1、第七章第七章組合變形組合變形組合變形（組合變形（combined deformation）是指在外力作用下桿件將同是指在外力作用下桿件將同時產生兩種或兩種以上的基本變形。時產生兩種或兩種以上的基本變形。7-1 概概 述述壓彎組合的壓彎組合的煙囪煙囪偏心壓縮的廠房吊車立柱偏心壓縮的廠房吊車立柱彎扭組合的皮帶輪軸彎扭組合的皮帶輪軸 組合變形桿的計算方法組合變形桿的計算方法 （桿件在線彈性，小變形情況下）（桿件在線彈性，小變形情況下） 1. 1. 將作用在桿上的將作用在桿上的荷載分解或簡化荷載分解或簡化，使桿在每種荷載作用下使桿在每種荷載作用下,只產生一種基本變形只產生一種基本變形。2. 2. 分別

2、分別計算每一種基本變形下桿的應力和變形。計算每一種基本變形下桿的應力和變形。3. 3. 用用疊加原理疊加原理可得桿在組合變形下的應力和變形。可得桿在組合變形下的應力和變形。7-2 斜彎曲斜彎曲平面彎曲平面彎曲：具有縱向對稱平面的梁，當：具有縱向對稱平面的梁，當外力作用在縱向對稱平外力作用在縱向對稱平面面內時內時, ,梁的軸線在此平面內彎成一條曲線，梁發(fā)生梁的軸線在此平面內彎成一條曲線，梁發(fā)生平面彎曲平面彎曲。zyoF對于不具有縱向對稱平面的梁對于不具有縱向對稱平面的梁, ,只有當外力作用在通過彎曲只有當外力作用在通過彎曲中心的中心的彎心平面彎心平面內時內時, ,梁只產生梁只產生平面彎曲平面彎曲

3、。zyoA彎心平面彎心平面：過：過，而且與形心，而且與形心主慣性平面平行的主慣性平面平行的平面。平面。 但工程上有些梁但工程上有些梁, , 外力雖然經過彎曲中心（或形心）外力雖然經過彎曲中心（或形心）, ,但但其其作用面與形心主慣性平面既不重合作用面與形心主慣性平面既不重合, ,也不平行也不平行，這時，這時梁變形梁變形后軸線不在后軸線不在形心主慣性平面形心主慣性平面( (或與之平行的平面或與之平行的平面) )內，內，梁發(fā)生梁發(fā)生斜斜彎曲彎曲。zyoFzyoA以矩形懸臂梁為例：以矩形懸臂梁為例：一、正應力計算一、正應力計算1 1. 外力分解外力分解Fy = Fcosj jFz = Fsinj j

4、Mz2 2. x截面的內力截面的內力( (不計剪力不計剪力) )xMy=Fy(l-x)=F(l-x)cosj j=M M cosj j=Fz(l-x)=F(l-x)sinj j=Msinj jlxK(y,z)3. x截面任一點處正應力截面任一點處正應力IzMz y= -= -s sIyMy z= = s sFy引起的正應力引起的正應力Fz引起的正應力引起的正應力IyMy z= = s s = =s s + +s sIzMz y - -+ +x截面任一點處正應力：截面任一點處正應力：l（分析橫（分析橫截面上正應力分布）截面上正應力分布） )sincos(zIyIMyzjj+-=（正應力為平面分布

5、）正應力為平面分布） 二、中性軸的位置、最大正應力和強度條件二、中性軸的位置、最大正應力和強度條件中性軸是一條過截面形心的直線。中性軸是一條過截面形心的直線。 abcd中性軸中性軸abcd中性軸中性軸+ += =oyzabcd中性軸中性軸IyMy z= = s s = =s s + +s sIzMz y - -+ +令令得得= = 0 0Izcos - -yIy+ +sinz中性軸方程中性軸方程0)sincos(=+-=zIyIMyzjjzyoF中性軸中性軸但對于但對于Iy=Iz的截面的截面( (如正方形、圓形等如正方形、圓形等正多邊形），正多邊形），梁只發(fā)生平面彎曲。梁只發(fā)生平面彎曲。對于對

