1、1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)已知f(X)已知f(X)1,則limx0f(XoX2x)f(XoX)設方程eXyy2cosx確定y為X的函數(shù),則懇(5)設隨機變量X的概率密度為0a0L000a；L0設AMMMM,其中a0,i1,2,L,n,則A000Lan1an00L0f(X)2x,0x1,0,其他，以Y表示對X的三次獨立重復觀察中事件1X1出現(xiàn)的次數(shù)，則PY2215分.每小題給出的四個選項中，只有一項符.)二、選擇題(本題共5小題，每小題3分,滿分合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)(1)曲線y的漸

2、近線有1)(x2)12正丄XX1exarctan(x(A)1條(B)2(C)3(D)4(2)設常數(shù)0,而級數(shù)a；收斂,則級數(shù)(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)1)n絕對收斂(D)收斂性與有關n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣BAC的秩為r.(A)rr1(B)rr1(C)rr1(D)r與ri的關系由C而定P(AB)1,則設0P(A)1,0P(B)1,P(AB)(A)事件A和B互不相容(C)事件A和B互不獨立(B)(D)事件A和B相互對立事件A和B相互獨立(5)設Xi,X2,L,Xn是來自正態(tài)總體2)的簡單隨機樣本,X是樣本均值，記則服從自由度為n(A)tXS1.n11n*n1i11n(X

3、in1i1X)2,)2,1n-(Xini11X)2,n(Xii1)2,1的t分布的隨機變量是(B)XS2n1(C)t(D)XS4.ny)dxdy,其中D(x,y)x2三、(本題滿分6分)計算二重積分(xD四、(本題滿分設函數(shù)yy(x)滿足條件y4y4y0,y(0)2,y(0)4求廣義積分y(x)dx.五、(本題滿分已知f(x,y)x2arctanxy2arctan°,求y六、(本題滿分5分)設函數(shù)f(x)可導，且f(0)0,F(x)Xtn0f(xn七、(本題滿分8分)已知曲線yax(a0)與曲線yInx在點(X。，y。)處有公共切線，求:(1)常數(shù)a及切點(x0,y0)；(2)兩曲線

4、與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積Vx.八、(本題滿分6分)假設f(x)在a,)上連續(xù)，f(x)在a,內(nèi)存在且大于零,記f(x)f(a).、F(x)(xa)xa證明F(x)在a,內(nèi)單調(diào)增加九、(本題滿分11分)設線性方程組X12a1X33a1,23X1a2x2a2X3a2,23X183X2a3X3a3,23X184X2a4X3a4(1)證明：若ai,a2,a3,a4兩兩不相等，則此線性方程組無解;,其中(2)設a!a3k,a2a°k(k0),且已知仆2是該方程組的兩個解1111,21,11寫出此方程組的通解十、(本題滿分8分)001設Ax1y有三個線性無關的特征向量，求x

5、和y應滿足的條件100(本題滿分8分)假設隨機變量X1,X2,X3,X4相互獨立，且同分布PXi00.6,PXi10.4(i1,2,3,4),求行列式XX1X3X2X4的概率分布十二、（本題滿分8分）10或已知銷10或已知銷假設由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（,1）,內(nèi)徑小于大于12的為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關系：1,X10,T20,10X12,5,X12.問平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、填空題(本題共5小題，每小題3分

6、,滿分15分.)(1)【答案】In3【解析】利用被積函數(shù)的奇偶性，當積分區(qū)間關于原點對稱，被積函數(shù)為奇函數(shù)時，積分為0；被積函數(shù)為偶函數(shù)時，可以化為二倍的半?yún)^(qū)間上的積分.所以知2x原式2于22dxLdxXo2占222In(2x)In6In2In3.【答案】1【解析】根據(jù)導數(shù)的定義，有f(Xo)Iim所以由此題極限的形式可構造導數(shù)定義的形式Iimf(Xo2x)f(XoX)xo【解析】根據(jù)導數(shù)的定義，有f(Xo)Iim所以由此題極限的形式可構造導數(shù)定義的形式Iimf(Xo2x)f(XoX)xof(Xoox)f(Xo)X，從而求得極限值.由于XIimf(Xo2x)f(Xo)f(XoxoX)f(Xo)

7、X(2)Iimf(Xo2X)f(Xo)xo2xIimf(XoX)f(Xo)Xo2f(Xo)f(Xo)1.所以原式limxof(Xo2x)f(Xox)【答案】yxy-yesinxxyxe2y【解析】將方程exyy2cosx看成關于x的恒等式，即y看作x的函數(shù).方程兩邊對X求導，得exy(yxy)2yysinxyxyyesinxxyxe2y【相關知識點】兩函數(shù)乘積的求導公式:f(x)g(x)f(X)g(x)f(x)g(X).00L10Lai【答案】10La2MM00L001an1【解析】由分塊矩陣求逆的運算性質(zhì),有公式a2anaia2anan所以，本題對A分塊后可得a2ManiBi9【答案】旦64

8、【解析】已知隨機變量X的概率密度，所以概率P°2xdx0,求得二項分布的概率參數(shù)后，故YB（3）.4由二項分布的概率計算公式，所求概率為PY2Vi9_64【相關知識點】二項分布的概率計算公式:k0,1,L,n.若YB(n,p),則PYkC：pk(1p)nk二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(B)【解析】本題是關于求漸近線的問題由于1lime"arctanxx2x1(X1)(x2)故y-為該曲線的一條水平漸近線1lime"x01lime"x0arctanx2x1(x1)(x2)故x0為該曲線的一條垂直漸近線故本題應選(B).

