1、理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程FdtvdmbFdtdvma.,.( )A、a、b都正確； B、a、b都不正確。C、a正確，b不正確；D、a不正確，b正確。vnFM (2)重量為G的汽車，以勻速v駛過凹形路面。試問汽車過路面最低點時，對路面的壓力如何 ? （ ） A、壓力大小等于G； B、壓力大小大于G。 C、壓力大小小于G； D、已知條件沒給夠，無法判斷。【思考題思考題】 1 1選擇題選擇題 （1）如圖所示，質量為m的質點受力F作用，沿平面曲線運動，速度為v。試問下列各式是否正確？AB理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程 （3）質量為m的質點，

2、自A點以初速度v0 向上斜拋。試問質點在落地前，其加速度加速度大小、方向是否發生變化？（空氣阻力不計） （ ）A、加速度大小不變、而方向在變化。B、加速度大小在變化、而方向不變。C、加速度大小、方向都在變化。D、加速度大小、方向都不變化。2 2判斷題判斷題 （1）質點的運動方程和運動微分方程的物理意義相同.（ ）D運動方程是位移與時間關系方程；運動微分方程是位移微分與力關系方程。運動方程是位移與時間關系方程；運動微分方程是位移微分與力關系方程。加速度始終為重加速度始終為重力加速度力加速度g。（2）已知質點的運動方程可唯一確定作用于質點上的力。（ ）已知作用于質點上的力確定質點的運動方程時還需考

3、慮運動的初始條件。已知作用于質點上的力確定質點的運動方程時還需考慮運動的初始條件。（3）已知作用于質點上的力可唯一確定質點的運動方程。（ ）理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程mLmvpC61)6(12122LmmLJLOO291mL22218121mLJTO223mRJLOO2224321mRJTOmRp mvp 221mRJLCC2224121mRmvT 例例11-1 基本量計算基本量計算 (動量，動量矩，動能動量，動量矩，動能)CrCCOLvmrL223mRJRmvLCO理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程質量為質量為m長為長為l的均質細長桿，

4、桿端的均質細長桿，桿端B端置于水平面，端置于水平面，A端鉸接于質量為端鉸接于質量為m，半徑為，半徑為r的輪的輪O邊緣點邊緣點A, ,已知輪沿已知輪沿水平面以大小為水平面以大小為 的角速度作純滾動的角速度作純滾動，系統的動量大小為（，系統的動量大小為（ ），對），對點點P的動量矩大小為的動量矩大小為 （ ），系統動能為（，系統動能為（ ）。）。 圖示行星齒輪機構，已知系桿圖示行星齒輪機構，已知系桿OA長為長為2 2r，質量為，質量為m，行星齒輪可視為均質輪，行星齒輪可視為均質輪，質量為，質量為m，半徑為，半徑為r，系桿繞軸，系桿繞軸O轉動轉動的角速度為的角速度為 。則該系統動量主矢的大。則該系統

5、動量主矢的大小為（小為（ ），對軸），對軸O的動量矩大小的動量矩大小為（為（ ），），系統動能為（系統動能為（ ）。）。 mr32313mr22311mr03mr0227mr202411mrAO 理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程【解解】因為按圖示機構，系統可分成3個剛塊：OA、AB、和輪B。首先需找出每個剛塊的質心速度： （1）OA作定軸轉動，其質心速度在圖示瞬時只有水平分量 ，方向水平向左。1121lvcxA AB BO O 如圖所示系統中，均質桿OA、AB與均質輪的質量均為m，OA 桿的長度為l1，AB桿的長度為l2，輪的半徑為R，輪沿水平面作純滾動。在圖示瞬時，

6、OA 的角速度為，則整個系統的動量為多少？例例9 94 4（2）AB作瞬時平動，在圖示瞬時其質心速度也只有水平分量 ，方向水平向左。12lvvAcx理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程（3）輪B作平面運動，其質心B的運動軌跡為水平直線，所以B點的速度方向恒為水平，在圖示瞬時 ，方向水平向左。1lvvAB所以0yp)(251321mlmvmvmvpxxxx所以125mlppx方向水平向左A AB BO O理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程【解解】01 cvc 例例95在靜止的小船中間站著兩個人，其中甲m150kg，面向船首方向走動1.5m。乙m260

