1、.第一部分 專題二 第2講 數(shù)列的綜合應(yīng)用(限時(shí)60分鐘，滿分100分)一、選擇題(本大題共6個(gè)小題，每小題6分，共36分)1命題甲：()x,21x,2x2成等比數(shù)列；命題乙：lgx，lg(x1)，lg(x3)成等差數(shù)列，則甲是乙的()A充分非必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既非充分又非必要條件解析：命題甲：(21x)22x·2x2，即2(1x)xx2，得：x2或x1.命題乙：2lg(x1)lgxlg(x3)，即(x1)2x(x3)，得：x1.故甲/乙，乙甲，故甲是乙的必要非充分條件答案：B2已知等比數(shù)列an中，a21，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是()A(，1 B(，0)(

2、1，)C3，) D(，13，)解析：設(shè)a1x，且x0，則S3x1，由函數(shù)yx的圖象知：x2或x2，y(，13，)答案：D3首項(xiàng)為b，公比為a的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(Sn，Sn1)在()A直線yaxb上 B直線ybxa上C直線ybxa上 D直線yaxb上解析：當(dāng)a1時(shí)，Sn，Sn1，點(diǎn)(Sn，Sn1)為：(，)，顯然此點(diǎn)在直線yaxb上當(dāng)a1時(shí)，顯然也成立答案：A4已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)(xR)，且f(1)，則數(shù)列f(n)(nN*)前20項(xiàng)的和為()A305 B315 C325 D335解析：因?yàn)閒(1)，f(2)，f(3)，f(n)f(n1)，所以f

3、(n)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以S2020××335.答案：D5等差數(shù)列an中，a10，公差d0，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)任意自然數(shù)n，若點(diǎn)(n，Sn)在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線應(yīng)是()解析：Snna1d，Snn2(a1)n，又a10，公差d0，所以點(diǎn)(n，Sn)所在拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)答案：C6古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)比如：他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289B1 024C1

4、 225 D1 378解析：根據(jù)圖形的規(guī)律可知第n個(gè)三角形數(shù)為an，第n個(gè)正方形數(shù)為bnn2，由此可排除D(1 378不是平方數(shù))將A、B、C選項(xiàng)代入到三角形數(shù)表達(dá)式中檢驗(yàn)可知，符合題意的是C選項(xiàng)答案：C二、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分)7已知數(shù)列an滿足：a4n31，a4n10，a2nan(nN*)，則a2009_，a2014_.解析：a2009a4×50331，a2014a1007a252×410.答案：108等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a4a28，a3a526，記Tn，如果存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，TnM都成立，則M的最小值是_解析：由a

5、4a28，得2d8，d4.又a3a526，得a413，a11.于是Snn·4(2n1)n，Tn22.要使MTn恒成立，只需M2，M的最小值是2.答案：29已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snt·5n2，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)解析：Snt·5n2，a1S1，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1().又an為等比數(shù)列，q5，5，即5，t5.答案：5三、解答題(本大題共3個(gè)小題，共46分)10(本小題滿分15分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，且點(diǎn)An(an，an1)在函數(shù)y的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：弦AnAn1的斜率隨n的增大而增大解：(1)an1且a11，1，1，是以1為首

6、項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列1(n1)×1n，an.(2)證明：an，an1，an2，弦AnAn1的斜率kn.kn1kn0，弦AnAn1的斜率隨n的增大而增大11(本小題滿分15分)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn，記Sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，若n3時(shí)，有Snm恒成立，求m的最大值解：(1)an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144，S10145.S10145.a1028.281(101)×d.d3.ana1(n1)d1(n1)×33n2.(2)bn()，Snb1b2bn(1)(1).Sn1S

7、n>0，數(shù)列Sn是遞增數(shù)列當(dāng)n3時(shí)，(Sn)minS3.依題意，m，m的最大值為.12(理)(本小題滿分16分)數(shù)列an滿足a10，a22，an2(1cos2)an4sin2，n1,2,3，.(1)求a3，a4，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Ska1a3a2k1，Tka2a4a2k，Wk(kN*)，求使Wk1的所有k的值，并說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)閍10，a22，所以a3(1cos2)a14sin2a144，a4(1cos2)a24sin22a24.一般地，當(dāng)n2k1(kN*)時(shí)a2k11cos2a2k14sin2a2k14，即a2k1a2k14.所以數(shù)列a2k1是首項(xiàng)為0，公差為4的等

