1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上CUMCM2003A題SARS的傳播SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥，俗稱：非典型肺炎)是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS的傳播建立數學模型，具體要求如下：1)對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。2)建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防

2、和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里?對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件2提供的數據供參考。3)收集SARS對經濟某個方面影響的數據，建立相應的數學模型并進行預測。附件3提供的數據供參考。4)給當地報刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數學模型的重要性。B題露天礦生產的車輛安排鐵工業(yè)是國家工業(yè)的基礎之一，鐵礦是鋼鐵工業(yè)的主要原料基地。許多現代化鐵礦是露天開采的，它的生產主要是由電動鏟車(以下簡稱電鏟)裝車、電動輪自卸卡車(以下簡稱卡車)運輸來完成。提高這些大型設備的利用率是增加露天礦經濟效益的首要任務。露天礦

3、里有若干個爆破生成的石料堆，每堆稱為一個鏟位，每個鏟位已預先根據鐵含量將石料分成礦石和巖石。一般來說，平均鐵含量不低于25的為礦石，否則為巖石。每個鏟位的礦石、巖石數量，以及礦石的平均鐵含量(稱為晶位)都是已知的。每個鏟位至多能安置一臺電鏟，電鏟的平均裝車時間為5分鐘。卸貨地點(以下簡稱卸點)有卸礦石的礦石漏、2個鐵路倒裝場(以下簡稱倒裝場)和卸巖石的巖石漏、巖場等，每個卸點都有各自的產量要求。從保護國家資源的角度及礦山的經濟效益考慮，應該盡量把礦石按礦石卸點需要的鐵含量(假設要求都為2951，稱為品位限制)搭配起來送到卸點，搭配的量在一個班次(8小時)內滿足品位限制即可。從長遠看，卸點可以移

4、動，但一個班次內不變。卡車的平均卸車時間為3分鐘。所用卡車載重量為154噸，平均時速28。卡車的耗油量很大，每個班次每臺車消耗近1噸柴油。發(fā)動機點火時需要消耗相當多的電瓶能量，故一個班次中只在開始工作時點火一次。卡車在等待時所耗費的能量也是相當可觀的，原則上在安排時不應發(fā)生卡車等待的情況。電鏟和卸點都不能同時為兩輛及兩輛以上卡車服務。卡車每次都是滿載運輸。每個鏟位到每個卸點的道路都是專用的寬60的雙向車道，不會出現堵車現象，每段道路的里程都是已知的。一個班次的生產計劃應該包含以下內容：出動幾臺電鏟，分別在哪些鏟位上；出動幾輛卡車，分別在哪些路線上各運輸多少次(因為隨機因素影響，裝卸時間與運輸時

5、間都不精確，所以排時計劃無效，只求出各條路線上的卡車數及安排即可)。一個合格的計劃要在卡車不等待條件下滿足產量和質量(品位)要求，而一個好的計劃還應該考慮下面兩條原則之一：1總運量(噸公里)最小，同時出動最少的卡車，從而運輸成本最小；2利用現有車輛運輸，獲得最大的產量(巖石產量優(yōu)先；在產量相同的情況下，取總運量最小的解)。請你就兩條原則分別建立數學模型，并給出一個班次生產計劃的快速算法。針對下面的實例，給出具體的生產計劃、相應的總運量及巖石和礦石產量。某露天礦有鏟位10個，卸點5個，現有鏟車7臺，卡車20輛。各卸點一個班次的產量要求：礦石漏12萬噸、倒裝場113萬噸、倒裝場13萬噸、巖石漏19

6、萬噸、巖場13萬噸。 鏟位和卸點位置的二維示意圖如下，各鏟位和各卸點之間的距離(公里)如下表鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石漏5.202.952.742.461.900.641.27倒裝場I1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51巖 場5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57巖石漏0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10倒裝場II4.423.863.710.781.621.270.50各鏟位礦石

7、、巖石數量（萬噸）和礦石的平均鐵含量如下表鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石漏0.951.051.001.051.301.351.25巖石量51.051.151.351.051.151.351.25鐵含量30%28%29%32%31%33%32%31%33%31%露天礦生產的車輛安排于俊泊，肖 川，楚玉強指導教師：韓鐵民（東北大學，沈陽 ）編者按：面對問題既要選擇鏟位，又要考慮產量、晶位限制，及車輛不等待等諸多要求，本文將問題分為幾個階段用不同方法處理，達到了滿意的效果。文章精煉，論述清晰。摘 要：如何利用最小的資源

8、消耗取得理想的產量要求,是本文討論的重點問題。文章采用兩種方法貪心法和線性規(guī)劃建立模型，針對兩個目標進行安排。 第1階段：采用貪心法按距離、產量、晶位等要求依次取得最優(yōu)、次優(yōu)等若干較優(yōu)的鏟位，獲得一些鏟位的組合方案。 第2階段：對這些組合進行線性規(guī)劃：以車次為變量，根據不同目標建立目標函數，根據產量等條件限制建立約束方程，然后求整數解，在這些解中取最優(yōu)者。 第3階段：根據每條路線上的車次數再次利用貪心法進行具體的車輛安排。關鍵詞：貪心法；線性規(guī)劃；車次；車輛安排分類號：AMS(2000) 90C05 中圖分類號：02211 文獻標識碼：A1 問題的分析變量說明M 卡車總數(20輛)V 卡車行駛

