1、第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布6.1 6.1 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本6.2 6.2 抽樣分布抽樣分布6.1 6.1 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本總體總體 將將研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)的值的全體稱為總體，研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)的值的全體稱為總體，個體個體 每一個可能觀察值稱為個體每一個可能觀察值稱為個體總體根據(jù)其所含有個體數(shù)分為有限總體和無限總體總體根據(jù)其所含有個體數(shù)分為有限總體和無限總體. .有限總體和無限總體有限總體和無限總體總體總是與一個隨機(jī)變量相對應(yīng)總體總是與一個隨機(jī)變量相對應(yīng)這里研究的總體這里研究的總體, ,即研究對象的某數(shù)量指標(biāo)即研究對象的某數(shù)量指標(biāo)X, ,它的取值在客觀上它的取值在客觀上有

2、一定的分布有一定的分布, , X是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量. .對總體的研究對總體的研究, ,就是對相應(yīng)的就是對相應(yīng)的隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布的研究的分布的研究. .因此因此, , X的分布函數(shù)與數(shù)字特征的分布函數(shù)與數(shù)字特征, ,分別分別稱為總體的分布函數(shù)與數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)與數(shù)字特征. .今后將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨今后將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量機(jī)變量. .從數(shù)學(xué)意義看從數(shù)學(xué)意義看, ,總體是一個隨機(jī)變量總體是一個隨機(jī)變量, ,個體是這個隨機(jī)變個體是這個隨機(jī)變量的取值量的取值. .二、樣本 從總體從總體 中，隨機(jī)地抽取中，隨機(jī)地抽取 個個體個個體 ，這，這樣取得的樣取得的 為總體為

3、總體 的一個的一個樣本樣本樣本中個樣本中個體的數(shù)目體的數(shù)目 稱為稱為樣本容量樣本容量。nXXXn12,XXXn12,Xn 在總體中抽取樣本的目的在總體中抽取樣本的目的, , 是為了對總體的分布規(guī)律是為了對總體的分布規(guī)律進(jìn)行各種分析和推斷，這就要求抽取的樣本能夠反映總體進(jìn)行各種分析和推斷，這就要求抽取的樣本能夠反映總體的特點，為此必須對隨機(jī)抽取樣本的方法提出如下要求：的特點，為此必須對隨機(jī)抽取樣本的方法提出如下要求：（1 1）獨(dú)立性獨(dú)立性，要求，要求 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量（2 2）代表性代表性，要求樣本的每個分量，要求樣本的每個分量 與總體與總體 具有相具有相同的分布滿足以上

4、兩個條件的樣本稱為同的分布滿足以上兩個條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本X XXn12,XiX一次抽取的結(jié)果是個具體的數(shù)據(jù)一次抽取的結(jié)果是個具體的數(shù)據(jù) ，稱為樣本，稱為樣本 的一個觀測值，簡稱的一個觀測值，簡稱樣本值樣本值，不同的抽取，不同的抽?。看危看蝞 n個）將得到不同的樣本值個）將得到不同的樣本值XXXn12,x xxn12, 設(shè)設(shè) 為總體為總體X 的一個簡單隨機(jī)樣本，如果的一個簡單隨機(jī)樣本，如果總體總體X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ，則樣本分布函數(shù)，則樣本分布函數(shù) ；如果總體概率密度為；如果總體概率密度為 則樣本則樣本 的概率密度的概率密度 XXXn12,F x( )Fx xx

5、F xniin*(,)()121f x( )XXXn12,fx xxf xniin*(,)()121 對于有限總體，采用放回抽樣就可得到簡單隨機(jī)樣對于有限總體，采用放回抽樣就可得到簡單隨機(jī)樣本當(dāng)個體的總數(shù)本當(dāng)個體的總數(shù) 比要得到的樣本容量比要得到的樣本容量 大得多時，在大得多時，在實際中可將不放回抽樣近似地看作放回抽樣來處理實際中可將不放回抽樣近似地看作放回抽樣來處理nN6.2 抽樣分布抽樣分布一、統(tǒng)計量一、統(tǒng)計量 樣本是總體的代表和反映樣本是總體的代表和反映, ,但在抽取樣本后但在抽取樣本后, ,并不能直接并不能直接利用樣本進(jìn)行推斷利用樣本進(jìn)行推斷, ,而需要對樣本進(jìn)行一番而需要對樣本進(jìn)行一