6、于IyIz的截面，的截面，中性軸與中性軸與F力作力作用方向不垂直用方向不垂直。這是斜彎曲的一個重要特。這是斜彎曲的一個重要特征。征。= = 0 0Izcos - -yIy+ +sinz設中性軸與設中性軸與z軸夾角軸夾角，則，則tan= =yz= =IyIztan 中性軸方程中性軸方程最大正應力最大正應力WyMy= = s s tmaxWzMz+ +中性軸將截面分成兩部分，一部分受拉，另一部分受壓，最大正中性軸將截面分成兩部分，一部分受拉，另一部分受壓，最大正應力發(fā)生在離中性軸最遠的點。應力發(fā)生在離中性軸最遠的點。對于有凸角的截面（如矩形、工對于有凸角的截面（如矩形、工字形截面），最大正應力在角

7、點字形截面），最大正應力在角點。abcd中性軸中性軸abcd中性軸中性軸+ += =oyzabcd中性軸中性軸)(maxcyyzzWMWM+-=szy 對于沒有凸角的截面，可用作圖方法確定最大正應力的點。對于沒有凸角的截面，可用作圖方法確定最大正應力的點。D2D1中性軸中性軸例如橢圓形的截面例如橢圓形的截面: :先確定了中性軸位置先確定了中性軸位置再作平行于中性軸并與截面再作平行于中性軸并與截面周邊相切的兩條直線，切點周邊相切的兩條直線，切點即為最大正應力點即為最大正應力點。強度條件強度條件危險點為危險點為單向應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)，強度條件為，強度條件為先確定危險截面，再確定危險點先確定危險截

8、面，再確定危險點tmaxtsscmaxcss三、斜彎曲變形特點三、斜彎曲變形特點對于上面懸臂梁自由端的撓度對于上面懸臂梁自由端的撓度zyyEIlFw33=Fy引起的撓度引起的撓度Fz引起的撓度引起的撓度yzzEIlFw33=合合撓度撓度22zywww+=設合撓度方向與設合撓度方向與y軸成軸成角，則角，則jtantanyzyzIIww=zyoF中性軸中性軸wzyoF中性軸中性軸w因為因為IyIz，故，故。合撓度方向與合撓度方向與F力作用方向不重合力作用方向不重合。tan= =yz= =IyIztan 故故= =，合撓度方向與合撓度方向與中性軸垂直中性軸垂直。 對于對于Iy=Iz的截面的截面( (

9、如正方形、圓形等正多邊形），如正方形、圓形等正多邊形），梁只發(fā)生梁只發(fā)生平面彎曲，平面彎曲，故故= = ，合撓度方向與合撓度方向與F力作用方向重合，均與力作用方向重合，均與中性軸垂直中性軸垂直。jtantanyzyzIIww=合撓度方向與合撓度方向與y軸成軸成角角雙向彎曲：雙向彎曲：當梁在通過彎曲中心的互相垂直的兩個主慣性平當梁在通過彎曲中心的互相垂直的兩個主慣性平面內分別有橫向力作用時發(fā)生的彎曲。面內分別有橫向力作用時發(fā)生的彎曲。雙向彎曲梁的分析方法同斜彎曲梁。雙向彎曲梁的分析方法同斜彎曲梁。 例例 屋架上的桁條屋架上的桁條, ,可簡化為兩端鉸支的簡支梁。梁的跨可簡化為兩端鉸支的簡支梁。梁的

10、跨度度l=4m, ,屋面?zhèn)鱽淼暮奢d可簡化為均布荷載屋面?zhèn)鱽淼暮奢d可簡化為均布荷載q=4kN/m, ,屋面與屋面與水平面的夾角水平面的夾角=25o。桁條的截面為矩形。桁條的截面為矩形h=28cm, ,b=14cm。設桁條材料的容許應力設桁條材料的容許應力=10MPa, ,試校核其強度。試校核其強度。解：將均布荷載解：將均布荷載q沿沿y軸和軸和z軸分解軸分解qy = qcosqz = qsinqy使梁在使梁在xy平面內產生平面彎曲平面內產生平面彎曲; ; qz使梁在使梁在xz平面內產生平面彎曲。平面內產生平面彎曲。危險截面在跨中。其上的危險截面在跨中。其上的1點和點和2點是危險點點是危險點, ,它

