1、第三章第三章 極限與函數的連續性極限與函數的連續性2 數列的極限數列的極限 定義域為正整數的函數稱為數列，記為xn即有( ),nxf nnNxn 是數列的第 n 項 ，也叫做數列的通項。數列也可表示為123,nx xxx定義定義3.1數列的遞推形式表示11,nnxnxxa1、極限的概念nx=1n容易看出，當n無限增大時，nx無限接近于0，因而nx的極限為0。 nx=( 1)nn當nnx的極限也是 0。無限增大時， 它的值時而為正， 時而為負，但總的趨勢仍然是無限的接近于0這個數，因此例例1例例2n無限增大時，nx越變越小，無限的接近于1，因此nx的極限是1。nx=1nn即3 4 5101 10

2、22,2 3 4100 101當例例3nx=2n并不無限接近一個常數，因此說它沒有極限。 當n無限增大時，2n也無限增大，1 ( 1)nnx 一個常數，因此也沒有極限。 它在0和2兩個數中不停的跳動，前三個數列的特點：當n無限增大時，nx的值無限地接近某個數 .a例4，例5中的數列沒有極限。 “當n無限增大時，nx無限接近于a”是什么意思? 例例5 5例例4 4也不是無限地接近以數列以數列1n 為例：當為例：當n無限增大時，無限增大時， 1n無限接近于無限接近于01n與與0可以任意接近，要多近有多近可以任意接近，要多近有多近10n可以任意小，要多小有多小可以任意小，要多小有多小10n總能小于總

3、能小于任給一個正數任給一個正數，無論多么小，無論多么小，只要只要n足夠大足夠大(充分大充分大)無限用任意性無限用任意性來反映來反映0.1分別對分別對(只要只要n 10) , 0.001(只要只要n 1000)盡管盡管0.00001“很小很小”，但畢竟是確定的數。要描述，但畢竟是確定的數。要描述10n可以任意小，必須對任意的（無論多么小）的正數都能做到，可以任意小，必須對任意的（無論多么小）的正數都能做到，10n才行。這也能夠做到。從才行。這也能夠做到。從110nn可知只要可知只要1n即可。也就是說即可。也就是說 取取1N ，當，當nN時，時，10n即從第即從第1N 項以后的所有項都滿足項以后的

4、所有項都滿足10n例：例：都可以做到都可以做到., 0.001(只要只要n 1000), 0.001(只要只要n 1000)都可以做到都可以做到., 0.001(只要只要n 1000)綜上：“當n無限增大時，1n無限接近于0”的實質是：對任意給定的（無論它多么小），總存在一個正整數N（例取1N ），nN時，10n. 將上面的語言抽象化，有下面定義：正數當 nx是一數列，a是一實數，若對于任意給定任意給定的正數 ,存在正整數N，當nN時，都有 nxa, 則稱 a為數列 nx nx收斂，且收斂于 ,a記為 limnnxa或()nxa n 的極限。或數列定義3.2沒有極限的數列稱為發散數列。 nx的

5、極限為 ”的幾何意義 “數列aaa1Nx2Nx1xa（不一定去找滿足要求的最小的 ）幾點說明：幾點說明：1.使用鄰域概念：開區間(,)aa稱為a的鄰域，記為( , )O alimnnxa對任意給定的0，存在N，當nN時，nx ( , )O a 定義中 必須具有任意性：這樣才能保證nx與a但為表明漸近過程的不同階段，又具有相對固定性。是通過無限多個相對固定性表現出來的。的無限接近，的任意性這就是任意與固定的辨證關系。2.定義中，自然數 不是唯一不是唯一的。若存在0N滿足要求，0N任一自然數都能起到0N的作用，N則比大的所以強調自然數的存在性存在性3.N極限為0的數列數列稱為無窮小量。下面給出非常

6、重要的定義： nx的極限為a 的充要條件是：nxa是無窮小量。命題命題3.13.1定義定義3.33.3值得注意的是,無窮小量是一數列,而不是一個很小的常數. 由極限的定義顯然有, 以a為極限等價于數列以0為極限 . 我們把它寫成下面的命題 nxnxa1q ，證明lim0nnq證法1 ：若0q ，結論顯然成立。故不妨設0.q 對任意給定的0，不妨設1，要使0nnqq，即lglgnq只要 lglgnq，令lg1lgNq，則當nN時，有nq. 這就證明了lim0nnq設證法2：0.q 由1q 知存在0，使得11q，從而 1111.1nnnqnn對任給的0，要使nq，只要放大后的1n. 因此取11N，

