1、第7講二項分布及其應用最新考綱1.理解條件概率和兩個事件相互獨立的概念；2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布.能解決一些簡單的實際問題.知 識 梳 理1.條件概率條件概率的定義條件概率的性質設A、B為兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A)為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率(1)0P(B|A)1；(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互獨立性(1)定義：設A，B為兩個事件，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立.(2)性質：若事件A與B相互獨立，則A與、與B、與也都相互獨立，P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)

2、.3.獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，其中Ai(i1，2，n)是第i次試驗結果，則P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An).(2)二項分布在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率.診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內打“”或“×”)(1)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)P(B).()(2)P(AB)表示事件A，B同時發生的概率，一定有P(AB)

3、P(A)·P(B).()(3)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復試驗中事件A發生的次數的概率分布.()解析對于(2)，若A，B獨立，則P(AB)P(A)·P(B)，若A，B不獨立，則P(AB)P(A)·P(B|A)，故(2)不正確.答案(1)(2)×(3)2.(選修23P54T2改編)已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A. B. C. D.解析設“第一次拿到

4、白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B，依題意P(A)，P(AB)，故P(B|A).答案B3.設隨機變量XB，則P(X3)等于()A. B. C. D.解析XB，由二項分布可得，P(X3)C·.答案A4.兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()A. B.C. D.解析設事件A：甲實習生加工的零件為一等品；事件B：乙實習生加工的零件為一等品，且A，B相互獨立，則P(A)，P(B)，所以這兩個零件中恰有一個一等品的概率為P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)××.答案B

5、5.(2017·嘉興七校聯考)天氣預報，端午節假期甲、乙、丙三地降雨的概率分別是0.9、0.8、0.75，若甲、乙、丙三地是否降雨相互之間沒有影響，則其中至少一個地方降雨的概率為_.解析甲、乙、丙三地降雨的概率分別是0.9、0.8、0.75，甲、乙、丙三地不降雨的概率分別是0.1、0.2、0.25，甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.1×0.2×0.250.005，故至少一個地方降雨的概率為10.0050.995.答案0.9956.連續擲一個質地均勻的骰子3次，各次互不影響，則恰好有一次出現1點的概率為_.解析擲一次骰子出現1點的概率為P，所以所求概率為PC

6、3;·.答案考點一條件概率【例1】 (1)從1，2，3，4，5中任取2個不同的數，事件A：“取到的2個數之和為偶數”，事件B：“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)()A. B. C. D.(2)(2014·全國卷)某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 解析(1)法一事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4個.事件AB發生的結果只有(2，4)一種情形，即n(AB)1.故由古典概型概率

7、P(B|A).法二P(A)，P(AB).由條件概率計算公式，得P(B|A).(2)記事件A表示“一天的空氣質量為優良”，事件B表示“隨后一天的空氣質量為優良”，P(A)0.75，P(AB)0.6.由條件概率，得P(B|A)0.8.答案(1)B(2)A規律方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，這是求條件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數n(AB)，得P(B|A).【訓練1】 (2016·唐山二模)已知甲在上班途中要經過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個路口連續

8、遇到紅燈的概率為0.4，則甲在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率為() C.0.8 解析設“第一個路口遇到紅燈”為事件A，“第二個路口遇到紅燈”為事件B，則P(A)0.5，P(AB)0.4，則P(B|A)0.8.答案C考點二相互獨立事件的概率【例2】 (2017·東陽調研)某企業有甲、乙兩個研發小組，他們研發新產品成功的概率分別為和.現安排甲組研發新產品A，乙組研發新產品B.設甲、乙兩組的研發相互獨立.(1)求至少有一種新產品研發成功的概率；(2)若新產品A研發成功，預計企業可獲利潤120萬元；若新產品B研發成功，預計企業可獲利潤100萬元.求該企業可獲利潤的分布列

9、.解記E甲組研發新產品成功，F乙組研發新產品成功，由題設知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E與F，E與，與F，與都相互獨立.(1)記H至少有一種新產品研發成功，則，于是P()P()P()×，故所求的概率為P(H)1P()1.(2)設企業可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0，100，120，220，因為P(X0)P(EF)×，P(X100)P()×，P(X120)P(F)×，P(X220)P(E)×.故所求的分布列為X0100120220P規律方法(1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構成，將其轉化為彼此互斥事件的和或相互獨立事件

10、的積，然后利用相關公式進行計算.(2)求相互獨立事件同時發生的概率的主要方法利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算. 【訓練2】 為了迎接2017在德國波恩舉行的聯合國氣候大會，某社區舉辦“環保我參與”有獎問答比賽活動.某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環保知識的問題，已知甲家庭回答對這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯的概率是，乙、丙兩個家庭都回答對的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響.(1)求乙、丙兩個家庭各自回答對這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答對這道題的概率.

11、解(1)記“甲答對這道題”、“乙答對這道題”、“丙答對這道題”分別為事件A，B，C，則P(A)，且有即所以P(B)，P(C).(2)有0個家庭回答對的概率為P0P()P()·P()·P()××，有1個家庭回答對的概率為P1P(ABC)××××××，所以不少于2個家庭回答對這道題的概率為P1P0P11.考點三獨立重復試驗與二項分布【例3】 (2015·湖南卷)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱

12、中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列.解(1)記事件A1為“從甲箱中摸出的1個球是紅球”，A2為“從乙箱中摸出的1個球是紅球”，B為“顧客抽獎1次能獲獎”，則表示“顧客抽獎1次沒有獲獎”.由題意A1與A2相互獨立，則1與2相互獨立，且1·2，因為P(A1)，P(A2)，所以P()P(1·2)·，故所求事件的概率P(B)1P()1.(2)設“顧客抽獎一次獲得一等獎”為事件C，

13、由P(C)P(A1·A2) P(A1)·P(A2)，顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗，則XB，于是P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.故X的分布列為X0123P規律方法利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(Xk)Cpk(1p)nk的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了k次的概率.【訓練3】 一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一

14、次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分(即獲得200分).設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立.(1)設每盤游戲獲得的分數為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率.解(1)設“每盤游戲中擊鼓三次后，出現音樂的次數為”.依題意，的取值可能為0，1，2，3，且B，則P(k)CC·.又每盤游戲得分X的取值為10，20，100，200.根據題意則P(X10)P(1)C，P(X20)P(2)C，P(X100)P(3)C，P(X200)P(0)C.所以

15、X的分布列為X1020100200P(2)設“第i盤游戲沒有出現音樂”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以，“三盤游戲中至少有一次出現音樂”的概率為1P(A1A2A3)11.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是.思想方法1.古典概型中，A發生的條件下B發生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實際應用中P(B|A)是一種重要的求條件概率的方法.2.相互獨立事件與互斥事件的區別相互獨立事件是指兩個事件發生的概率互不影響，計算公式為P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發生，計算公式為P(AB)P(A)P(B).3.二項分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實際應用和理論分析中都有重要的地位.(1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有二：其一是獨立性，即一次試驗中，事件發生與不發生二者必居其一；其二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次.(2)對于二項分布，如果在一次試驗中某事件發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發