11、們分別產生最大它們分別產生最大拉應力和最大壓應力拉應力和最大壓應力, ,且且數值相等數值相等。故可校核。故可校核1點和點和2點中的任一點中的任一點。點。現校核現校核1 1點點, ,得得zzyyWMWM+=maxtsMPa10=s故桁條滿足強度要求。故桁條滿足強度要求。6816812222bhlqhblqyz+=MPa68. 7=q=5kN/mF=2kNxl =2myzO 例例 懸臂梁懸臂梁,采用采用25a號工字鋼。在豎直方向受均布荷載號工字鋼。在豎直方向受均布荷載q作用作用, ,在自由端受水平集中力在自由端受水平集中力F作用。作用。 Iz=5023.54cm4, ,Wz=401.9cm3，Iy

12、=280.0cm4, Wy=48.28cm3, ,E=2105MPa， =160MPa。試求。試求（1 1）梁的最大拉應力和最大壓應力；）梁的最大拉應力和最大壓應力；（2)2)固定端截面和固定端截面和l/2截面上的中性軸位置；截面上的中性軸位置；（3)3)自由端的撓度。自由端的撓度。解：解： (1)均布荷載均布荷載q使梁在使梁在xy平面內彎曲平面內彎曲, ,集中力集中力F使梁在使梁在xz 平平面內彎曲，故為面內彎曲，故為雙向彎曲雙向彎曲。兩種荷載均使固定端截面產生最大。兩種荷載均使固定端截面產生最大彎矩彎矩, ,固定端截面是危險截面固定端截面是危險截面。由變形情況可知。由變形情況可知, ,在該

13、截面上的在該截面上的A點處產生最大拉應力點處產生最大拉應力, ,B點處產生最大壓應力點處產生最大壓應力, ,且兩點處應力且兩點處應力的數值相等。則的數值相等。則q=5kN/mF=2kNxl =2mAByzOyyzzAWMWMmaxmaxmaxt+=ssyzWFlWql+=221MPa7 .107=33cm28.48mkN4cm9 .401mkN10+=MPa7 .107maxc-=ssBq=5kN/mF=2kNxl =2mAByzO（2 2）中性軸位置）中性軸位置0=-=yIMzIMzzyysyzzyIIMMzy=tan固定端截面固定端截面18. 721tan21=yzyzzyIIqlFlII

14、MMzyo11 .82= 不同截面上中性軸與不同截面上中性軸與z軸夾角不同軸夾角不同中性軸中性軸1 1過形心，與過形心，與z軸夾角軸夾角中性軸中性軸2 2l/2/2截面截面35.14)2/(212/tan22=yzyzzyIIlqFlIIMMzyo20 .86=q=5kN/mF=2kNxl =2mAByzO（3 3）自由端撓度）自由端撓度q=5kN/mF=2kNxl =2myzO自由端的總撓度等于自由自由端的總撓度等于自由端在端在y和和z方向的撓度方向的撓度wy和和wz的矢量和。的矢量和。mm995. 084=zyEIqlwmm52. 933=yzEIFlwmm57. 922=+=zywww對

15、圓形、正方形等正多邊形截面，如何進行計算？對圓形、正方形等正多邊形截面，如何進行計算？7-3 拉伸（壓縮）與彎曲的組合拉伸（壓縮）與彎曲的組合 桿件受到軸向力與橫向力共同作用時，桿件將產生桿件受到軸向力與橫向力共同作用時，桿件將產生拉伸拉伸（壓縮）與彎曲組合（壓縮）與彎曲組合變形。變形。 當桿件產生的彎曲變形很小時，軸力在彎曲變形上所引起當桿件產生的彎曲變形很小時，軸力在彎曲變形上所引起的附加彎矩很小，可忽略不計，故可的附加彎矩很小，可忽略不計，故可由疊加原理求得軸向力和由疊加原理求得軸向力和橫向力橫向力兩種荷載共同引起的正應力。兩種荷載共同引起的正應力。軸向力軸向力F作用作用= = s sI

