算，結

43、果對不對，特別是積的位數、商的位數，準確不準確，可以先用估算的方法，來確定一下它大致的取值范圍，這樣可以幫助學生來驗證計算的結果。估算意識的培養，應該從點點滴滴做起，使學生逐步地養成一種習慣，形成這種良好的習慣以后，他會自覺地進行估算。 3. 鼓勵方法多樣化，重視交流、解釋過程，讓學生進行合理估算。 由于學生對于相關數學知識和技能的掌握情況及思維方式、水平不同，在估算中方法會多種多樣。教師要積極鼓勵學生估算方法多樣化，應讓學生充分交流，表達自己的想法，了解他人的算法，使學生體會到解決同一個問題可以有不同的方法，促進學生進行比較和優化。 估算結果是多樣的，要關注估算結果是否合情合理。在估算教學中

44、讓學生交流估算方 法尤其重要，只要切合估算的目的或解決問題的需要就是好方法。因此不同的情境會選擇不同的估算方法。 教師教學中要強化估算意識并結合教學內容作好估算示范。這種示范并不是包辦，而是給予適當的引導，讓學生在科學的范圍內進行估算，同時對好的方法加以強調，進行合理的估算。 4. 做好對估算的有效評價 （ 1 ）對估算意識的評價 首先看一個案例，摘自 TIMSS 的測試： 保羅用 $5 去購買牛奶、面包和雞蛋。當他到達商店時，發現這三種食品的價格如下圖所示： 在下列哪種情況下使用估算比精確計算有意義？ A. 當保羅試圖確認 $5 是否夠用時； B. 當銷售員將每種食品的價錢輸入收銀機時； C

45、. 當保羅被告知應付多少錢時； D. 當銷售員數保羅所付的費用時。 這個題目設計的比較巧妙，它通過一個具體問題，考察學生能否在具體情境下對是否需要計算估算進行判斷，也就是考察學生是否具備了一定的估算意識。此題對我們的最大啟發是，估算意識也是可以考察的。因此在進行估算評價時，也要重視對估算意識的考察。 （ 2 ）對估算策略的評價 估算分為：一種是根據實際問題來進行估算，一種是脫離實際問題的情境，純算式的進行估算。   根據實際問題，選擇合理的估算策略，結果合理即為正確 學生只要能夠解決實際問題，那這個估算就應該是合理的，這是針對著解決實際問題來說的。老師需要認識到，估算結果并不是與實際

46、情況越接近就越好，只要合理即為正確。什么是合理，只要估算的結果，能夠有效地解決問題就是合理。   純試題的估算，只要結果落在一定的區間內，即為正確；但要根據不同年齡的學生的認知實際，給予針對性的評價 有一些題目，脫離了實際問題情境，屬于純算式的估算，在這種情況下，我們提出：不能簡單地把估算結果是否與精確值最接近作為唯一的標準，只要能夠落在區間內，就視為是合理的。 這個區間，也就是它的取值范圍。 同時，不同年齡的學生，要有不同的評價標準。如低年級學生剛剛接觸估算，它的估算結果落在一個范圍比較大的區間內，我們覺得就可以。高年級的學生已經有了一定的估算經驗，就要引導他不斷地進行再反思，再調

47、整。舉個例子來說： 78 × 365 積大約是多少，剛開始學習的時候，學生可能這樣估 70 × 300 ，或者 80 × 300 ，或者 80 × 400 ，這樣我們都可以視為是合理的。有了一定的計算技能以后，老師要引導學生不斷地去進行反思，還可以估成 80 × 350 ，這時候的范圍就比原來要小多了。   數學中比較重視估算結果是否落在了合適的數量級中 數量級也就是十、百、千，萬，換句話說就可以用 10 的多少次次方。如上面提出的 TIMSS 測試題中有一道題的備選答案很有意思，“史密斯家每星期的用水量是 6000 升，他家每年的用

48、水量大約是多少升？”讓學生從下面的答案進行選擇。 A.30000 B.240000 C.300000 D.2400000 E.3000000 這正是在考察學生對數量級的了解。一年 52 個星期， 52 × 6000 ，結果為十萬數量級，再加上肯定比三十萬大，所以結果為 C 。 關于評價估算策略的問題，我們認為學生們估算的策略不同，只要是合理的，就應當 鼓勵他們大膽地嘗試，鼓勵他們積極解釋自己的觀點，交流自己的看法。在這個過程當中，肯定會有很多有價值的東西在課堂中涌現出來，教師要小心翼翼地去呵護住學生們的這份探究的精神，不要輕易地用一兩句話就否定一種方法。教師不要急于給予評判，給孩子一種寬松的氛圍，讓孩子不斷