9、速度(28公里L 卡車載重量(154噸)T 一個班次的總時間(8小時)Ta 電鏟的平均裝車時間(5分鐘)Tb 卡車的平均卸車時間(3分鐘)i 卸點編號(5個，分別為礦石漏、倒裝場I、倒裝場II、巖石漏、巖場，前3個用于卸礦石，后2個卸巖石)j 鏟位編號(10個)Dij 卸點i與鏟位j之間的距離Ni 卸點i的產量要求Qaj 鏟位j的礦石數量 Qbj 鏟位i的巖石數量 Pj 鏟位j的礦石平均鐵含量 Kij 一輛卡車一個班次內在卸點i與鏟位j之間可往返的次數 Xij 卸點i與鏟位j之間需要安排的車次數 如果直接從題意出發(fā)，安排運輸路線是比較困難的，因為卡車的行駛路線可以改變可以通過求出每條路線的車次

10、數達到解決問題的目的。 鏟車的安排方法共有種，計算復雜度較大，可用貪心法找出較優(yōu)的若干位置，確定較優(yōu)的安排方案，對這些安排方案，有如下方法： 目標及各個產量要求、品位要求等均為每條路線上車次的一次函數，故可用線性規(guī)劃求解。 由已知條件可以得到線性規(guī)劃的目標函數、約束方程。 對貪心法篩選過的鏟車安排方法分別求出其線性規(guī)劃的最優(yōu)解，然后在其中再選出最優(yōu)者，可得最優(yōu)的鏟車安排和車次，依據車次安排每輛卡車。2 模型的建立過程一鏟車安排基于分析，首先得到鏟車安排方法共有種，如果直接計算120種組合，耗時太多，通過分析，最優(yōu)解只可能存在于一些較優(yōu)的組合中，可以采用貪心法獲得這些組合。貪心法的思想是：每次選

11、擇當前最優(yōu)的點，如不滿足條件，再選擇次優(yōu)點，以此類推。通過分析知，卡車應先選擇距離卸點最近的鏟位，才能以最小的運量獲得足夠的產量，若此鏟位不能滿足產量要求，再取次近的鏟位，若不能達到品位要求，還需要選擇可以平衡品位的點。如本題的實例，先選取距離礦石漏最近的鏟位9，鏟位9可滿足產量，但無法滿足品位要求，再選擇可均衡品位的最近的點鏟位3。同理，選擇距離倒裝場I的較近鏟位2，鏟位4，距離倒裝場II較近的鏟位10，平衡品位的鏟位1確定1，2，3，4，9，10六個最優(yōu)點，再從剩下的四個點中選取一個即可，經過這種方法篩選后的鏟車安排方法為二4種。 對于篩選后的方法，用線性規(guī)劃逐一建立模型求解，下面以將鏟車

12、安排在1，2，3，4，5，6，7鏟位為例(非上文提到的較優(yōu)組合，僅作舉例說明)： 過程二線性規(guī)劃求解車次 1針對目標1建立模型 目標函數 總運量約束方程： 1)各個卸點的產量要求： 2)各個卸點的品位要求：下限 （2）上限 （3）3）各個鏟位的礦石（巖石）數量，即該鏟位允許的最大礦石（巖石）開采量礦石 （4）巖石 （5） 4)由于鏟車每次裝載需Ta分鐘，故一個班次內最多可裝載TTa：4805二96次： （6） 5)同理，由于卸點每次卸載需Tb分鐘，故一個班次內最多可卸載TTb=4803：=160次 （7） 6)由于一輛卡車在卸點i與鏟位j之間往返行駛一次需2Dij/V分鐘，裝卸需Ta+Tb分鐘

13、，共需Ta+Tb+2DiV分鐘，這條線路上一輛卡車一個班次內可往返( 表示取整)，則該線路需要卡車輛，卡車總數最多不能超過M=20輛: （8）至此目標函數及約束方程構造完畢。由于車次數為整數，此題轉化為對整數規(guī)劃的求解。 題目中還要求在總運量最小的情況下出動最少的卡車，在解上述線性規(guī)劃時，如果有多組解滿足總運量最小，需要取，即卡車總數最少的解。在對篩選過的安排方法進行線性規(guī)劃后，取其中總運量最小的解，即為題目所求。2針對目標2建立模型目標2與目標1的主要區(qū)別是目標函數不同，其約束方程相同，只須改變目標函數即可。目標函數產量 約束方程：(同目標1)如有多組解滿足最大產量，依題目要求取，即巖石產量

14、優(yōu)先果巖石產量相同，依題取，即總運量最小的解。過程三車輛安排 選取最優(yōu)解中每條路線的車次，即可為每輛卡車安排行駛路線及運輸次數。由可知共需要多少卡車。可再次采用貪心法，使每輛卡車發(fā)揮最大工效，先安排國家路線的卡車，然后安排改變路線的卡車。以下面一組解為例，具體說明卡車的安排方法：每條路線上的車次見表1表1鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石漏0130000054011倒裝場I042043000000巖 場000000007015巖石漏810430000000倒裝場II013200000070由求得需要13輛卡車通過，使固定運行的卡車盡可能地往返于卸點和鏟位之間，求