7、kg，面向船尾方向走動0.5m。若船重M150kg，求船的位移。水的阻力不計。 受力有三個重力和一個水的浮力，因無水平力，水平方向質心運動守受力有三個重力和一個水的浮力，因無水平力，水平方向質心運動守恒，又因初始靜止，即恒，又因初始靜止，即常數cx把坐標原點放在船的質心的初始位置：把坐標原點放在船的質心的初始位置： 01Cxgm1gm2gMy ygM尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1設當經過設當經過t時間后，船向右移動時間后，船向右移動x，則：，則： 0)5 . 0()5 . 1(21212MmmxmxmMxxc21CCxx0)5 . 0()5 . 1(21xmxmMx)(173.02

8、6075305 .15 .02112實際應向左位移mMmmmmx理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程把坐標原點放在船的左側位置：把坐標原點放在船的左側位置： gm1gm2gMy ygM尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1設當經過設當經過t時間后，船向右移動時間后，船向右移動x，則：，則： MmmxlmxlmxlMxc21212)5 . 02()5 . 12()2(21CCxx0)5 . 0()5 . 1(21xmxmMx)(173.026075305 .15 .02112實際應向左位移mMmmmmx222221211lmmMlmlmlMxc理論力學電子教程理論力學電

9、子教程第八章 質點的運動微分方程例例9-9 9-9 如圖所示，均質桿AB長為l，鉛垂地立在光滑水平面上，求它從鉛垂位置無初速度地倒下時，端點A的軌跡。【解解】0 xF因此，沿x軸方向質心位置應守恒，質心C始終在y軸上，A點的坐標可表示為：cos2coslACxA sinsinlAByA 消去 ，得：2224lyxAA即A點的軌跡為橢圓。CCA AB BBA建立oxy：并令y軸通過質心，則 且有AB桿初始靜止，理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程系統的動量矩守恒。 , 0)()(rPrPFmBAeO0常量 rvmrvmLBBAAo)(2vvA猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的

10、,均為 。2v已知：猴子A重=猴子B重，猴B抓住繩子由靜止開始相對繩以速度v上爬，猴A抓住繩子不動，問當猴B向上爬時，猴A將如何運動？運動的速度多大？（輪重不計）例例104【解】vvvvvvABreB)(2vvvvAB理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程OCCrxy(a)【解解】 （1）用動能定理求角速度。01T例例11-5 如圖所示，質量為m，半徑為r的均質圓盤，可繞通過O 點且垂直于盤平面的水平軸轉動。設盤從最高位置無初速度地開始繞O軸轉動。求當圓盤中心C和軸O點的連線經過水平位置時圓盤的角速度、角加速度及O處的反力。2222220243)21(2121mrmrmrJ

11、TmgrW 12，得由1212WTTmgrmr04322rg34（2）當OC在同一水平位置時，由動量矩定理有：mgrdtdJO代入JO，有rg32理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程gmCaOxFnCaOyFC(b)（3）求O處約束反力作圓盤的受力分析和運動分析，有由質心運動定理，得mgFFmaOxOxnC3434342grgrranCgraC32mgFFmgmaOyOyC31法二：用動能定理求角速度及角加速度。01T2222220243)21(2121mrmrmrJT)cos1 (12mgrW，得由1212WTT(*)cos1 (04322mgrmr)cos1 (34r

12、g兩邊對（*）式求導sin232mgrmrsin32rg理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例11-3 圖示的均質桿OA的質量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態。設彈簧常數k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉到水平位置OA，在鉛直位置時的角速度至少應為多大？解解：研究OA桿)(212 . 1222112kPW)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022) J (4 .388（1）OA桿所受外力的功：桿所受外力的功：2020218 .284 . 2303121T02T（2） OA桿桿的動能：的動能：1212WTTrad/s67. 30

13、（3）對）對OA桿桿應用動能定理：應用動能定理： 4 .3888 .28020理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程如圖所示，均質桿AB質量為m，長為l，由圖示位置（ ）無初速度地倒下，求該瞬時A端所受到地面的約束反力。CCA AB B045理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例10-13 如圖所示均質細長桿，質量為M，長為l，放置在光滑水平面上。若在A 端作用一垂直于桿的水平力F，系統初始靜止,試求B端的加速度。ACBxyF(a)理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程細長桿作平面運動，欲求aB, 則必先求ac,由基點法應用平面運

