1、第九章第九章 回歸預(yù)測回歸預(yù)測l什么是回歸預(yù)測l回歸預(yù)測的常用方法 一元線性回歸 一元非線性回歸 二元線性回歸 二元非線性回歸 多元線性回歸 多元非線性回歸9.1 回歸預(yù)測概述（回歸預(yù)測概述（1）l回歸預(yù)測以因果關(guān)系為前提，應(yīng)用統(tǒng)計方法尋找一個適當(dāng)?shù)幕貧w模型，對未來市場的變化進(jìn)行預(yù)測。l回歸分析具有比較嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)和成熟的計算分析方法；回歸預(yù)測是回歸分析在預(yù)測中的具體運(yùn)用。l在回歸預(yù)測中，預(yù)測對象稱為因變量，相關(guān)的分析對象稱為自變量。l回歸分析根據(jù)自變量的多少分為一元回歸分析、二元回歸分析與多元回歸分析，但有時候二元回歸分析被并入到多元回歸分析之中；回歸分析根據(jù)回歸關(guān)系可分為線性回歸分析與非

2、線性回歸分析。9.1 回歸預(yù)測概述（回歸預(yù)測概述（2）l回歸分析的基本步驟如下： 第一步：判斷變量之間是否存在有相關(guān)關(guān)系 第二步：確定因變量與自變量 第三步：建立回歸預(yù)測模型 第四步：對回歸預(yù)測模型進(jìn)行評價 第五步：利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測，分析評價預(yù)測值9.2 一元線性回歸預(yù)測一元線性回歸預(yù)測l一元線性回歸預(yù)測是在一個因變量與一個自變量之間進(jìn)行的線性相關(guān)關(guān)系的回歸預(yù)測。l一元線性回歸的基本步驟如下： 第一步：繪制散點圖，觀察自變量與因變量之間的相互關(guān)系； 第二步：估計參數(shù)，建立一元線性回歸預(yù)測模型； 第三步：對預(yù)測模型進(jìn)行檢驗； 第四步：計算與確定置信區(qū)間。9.2.1 建立一元線性回歸預(yù)測模型建

3、立一元線性回歸預(yù)測模型l一元線性回歸預(yù)測的基本模型如下：xbyaxxxyxxyxxnyxxynbbxay 222)(其中9.2.2 預(yù)測模型檢驗預(yù)測模型檢驗l相關(guān)系數(shù)檢驗 相關(guān)系數(shù)是描述兩個變量之間線性關(guān)系能密切程度的數(shù)量指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是-1，1。若r=1則說明完全正相關(guān)，若r=-1則說明完全負(fù)相關(guān)；r=0說明不相關(guān)；r的值在（0，1）之間則正相關(guān)，在（-1，0）之間則為負(fù)相關(guān)。lt檢驗 t檢驗是利用t統(tǒng)計量來檢驗回歸參數(shù)a和b是否具有統(tǒng)計意義。9.2.2 預(yù)測模型檢驗（相關(guān)系數(shù)檢驗）預(yù)測模型檢驗（相關(guān)系數(shù)檢驗）l相關(guān)系數(shù)的計算公式是：l另一個來自于方差分析的相關(guān)系數(shù)的計算公式是：

4、222222)(1)(11)()()( ynyxnxyxnxyryyxxyyxxr或者寫成22)()(1yyyyr9.2.2 預(yù)測模型檢驗（預(yù)測模型檢驗（t檢驗）檢驗）lt檢驗使用的統(tǒng)計量計算公式是：不成立。線性相關(guān)成立。反之則 當(dāng)有取其中)2(050)()2()(222ntt.xxnyySSbtbb9.2.3 計算與確定置信區(qū)間計算與確定置信區(qū)間l由于預(yù)測值與實際值之間存在有不確定的偏差，因而需要確定預(yù)測值的有效區(qū)間，即置信區(qū)間。l一元線性回歸預(yù)測的置信區(qū)間有下述表達(dá)式確定：為給定值。其中， :置信區(qū)間0220222)()(112)()()()2()()2(xxxxxnnyyySySntyy

5、Snty9.2.4 一元線性回歸預(yù)測案例研究（一元線性回歸預(yù)測案例研究（1）l例：x、y兩變量的觀察數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸預(yù)測。數(shù)據(jù)序號xyx2y2xy11.54.82.2523.047.2021.85.73.2432.4910.2632.47.05.7649.0016.8043.08.39.0068.8924.9053.510.912.25118.8138.1563.912.415.21153.7648.3674.413.119.36171.6157.6484.813.623.04184.9665.2895.015.325.00234.0976.50合計30.391.1115.11