9、【相關知識點】水平漸近線：若有故x0為該曲線的一條垂直漸近線故本題應選(B).【相關知識點】水平漸近線：若有,所以該曲線的漸近線有兩條limf(x)a,則ya為水平漸近線;鉛直漸近線：若有l(wèi)imf(x)xa鉛直漸近線：若有l(wèi)imf(x)xa,則xa為鉛直漸近線;所以嘉2n1212n2收斂，由比較判別法，得(1)n|an|收斂.f(x)斜漸近線：若有alim,blimf(x)ax存在且不為，則yaxb為斜漸xxx近線.【答案】(C)【解析】考查取絕對值后的級數(shù)因(1)nlad1211121lnl2an5廠2an右，(第一個不等式是由a0,b0,ab1(a2b2)得到的.)211np1時收斂；當p

10、1時發(fā)散.)又a；收斂，2收斂,(此為P級數(shù):n1n12n故原級數(shù)絕對收斂，因此選(C).【答案】(C)【解析】由公式r(AB)min(r(A),r(B),若A可逆，則r(AB)r(B)r(EB)rA1(AB)r(AB).從而r(AB)r(B),即可逆矩陣與矩陣相乘不改變矩陣的秩，所以選(C).(4)【答案】(D)【解析】事實上，當0P(B)1時，P(A|B)P(A|B)是事件A與B獨立的充分必要條件,證明如下：若P(A|B)P(A|B),則P(AB)P(AB),P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB),P(B)1P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(A),由獨立的定

11、義，即得A與B相互獨立若A與B相互獨立，直接應用乘法公式可以證明P(A|B)P(A|B).P(A|B)1P(A|B)P(A|B).由于事件B的發(fā)生與否不影響事件A發(fā)生的概率，直觀上可以判斷A和B相互獨立.所以本題選(D).【答案】(B)【解析】【解析】由于Xi,X2丄，Xn均服從正態(tài)分布N(,2),根據(jù)抽樣分布知識與t分布的應用模式可知用模式可知X:N(0,1),其中XnXi，i1n(Xii1n(Xii1X)22(n1)，、n:t(n1).1n2彳(XiX)2n1i1XS2廠1:t(n1).【解析】方法1：由x22yxy1,配完全方得X1n2(XiX)n(n1)i1因為t分布的典型模式是：設X

12、:N(0,1),Y:2(n),且X,Y相互獨立，則隨機變量XT服從自由度為n的t分布，記作T:t(n).一Y/n因此應選(B).(本題滿分6分)3213.-dsincos4012202rsin,引入極坐標系(r,rsin,引入極坐標系(r,),則區(qū)域為(r,)02,0r(xDy)dxdy2(10rcosrsin)rdr20(cossin)d方法2：由x21,配完全方得弓I入坐標軸平移變換:1x2,vy1,則在新的直角坐標系中區(qū)域D變?yōu)閳A域2由于區(qū)域同理可得Di(u,v)|u21,則有dxdydudv，代入即得(xDDi關于(xy)dxdyDi(uv1)dudvv軸對稱，被積函數(shù)vdudv0,又

13、D1y)dxdyu是奇函數(shù)dudvududvvdudvdudvDD,從而ududv0.D1D1Di四、(本題滿分5分)【解析】先解出y(x),此方程為常系數(shù)二階線性齊次方程，用特征方程法求解方程y4y4y0的特征方程為2440,解得122.故原方程的通解為y(GC2X)e2x由初始條件y(0)2,y(0)4得C12,C20,因此，微分方程的特解為2xy2e再求積分即得oy(x)dxo2e2xdxlim"e2xd2xb0bime2xb1.0【相關知識點】用特征方程法求解常系數(shù)二階線性齊次方程pyqy0:首先寫出方程ypyqy0的特征方程:pr0,在復數(shù)域內(nèi)解出兩個特征根r-i,r2；分

14、三種情況:(1)兩個不相等的實數(shù)根ri,r2,則通解為yC2er2X；(2)兩個相等的實數(shù)根r1則通解為yCiC2xerxi;(3)一對共軛復根r1,2i,則通解為yC1cosxC2sinx.其中Ci,C2為常數(shù)五、(本題滿分5分)【解析】由復合函數(shù)求導法,首先求,由題設可得x2x22xarctanx_y_2xy2121仝yy再對y求偏導數(shù)即得y2xarctanx2xy2x2x12_yx1x【相關知識點】多元復合函數(shù)求導法則：如果函數(shù)x22x22y有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)zf(u,v)在對應點y2xarctanyx22xy22xy(x,y),v(x,y)都在點(x,y)具(u,v)具有連續(xù)偏

