1、第一講一階微分方程組及解的存在惟一性定理（2課時）一、 目的與要求: 了解高階微分方程與一階微分方程組的等價關系, 理解用向量和矩陣來研 究一階微分方程組的作用, 了解微分方程組解的存在唯一性定理.二、重點：一階微分方程組的向量和矩陣表示及解的存在唯一性定理.三、難點：向量和矩陣列的收斂性的定義, 二者的范數定義及其相關性質.四、教學方法：講練結合法、啟發式與提問式相結合教學法.五、教學手段：傳統板書與多媒體課件輔助教學相結合.六、教學過程：1 課題引入在前兩章里，我們研究了含有一個未知函數的常微分方程的解法及其解的性質.但是，在很多實際和理論問題中，還要求我們去求解含有多個未知函數的微分方程

2、組，或者研究它們的解的性質.例如，已知在空間運動的質點的速度與時間及該點的坐標的關系為且質點在時刻經過點，求該質點的運動軌跡。因為和,所以這個問題其實就是求一階微分方程組的滿足初始條件的解.另外，在n階微分方程（1.12）中,令就可以把它化成等價的一階微分方程組注意，這是一個含n個未知函數的一階微分方程組.含有n個未知函數的一階微分方程組的一般形式為：(3.1)如果方程組(3.1)右端函數不顯含, 則相應的方程稱為是自治的. 方程組(3.1)在上的一個解，是這樣的一組函數使得在上有恒等式含有n個任意常數的解稱為(3.1)的通解. 如果通解滿足方程組則稱后者為(3.1)的通積分.如果已求得(3.

3、1)的通解或通積分，要求滿足初始條件(3.2)的解，可以把初始條件(3.2)代入通解或通積分之中，得到關于的n個方程式，如果從其中解得，再代回通解或通積分中，就得到所求的初值問題的解.2一階微分方程組的向量和矩陣表示為了簡潔方便，經常采用向量與矩陣來研究一階微分方程組(3.1).令n維向量函數并定義則(3.1)可記成向量形式(3.3)初始條件(3.2)可記為其中(3.2)(3.3)的滿足(3.2)的初值問題可記為(3.4)這樣，從形式上看，一階方程組與一階方程式完全一樣了.進一步，對n維向量Y和矩陣,定義易于證明以下性質：1., 且, 當且僅當(表示零向量，下同);2.;3.對任意常數，有;4

4、.;5.;6.對任意常數，有;7.;8.稱和分別為向量和矩陣的范數. 進而還有如下性質有了維空間的范數定義后，我們可以定義按范數收斂的概念.即：如果對上的任意x，有則稱在上按范數收斂于Y(x).如果上式對上的x為一致的，則稱在上按范數一致收斂于.另外, 如果對n維向量函數F(x)有則稱在連續. 如果在區間上每一點都連續, 則稱在區間上連續.有了以上準備，完全類似于第二章定理2.2，我們有如下的關于初值問題(3.4)的解的存在與唯一性定理.定理3.1 如果函數在維空間的區域上滿足：1) 連續；2) 關于滿足李普希茲條件，即存在,使對于上任意兩點,有則存在,使初值問題(3.4)的解在上存在且唯一，

5、其中.定理的證明方法與定理2.2完全類似,也是首先證明(3.4)與積分方程(3.5)同解.為證(3.5)的解在上的存在性，同樣用逐次逼近法，其步驟可以逐字逐句重復定理2.2的證明.最后，唯一性的證明，同樣用貝爾曼不等式完成. 對于方程組(3.3)也有類似第二章關于純量方程(1.9)的解的延展定理和解對初值的連續依賴性定理，這只要在第二章相應定理中把純量換成向量即可.最后，我們要指出方程組(3.3)解的幾何意義：我們已經知道，純量方程(1.9)的一個解是二維空間平面上的一條曲線，或稱為積分曲線，那么，很自然地有方程組(3.3)的一個解就是維空間中的一條曲線了，也稱它為方程組(3.3)的積分曲線.本節要點：1一