6、1036.65345.099.2.4 一元線性回歸預(yù)測案例研究（一元線性回歸預(yù)測案例研究（2）l根據(jù)前表可知：xbxayxbyaxxnyxxynb9303. 22579. 02579. 093 .309303. 291 .919303. 23 .3011.11591 .913 .3009.3459)(222 所以有9.2.4 一元線性回歸預(yù)測案例研究（一元線性回歸預(yù)測案例研究（3）l相關(guān)系數(shù)檢驗。 根據(jù)前表數(shù)據(jù)以及相關(guān)系數(shù)計算公式可知本例為顯著線性相關(guān)。)7(666.0)7()29()2(9911.01.919165.10363.309111.1151.913.309109.345)(1)(1

7、105.005.005.0222222rrrrnrynyxnxyxnxyr即有查表得9.2.4 一元線性回歸預(yù)測案例研究（一元線性回歸預(yù)測案例研究（4）lt檢驗。t檢驗的分析計算表如下：數(shù)據(jù)序號xy11.54.84.65-1.870.153.500.0221.85.75.53-1.570.172.460.0332.47.07.29-0.97-0.290.940.0843.08.39.05-0.37-0.750.140.5653.510.910.510.130.390.020.1563.912.411.680.530.720.280.5274.413.113.151.03-0.051.060.0

8、084.813.614.321.43-0.722.040.5295.015.314.911.630.392.660.15合計13.12.03yxx yy2)(xx 2)(yy9.2.4 一元線性回歸預(yù)測案例研究（一元線性回歸預(yù)測案例研究（5）l根據(jù)上表數(shù)據(jù)以及t統(tǒng)計量的計算公式有：線性相關(guān)成立。 即有取)7(692.19365. 2)7()2(050692.191488. 09303. 21488. 01 .13)29(03. 2)()2()(025. 0025. 0222tttnt.SbtxxnyySbb9.2.4 一元線性回歸預(yù)測案例研究（一元線性回歸預(yù)測案例研究（6）l計算確定置信區(qū)間。

9、計算得到置信區(qū)間為10.42,13.54，具體計算過程如下：54.136612. 0365. 298.11)() 2(42.106612. 0365. 298.11)() 2(6612. 01 .13)37. 34(9112903. 2)()(112)()(22022202ySntyySntyxxxxxnnyyyS 4)(令9.3 一元非線性回歸預(yù)測一元非線性回歸預(yù)測l一元非線性回歸預(yù)測的基本步驟l一元非線性回歸預(yù)測的主要模型 指數(shù)曲線模型 雙曲線模型 對數(shù)曲線模型 S型曲線模型l案例研究9.3.1 一元非線性回歸預(yù)測的基本步驟一元非線性回歸預(yù)測的基本步驟l一元非線性回歸預(yù)測的基本步驟如下：

10、第一步：確定非線性回歸模型的類型。 第二步：通過變換將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程。 第三步：用最小二乘法建立回歸方程。 第四步：進(jìn)行逆變換，將線性方程轉(zhuǎn)換為需要的非線 性方程。9.3.2 指數(shù)曲線模型指數(shù)曲線模型l設(shè)有指數(shù)曲線如下：bxayaayybxaeayaeybxbx則有： 設(shè)兩邊取對數(shù)：ln,lnlnlnlnln9.3.3 雙曲線模型雙曲線模型l設(shè)有雙曲線方程如下：xbayxxyyxbay則有： 設(shè)1,1119.3.4 對數(shù)曲線模型對數(shù)曲線模型l設(shè)有對數(shù)曲線方程如下：xbayxxbay則有：logx 設(shè)log9.3.5 S型曲線模型型曲線模型l設(shè)有S形曲線方程如下：xbayexyybea

11、yxx則有： 設(shè),119.3.6 一元非線性回歸預(yù)測案例研究（一元非線性回歸預(yù)測案例研究（1）l根據(jù)下表資料預(yù)測2002年變量值。觀察年份19941995199619971998199920002001時序(x)12345678觀察值(y)3.04.25.78.311.516.022.431.09.3.6 一元非線性回歸預(yù)測案例研究（一元非線性回歸預(yù)測案例研究（2）l根據(jù)上表可繪制出時間序列的散點圖如下：觀察值時間序列散點圖051015202530350246810時序觀察值系列19.3.6 一元非線性回歸預(yù)測案例研究（一元非線性回歸預(yù)測案例研究（3）l所以在本例中，預(yù)測模型的類型應(yīng)該是指數(shù)曲