15、出每條路線上固定運行的卡車數，見表2表2Ij路 線卡車數18礦石漏鏟位8122倒裝場I鏟位2124倒裝場I鏟位41310倒裝場II鏟位10141巖石漏鏟位1143巖石漏鏟位3159巖場鏟位91固定運行的卡車共7輛，其它6輛車需要改變工作路線。此時每條線上剩余的車次見表3表3Ij路 線卡車數12礦石漏鏟位21318礦石漏鏟位825110礦石漏鏟位101122倒裝場I鏟位2324倒裝場I鏟位4632倒裝場II鏟位21333倒裝場II鏟位32310倒裝場II鏟位102341巖石漏鏟位13743巖石漏鏟位3859巖場鏟位932510巖場鏟位1015在改變路線的6輛車中： 第一輛：在1-2線路運輸3次，

16、剩余時間T-13（）=87分鐘，可以繼續(xù)在1-8線路運輸87/（）=5次。剩余時間極小，忽略，此時1-8線路剩余車次25-5=20。第二輛：在1-8線路運輸20次，剩余時間T-20（）=157分鐘，可以繼續(xù)在1-10線路運輸157/（）=11次。剩余時間極小，忽略，此時1-10線路無剩余車次。第三輛第六輛的安排方法同上。按上述方法，即貪心法計算剩余時間，即可得到具體的車輛安排，問題得解。3、模型的計算目標1：總運量85628噸公里8.6萬噸公里 總產量70378噸7.0萬噸磁矩石產量38192噸3.8萬噸 巖石產量32186噸3.2萬噸出動7臺鏟車，分別安排在1，2，3，4，8，9，10七個鏟

17、位。出動13輛卡車，安排如表4：表4編號路 線運輸次數1礦石漏鏟位8 292倒裝場I鏟位2393倒裝場I鏟位4374倒裝場II鏟位10475巖石漏鏟位1446巖石漏鏟位3357巖場鏟位9388礦石漏鏟位213礦石漏鏟位859礦石漏鏟位820礦石漏鏟位101110倒裝場I鏟位23倒裝場I鏟位46倒裝場II鏟位213倒裝場II鏟位32倒裝場II鏟位10811倒裝場II鏟位1015巖石漏鏟位13012巖石漏鏟位17巖石漏鏟位38巖場鏟位92313巖場鏟位99巖場鏟位1015目標2：總產量噸10.3萬噸 總運量噸公里14.7萬噸公里礦石產量54308噸5.4萬噸 巖石產量49280噸4.9萬噸出動7臺

18、鏟車，分別安排在1，2，3，4，8，9，10七個鏟位。出動20輛卡車，安排如表5表5編號路 線運輸次數1礦石漏鏟位3182礦石漏鏟位3183倒裝場I鏟位2394倒裝場I鏟位4375倒裝場I鏟位3206倒裝場II鏟位8327巖石漏鏟位1448巖場鏟位9389巖場鏟位93810巖場鏟位104511礦石漏鏟位828礦石漏鏟位9212礦石漏鏟位914倒裝場I鏟位12013倒裝場I鏟位14倒裝場I鏟位229倒裝場I鏟位4414倒裝場I鏟位427倒裝場II鏟位3515倒裝場II鏟位33倒裝場II鏟位825倒裝場II鏟位10316倒裝場IO鏟位1024巖石漏鏟位12217巖石漏鏟位16巖石漏鏟位22618巖

19、石漏鏟位22巖石漏鏟位332巖石漏鏟位4119巖石漏鏟位427巖場鏟位8220巖場鏟位89巖場鏟位94巖場鏟位10244 模型的分析 運用貪心法，可迅速求得鏟車的可能位置，確定可能取得最優(yōu)解的若干組合，大大減少了線性規(guī)劃的計算次數。確定鏟車位置后，列出線性規(guī)劃議程，用Lindo等工具求解，要迅速得到結果。對于一些特殊情況，如多數鏟位的優(yōu)劣程度很接近時，采用貪心法無法準確地確定較優(yōu)的鏟位，此時需要進行線性規(guī)劃的鏟車安排方案數會大大增加，求解的時間會較長。在解線性規(guī)劃時，需要考慮多解的情況，即多種方案均可取得最優(yōu)解，此時需要根據題目要求(巖石產量優(yōu)先、總運量最小、卡車數最少)取得相應的最優(yōu)解。 模

20、型優(yōu)點 使用貪心法，迅速確定鏟車的可能位置； 采用線性規(guī)劃的思想，化整為零，使模型簡化，大大減少了計算的復雜度； 模型缺點： 對于一些情況，可能存在很多較優(yōu)點，使用貪心法后不能有效的減少鏟車的安排方式； 解線性規(guī)劃過程中存在誤差，導致最后結果會有細小偏差。參考文獻1 施光燕，董加禮最優(yōu)化方法M北京：高等教育出版社，19992 陳挺決策分析M北京：科學出版社，19873 Churchman WIntroduction to Operations Research M John Wiley Son lnc，19854 Thomas H Cormen ectTile Introductiont to

21、 AlgorithmsMThe MIT Press，2001SARS傳播預測的數學模型周義倉1， 唐 云2(1-西安交通大學數學系，西安；2清華大學數學科學系，北京)摘 要：SARS的傳播是2003年全國大學生數學建模競賽的賽題之一，這是一個完全開放、國內外一直在探索的問題。同學們提交的論文中建立了許多模型，對SARS的傳播和預測進行研究。本文對競賽情況和需要探討的問題進行了簡單的總結。關鍵詞：SARS；傳播；數學模型；預測分類號：AMS(2000)34B08 中圖分類號：024181 文獻標識碼：A SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome，嚴重呼吸道傳染病)是