16、zMz (x)y - - s s = =FN橫向力橫向力q q作用作用疊加后（疊加后（F、q共同作用共同作用) )A點正應力點正應力= = s s s s + + s s = =FN+ +IzMz (x)y (- (- ) )任一截面任一點正應力任一截面任一點正應力拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的正應力及強度計算：拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的正應力及強度計算：，疊加以后應力分布可能，疊加以后應力分布可能abdcabcdabcd中性軸中性軸abcdabcd中性軸中性軸= = s s s s + + s s = =FN+ +IzMz (x)y (- (- ) )固定端截面為危險截面，危險點（上邊緣）的

17、應力為固定端截面為危險截面，危險點（上邊緣）的應力為= = s smaxFN+ +WzMzmax危險點為單向應力狀態(tài)危險點為單向應力狀態(tài)強度條件強度條件max 例例 如圖所示托架受荷載如圖所示托架受荷載F=45kN作用。設作用。設AC桿為桿為22b22b的工字鋼的工字鋼，材料材料容許應力容許應力=160MPa，試校核試校核AC桿強度。桿強度。F=45kNADBC3m1m30BCAFAxFBxFAyFByF=45kN解：解：1.1.分析分析AC桿變形桿變形AC桿桿AB段為拉彎組合段為拉彎組合FAy=15kNFBy=60kNFAx=FBx=104kN+FN圖圖/kN104-M圖圖/kNm45F=4

18、5kNADBC3m1m30BCAFAxFBxFAyFByF=45kN2.2.危險截面為危險截面為B點左側截面點左側截面危險點為危險點為B點左側截面上邊緣各點點左側截面上邊緣各點zzWMAFmaxNmax+=sMPa9 .160=32cm325mkN45cm6 .46kN104+=1.05=10=10MPa桿不安全桿不安全7-5 截面核心截面核心 偏心壓縮時，橫截面上中性軸的截距偏心壓縮時，橫截面上中性軸的截距ay和和az隨壓力作用點隨壓力作用點坐標坐標yF 和和zF 變化；當變化；當壓力作用點離橫截面形心越近壓力作用點離橫截面形心越近時，時，中性軸中性軸離橫截面形心越遠離橫截面形心越遠。中性軸

19、可能與橫截面邊界相切或在橫截面中性軸可能與橫截面邊界相切或在橫截面以外以外, ,此時，整個橫截面只產生壓應力。此時，整個橫截面只產生壓應力。 工程上有些材料（如混凝土、磚、工程上有些材料（如混凝土、磚、石等），其抗拉強度很小，因此，偏心石等），其抗拉強度很小，因此，偏心受壓桿要求橫截面上不產生拉應力，壓受壓桿要求橫截面上不產生拉應力，壓力必須作用在橫截面形心附近的某一區(qū)力必須作用在橫截面形心附近的某一區(qū)域內，該區(qū)域稱為域內，該區(qū)域稱為截面核心（截面核心（core of a section）。D1D2zy中性軸中性軸任意形狀截面的截面核心確定：任意形狀截面的截面核心確定： 作中性軸作中性軸1 1

20、與周邊相切，其截距為與周邊相切，其截距為ay1和和az1，故外，故外力作用點的坐標為力作用點的坐標為即可確定即可確定1 1點。點。 再分別作中性軸再分別作中性軸2、3，用相，用相同的方法，可得到同的方法，可得到2、3等點。連等點。連接這些點所得的閉合區(qū)域就是截面接這些點所得的閉合區(qū)域就是截面核心。核心。121yzFiy-=121zyFiz-=1yF1zF123az1ay1123 例例 試確定下圖所示矩形截面的截面核心。試確定下圖所示矩形截面的截面核心。 yzhbABCD解：矩形截面的對稱軸解：矩形截面的對稱軸y和和z是形心主軸。該截面的是形心主軸。該截面的 1222bAIiyy= = =122