15、導數(shù)，則復合函數(shù)六、(本題滿分5分)【解析】運用換元法，令xnF(x)由于limF(x)x0法則，可得x2ntnxdn1ntf(x0tn)dt“0”型的極限未定式0limF(x)x02nxxnf(u)duF(x)n1n、xf(x).,又分子分母在點0處導數(shù)都存在，運用洛必達F(x)lim77limX02nx2n1xn1n、Xf(x)02n102nx丄l22nx0x1lim2nx0f(xn)f(0)12n【相關知識點】對積分上限的函數(shù)的求導公式：(t)f(x)dx,(t),(t)均一階可導由導數(shù)的定義，有若F(t)七、(本題滿分8分)原式f(0).f(t)(t)f(t)(t)f(t).【解析】利

16、用(xo,y。)在兩條曲線上及兩曲線在(X。，y。)處切線斜率相等列出三個方程，由此,可求出a,xo,yo,然后利用旋轉體體積公式b2f(x)dx求出Vx.(1)過曲線上已知點(xo,y°)的切線方程為yyok(xXo),其中，當y(xo)存在時,ky(xo).由yajx知y尸.由yInjx知2Jx由于兩曲線在(x°,y°)處有公共切線，可見2jx°2xo1,得X。1將x0分別代入兩曲線方程a,有yay°1ln111a,x02ea從而切點為(e2,1).(2)將曲線表成y是x的函數(shù)，V是兩個旋轉體的體積之差,套用旋轉體體積公式，可得旋轉體體積為

17、：2(e&)2dx21(Inx)2dx2e2Inxdx41e2xln224e2e22Inxdx1e2【相關知識點】由連續(xù)曲線f(x)、直線xa,xb及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體體積為:f2(x)dx.八、(本題滿分6分)【解析】方法1:所以方法F(x)2：F(x)2xa2xa(x)(xa)f(x)f(a)(xa),f(x)(xa)f(x)f(x)(xa)fa,上單調(diào)上升，于亍是(x)(a)(x)020.xa,內(nèi)單調(diào)增加.f(x)(xa)f(x)f(a)1f(x)(xf(x)f(a)a)1(x)(x)(x)0(xa),(x)在0.F(x)F(x)在axa2f(x)(x

18、a)f(x)f(a),f(x)f(x)f(a)由拉格朗日中值定理知f(x)f(a)f(),(ax).于是有xa1F(x)f(x)f().xa由f(x)0知f(x)在a,上單調(diào)增，從而f(x)f(),故F(x)0.于是F(x)在a,內(nèi)單調(diào)增加【相關知識點】1.分式求導數(shù)公式：uuv2uvvv2.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；在開區(qū)間a,b內(nèi)可導,那么在a,b內(nèi)至少有一點(ab),使等式f(b)f(a)f()(ba)成立.九、(本題滿分11分)【解析】因為增廣矩陣A的行列式是范德蒙行列式2,228324兩兩不相等，貝U有(a2a,)(a3a,)(a4(a2a,)(a3

19、a,)(a4ai)(a3a2)(a4a2)(a4a?)0,故r(A)4.而系數(shù)矩陣A的秩r(A)3,所以方程組無解(2)當a,a3k,a2a°k(k0)時,方程組同解于x,kx2k2x3k3,x,kx2k2x3k3.,1k因為2k0,知r(A)r(A)2.1k由nr(A)321,知導出組Ax0的基礎解系含有1個解向量，即解空間的維數(shù)為1.由解的結構和解的性質(zhì)，11212110是Ax0的基礎解系11212于是方程組的通解為,k1k0,其中k為任意常數(shù)12【相關知識點】1.非齊次線性方程組有解的判定定理:設A是mn矩陣，線性方程組Axb有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣AAM)

20、的秩，即r(A)r(A).(或者說，b可由A的列向量,2,L,n線表出，亦等同于1,2,L,n與1,2,L,n,b是等價向量組)設A是mn矩陣,線性方程組Axb,則(1)有唯一解r(A)r(A)n.(2)有無窮多解r(A)r(A)n.(3)無解r(A)1r(A).b不能由A的列向量1，2，L，n線表出(1)有唯一解r(A)r(A)n.(2)有無窮多解r(A)r(A)n.(3)無解r(A)1r(A).b不能由A的列向量1，2，L，n線表出2.解的結構：若12是對應齊次線性方程組Ax0的基礎解系，知Axb的通解形式為kiik22,其中i,2是Ax0的基礎解系,是Axb的一個特解.3.解的性質(zhì)：如果1,2是Ax0的兩個解，則其線性組合ki1k22仍是Ax0的解；如果是Axb的一個解，是Ax0的一個解，則仍是Axb的解十、(本題滿分8分)【解析】由A的特征方程，按照第二列展開，有1y(1)得到A的特征值為121,31.由題設有三個線性無關的特征向量，因此，21)(1)0，1必有兩個線性無關的特征向量0解空間的維數(shù)是2,0解空間的維數(shù)是