22、21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。SARS從2002年11月份開始在我國和世界范圍內流行，到2003年6月23日為止，據世界衛(wèi)生組織(WHO)報道，SARS患者已經達到了8459人，其中802人死亡1。此時中國的SARS患者已經為5326人，其中347人死亡2，這給人民生活和國民經濟的發(fā)展帶來了很大的影響。 SARS是由一種冠狀病毒引起的傳染性很強的呼吸道傳染病，它主要通過近距離空氣飛沫以及接觸病人呼吸道分泌物和密切接觸進行傳播，也可能通過病人飛沫污染物(如通過手、衣物、食物、水或環(huán)境等途徑)傳播。SARS潛伏期一般為211天。SARS患者的主要癥狀有：發(fā)熱頭痛、全身酸痛和不適、乏力，部

23、分病人在早期也會有輕度的呼吸道癥狀(如咳嗽、咽痛等)3，4) 在全球抗擊SARS的過程中，人們對SARS傳播和發(fā)展趨勢進行了大量的研究。如Donnelly等人對SARS的潛伏期、死亡率進行了估計5，Lipsitch和Riley等人研究了SARS傳播中的再生數和傳播趨勢6，7。 Chowell等人通過建立SEIJR模型，研究了SARS在加拿大、香港和新加坡的傳播情況8。國內許多科研院所也有許多工作是利用模型對SARS傳播的分析與預測作出了定量的研究，對SARS的防控起到了積極作用。已公開發(fā)表的論文有楊方廷、陳吉榮等人關于北京SARS傳播過程的仿真、參數和數據處理9，10，方兆本等SARS流行規(guī)律

24、的建模及預報11，周義倉等建立的描述我國SARS傳播與控制的離散SEQUR模型12，以及王穩(wěn)地等人對北京SARS模型的模擬等13。在SARS傳播的過程中，我國政府和世界衛(wèi)生組織每天發(fā)布疫情信息，這些數據為我們的建模和分析提供了良好的基礎。1 命題的想法 我國大學生數學建模競賽已經進行了十幾年，吸引了越來越多學生的興趣，學校和社會逐步認識到競賽對教學改革、對學生能力培養(yǎng)的重要作用。擴大受益面、提高競賽水平是今后大學生數學建模競賽的主要目的。選擇社會關注的熱點問題、增加賽題的靈活性和開放性是提高競賽質量一個重要的途徑。 SARS的流行是一場突如其來的災難，它波及到了我國絕大部分省、市、區(qū)。從4月起

25、，北京一度成了SARS流行最為嚴重的一個城市，4月下旬每天的SARS病人和疑似病人大幅度增加，北京周圍的一些省區(qū)和全國也出現了較多的感染情況，對我國的人民生活和經濟發(fā)展造成了嚴重的影響。從4月下旬起，全國各地都行動起來展開了一場抗擊SARS的攻堅戰(zhàn)。到6月下旬每天的新增病例下降到零，世界衛(wèi)生組織就解除了對北京的旅游警告，我國人民的日常生活和經濟發(fā)展逐步恢復正常。數學建模對傳染病傳播過程的描述、分析、預報和控制能起到積極的作用。為了喚起社會對數學作用的認識，全國大學生數學建模競賽組委會專家組就把SARS的傳播這場密切聯系到國民生活的重大事件提煉成賽題，作為今年的A、C題。 我們知道許多院校在競賽

26、培訓過程中非常關注SARS的建模和預測，已把它作為校內競賽題或訓練題。這表明大家在自覺地應用數學建模的理論和方法來分析和解決社會急需探討的問題，數學的應用意識在不斷的加強和深化，這是多年來數學建模活動效果的反映。同時也給SARS建模的命題帶來了困難，考慮到這一點，在"SARS的傳播”賽題中，除了建模、預測及分析對經濟的影響外，增加了評論一篇早期發(fā)表的論文，及給報社寫短文部分。 在命題討論過程中我們也知道已經有不少SARS研究的資料，特別是在網上可以搜索到許多關于SARS建模和預測的文章，有可能導致過多的引用，甚至抄襲，給評判帶來困難。但從另一方面看，SARS建模和預測是一個十分復雜的

27、問題，從傳播機理、建模原則，到數據的收集、整理、模型的建立和模型參數的確定，都有一系列問題需要繼續(xù)研究。網上和刊物中大量豐富的文獻資料可以使學生更多、更深入地了解SARS的傳播過程和建模預測方法，學習真正怎樣將數學和計算機技術用來研究與解決人們所關注的實際問題。 競賽題目的第一問是提供了一篇北京大學在早期對SARS進行建模和分析預測的文章，讓參加競賽的同學進行評價，目的是希望讓學生了解別人對SARS傳播建模和預測的處理方法。該模型在早期有它的應用價值，在SARS流行結束后再對它作出分析和評價，有利于學生找到更加實用的模型和方法。題目的第二問是提供了北京市4月20日到6月12日已確診的SARS累

28、計病例數、現有的疑似SARS病例數、累計死亡人數和累計治愈出院人數，希望學生建立起自己的模型，以對北京等地SARS的感染情況進行研究，定量地描述，并分析控制措施對SARS傳播的影響。特別是訓練學生學習利用已給的數據確定模型中的參數，進行分析、計算和比較。題目的第三問讓同學收集SARS對經濟某個方面影響的數據，建立相應的數學模型并進行預測，由于擔心學生資源的限制，題目中還提供了北京市從1997年1月到2003年8月接待的海外游客人數作為參考。題目的第四問是讓學生給當地報刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數學模型的重要性，當然也希望能將自己模型和預測結果簡要地介紹給民眾，使更多的人認識到數學建模和預