14、動微分方程,FaMc2ClJFxACByFCaBCanBCaBa62CFlFJMl將、代入中，得62( )2BF lFFaMlMM 【解解】2laBCMFaCnBCBCCBCCBaaaaaa022lanBC理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例3 均質圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計且不可伸長，不計軸O處摩擦。求求（1） 圓柱B下落時質心的加速度。（2） 若在圓柱體A上作用一逆時針轉向的轉矩M，試問在什么條件下圓柱B的質心將上升。理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程選圓柱B為研

15、究對象rTrgPB212TPagPC（2）運動學關系：BAreCrraaa（4）TrrgPA221（1）解：（1）選圓柱A為研究對象由（1）、（2）式得：BA 52rgBAgaC54 代入（3）、（4）并結合（2）式得：（3）理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程選圓柱B為研究對象rTrgPB212PTagPC（2）運動學關系：TrMrgPA221（1）（2）選圓柱A為研究對象由（1）（4）式得：2Pr5Pr24ggMB（3）2Pr5Pr26ggMAPr5Pr)2(2Pr5Pr42MgggMaC當M 2Pr 時， ，圓柱B的質心將上升。0CaBAreCrraaa（4）理論力

16、學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程由動量矩定理：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA2)222()(22rPMrgPragPrgPBcA222222(5)補充運動學關系式：BACrra代入(5)式，得 ; 222rPMargPargPCC當M 2Pr 時， ，圓柱B的質心將上升。0Ca（2）也可以取整個系統為研究對象BCAOrgPrvgPrgPL22222rPMMeO2)(grPrPMaC5)2(2 理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例11-6 圖示系統中，均質圓盤A、B各重P，半徑均為R，兩盤中心線為水平線，盤B作純滾動，盤A上作用矩為M(

17、常量)的一力偶；重物D重Q。問重物由靜止下落距離h時重物的速度與加速度以及以及AD段、段、AB段繩拉力段繩拉力。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動。)解解：取整個系統為研究對象)/( 12RhQhMW01T（1）整個系統所受力的功：）整個系統所受力的功：（2）系統的動能：）系統的動能：)2121(212122222BCCAOJvgPvgQJT 22222232121221BARgPvgQRgP這里這里RvRvBA2,)78(162PQgv理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程1212WTT )(0)78(162hQRMPQgv上式求導得： dd)(dd21678thQRM

18、tvvgPQPQgQRMa78)/(8（3）對系統應用動能定理：）對系統應用動能定理：PQhgQRMv78)/(4 )dd( thv TADDFQagQAD段繩拉力段繩拉力QaFDTADgQAB段繩拉力段繩拉力MRFFRTABTADA)(2gP2RaRaAAATADTABRRMFF2gP理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程解法二解法二：也可分別取研究對象TADFQagQD：這里這里RadtdAAMRFFRdtdTBTAA)()(22gPA：RFFRdtdCSTBB)()(22gPB：CSTBCFFagPRadtdBB22aRaBC理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質

19、點的運動微分方程例例11-7 重G2=150N的均質圓盤與重G1=60 N、長l=24 cm的均質桿AB在B處用鉸鏈連接。求（1）系統由圖示位置無初速地釋放。求求AB桿經過鉛垂位置B點時的速度、加速度及支座A的約束力。思考：若思考：若輪與桿焊接結果又如何？若輪與桿焊接結果又如何？若AB桿上還受力偶矩桿上還受力偶矩M=100 Nm作用結果又如何？作用結果又如何？解：解：（1）取圓盤為研究對象）取圓盤為研究對象; 0)F(MB 0BBJ根據相對質心的動量矩定理根據相對質心的動量矩定理0 B所以00B結論：圓盤B做平動，桿AB做定軸轉動。理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程（2

20、）用動能定理求速度）用動能定理求速度。22222121BAvgGJT2212222163213121BvlBABvgGGvgGlgGBAB)30sin)(2()30sin()30sin22(212112llGGllGllGW1212WTT)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入數據，得m/s 58. 1Bv取系統研究。初始時T1=0 ，最低位置時：理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程（3）用動量矩定理求桿的角加速度 。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于0)(dd)e(FMtLAA所以 0 。桿質心 C的加速度：)0(22CnCC

21、alaa )0(2BBBalaa nrad/s 58. 624. 058. 1lvB盤質心加速度：（4）由質心運動定理求支座反力，）由質心運動定理求支座反力，研究整個系統。AxtBtCFagGagG0212122212GGFlgGlgGAy代入數據，得N 401, 0AyAxFFxCCxFmmxmxmmmxmma )(21221121 2211yCCyFymymymma 理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例11-4 兩根均質直桿組成的機構及尺寸如圖示；OA桿質量是AB桿質量的兩倍，各處摩擦不計，如機構在圖示位置從靜止釋放，求當OA桿轉到鉛垂位置時，AB桿B 端的速度。