6、番“加工加工”和和“提煉提煉”, ,把樣本中我們關(guān)心的事物的信息集中起來把樣本中我們關(guān)心的事物的信息集中起來, ,即針對不同的問題即針對不同的問題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)，并利用這些樣本函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計推斷構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)，并利用這些樣本函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計推斷, ,樣樣本函數(shù)叫做統(tǒng)計量本函數(shù)叫做統(tǒng)計量. .定義定義1 1 設(shè)設(shè) 為總體的一個樣本，為總體的一個樣本， 是是 的函數(shù)，如果的函數(shù)，如果g g 是連續(xù)函數(shù)并且是連續(xù)函數(shù)并且g g 中不含任中不含任何未知參數(shù)，則稱何未知參數(shù)，則稱 是一個統(tǒng)計量是一個統(tǒng)計量g X XXn(,)12g X XXn(,)12nXXX,21nXXX,21設(shè)設(shè) 是相應(yīng)于樣本是相

7、應(yīng)于樣本 的樣本值，則的樣本值，則稱稱 是是 的樣本觀察值的樣本觀察值. .nxxx,21g X XXn(,)12),(21nxxxgnXXX,21例如例如 總體總體 ，其中參數(shù)，其中參數(shù) 為未知參數(shù)，為未知參數(shù)， 是是 X 的樣本，則的樣本，則 , , 等均等均為統(tǒng)計量，而為統(tǒng)計量，而 等都不是統(tǒng)計等都不是統(tǒng)計量，因為它們含有未知參數(shù)量，因為它們含有未知參數(shù)XN( ,) 2 ,XXXn12,Xiin1Xiin211221Xiin1212()XX , 從統(tǒng)計量的定義可知，統(tǒng)計量是不含任何未知參數(shù)的從統(tǒng)計量的定義可知，統(tǒng)計量是不含任何未知參數(shù)的隨機(jī)變量隨機(jī)變量幾個常用的統(tǒng)計量幾個常用的統(tǒng)計量 定

8、義定義2 2 設(shè)設(shè) 是從總體是從總體 X 中抽取的容量為中抽取的容量為 n 的的 樣本，那末統(tǒng)計量樣本，那末統(tǒng)計量XXXn12,稱為稱為樣本均值樣本均值 稱為稱為樣本方差樣本方差 稱為稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差稱為稱為樣本樣本k階原點矩階原點矩稱為稱為樣本樣本k階中心矩階中心矩XnXiin11niiXXnS12211AnXkikin11BnXXkikin11()SnXXiin1121() 設(shè)設(shè) 是總體是總體 X 的一個樣本，的一個樣本， 是是這一樣本的觀察值這一樣本的觀察值XXXn12,仍稱為仍稱為樣本均值樣本均值仍稱為仍稱為樣本方差樣本方差仍稱為仍稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差仍稱為仍稱為樣本樣本k

9、階原點矩階原點矩仍稱為仍稱為樣本樣本k階中心矩階中心矩niixxns12211nxxx,21niixnx11niixxns1211 11nikikxna )(11nikikxxnb樣本矩的性質(zhì)樣本矩的性質(zhì)抽樣分布抽樣分布統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)統(tǒng)計量是樣本的函數(shù), , 它是一個隨機(jī)變量它是一個隨機(jī)變量. .統(tǒng)計量的分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布稱為抽樣分布. .1)1)若總體若總體X的的k階矩階矩 存在存在, , 則當(dāng)則當(dāng) 時時, , 2)2)kkXE )(nkpkA), 2 , 1(k),(),(2121npngAAAg其中為其中為 g 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)二、常用統(tǒng)計量的分布二、常用統(tǒng)計量的分布n (

10、 (一一) ) 分布分布設(shè)設(shè) 是來自總體是來自總體 的樣本，的樣本，則統(tǒng)計量則統(tǒng)計量 2XXXn12,212222XXXn服從自由度服從自由度 為的為的 分布記為分布記為 這里自由度這里自由度 表示相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的個數(shù)表示相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的個數(shù). . 分布的概率密度為分布的概率密度為n222( )n2( )nf ynyeynny( )( )122002212其它dtett01)(其中)1 , 0( NX 的圖形如圖所示，的圖形如圖所示， 的形狀與的形狀與 有關(guān)有關(guān). . 0 0 y y nf y( )1n5n15n)(yf)(yf, ,且且 與與 相互獨(dú)立時相互獨(dú)立時, ,(2)(2)如

11、果如果 ，(1)(1)設(shè)設(shè) 221 )(),(22221221nn 22 )(22n 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)則則EnDn()()222則有則有)(2122221nn 事實上，因事實上，因 ，故，故XNi( , )01E XD XE Xx edxiiix()()()244211232213)()()(2242iiiXEXEXD因此因此EEXE Xniiniin()()()22121DDXD Xniiniin()()()221212 分布的上分布的上 分位點分位點 滿足滿足 對于不同的對于不同的 n 與與 ， 分布的分布的 分位點的值見分位點的值見附表，當(dāng)附表，當(dāng) 40 40 時，有近似計算公式時，