29、測工作的重要意義。 把"SARS的傳播”作為賽題也是希望學生盡可能地發(fā)揮自己的特長，收集盡可能多的數據，在網絡和刊物中搜索盡可能多的參考文獻，建立數學模型解決問題。該題目沒有(也不可能有)固定的模型和標準答案，這也促使各賽區(qū)的閱卷人員也深入鉆研、思考問題，了解國內外SARS建模的研究現狀，從學生的答卷中挑選出有特點的優(yōu)秀論文。這道賽題后來全國組委會只給了評閱的要點供給各賽區(qū)參考，并且著重對A題的第二、第三問提出一些要求，包括以下幾個方面： 1)學生答卷中應包含對傳播機理和傳播狀況的敘述(如：傳播途徑、傳播方式、潛伏期和傳播地區(qū)等)，并且給出建模原理、方法、思路或框圖。 2)模型中的人

30、口至少有3類：易感者、患者和恢復(與死亡)者，仔細一些的可以再加入潛伏者、隔離者、疑似病人、確診病人，治愈者和留觀者等，要弄清楚他們之間的關系。 3)模型還應包含對于傳染率、治愈率和死亡率等重要概念的清晰表述。模型分析和計算中要給出上述參數的估計方法和估計值，還可包括平均治愈天數、隔離率和潛伏期等。 4)模型的結果應該提供預測值(用數量或曲線來說明高峰期和持續(xù)時間)和隔離措施的效果(包括提前和推遲控制時間的影響，隔離人數多少的影響及遺漏病人的影響)。對于結果的分析應包括誤差分析，及模型與方法的通用性分析(模型除北京外，是否還用于其它地區(qū)，如外地、香港、全國和全球等)。 5)關于對經濟的影響，要

31、求收集某方面的數據(除旅游業(yè)外，還有如餐飲業(yè)、航運等)，預測沒有SARS時的變化趨勢；與實際統計數據比較，用差距說明影響的大小；預測該領域恢復到正常發(fā)展水平的時間。 全國組委會還提供了一些網址和關于SARS傳播模型的論文報告作為評閱時參考，包括北大金融數學系的模型、清華力學系的模型、超級傳播模型、多倫多與香港的報告和模型、臺灣模型、Anderson模型、Murray模型、Dye模型、加拿大多倫多病例分析及疾病傳播模型等。2 解答綜述 一些參賽隊對上面要點中提到的幾個方面都給出了很好的想法。具體情況如下 1)對已有模型的評價 對題目之中給出的"SARS疫情分析及對北京疫情走勢的預測”一

32、文，每個隊都對文章中的建模思路、模型、參數和預測進行了客觀的評價。概括起來文章的優(yōu)點有：模型簡單明了地反映了疾病的傳播過程，抓住了SARS傳播過程中兩個主要特征：傳染期L和傳染率K，I是指平均每個病人可以直接感染他人的時間，K是指平均每病人每天可傳染的人數，對其給出了估計方法。對北京、廣東與香港的疫情進行了分析比較，預測值與實際統計較接近；模型特別簡單、計算量小，容易理解和使用；模型的靈活性在于適當挑選初始值No和參數K、L就可以描述不同地區(qū)、不同控制措施下的SARS傳播情況。模型的不足在于對如何確定初始值No和參數K與L缺乏一般的原則或算法，這種指數變化的趨勢作為長期預測不合理。另外還需要指

33、出的是不少論文還對模型進行了推導、計算和改進，例如分段確定參數或使用隨時間變化的K，這些使得模型的理論基礎更加完備，實用性更加廣泛。 2)SARS建模和預測 大部分答卷都在敘述了SARS傳播機理的基礎上，作出類似于下面這些基本合理的假設：單位時間內感染的人數與現有的感染者成比例；單位時間內治愈人數與現有感染者成比例；單位時間內死亡人數與現有的感染者成比例；SARS患者治愈恢復后不再被感染；各類人口的自然死亡可以忽略；忽略遷移的影響。這些比例系數可以是常數、時間的函數、時間和各類人口的函數、或分幾段取常數。當然，還可以根據需要做其它假設。建立模型一般是利用房室(compartment)結構，將總

34、人口分為易感者S、患者I、恢復者R，再仔細一些的還有潛伏者E、隔離者Q、疑似病人戶和確診病人J等類型。敘述或作出各類人口之間流動的示意圖，并根據傳染病建模的一般原理建立起如SIR、SEIR、SEQPIJR等類模型。這些模型基本思路相同，差異在于人口分類的多少，關鍵在于參數的確定。例如最簡單的SIR模型為 （1） 在模型(1)中，S(t)是t時刻易感者的數量，它等于總人口減去患者和恢復者的數量，I(t)是t時刻患者的數量，R(t)是t時刻恢復者的數量，是單位時間內每個患者感染的人數，是患者的恢復率，是患者的死亡率。由于隔離等控制措施的不斷加強和治療情況的變化，、也是隨時間而變化的；另外，由于易感

35、者的數量特別大，可以近似看作常數，且將常數合并到中去。在實際應用中，我們最關心的是感染者數量的變化。取時間單位為天，將模型中的第2個方程離散化得遞推關系為 （2）在離散化的模型(2)中的含義是每天每個SARS感染者傳染的人數，是一個十分重要的參數，其確定的原則是：當天新增SARS病人人數除以當天SARS感染者人數，再進行曲線擬合即可。是SARS患者每天治愈和死亡所占的比例，可以一起確定，其方法是當天SARS感染治愈和死亡人數除以當天SARS感染人數，再進行曲線擬合即可。例如，利用衛(wèi)生部公布的4月20日至5月15日全國的數據114進行計算，可以得到隨時間變化的關系如圖1中折線所示，用指數曲線對其