8、差數(shù)列，因此a2k14(k1)當(dāng)n2k(kN*)時(shí)，a2k2(1cos2)a2k4sin22a2k.所以數(shù)列a2k是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k2k.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)由(1)知，Ska1a3a2k1044(k1)2k(k1)，Tka2a4a2k2222k2k12，Wk.于是W10，W21，W3，W4，W5，W6.下面證明：當(dāng)k6時(shí)；Wk1.事實(shí)上，當(dāng)k6時(shí)，Wk1Wk0，即Wk1Wk.又W61，所以當(dāng)k6時(shí)，Wk1.故滿足Wk1的所有k的值為3,4,5.(文)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d>0)，且滿足：a2·a555，a4a622.(1)求數(shù)列an的

9、通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為an，數(shù)列bn和數(shù)列cn滿足：bn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)由題意知，即，得，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an32(n1)，即an2n1.(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tnan2n1，Tn1an12(n1)12n1(n2，nN*)，bnTnTn12(n2)，又b1T1a13，c1b1×26，cnbn·2n2n1(n2)，即cn，從而當(dāng)n2時(shí)，Sn623242n2n122223242n2n12n22，當(dāng)n1時(shí)，S16也滿足上式，故Sn2n22.1an是等差數(shù)列，a28，S10185，從an中依次取出第3項(xiàng)，第9項(xiàng)，第27項(xiàng)，第3

10、n項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列bn，則bn等于()A3n12B3n12C3n2 D3n2解析：由a28，S10185可求得a15，公差d3，an3n2.由于an的第3n項(xiàng)恰是bn的第n項(xiàng)，bna3n3×3n23n12.答案：A2設(shè)函數(shù)f(x)(x1)2n，(x1,3，nN*)的最小值為an，最大值為bn，則cnbanbn是()A公差不為零的等差數(shù)列B公比不為1的等比數(shù)列C常數(shù)列D既不是等差也不是等比數(shù)列解析：f(x)(x1)2n，x1,3，nN*，anf(1)n，bnf(1)f(3)banbnbn(bnan)4(n4)是公差不為零的等差數(shù)列答案：A3定義

11、“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，那么a18的值為_(kāi)，且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)的和S21的值為_(kāi)解析：根據(jù)定義和條件知，anan15對(duì)一切nN*恒成立，因?yàn)閍12，所以an于是a183，S2110(a2a3)a152.答案：3524已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意nN*，點(diǎn)(n，Sn)都在函數(shù)f(x)2x2x的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，且數(shù)列bn是等差數(shù)列，求非零常數(shù)p的值；(3)設(shè)cn，Tn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求使得Tn<對(duì)所有nN*

12、都成立的最小正整數(shù)m.解：(1)由已知，對(duì)所有nN*，Sn2n2n，所以當(dāng)n1時(shí)，a1S11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14n3，因?yàn)閍1也滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n3(nN*)(2)由已知bn，因?yàn)閎n是等差數(shù)列，可設(shè)bnanb(a、b為常數(shù))，所以anb，于是2n2nan2(apb)nbp，所以因?yàn)閜0，所以b0，p.(3)cn()，所以Tnc1c2cn(1)(1)由Tn<，得m>10(1)因?yàn)?<1，所以m10.所以，所求的最小正整數(shù)m的值為10.5設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，已知4Sna2an1(nN*)(1)證明an是等差數(shù)列，并求an；(

13、2)設(shè)m、k、pN*，mp2k，求證：.解：(1)4Sna2an1，4Sn1a2an11(n2)兩式相減得4anaa2an2an1.整理得(anan1)(anan12)0.anan10，anan12(常數(shù))，an是以2為公差的等差數(shù)列又4S1a2a11，即a2a110，解得a11，an1(n1)×22n1.(2)證明：由(1)知Snn2，Smm2，Spp2，Skk2.由0，即.6這是發(fā)生在德國(guó)的一個(gè)真實(shí)故事，一個(gè)9歲的孤兒德比為了尋找母親，表達(dá)他對(duì)母親的愛(ài)，他每幫助一個(gè)人，就請(qǐng)這位被幫助者再去幫助另外10個(gè)人，假設(shè)每個(gè)人都以這種方式將愛(ài)心傳遞下去，且被幫助的人不重復(fù)總有一天自己的母親也會(huì)成為被幫助的對(duì)象如果德比每天幫助一個(gè)人，被幫助的人第二天去幫助另外10個(gè)人(假設(shè)被幫助的人第三天及以后不再幫助其他人)而德國(guó)有8 220萬(wàn)人(1)設(shè)n天后，被幫助的總?cè)藬?shù)為Sn，試求出Sn；(2)最多第幾天，德比的母親成為被幫助的對(duì)象？解：(1)根據(jù)條件，可知SnSn1110