7、則當nN時，有10nnqqn這就證明了 .lim0nnq不妨設例例7從前面的例子可見，N的過程，nxa出發，看滿足條件的N是否存在。我們只要找到一個就可以了，不管用的是什么方法。0nq 適當放大到1n于是我們很容易找到N當然放大要適當，要保證把nxa放大后仍然是無窮小量無窮小量。整個證明過程實際上是找采用的是反推法反推法， 即從證明2用的是適當放大法，它將(0)a 證明lim1nna證明： 若1a 結論顯然成立。1a . 記1(0)nnna ，則 (1)1.nnnnnnann 因此1nnaan對任意給定的0，不妨設1，取aN ，則當nN時，有1naan最后設01a。這時存在1b 使1ab，因此

8、11111nnnnnbabbb由于lim1nnb，故對任意給定0，存在N，當nN時，有11nnab這樣我們證明了當0a 時，總有lim1nna設例例8證明221lim12nnnn證明 ： 當4n 時，222222213324122244nnnnnnnnnnnnnn對任意給定的0，取4max 4,N 則當nN22142nnnn即221lim12nnnn時，有例例9數列極限定義的作用（2）常用于理論推導（即證明中使用,很強大）（1）它其實并不能求極限值，只是能驗證某個 實數是否是數列的極限。2、極限的四則運算與性質尋找求極限的方法lim,lim,nnnnxayb則) ilim;nnnxyab)ii

9、 limnnnx yab)iii lim(0)nnnxabyb定理實際上說的是：極限運算和四則運算可以交換次序。 設定理定理3.13.1（有界性） 有極限存在的數列必有界。定理定理3.23.2若 nx無界，則 nx發散。推論推論3.13.1（保號性）若lim,0,nnxa a則存在N，當nN時，有 02nax 設limna) i若0a 則存在N，當nN時，有02nax )ii若0a 則存在N，當nN時，有02nax 推論推論3.23.2定理定理3.33.3lim,lim,nnnnxayb則) ilim;nnnxyab)ii limnnnx yab)iii lim(0)nnnxabyb 設定理定

10、理3.13.1求2241lim256nnnn例例1111更一般的，若000,0, ,abk l是正整數，kl101101limkkkllnla na nab nbnb1010limkkk lnllaaannnbbbnn00,0,aklbkl若limnnybc， 是常數，則lim()nncycb若 nx是無窮小量， ny是有界數列，則nnx y是無窮小量。由定理3.1知，無窮小量的代數和、積仍是無窮小量。推論推論3.33.3定理定理3.43.4定理定理3.43.4是求極限的方法之一。是求極限的方法之一。 求1limsinnnn解 因為1lim0nn，sinn是有界數列，1limsin0nnn例例

11、1010而所以 （保序性）若lim,limnnnnxayb，且,ab則存在N,當nN時，有nnxy（用定理3.3的證明方法）證法2證法1定理定理3.53.5（用定理3.3的結論）0,3a b取或02()3a b如何?定理3.6（極限不等式）若對任意的正整數 n ，有lim,nnxa且,nnxy則.ablim,nnyb,nnxy1 若則?ab兩點說明：2 若條件改成存在N,當nN時，有nnxy結論還成立嗎？結論還成立嗎？例如11nnnn，11limlim1nnnnnn可見結論也只能得到ab定理3.6表明，在極限存在的前提下，可以在不等式兩邊取極限，但千萬不要忘記“帶上等號”。但定理3.7（唯一性

12、）若數列極限存在，則極限是唯一的.azynnnnlimlim)2(定理3.8. 夾迫性),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim夾迫性是求極限的另一種常用方法。夾迫性是求極限的另一種常用方法。例12設,nnnnxAB其中limnnxA0AB求證證明22nnnnnnnnAAABAA由于lim21,nnAAA 而由定理3.8即得limnnnnABA例13證明lim1nnn證法1當1n 時，1nn 令1nnnh 0nh 其中這時2(1)12(1)nnnnnn nnnhhhnh 2(1)2nn nh因此21nhn故21111nnnhn 已知22lim1 1 lim1,11nnnn 由定理3.