36、進行回歸擬合得到的表達式，其曲線如圖1中的光滑曲線所示。同理得到的表達式。將這些函數代人(2)進行遞推計算得每天的SARS感染者人數(見圖2)。 從圖2中可以看出，這個非常簡單的模型、參數確定方法所預測的結果與實際的統計值比較一致。為了進一步檢驗模型和參數確定方法的合理性，我們分別利用北京、山西、內蒙、廣州等地的數據替換全國的數據，進行同樣的計算、預測和對比，發(fā)現結果都比較符合。注意：在這樣的簡單預測中僅用了25天的數據對模型中的參數進行估計和曲線擬合，從5月15日以后的預測值比實際統計值小，這是由于我國政府不斷地加強隔離控制措施和改善治療效果，這些因素在5月25日之前的數據中反映的不夠。在實

37、際應用中不斷增加和更新數據進行短期的預測，預測的誤差就會減少。 在競賽答卷中，有許多不同的模型和方法來描述SARS的傳播過程。其中最多的是上述房室結構，包括有隔離的SQIR模型，有潛伏(也有將潛伏作為時滯處理)的SEIR模型，考慮SARS診斷困難和我國實際做法的有疑似的SPIR模型，有區(qū)分自由流動病人和收治病人的SIJR模型，還有考慮醫(yī)護人員感染的模型，涉及更多房室的模型等。從模型的形式看有常微分方程模型、偏微分方程模型、差分遞推模型、控制反饋模型、小世界網絡模型、神經網絡模型、信息傳輸系統模型、基于復雜網絡的概率演化模型、時間序列模型、混沌時間序列模型、自回歸模型、非齊次泊松過程預測模型、B

38、ezier曲線模型、二階Logistic回歸模型和Monte Carlo法模擬模型等。在這些模型中所涉及的因素包括媒體宣傳對心理和行為的影響、公共衛(wèi)生水平、控制力度、平均氣溫、地區(qū)差異、人口流動、職業(yè)分布、年齡分布、醫(yī)院內外的傳播和超級傳播者等。考慮到SARS病毒與一般傳染病不同的是有著相當高的突變率，有的隊還建立起SARS病毒的分子進化模型，對“毒王”現象做出合理的解釋。 模型中的參數一般分為常量參數和變量參數，常量參數利用國家公布的數據或平均值確定，變量參數通過計算和回歸的方法確定。優(yōu)秀答卷都給出了北京市SARS傳播的持續(xù)時間、高峰期、控制措施的影響等，也用所建立的模型對全國、山西、內蒙、

39、香港和加拿大等地區(qū)的傳播情況進行分析預測，與實際數據對比顯示模型的適應情況。 在這些答卷中，不少參賽隊把SARS的傳播分為控制前和控制后兩個階段，分別進行建模、參數確定和預測，這樣的處理方法對于研究控制措施實施遲早對SARS傳播的影響十分方便。有一些隊在傳染率中引入一個因子，通過這個因子大小的調節(jié)，就可以分析控制措施的強弱對SARS傳播的影響。考慮到心理壓力對于免疫力下降的影響，有的隊在賽期還利用BBC網上聊天系統對人們在SARS流行期間的心里恐慌程度進行調查，將結果引人模型參數中。在分析控制措施效果的基礎上，還有一些隊提出了自己的建議，如提高整個人口的抵抗能力，加強對與感染接觸人員的監(jiān)控等。

40、在描述人口流動對SARS的影響時，有些隊把實際區(qū)域抽象成二維網絡，每個格子規(guī)定其地域特性，人口按一定的密度分布在不同的格子內，將人按年齡分為4類，不同年齡人群的活動范圍不一樣，規(guī)定他們的移動規(guī)則，再根據SARS的特點定義傳播規(guī)則，根據控制措施定義隔離規(guī)則，再對北京市的SARS傳播情況進行模擬和預測。 3)對經濟的影響分析 SARS對我國經濟的影響是多方面的，在總體上對我國經濟的正常運行有負面作用，但它對國民經濟不同部門的影響不同。SARS的流行阻礙我國的旅游、交通運輸和外商投資等方面的發(fā)展，另一方面，它促進了醫(yī)藥、汽車的銷售和電子商務的發(fā)展。題目中給出的北京市海外游客的數據是一個典型的例子，絕

41、大部分參賽隊就是對這些數據進行分析，首先觀察到在SARS流行前游客數量是隨季節(jié)變化且不斷增加的。結合這個特點建立模型預測不受SARS影響時北京市的外來旅游人數，再與2003年的實際數據比較，給出了同期減少的量，給出游客數量恢復的期望時間。在這一部分用到的模型或方法包括曲線回歸模型、曲面擬合模型、灰色系統的GM(1，1)預測模型、ARIMA模型、三次指數平滑法、平均趨勢預測法及消費乘數模型預測損失法等。 在這一部分也有少數參賽隊收集到了其它數據分析SARS對經濟發(fā)展的影響。有參賽隊收集了我國民航系統從1985年以來的運營數據，建立模型對民航業(yè)的3大指標(總周轉量，旅客運輸量，貨郵運輸量)進行預測