21、2hAIizz= = =,1 = =ya21baz- -= =先將與先將與AB邊重合的直線作為中性軸邊重合的直線作為中性軸，它在，它在y和和z軸上的截距分軸上的截距分別為別為 yzhbABCD621201221212121bbbizhiyzyFyzF= =- - -= =- -= = = - -= =- -= = 則則b/61h/62同理可求得當中性軸同理可求得當中性軸與與BC邊重合時，與之對應的邊重合時，與之對應的2 2點的坐標為點的坐標為0,622= =- -= =FFzhy6, 033bzyFF- -= = =0,644= = =FFzhy中性軸中性軸與與CD邊重合時，與之對應的邊重合時

22、，與之對應的3 3點的坐標為點的坐標為中性軸中性軸與與DA邊重合時，與之對應的邊重合時，與之對應的4 4點的坐標為點的坐標為yzhbABCDb/61h/62b/63h/64 連接連接1 1點、點、2 2點、點、 3 3點和點和4 4點點就是截面核心的邊界。最后得就是截面核心的邊界。最后得到矩形截面的截面核心是一個到矩形截面的截面核心是一個菱形菱形，其對角線的長度分別是，其對角線的長度分別是h/3/3和和b/3/3。（。（中間三分點中間三分點）例例 試確定下圖所示圓形截面的截面核心。試確定下圖所示圓形截面的截面核心。 解解 由于圓形截面對于圓心是極對稱的，所以截面核心的邊由于圓形截面對于圓心是極

23、對稱的，所以截面核心的邊界也是一個圓。只要確定了截面核心邊界上的一個點，就可界也是一個圓。只要確定了截面核心邊界上的一個點，就可以確定截面核心。以確定截面核心。 yzdyzd設過設過A點的切線是中性軸，它在點的切線是中性軸，它在y，z軸上的截距為軸上的截距為 2,daazy= = = =1646422422dddiizy= = = = 8, 0dzyFF- -= = =截面核心是直徑為截面核心是直徑為d/4/4的圓。的圓。 與之對應的外力作用點與之對應的外力作用點1 1的坐標為的坐標為 而而Ad/817-6 彎曲與扭轉的組合彎曲與扭轉的組合曲拐曲拐AB段、傳動軸將發(fā)生彎曲與扭轉的組合變形段、傳

24、動軸將發(fā)生彎曲與扭轉的組合變形彎曲與扭轉組合變形下應力和強度計算：彎曲與扭轉組合變形下應力和強度計算：一、危險截面一、危險截面A端截面為危險截面，端截面為危險截面，1. F向向AB桿桿B截面形心簡化截面形心簡化2. AB桿內力桿內力lalFMz=FlaFMx=截面內力：截面內力：一、危險截面一、危險截面上頂點上頂點c1 1= =WzMz = =WPMx二、危險點為二、危險點為c c1 1、c c2 2點點lFMz=aFMx=A截面截面上頂點處于二向應力狀態(tài)，上頂點處于二向應力狀態(tài)，強度計算（塑性材料）按強度計算（塑性材料）按強度理論進行。強度理論進行。第三強度理論第三強度理論r3 3=1 1-

25、 -3 3 第四強度理論第四強度理論 (1 1- -2 2)2 2+ +(2 2- -3 3)2 2+ +(3 3- -1 1)2 2r4 4= r4 4 = = r3 3 = =上頂點上頂點圓截面圓截面 Wp=2Wz= =WzMz = =WPMx r4 4 = = r3 3 = = r4 4 = =Wz1Mz2+0.75Mx2 r3 3 = =Wz1Mz2+Mx2 當圓桿同時產生當圓桿同時產生拉伸拉伸( (壓縮壓縮) )和扭轉和扭轉兩種變形時，上述分析兩種變形時，上述分析方法仍然適用，只是方法仍然適用，只是彎曲正應力需用拉伸彎曲正應力需用拉伸( (壓縮壓縮) )時的正應力代時的正應力代替替。在這種情況下，。在這種情況下，危險截面上的周邊各點危險截面上的周邊各點均為危險點。均為危險點。 當圓桿同時產生當圓桿同時產生彎曲、扭轉和拉伸彎曲、扭轉和拉伸( (壓縮壓縮) )