12、有近似計算公式 其中其中 為分布為分布 的上的上 分位點分位點22)12(21nz2( )nx10)()()(222ndyyfnP2( )nnzN( , )01zz1設(shè)設(shè) ， ，且，且 X 與與 Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量 服從自由度是服從自由度是 n 的的 t 分布，分布，記作記作 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 t t 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為: : XN( , )01Yn( )2tntnnntfn,1)2/(2/ ) 1()(2/ ) 1(2( (二二)t)t分布分布)(nttnYXt n=10n=1f (t)n=(正態(tài)） 圖6-30t它的圖形如圖，其形狀與它的圖形如圖，

13、其形狀與n有關(guān)，有關(guān)， 關(guān)于關(guān)于 對稱對稱f t ( )t 0lim( )ntf te12221)1)當(dāng)當(dāng)n充分大時，充分大時，t t 分布以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限分布分布以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限分布 2) 2)t 分布的上分布的上 分位點分位點 應(yīng)滿足應(yīng)滿足)(nt)()(1ntnt)()()(ntdttfnttP當(dāng)當(dāng) n45 45 時時, ,znt)( 由于對稱性知，由于對稱性知， 其值可查表其值可查表設(shè)設(shè) , , 且且 X X 與與 Y Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 服從自由度是（服從自由度是（ ）的）的F F 分布，分布， Xn( )21Yn()22FX nY n12n n

14、12,FF n n(,)12F n n(,)12( (三三)F)F分布分布記作記作分布的概率密度函數(shù)為：分布的概率密度函數(shù)為：1112/2(/2) 11212()/21212()/ 2(/)( )(/ 2) (/ 2)1(/)nnFnnnnnnyfynnn y n由定義知，若由定義知，若 ，則，則FF n n(,)12121FF nn(,)0t其概率密度函數(shù)圖形如圖所示其概率密度函數(shù)圖形如圖所示f(t)25,1021nn5,1021nn點點 為為 分布的上分布的上 分位點，分位點，F(xiàn)分布的上分布的上 分位點有表可查。分位點有表可查。1)對于給定的對于給定的 ，稱滿足條件，稱滿足條件10,),(

15、2121)(),(nnFdyyfnnFFP),(21nnF),(21nnF2)2)F F分布的上分布的上 分位點有如下性質(zhì)：分位點有如下性質(zhì)：),(1),(12211nnFnnF首先給出一個重要的結(jié)論首先給出一個重要的結(jié)論設(shè)設(shè) 是總體是總體X的樣本，的樣本， 是樣本均是樣本均值值, ,那末那末 無論服從什么分布，都有無論服從什么分布，都有XXXXn12,E XE X()()niiXnX11nXDXD)()( ,（四）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（四）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布由此得到結(jié)論由此得到結(jié)論若總體若總體 ，則，則),(2NX),(2nNXXnN201/( , )定理定理1

16、 1 定理定理2 2 設(shè)總體設(shè)總體 , , 是是 的樣本，的樣本， 是樣本均值是樣本均值, , 是樣本是樣本方差，則方差，則（1 1）（2 2） 與與 獨(dú)立獨(dú)立證明從略證明從略XN( ,)2XXXn12,XXnXiin11SnXXiin22111()()()XXnSniin21222211XS2定理定理3 3XN( ,) 2設(shè)總體設(shè)總體, , 是是X XXn12,的樣本，則的樣本，則XXSntn21/()即即 證畢證畢證明證明 因為因為XnN201/( , )nSn11222()且兩者相互獨(dú)立，所以由定義有且兩者相互獨(dú)立，所以由定義有XnnSnt n222111()() ()XSnt n21/

17、 ()設(shè)總體設(shè)總體 且且X X 與與Y Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，( )( )是是X X 的樣本，的樣本， ( )( )是是Y Y 的的樣本樣本, , 分別是兩個樣本的樣本方差，分別是兩個樣本的樣本方差， 分別是分別是兩個樣本的樣本均值，則兩個樣本的樣本均值，則 XXXn12,Y YYn12,SS1222,X Y,當(dāng)當(dāng) 時，時，定理定理4 4222211)1)2)2),(211NX),(221NY) 1, 1(2122212221nnFSSXYnSnSnnnnt nn()()() ()12112222121212112112 證明證明 由于由于 , , 因而因而XNn( ,)121YNn(,)222XYNnn(,)122122XYnnN()()( , )12212110 1nSn12122111()nSn22222211()經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化得經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化得由定理由定理1 1知知再由再由 的可加性知的可加性知 2( )nXYnnnSnSnnt nn()()()()() ()1221211222221212111122XYnSnSnnnnt nn()()() ()12112222121212112112根據(jù)根據(jù)t t分布的定義，有分布的定義，有即即)2() 1() 1(21222222211nnSnSn人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是