42、，通過無SARS情況下民航運營情況的預測和與2003年的分析對比，估計出了民航受SARS影響的經濟損失，并對民航業(yè)的恢復期進行了預測。有參賽隊在分析非典對經濟的影響時著重討論了受非典影響的旅游百貨行業(yè)和醫(yī)藥行業(yè)的效益變化，考慮到股市作為國民經濟的晴雨表，能很好地反映出各行各業(yè)經濟效益的變化趨勢，他們在每個行業(yè)中各選取了三十家品級較高的上市公司，找出它們業(yè)績的變化特征，以此來反映整個行業(yè)的效益變化趨勢，利用灰色預測模型對這兩個行業(yè)的效益做出了預測；同時考慮到非典的影響，又對此模型進行了修正，加入了信心指數。利用修正后的模型，他們分別預測了2003年旅游百貨行業(yè)和醫(yī)藥行業(yè)上半年業(yè)績，與實際數據吻合

43、較好，用此模型進一步分析得出，在十一長假期間，旅游百貨行業(yè)會有強勁的反彈。也有參賽隊考慮心理狀態(tài)等影響旅游的因素，更關心旅游市場的恢復期預測。他們的出發(fā)點是大多數人的出游的決策受安全、收入、費用、時間等多因素的影響，不同的因素對于不同的人來說具有不同的影響力，各個因素的權重不同。但當象SARS這種對人身安全威脅極大的因素出現時，安全幾乎成了人們考慮是否出游的決定因素。也就是說影響人們出游的各個因素的權重發(fā)生了很大的變化。而當SARS得到控制以后，雖然安全系數大大升高，但是安全顧慮仍然會持續(xù)一段時間，還是人們考慮出游的重要因素，直到人們對SARS的顧慮完全消除。因而建立模型時，采用了層次分析和數

44、據擬合相結合的方法。首先通過層次分析法和一些合理的假設，歸納出一個帶有參數的多項式。再根據該多項式的形式，結合已知數據表中部分合理的數據，作出了一條擬合曲線，由此曲線得到了對未來幾個月游客數量的預測。 4)給報社寫短文給報刊寫短文就是要讓群眾認識到傳染病的危害，認識到數學模型在研究傳染病流行規(guī)律方面的重要作用。 傳染病歷來是危害人類健康的大敵，歷史上傳染病一次次的流行給人類生存和國計民生帶來了巨大的災難。20世紀是人類征服傳染病取得最輝煌成果的時期：肆虐了近千年的天花終于被消滅了；麻風病、脊髓灰質炎被徹底消滅的日子也為期不遠了；白喉、麻疹、百日咳、破傷風等病已在許多國家得到遏制；多種抗生素的問

45、世，使一度給人類造成巨大災難的“瘟疫”不再危害人間。然而，人類要征服傳染病，道路依然曲折漫長。隨著國際貿易和交往的發(fā)展、生態(tài)環(huán)境的變化以及病原體和傳播媒介抗藥性的增強，原來已滅絕或被控制的許多傳染病(如性病、結核病)等再次抬頭并且不斷蔓延。一些新近出現的傳染病也來勢兇猛(如艾滋病、SARS)。人類將長期面臨著傳染病的嚴峻威脅，對傳染病發(fā)病機理、傳染規(guī)律和防治策略研究的重要性日益突出，且已成為當今世界需要迫切解決的一個重大問題。正如世界衛(wèi)生組織WHO發(fā)表的報告所述，傳染病依然是人類的第一殺手。 疾病的傳播問題是有一定規(guī)律，可以預測。早在1760年DBernoulli就曾用數學研究過天花的傳播；1

46、906年Hamer為了理解麻疹的反復流行，構造并研究了一個離散時間模型；1911年公共衛(wèi)生醫(yī)生Ross博士利用微分方程模型對瘧疾在蚊子與人群之間傳播的動態(tài)行為進行了研究，其結果表明，如果將蚊子的數量減少到一個臨界值以下，那么瘧疾的流行將會得以控制。Ross的這項研究使他獲得了Nobel醫(yī)學獎。1926年Kermack與McKendrick研究了16651666年黑死病在倫敦的流行規(guī)律以及1906年瘟疫在孟買的流行規(guī)律。傳染病動力學的建模與研究于20世紀葉開始蓬勃地發(fā)展15，16。 傳染病傳播的數學模型可以用來描述疾病的發(fā)展變化過程，有效、經濟、迅速、明確地給出疾病發(fā)生的數量規(guī)律，為人們的決策提

47、供數量依據；并對各種檢測、防治、治療及控制措施進行評價和比較，以控制疾病的流行。2001年倫敦大學帝國學院的流行病學家RoyAnderson等還為英國的口蹄疫爆發(fā)建立起數學模型，提供了大量的客觀證據，促使英國首相托尼·布萊爾領導的政府下令大規(guī)模屠宰牲畜，阻止了疾病的蔓延，這就是一個成功的例子。 這次A、C題的參賽隊大多能寫出一篇較好的短文，說明數學建模在研究傳染病流行規(guī)律方面的重要作用。簡述自己的建模方法和所得到的結論，提出了對SARS傳播進行控制的很好的建議。 給報刊寫通俗短文還應考慮到讀者面，應該用讀者可接受的語言來說明建立傳染病數學模型的重要性。這方面，有些參賽隊做得是比較成功