22、mgmgmgW35. 1)15. 06 . 0(29 . 021201T)2121(9 . 0322122222CCCAJmvmTBCAAvvv9 . 0mgmvC35. 10652解解：取整個系統為研究對象運動學方面運動學方面得代入到所以1222 65W12TTmvCT注意到注意到OA轉到鉛垂位置轉到鉛垂位置AB作瞬時平動作瞬時平動m/s98. 3 CBvv理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程【思考與討論思考與討論】 1 1選擇題選擇題 （1）如圖所示，半徑為R，質量為m的均質圓輪，在水平地面上只滾不滑，輪與地面之間的摩擦系數為f。試求輪心向前移動距離s的過程中摩擦力的

23、功WF。 （ ）A WF=fmgs B WFfmgsC WF=Fs D WF=0MCWvNFFsD理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程(2)如圖所示，楔塊A向右移動速度為v1,質量為m的物塊B沿斜面下滑，它相對于楔塊的速度為v2，求物塊B的動能TB。（ ）222122vmvmTBA.sin)cos(2222221vvvmTBD.221)(2vvmTBC.222vmTBB.DAB1v2v理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程（3）如圖所示，質量可以忽略的彈簧原長為2L，剛度系數為k，兩端固定并處于水平位置，在彈簧中點掛一重物，則重物下降x路程中彈性力所作

24、的功 。（ ）A.)(022212LxLkWB.)(0221222LxLkWC.)(02221222LxLkWD.)(02221222LxLkWABCxLkLC2)(2021)(212212222221LxLkkW)(0421221222LxLk理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程（4）如圖所示，平板A以勻速v沿水平直線向右運動，質量為m，半徑為r的均質圓輪B在平板上以勻角速度朝順時針方向滾動而不滑動，則輪的動能為（ ）A.222232121mrmvTB.2222121)(21mrrvmTC.222212121mrmvTD.2222121)(21mrrmTBOrv理論力學

25、電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程3 3如圖所示，重為G的小球用兩繩懸掛。若將繩AB突然剪斷，則小球開始運動。求小球剛開始運動瞬時繩AC的拉力及AC在鉛垂位置時的拉力。 GABC)cos23 (;cos21GFGFTT答案：答案：sinGlgGFmacos12GFvgGFmaTnncos0cos21GGvgGFT（1 1）小球剛開始運動瞬時繩）小球剛開始運動瞬時繩AC的拉力：的拉力：理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程GABC)90sin(0GlgG（2 2）任意位置時：）任意位置時：dlgddlgdtddcoscos0090900cosdlgdcos1s

26、in210090902lglg00sin0GlgGFma0120cosGFlgGFmaTnncos23cos120cos021GGlglgGGmlFT（3 3）AC在鉛垂位置時的拉力：在鉛垂位置時的拉力：GTF090令繩令繩AC與水平夾角為與水平夾角為dlgddtdcoscoslgdtd理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例96 質量為M的大三角形柱體，放于光滑水平面上，斜面上另放一質量為m的小三角形柱體，求小三角形柱體由靜止滑到底時，大三角形柱體的位移。解解：選選兩物體組成的系統為研究對象。研究對象。受力分析受力分析， , 0)(exF水平方向質心運動守恒由水平方向初

27、始靜止由水平方向初始靜止；則,21CCxx常量CxmMbaxbmxaMxC)(32)3(2mMbmaMxC3231)(bamMmx理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程1.1.選擇題選擇題D（1）設剛體的動量為 ，其質心的速度為 ，質量為M，則式 。（ ）PcvcvMP A、只有在剛體作平動時才成立；B、只有在剛體作直線運動時才成立；C、只有在剛體作圓周運動時才成立；D、剛體作任意運動時均成立；C（2）質點作勻速圓周運動，其動量。（ ）A、無變化；B、動量大小有變化，但方向不變C、動量大小無變化，但方向有變化D、動量大小、方向都有變化【思考題思考題】 理論力學電子教程理論力