13、8得lim1nnn1n 時 ，由平均值不等式得 而由定理3.8得lim1nnn當211nnnnnn2221,nnnnnn 22lim(1)1,nnn 證法2（單調有界原理單調有界數列存在極限） nx(要證有極限，到目前只能用定義才可能可行，然后再證這個數就是 nx的極限. )單調上升有上界的數列必有極限。 單調下降有下界的數列必有極限證明：設數列單調上升有上界一個合適的數如何確定? 想到實數基本定理。 定理定理3.93.9故要先確定需要構造實數得一個分劃：A|B令B B是nx全體上界組成的集合，即 |,1,2,3,nBb xb n取A=RB , 則A|B是實數R的一個分劃：事實上 ,不空：nx

14、有上界，知B不空，又nx單調上升，故11x 不是nx的上界,所以11x A任取,aA bB（往證 ),ab因 a不是nx的上界，所以存在0n使0nax，又b為nx的一個上界，故0nxb，所以ab由，即A也不空由A=RB 知A，B不漏不漏：不亂：根據實數基本定理 ，存在R，使得對任意,aA bB，有ab 下證limnnx任給0（要證：N，當nN時，|nx） 由于A ，即不是nx的上界，故存在N，使Nx，又nx單調上升,所以當nNNnxx又2B，即2為nx的一個上界，故對任意 n，有2nx所以當nN時，有nx，即|nx這就證明了limnnx單調有界原理只斷言極限存在，而沒有給出如何求出極限。但即使

15、只給出極限的存在性，有時已能提供計算的方法。設1212 ,22 ,2nnxxxx222 ,2,3,n求nx的極限。例14單調有界原理是求極限的方法之一。單調有界原理是求極限的方法之一。注:上述例14中的數列是一個遞推數列（迭代數列），一般定義1()nnxf x在求此類數列的極限時，極限存在性的前提是非常重要的。( 1)nnx ，它的極限不存在，但是它滿足1nnxx ，令n 兩邊取極限，使得aa 即0a 最后看單調有界原理的一個重要結果， 例如考察數列，這顯然是荒謬的結論證明數列11nn的極限存在. 記這一極限為e，即1lim 12.71828nnen例15非常重要的極限！非常重要的極限！無窮大

16、量3、在發散的數列中，有一種特殊的數列 ：當n無限增大時， nx也無限增大。例如： 2,2nn我們稱這種數列為無窮大量，仿N語言，有定量化的定義。定義 3.4設 nx是一數列，若對于任意給定的G0，nN時，有|,nxG 則稱 nx是無窮大量,limnnx 或()nxn 存在正整數N，當記為nx任意給定區間,G G必然從某項1Nx起，后面的所有項都落在區間,G G之外。換句話說，數列 nx至多有N項1,x2,Nxx落在區間,G G之中。從幾何上看，無窮大量是指證明 2nnx對任意給定的G0,不妨設G2 ，要使| |2| 2nnnxG 即ln2lnG,只要ln.ln2Gn 令lnln2GN，則當n

17、N時，有|2|nG，即 nx是無窮大量.limnnx 和limnnx 的定義，分別稱 nx為正窮大量和負無窮大量.例16：是無窮大量。證明類似給出例17 證明2limnn 證明 對任意給定的 0G ，不妨設1G ，要使2nG ，只要nG, 取NG，則當nN時，有2nG故2limnn nx非無窮大量的肯定敘述： 0000,:,GNnnN使00|.nxG由此證明：1，0，2，0，3，0，, n，0,不是無窮大量。 無窮大量的運算法則和性質：1、無窮大量和無窮小量的關系： nx是無窮大量當且僅當1nx是無窮小量。 2、若 ,nnxy是正（負）無窮大量，則nnxy是正（負）無窮大量。 3、若 nx是無窮大量， ny是有界量，則nnxy是無窮大量。 4、若 nx是無窮大量， ny滿足：存在N，當nN時，有|0ny，則nnx y是無窮大量。5、無窮大量和無界量之間的關系例18 若lim0,limnnnnxay ，則limnnnx y 證明 由lim0nnxa，則存在1N，當1nN時，有|02nax 由limnny ，則對任意給定的0G ，存在2N，當2nN時，有2|nyGa令12max(,),NN N 則當nN時，有|2nnnax yyG，所以limnnnx y