12、線。即有：bxayaayybxaeayaeybxbx則有： 設(shè)兩邊取對數(shù)：ln,lnlnlnlnln9.3.6 一元非線性回歸預(yù)測案例研究（一元非線性回歸預(yù)測案例研究（4）l由最小二乘法有：xeyxyxbnyaaxxnyxyxnb335. 0761. 0222335. 0761. 0761. 0836335. 081485.18ln335. 03620481485.18367378.958)( 即有：所以有：9.4 多元線性回歸預(yù)測多元線性回歸預(yù)測l二元一次線性回歸預(yù)測l多元線性回歸方程的矩陣解法9.4.1 二元一次線性回歸預(yù)測（二元一次線性回歸預(yù)測（1）l二元一次線性回歸的預(yù)測模型是：l二元

13、一次線性回歸的正規(guī)方程是：2211XbXbaY22112222222211111221122111)()()()()()(XbXbYaYYXXXXbXXXXbYYXXXXXXbXXbiiiiiiiiii9.4.1 二元一次線性回歸預(yù)測（二元一次線性回歸預(yù)測（2）l例：根據(jù)下表進(jìn)行二元一次線性回歸預(yù)測。時序12345678910合計51655764168273681382490111151410819531.834.340.545.343.547.747.149.158.571.2469495663667796991131622251006228.01158.7640.962.5611.560.

14、640.044.84134.56590.491172.422662.561989.161413.81197.2556.9621.162.56153.763769.9615476.427242.4779.16561.96240.6455.3680.24-3.68-0.3227.28712.243022.925475.84582.253307.51142.4220283.9-5.20.9179.33427.814349.227488.615860.611707.56711.64757.51970.629.9-7.21010.618143.773458.2133443YiX1iX2211)(XXi2

15、22)(XXi)(2211XXXXii)(11YYXXii)(22XXYYii9.4.1 二元一次線性回歸預(yù)測（二元一次線性回歸預(yù)測（3）l將有關(guān)數(shù)據(jù)代入到正規(guī)方程，得到：2122112221212103259. 3282288. 908.7908.796 .10103259. 39 .46282288. 95 .81903259. 38 .54754 .2724242.11728 .54756 .2748842.1172133443282288. 98 .54754 .2724242.11728 .54751334434 .272426 .274881334434 .272428 .5475

16、6 .274888 .547542.1172XXYXbXbYabbbbbb解方程有：9.4.2 多元線性回歸方程的矩陣解法（多元線性回歸方程的矩陣解法（1）l設(shè)有多元一次線性方程組如下所示：nmnmmmmnnnnnnXbXbXbXbbYXbXbXbXbbYXbXbXbXbbYXbXbXbXbbY.332211023232221210213132121110133221109.4.2 多元線性回歸方程的矩陣解法（多元線性回歸方程的矩陣解法（2）l所以有：mnmmnnnmnmnmmnnmxxxxxxxxxXbbbBYYYbbbxxxxxxxxxYYY212222112111212121212222

17、11211121111111 Y令9.4.2 多元線性回歸方程的矩陣解法（多元線性回歸方程的矩陣解法（3）l所以有：XXXXadjXXYXXXBXBXXXYXXXXBXYXXBYTTTTTTTTTTT)()()()()(1111其中9.4.2 多元線性回歸方程的矩陣解法（多元線性回歸方程的矩陣解法（4）l例：若有如下資料，請求回歸方程。時序因變量(y)自變量(x1)自變量(x2)11021212223178104132451568610347145781233916910101810119.4.2 多元線性回歸方程的矩陣解法（多元線性回歸方程的矩陣解法（5）l本例計算過程如下：48039860

18、39833650605010111012211211121102211111101221121181210XXXT Y9.4.2 多元線性回歸方程的矩陣解法（多元線性回歸方程的矩陣解法（6）2116174. 01265. 03871. 96174. 01265. 03871. 99087561378609802609801200120260120287671601)()(9087561371812101121102211186098026098012001202601202876)(XXYYXXXXXadjYXXXBYXXXadjTTTTTTT相關(guān)系數(shù)檢驗表相關(guān)系數(shù)檢驗表 0.050.010.050.010.050.0110.9971.000110.5530.684210.4130.52620.9500.990120.5320.661220.4040.51