28、學電子教程第八章 質點的運動微分方程C（3）一均質桿長為 ，重為P，以角速度 繞O軸轉動。試確定在圖示位置時桿的動量。（ ）lA、桿的動量大小 ，方向朝左gPlK2B、桿的動量大小 ，方向朝右gPlK3C、桿的動量大小 ，方向朝左gPlK6D、桿的動量等于零A AB BO O3l理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程CA、質點動量沒有改變B、質點動量的改變量大小為 ，方向鉛垂向上 mv2C、質點動量的改變量大小為 ，方向鉛垂向下 mv2D、質點動量的改變量大小為 ，方向鉛垂向下 mv（4）將質量為m的質點，以速度 v 鉛直上拋，試計算質點從開始上拋至再回到原處的過程中質點動

29、量的改變量。 （ ）2.2.如圖所示，均質輪質量為 ，半徑為R，偏心距 ，輪的角速度和角加速度在圖示位置時為 和 ，輪在垂直面內運動，求鉸支座O 的約束反力。mlOC O OC Csin,cos2mgmlFmgmlFono答案：答案：理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程(1)取整個系統為研究對象，rPPrPrPMBABAeO)()(OBAOJrvgPrvgPL)2( 得 ,代入 21將22PPPgrLrgPJBAOO由動量矩定理：rPPPPPgrdtdBABA)()2(22/PPPPPrgdtdBABA。： 求 ,21; ; ; 已知2rgPJrPPPOBA例例103【解

30、】受力分析如圖示。運動分析： v =理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程BAOyCyBAPPPFagPPP)(BABBAACCyPPPyPyPya )(ABBAOyPPgrPPPF （2）由質心運動定理求約束反力由質心運動定理求約束反力： BABAPPPPPr)(PPPPPPPgrgPFPFamBABBABTBBTBBB224PPPPPPPrggPFFPamBAABAATATAAAA224BABBAABABBAAiiiCPPPyPyPgPgPgPgPygPygPmymy0BABBAAPPPaPaP理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程兩根質量各為8 k

31、g的均質細桿固連成T 字型，可繞通過O點的水平軸轉動，當OA處于水平位置時, T 形桿具有角速度 =4 rad/s。求該瞬時軸承O的反力。5 . 025. 0 mgmgJO2222121712131mlmlmlmlJO由定軸轉動微分方程例例109選T 字型桿為研究對象，受力分析如圖示。【解】)5 . 025. 0(8 . 98 5 . 0812172 rad/s 20.75 2根據質心運動定理，得nOnCFam2mgmgFmaOC2系統質心：432lmmlmlmxC理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程N 3 .32 ) 5 . 04375.20 ( 828 . 98222

32、COmamgF NmaFnCnO96)5 . 0434(8222理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程 3、如圖所示，擺由均質細桿OA和均質圓盤組成，桿 質量為m1，長為L，圓盤質量為m2，半經為r。O AB（1）求擺對于軸O的轉動慣量；（2）若圖示瞬時角速度為，求系統的動量、動量矩。 )(221221121rLmLmvmvmPPPCC)(21(31222221rLmrmLmJLOO2)(21(31222221LvrLmrmLmC)(2131222221rLmrmLmJO2121212211)(2mmrLmLmmmrmrmrCCCCCrmmvmmP)()(2121理論力學電

33、子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例10-10 質量為m半徑為R的均質圓輪置放于傾角為 的斜面上，在重力作用下由靜止開始運動。設輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數為f、f，不計滾動摩阻，試分析輪的運動。解解：取輪為研究對象。sCFmgmasinNFmgcos 0RFJsC由 (2)式得cosmgFN(1)（1）、（3）、（4）中含有四個未知數aC 、Fs、 、FN，需補充附加條件。受力分析如圖示。運動分析：取直角坐標系 OxyaC y =0，aC x =aC，一般情況下輪作平面運動。根據平面運動微分方程，有(2)(3)(4)理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程

34、1、設接觸面絕對光滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaFCssin31 ,sin32; sin32mgFgagRsC2、設接觸面足夠粗糙。輪作純滾動，,RaC3、設輪與斜面間有滑動，輪又滾又滑。FS=fFN，可解得cos2,)cos(sin,cosRgfgfamgfFCS 因為輪由靜止開始運動，故0，輪沿斜面平動下滑。注意此時無相對滑動， FsfFN，所以可解得:mRFRasC21, sCFmgmasinRFJsCcosmgFN(1)(3)(4)輪作純滾動的條件：cossin31maxfmgfFFmgFNStg31f,RvC理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例10

