1、2017年浙江省高中數學競賽模擬試題一、填空題（每題8分，共80分）l在多項式a-iya+2嚴的展開式中式的系數為一.2 .已知1明盧（5一3）=1口8行5,則實數a ='.3 .設/（© = / +而+ 6在0,1中有兩個實數根，則/一2b的取值范圍為.in f n sin3 jr-cos2 x +COS2 xcos2 y-sin2 xsinJ y 1 mrl4,設工,ye匾，.ft= = H x-y = _.sin（j： + y）5 .已知兩個命題，命題p:函數八f） = logM E>0）單調遞增;命題小函數 £（x） = x2+ + l>0（xe

2、R）.若pyg為真命題，/?1為假命題,則實數我的取 值范圍為.6 .設S是0”）中所有有理數的集合，對簡分數？e，（pM = 1,定義函數 8P里）二里里，則幻=2在，中根的個數為.P P37 .已知動點戶，歷，N分別在,軸上，IMI1和圓（x-3）:+（-4）2=3±,則儼M + |/W|的最小值為.區已知棱長為I的正四面體F-XSC,尸C的中點為D,動點E在線段4。L 則直線BE與平面月日C所成的角的取值范圍為.9*已知平面向量a7b,c f滿足我= 2, lc =3 , 0<2<1.若"c = 0,則 a - Xb- -A）c所有取不到的值的集合為._2

3、 j 工 < o ' fffi/W + 2Vl-x2 +/（T）-2Vl-x2 -2g 4 = 0 x2 - 1,尤 > 0、有三個根$<x2 <x3.若馬-3=2（/ -苞），則實數d=0二、解答題11 .(本題滿分 20 分)設，(x) =,<+(幻=J/+了工(x), = 對每個，求<(x) = 3x的實數解.12 .(本題滿分20分)已知橢圓工+亡=1的右焦點為尸，過尸的直線y = A(x-2) 62交橢惻于尸，。兩K(£工0).若尸。的中點為N, O為原點，直線ON交直線x = 3于(1)求股 的大小； (2)求 絲 的破大值.M

4、F13 .（本題滿分20分）設數列叫 滿足：an+-2an = 2y |勺區2, = 1,2,3產.證明：如果q為有理數，則從某項后q為周期數列.證：（1）若為有理數，則/為一個有理數數列.（2）對于任意的，設勺=2,（乂）=1 ,由已知條件，有且僅有下述一個等式 成立14.（本題滿分30分）設%,%,%也也也£2、證明：存在不全為零的數4,4,4 g0,1,2,使得+4% + 4%和她+她+她同時被3整除.2017年浙江省高中數學競賽參考答案一、填空題(每題8分，共80分)1 .在多項式(x-l)3(x + 2)io的展開式中d的系數為一.解答：d 系數為 27c：-3-26C：

5、+ 3-2SC：-24cl =-4128 .2 .已知 logy(5a-3) = log則實數 a =.解答將原式化簡為log7(5ti-3) = log , 5 o由于/Cr) = log7(5x-3)為上的增函數，g(x) = logs(/+ l)為R上的增函數，且/(2) = g(2) = l。因此可得實數3 .設/。) = /+水+分在0, 1中有兩個實數根，則的取值范圍為.2解答因為/(幻=/+d+力=5+與+6-在0中有兩個實數根，所以24滿足 /(0) = /)0,/(l) = a + /)+ l>0,o2-4/)>0,0<-l.由此可得到a?-2的取值范圍為0

6、,2 o彳小 sin2x-cos2x + cos2.vcos2 v-sin2xsin2 y . I11H4 .設 x,yeK ,且： = 1,則 x _ y =.sin(x + y)解答： 由于 sin2 x - cos2 x + cos2 x cos2 j - sin2 xsin2 y = sin(x + y) sin(x - y) 且 sin(x + y) # 0 ,所以sin(x-y) = I。故 x-y = 24+ , k eZ o5 .已知兩個命題，命題p:函數/(x) = log“K (x>0)單調遞增：命題q:函數 g(x) = x; +av + l >0 (xeR)