48、的，本文的附錄就是一個范例。 這里還應當指出，傳染病的數學模型和預測只能為有關部門提供決策的數量參考，由于統計數據和傳播機理等方面的限制，不可能預測得很精確，只能預測傳播發(fā)展的趨勢，尤其是在一個傳染病傳播的初期更是如此，不應將數學模型預測和分析的效果過分夸大。3 對SARS建模和預測進一步的思考 SARS在我國和世界范圍內的流行已經結束，但人們仍然關心還會不會有下一次的SARS流行，別的傳染病出現應該怎樣應對，有關SARS和新發(fā)傳染病的研究一直在繼續(xù)。有一點是肯定的，除SARS外，今后還會有其它類型傳染病在不同的范圍內流行，所以，公共衛(wèi)生體系需要不斷加強，對傳染病的研究工作不能停止。這次競賽通

49、過對SARS的建模、預測及其經濟影響的分析，可以使得我們對SARS和其它傳染病的傳播機理有更深入的了衍發(fā)現問題、積累經驗。這些參賽學生中有一部分以后會在醫(yī)療衛(wèi)生部門或政府機關工作，數學建模的訓練和競賽經歷會使得他們在今后的工作中發(fā)揮作用，對防治工作起到幫助。 這次競賽中經過三天的奮戰(zhàn)，同學們經受了鍛煉，對傳染病建模有了初步的體會，取得了良好的成績。但在答卷中也存在下面幾個問題。 1)不少隊在確定模型的參數時幾乎用上了賽題中給出的所有數據，然后再代人模型中作預測，指出預測結果與實際統計值很接近，幾乎沒有誤差。這反映出他們沒有真正體會傳染病建模和預測的思想。實際中最需要的是在一種疾病傳播初期收集到

50、少量數據的基礎上建模預測以后的發(fā)展情況，當一個疾病流行結束后，所有數據都有了，預測就失去價值。所以應當只用一部分數據進行預測，而用其余數據作檢驗。 2)在疾病的傳播過程中，對流行狀況影響很大的是再生數，即一個病人在患病期間平均感染的人數，這在流行病傳播中是個十分重要的參數。要將一個傳染病控制住，實際上就是要通過各種措施使得再生數小于1。答卷中提到再生數概念和對它作出估計的很少，也沒有分析我國的控制措施對再生數的影響。 3)閱讀的資料、收集的數據不足。許多隊僅對北京的SARS傳播情況進行了建模預測，沒有涉及其它地區(qū)，經濟的影響也是就題目之中給出的旅游數據進行了分析，沒有收集其它數據，沒有看到SA

51、RS對某些行業(yè)帶來的促進作用。 4)盡管全國組委會特別要求參賽同學簽名保證不抄襲別人的成果。如果引用公開的資料(包括網上查到的資料)，必須在正文和參考文獻中明確列出。但仍有一些答卷明顯地違背了他們的保證。全國組委會已經取消了這些隊的全國評獎資格。在這次數學建模競賽過程中，同學們也遇到了不少困難，如傳播機理和過程不是十分清楚，在確定參數時能得到的數據不足，缺乏患者被感染和感染給別人、確診與治愈等的個案資料，而潛伏期的感染情況、超級傳播者的傳播鏈、流動人口的數據及流動人口中的感染情況等數據也明顯不足。對于SARS及類似傳染病的建模分析還有許多問題值得探討，包括：i）如何從模型中能反映出對疾病的傳播

52、規(guī)律有重要影響的、但不能完全量化的因素或不易確定的因素。如全體人口都是易感者，但真正與SARS病人接觸的僅是極少數；對潛伏期、就診或隔離前以及治療期的接觸與傳染率的估計；對于不同級別(如學校、單位和居民區(qū)半封閉狀態(tài))的隔離措施的描述和效果的評價；各個省、區(qū)之間人口流動的影響；少病例的省市和地區(qū)內疾病傳播情況的描述；醫(yī)院內部感染情況的描述；SARS向農村、牧區(qū)擴散情況的描述；隱性感染者對疾病傳播的影響等。 ii）探討在建立模型時如何對總人口進行分組以及對隨機現象做出描述；如何根據流行病學的特征，以及年齡、行為、地域分布和流動等因素，研究影響傳染病預測控制機制的人口分組分層問題；鑒于患病者傳染力之

53、間的差異、受體易感程度的差異、人口流動以及重疫區(qū)人口向周邊地區(qū)和農村、牧區(qū)擴散的隨機性、各地區(qū)間發(fā)病情況與預防控制強度的差異、統計數據的誤差等，研究具有諸多隨機因素的建模問題。 iii)SARS及突發(fā)性傳染病的數據挖掘問題。對于像"SARS'這類新的突發(fā)惡性傳染病，在流行初期由于病因不清和經驗不足，難以作出合理判斷。我們需要研究如何從人類以往積累的大量傳染病流行資料中提取類似的相關數據和信息進行模式識別，并建立實時自適應學習機制，用以不斷完善數學模型。我們需要研究從僅有的少量數據和以前積累的相關傳染病資料中提取信息，建立初步模型，估計疾病傳播的流行病學參數和流行模式，探討基于少量數據的理論和方法，發(fā)展一種對突發(fā)惡性傳染病的快速反應決策技術。我們應當進一步完善已有的工作，在建模的基礎上開發(fā)出一套實用的預測軟件。參考文獻1WHOhttp：wwwwhointcsrsarscountry20030623en2Ministry Of Health P R China http：wwwmohgOvcnwas40detail? record82&channelid 34385