35、-11 均質圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數均為 f ，滾阻不計，求使圓柱停止轉動所需要的時間。解解：選取圓柱為研究對象，受力分析如圖示。根據剛體平面運動微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212（1）補充方程：BBAANfFNfF , （4）運動分析：質心C不動，剛體繞質心轉動。（2）（3）理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程將（4）式代入（1）、（2）兩式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB將上述結

36、果代入（3）式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212（1）（2）（3）補充方程：BBAANfFNfF , （4）理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例96 電動機的外殼固定在水平基礎上，定子的質量為m1，轉子質量為m2 ，轉子的軸通過定子的質心O1，但由于制造誤差，轉子的質心O2到O1的距離為e 。求（1）轉子以角速度 作勻速轉動時，基礎作用在電動機底座上的約束反力；（2）若電動機的外殼沒有固定在水平基礎上，求電動機外殼由靜止開始運動的水平運動

37、規律。tv理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程2211vmvmP根據動量定理，有根據動量定理，有NxxFtemFdttdemsin,)cos(222temgmmFtemFNyNxcos)( ,sin222122可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數。變化的周期函數。系統動量系統動量解解: （1）取整個電動機作為質點系研究，分析受力，受力圖如圖示。）取整個電動機作為質點系研究，分析受力，受力圖如圖示。emP2FdtPdyyxxFdtdPFdtdP,gmmFtemFdttdemNyy)(cos,)(sin21222解法一，利用動

38、量定理求解。運動分析：定子質心速度解法一，利用動量定理求解。運動分析：定子質心速度v1=0，轉子質心，轉子質心O2的速度的速度v2=e ，方向垂直于，方向垂直于O1O2。)sin(),cos(22temPtemPyxvt理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程根據質心運動定理，有根據質心運動定理，有NxxCCxFtemFxmmmasin)(2221 temgmgmFtemFNyNxcos ,sin222122解法二，利用質心運動定理求解。解法二，利用質心運動定理求解。2122121sin)sin(0(0mmtemmmtemmxC2122121cos)cos(00mmtemmm

39、temmyC系統質心坐標系統質心坐標gmmFtemFymmmaNyyCCy)(cos,)(212221 vt理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程（2）取整個電動機作為質點系研究，分析受力，受力圖如圖示。 , 0)(exF解法一：解法一：系統水平方向不受力的作用，水平方向質心運動守恒。由水平方向初始靜止（由水平方向初始靜止（vC=0）；則21CCxx常量Cx2121100mmmmxC21212)sin(0)0(mmtexmxmxC建立O1xy：并令y軸通過初始位置質心，則 temmmxsin212理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程coscos2122

40、12mmemmmemvx（2 2） 將（2）式積分有： 000sincos212212mmemdmmemdxxx（3 3） 代入（3）式得： txt，00000解法二：解法二：本題也可用質點系動量在水平方向守恒求解： 0)cos(21evmvmPx（1 1） 轉子從鉛垂向下位置開始逆時針轉動，故 temmmxsin212dmmemdxcos212理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例9-89-8 如圖所示，均質桿OA，長 ,重為 ，繞O 軸在鉛垂面內轉動。桿與水平線成 角時，其角速度和角加速度分別為 和 ，求該瞬時軸O 的約束反力。l 2P【解解】取桿OA為研究對象，受

41、力如（b）圖所示。2lanclac方向如圖所示。則：CllAOCllAOyFOxFPncacaxyo建立坐標系oxy，桿OA質心加速度為：sincossincos2llaaacnccxcossincossin2llaaacnccy由質心運動定理計算約束反力PxcxFMaycyFMaoxFllgP)sincos(2PFllgPoy)cossin(2)sincos(2gPlFox)cossin(2gPlPFoy理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例12-1 均質桿長l ,質量m, 與水平面鉸接, 桿從與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。2m

42、lFIR , 0nnI maFR （法（法1）選桿選桿AB為研究對象，虛加慣性力系：為研究對象，虛加慣性力系： 解：根據動靜法，有根據動靜法，有) 1 ( 0cos , 0I0 FmgFFAA)2(0sin00 FmgFFAA , nInn)3(02cos0)(0 Ml/ , mgFMIAA3 2ImlJMAA注意定軸轉動剛體的慣性力虛加于轉軸上。注意定軸轉動剛體的慣性力虛加于轉軸上。; :由(2)得 mgFnA0sin ; cos23 : 0lg由(3)得。 : 0cos4mgFA代入(1)得理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程020cos2331cos2lgmllmg