7、.若pvq為真命題，p八夕為假命題，則實數"的取 值范圍為.解答：命題p成立當且僅當a>命題g成立當且僅當若pvq 為真命題,八夕為假命題，則ae(-2Ju2,+oo).6 .設S是（0最）中所有有理數的集合，對筒分數里wS,（p,g） = l,定義函數 8P八£）=空1,則/（© = 在S中根的個數為P P3解答 由于/(x) = 3，令 q = 2m-l,p = 3m , m wZ ,則有 0 <1 < ? 1 < , < g33ni 8 2由此檢驗可得方程的根的個數為5.7 .已知動點?，A/,N分別在x軸上，圓（x-l）2+G

8、，-2）2=l和圓 （x-3）、（y-4）2=3 上，則|PM + pN| 的最小值為.解答：圓（x-l）2+（y-2）2=l的圓心坐標為（12）,圓（x-3）2+（y-4）2=3關于 x軸對稱的圓的圓心坐標為（3, -4）.則I尸M + PM 的最小值為 7（3-1）2+（-4-2）2-1 -73 = 2710-5/3-1 o8 .已知棱長為1的正四面體0-48C,的中點為。，動點E在線段/I。上, 則直線與平面714c所成的角的取值范圍為.解答：記6c中點為。點，以。為原點，/仁為x軸正向，為了軸正向，建 所以%嚕凈。從而可設硝亭等恪）3Y1）， 于是礪心+；用-等，步。設所求角為，則立空

9、間直角坐標系，則40,坐,0), 5(-1,0,0), eg,0,0), P(0,2 產717tan2 0 =-；o 所以 cot2 = 6/ 2 -6z 1 += 6(r 1f+22一,7廠一+ 12222這里最后一個不等式是由于單調性以及尸21。因此有OVtan。4孚, 即 10, arctan9 .已知平面向量1，滿足同=明=2用=3, 0<4<1.若=" = 0'則解答 將向量加之的起點平移至原點。，再以&Z分別為XJ軸正向建立平面直角 坐標系。則向量超+ (1 -2。對應的點坐標為P(243(1T)。于是。=而I7二而3,0匕,=答。而口一北一(

10、1一九吊表示的是點尸到單位 圓危上的蛇高,則的最大值為4,最小值為卷J萬-I.因此所有取丕到的值的 集合為-1)54,中») o_2K x < 0Ji10 .已知/(x) = I=''方程/(x) + 2j12 +，(x)-2jl-x2 -2 上4 = 0有三個根X <2 <&.若*3-2 =2。2-*1)，則實數"=o 解答：設g(x) = 2jZ ,定義域為74x41,max f(x),g(.r) = -(/(x) + g(x) + |/(.v)-g(x)|).方程可變形為 max(/(x),g(x) = ax + 2.由-2x

11、N2ji二P'得x«-孝，從而有max(/(x),g(x) = <-2x,xe-l,-y-2V1-X2 xe-yj于是 一 2x = at +2nx = ( -1,可得 04a42&-2 ;4 + 22/、4 a2l"x2 =&t + 2 = x = 0,x =；o 由于$Xr-x, = 2(xy -x),可得cr +40 H mn 42a.2=3%即,有V17-3 a =2二、解答題11 .(本題滿分 20 分)設/(x) = Jx? +32 ,工.(x) = Jx' 十9Z,(x)， = L2,.對每個，求，(x) = 3工的實數解

12、.證明：利用數學歸納法.(1) x = 2是£(x) = 3x的解.5分當 n=l 時，x = 2 是工(x) =+32 =3的解。當 n = k 時，設，(2) = 6,則加= j + .(2) = 6。由此可得x = 2是，(x) = 3x的解(可于所有的n) .10分3當 x>2 時，f99(x)<3x<-x2.當 n =1 時，/(x) = *7x24-32 <3x<x2 (x>2).當 n 二 k 時，iifk(x)<3x<x2,則加(x) = J/+g/(x) < J+8/ =3x。由此可得戈>2都不是，(x)

13、= 3x的解(對于所有的n) 15分(3)當 0<xv2 時，fn(x)>3x.當 n =1 時，f(x) = Vx2 + 32 > Vx2 +8x2 = 3x ( 0<x<2).當 n 二 k 時，設，(x)>3x,則，+(/) = J/+與，(x)>G"7F>3x。由此可得0<x<2都不是，(x) = 3x的解(時于所有的n).因此，對每個，) = 3x的實數解為x = 2o 20分2i12.（本題滿分20分）已知橢圓三十亡=1的右焦點為尸，過戶的直線y = k（x-2） 62交橢圓于P,0兩工（AwO）.若P0的中點為