43、 , cos23g , , 000lt 時法法2：用動量矩定理：用動量矩定理+質心運動定理再求解此題：質心運動定理再求解此題：解解：選AB為研究對象，2cos0lmgJA由動量矩定理，得：由質心運動定理： 0cosmgFmaAC00cos4 , sin mgFmgFAnA所以0 此時nAnCFmgma0sin00cos432glaC這里理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程ARCBOvrOr 機車的連桿機車的連桿ABAB的質量為的質量為m m，兩端用鉸鏈連接于主動輪上，兩端用鉸鏈連接于主動輪上，鉸鏈到輪心的距離均為鉸鏈到輪心的距離均為r r，主動輪的半徑均為，主動輪的半徑均

44、為R R。求當機車以勻。求當機車以勻速速v v直線前進時，鉸鏈對連桿的水平作用力的合力，及直線前進時，鉸鏈對連桿的水平作用力的合力，及A A、B B處處的豎向約束力（用動靜法求解）的豎向約束力（用動靜法求解）。理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程 例例12-2 牽引車的主動輪質量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設車輪所受的主動力可簡化為作用于質心的兩個力S、T及驅動力偶矩M，車輪對于通過質心C并垂直于輪盤的軸的回轉半徑為，輪與軌道間摩擦系數為f , 試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅動力偶矩M 之最大值。mRmaFRCI 取輪為研究對象，虛加慣性力系： 解：解：由動靜

45、法，得：2ImJMCC) 1 (00 FT , FFIRSx)2(00 SP , FFNy)3(00 MRFM , )F(MICSCOP理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程)3(00)2(00) 1 (00 MRFM , )F(M SP , FF FT , FFICSCNyIRSx由(1)得TFmRFSRI mRTFS所以得代入(3)mRTFmRFMRFMSSICS2RTRRFTFRRFMSSS222)()(4)RTRRSPfM22)(把(5)代入(4)得：由(2)得 FN= P +S，要保證車輪不滑動，必須FSf FN =f (P+S) (5)可見，可見，f 越大越不易

46、滑動。越大越不易滑動。OP理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程 例例12-4 質量為m1和m2的兩均質重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉軸O的轉動慣量為J，系統在重力作用下發生運動，求鼓輪的角加速度（軸O 處摩擦不計，繩與輪無相對滑動）。理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程 , 111IamF 由動靜法： , 0)(FMO列補充方程：2211 , raragJrmrmrmrm2222112211取系統為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶：解：解： 方法1 用達朗貝爾原理求解 , 222IamF

47、JJMOOI 0I22I11I2211OMrFrFgrmgrm02221112211Jramramgrmgrm代入上式理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程方法2 用動量矩定理求解 )( 222211222111JrmrmJrvmrvmLOgJrmrmrmrm2222112211 所以根據動量矩定理：2211222211)(dd grmgrmJrmrmt 取系統為研究對象2211)e()(grmgrmFMO理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程 1212，得由WTT)(2 212121222211222222112JrmrmJvmvmT取系統為研究對象，

48、任一瞬時系統的 gr-mrm rgmrgmsgmsgmW)( 22112211221112gJrmrmrmrmdtd2222112211 兩邊對時間t求導數，得方法3 用動能定理求解)(1某確定值CT grmrmCJrmrm)()(222112222112 dtd)grmr(mJ)rmr(mdtd2211222211 任意假定一個初始值理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程 例例12-5 在圖示機構中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質物體，各重為G和Q，半徑均為R，繩子不可伸長，其質量不計，繩與輪之間無相對滑動，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓

49、輪的角加速度？ (2)繩子的拉力？ (3)軸承O處的約束力？ (4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程 解：解：方法一方法一 用動靜法求解用動靜法求解OOOORgQJM2I21列出動靜法方程：) 1 (00)( MMR , FFMIOTO , IAAagGF （2）取輪A為研究對象，虛加慣性力FIR和慣性力偶MIC如圖示。（1）取輪O為研究對象，虛加慣性力偶)2(0cos0 F , FFTOxx)3(0sin0 FQ , FFTOyyAARgGM2I21 理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程列出動靜法方程：)