14、N, O為原點，直線ON交直線工=3于M.（1）求NMFQ的大小： （2）求絲的最大值.MF解答：（1）聯立（不十了 ,可得（3犬+ 1）/-12公x+12、6 = o. y = k（x-2）設P點的坐標為（七，匕,），Q點的坐標為（外,乂），則12K12K6P Q 3 公+ 1 I 3r + 1_4k于是有 /+筋="(x0+%)-4 = y。O/C > 1因為尸。的中點為N,所以N（F7r品）。因此。'的斜率為心 一記因為直線ON交直線戈=3于M ,所以例（3,-，）。故MF的斜率為人仆=-， kk即得 3% = 7。因此MF與PQ垂直，4MFQ吟。10分人居

15、9;y："""=蟲R=人,+%）用 ',+F15分14432K-32 /+15r 24 = 24K ；-(3k2+ )23K+1(3 產+1/A f2 ., c(-l)( + 2)16z 111、16rz 1I、？9.令 = 3K+,則 / = 8-、-=(r)=() 13w23 u22m23 416由于=3公+ 1>1 ,故因此人=3 （當 =4時取到最大值，也即=±1 ）。綜上所述，得的最大值為52。分 13.(本題滿分20分)設數列“滿足：|%2qJ = 2, |a小2, = 1,23. 證明：如果可為有理數，則從某項后凡為周期數列.

16、證：(1)若q為有理數，則，.為一個有理數數列.(2)對于任意的“，設為二(乂x) = l ,由已知條件，有且僅有下述一個等式 成立% =24 + 2= 2y+ 2x ,或 al=2a-2 = 2y2x.(*)XX為 與。田有相同的分母(不進行約分)5分(3)設q=V,(p,q) = l,則q=2，”為整數。由于|勺區2, = 1,2,3,，因此 PP-2p<bn<2p.10 分(4)若存在兩個自然數</,使得則由中得到的(*)遞推公式以及 甩|42, = 1,2,3,，可得&從第k項開始是一個周期數列，周期為 l-k.15 分(5)由可知對于任意的n, 的值只有4p

17、 + l (有限個)，故總能找到£</, 使得a=%,從而有為=q.綜合上述，如果可為有理數，則從某項后4為周期數列. 20分14.（本題滿分30分）設可嗎嗎力也也wZL證明：存在不全為零的數4,回自 0,1,2，使得布+彼+乩和44+貼+她同時被3整除.證明:不妨設q 三勺（mod3）, 三，（mod3）, A;,/, e50,1,2）, / = 1,2,3.則要證明結論正確，只要證明存在不全為零的數4,4,乙£付,2,使得4勺 +芻人 +s /j + A2ly + Aj/Jmod3) s0(mod3) 0(*)記 k1kJ、三 c（mod 3）,這里 c w 0,

18、1,2 0情形（1）當c = 0時，則人=/尸0,或者44不全為零。若勺=/I =0,則取4 = i，4 = 4 =0,有（*）式成立.若K4不全為零，不妨設產o,則取4=&4=-尢，4=0,且f 4 勺 + 芯 2 + 4A3 = k亂一 k& = 0( mod 3) Ah + Z,/, + 帖=k2lrk/2 = 0(mod 3)即（*）式。20分情形（2）當。=1或2時，即/三（mod3）0記與人 一3/2）三。】（mod3）,c伏/ 一4/）三°2（mod3）,這里e 0,1,2 0令4 =g，4 =。2,4 = 1，則4,w付.1.2且不全為零，且4年 + 盯2 + 4A3 = cR + c2kz + k3sc(k2ly -k、l2)k1 + c(貼-kl3)k2 + k、(mod3),三以3(A/V) + & (mod 3),s (1 -c2 )k% (mod 3) s 0 (mod3),30分類似可以證明+"2 +必三0（mod3） o綜上所述，可以取到不全為零的數4,4,4c0J2,使得（*）式成立.15.（本題滿分30分）設。=4用,。,為1,2,的一個排列，記 .b（o） = Zqq“，勺.|=q，求 minF（a）. z°解答：問題等價于圓周上放置n個數，使得相鄰數的乘積之和為最小，最小值 記