50、4(0sin0)( MRFRFR , GFMIATIAC運動學關系：OAOAARRa 將MIA，FIA，MIA及運動學關系代入到(1)和(4)式并聯立求解得：gRGQRPMO2)3()sin(2)5(0sin0 GFFF , FSIATxRGQQRMG FT)3()sin3(代入(2)、(3)、(5)式，得： , cos)3()sin3(RGQQRMGFOx, sin)3()sin3(QRGQQRMGFOy。 RGQGRMG FS)3()sin()6(0cos0 G , FFNy理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程方法二方法二 用動力學普遍定理求解用動力學普遍定理求解(1

51、) 用動能定理求鼓輪角加速度。)sin(sin12PRMPRMW)( 1常量CT )( AORRv22222222)3(4 22121221RPQgRgPvgPRgQTOAOgRPQPRMO2)3()sin(2兩邊對t求導數： OOOPRMRPQg)sin(2)3(412 1212，得由WTT)sin()3(422PRMCRPQgO理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程(2) 用動量矩定理求繩子拉力（定軸轉動微分方程）TRMRgQO22RPQQRMPFT)3()sin3( 取輪O為研究對象，由動量矩定理得(3) 用質心運動定理求解軸承O處約束力cos0 , TOxxCxFF

52、FMacos)3()sin3(RPQQRMPFOx 取輪O為研究對象，根據質心運動定理：sin0 , yTOyCyFQFFMaQRPQQRMPFOy sin)3()sin3(理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程(4) 用剛體平面運動微分方程求摩擦力)(OASAAR FJRPQPRMPgRPQPRMRgPRRJFAAS)3()sin()3()sin(22122方法三：用動能定理求鼓輪的角加速度取圓柱體A為研究對象，根據剛體平面運動微分方程TFOxFOyFSF用達朗貝爾原理求約束力（繩子拉力 、軸承O處反力 和 及摩擦力 ）。理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動

53、微分方程 12-3. 勻質輪重為G，半徑為 r ，在水平面上作純滾動。某瞬時角速度 ，角加速度為，求輪對質心C 的轉動慣量，輪的動量、動能，對質心C和水平面上O點的動量矩，向質心C和水平面上O點簡化的慣性力系主矢與主矩。解：解：思考題思考題)(rgGvgGpC222121CCJvgGTgGrJLCC22,rgGagGFCICgGrJMCIC2222rgGJC222)2(21)(21rgGrgG2243gGrOgGrgGrrgGrJmvrLCCO23222,rgGagGFCIOgGrrgGrgGrFMJMICOCIO232)(22理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程例例12

54、-712-7均質棒AB得質量為m=4kg，其兩端懸掛在兩條平行繩上，棒處在水平位置，如圖（a）所示。其中一繩BD突然斷了，求此瞬時AC繩得張力F。ABCD(a)ICM)(CAamgAaFAaCIRxFIRyF(b)【解解】當BD繩斷了以后，棒開始作平面運動，則慣性力系的簡化中心在質心C上。因瞬時系統的速度特征量均為零，則點加速度為 。以A為基點，有AaCAAnCAnCAACaaaaaa理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程CAAnCAnCAACaaaaaa其中 ,l為棒長。2laCA虛加慣性力系，如圖（b）所示，有III2CCRxARymlMJFmaF，02220)(CAJ

55、lmllmgFm，則因 ，得 2121mlJClg23020mgmlFFy，又NmgF8 . 941得理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程【思考題思考題】 1 1、是非題、是非題（1）不論剛體作何種運動，其慣性力系向一點簡化得到的主矢都等于剛體的質量與其質心加速度的乘積，而取相反方向。 （ ）對 （2）質點有運動就有慣性力。（ ）錯（3）質點的慣性力不是它本身所受的作用力，其施力體是質點本身。 （ ）對理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程1 1、選擇題、選擇題 （1）設質點在空中，只受到重力作用，試問在下列兩種情況下，質點慣性力的大小和方向如何？（a）質點作自由落體運動；（b）質點被鉛垂上拋 （ ）A（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向下 B（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向上C（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向上、（b）向下D（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向下、（b）向上B理論力學電子教程理論力學電子教程第八章 質點的運動微分方程（2）如圖所示，半徑為R，質量為m的均質細圓環沿水平直線軌道作勻速純滾動，試問應如何虛加慣性力系？( )A.虛加慣性力 且 過速度瞬心O，鉛直向下 2IvRmRIRB.虛加慣性力 且 過速度瞬心O，鉛直向上