1、 第第9章章 馬爾可夫預測方法馬爾可夫預測方法9.1 馬爾可夫鏈基本理論9.2.1市場占有率預測9.2 案例分析9.2.2 股票價格走勢預測9.2.3 加權馬氏鏈法預測證券指數走勢9.2.4 期望利潤預測9.1.1馬爾可夫鏈基本概念（1）馬爾可夫鏈 設隨機過程)(tX,Tt ，其中時間 T=0,1,，狀態空間 I=0,1,2,，若對任一時刻 n，以及任意狀態jiiiin,110，有,) 1(,)(|) 1(1ninXinXjnXP) 0 (,) 1 (,01iXiX)(|) 1(inXjnXP則稱)(tX,Tt 為一個馬爾可夫鏈（或馬氏鏈）簡記為nX,0n9.1 馬爾可夫鏈基本理論注注:而與以

2、前的狀態表明)(tX在時刻 n +1 的狀態jnX ) 1(的概率分布只與時刻n 的狀態inX)(有關，1)1(ninX， ，0)0(iX無 關 。(2)一步轉移概率馬氏鏈在時刻n處于狀態 i 的條件下，到時刻n+1轉移到狀態 j 的條件概率，即|1iXjXPnn稱為在時刻n的一步轉移概率，記 作)(npij注注:由于概率是非負的，且過程從一狀態出發，經過一步轉移后，必到達狀態空間中的某個狀態一步轉移概率滿足(3)一步轉移矩陣稱為在時刻n的一步轉移矩陣（1） 0)(npij, Iji,（ 2）1)( npijIj, Ii如果固定時刻Tn則由一步轉移概率為元素構成的矩陣1P：即即有有有限馬氏鏈狀

3、態空間I=0，1，2，k)()()()()()(10111001001npnpnpnpnpnpPnn)()()()()()()()()(1011110001001npnpnpnpnpnpnpnpnpPkkkkkk(4)齊次馬氏鏈即則稱此馬氏鏈為齊次馬氏鏈（即關于時間為齊次）如果馬氏鏈的一步轉移概率)(npij與 n 無關，ijnnpiXjXP|1(5)初始分布設)(00iXPip，Ii，如果對一切Ii都有0)(0ip1)(0ipIi稱)(0ip為馬氏鏈的初始分布注馬氏鏈在初始時刻有可能處于I中任意狀態，初始分布就是馬氏鏈在初始時刻的概率分布。(6)絕對分布概率分布)(iXPipnn，Ii，0n

4、稱為馬氏鏈的絕對分布或稱絕對概率定態分布若絕對分布)(ipn與n無關，即)(iXPipn，Ii，0n則稱)(ipn，Ii 為馬氏鏈0,nXn的定態分布在馬氏鏈的研究中，須研究“從已知狀態i出發，經過n次轉移后，系統將處于狀態j”的概率.(7) n步轉移矩陣步轉移矩陣1)n步轉移概率系統在時刻m從狀態i經過n步轉移后處于狀態j的概率設0,nXn為齊次馬氏鏈，其狀態空間為 I，|iXjXPmnmIji.稱為n步轉移概率由于馬氏鏈是齊次的，這個概率與m無關所以簡記為)(nijp顯然有2)n步轉移矩陣 0)(nijp，1)(nijIjp，Iji.由所有n步轉移概率)(nijp為元素組成的矩陣)()(n

5、ijnpP Iji.稱為n步轉移矩陣規定jijipPij，當，當01)()0(0)()()1(1ijijppP注注（1）用一步轉移概率表示多步轉移概率kjIkikijppp)2(jkkkIkkiknijnnpppp2111,)1(（2） n 步轉移矩陣nP與一步轉移矩陣1P之間的關系nnPP1注注（3）)(jXPjpnn為元素的行矩陣記為)(,),2(),1 ()(NpppnPnnnI=1，2，N由矩陣的乘法規則，得nPPnP)0()(表示：在時刻表示：在時刻n，各狀態的概率等于其初始狀態的概，各狀態的概率等于其初始狀態的概率與率與n步轉移概率矩陣之積。步轉移概率矩陣之積。若鏈是齊次的，則有若

6、鏈是齊次的，則有nPPnP1)0()(8)遍歷性遍歷性定義1使得設馬氏鏈0,nXn的狀態空間為 I，若對一切Iji,，存在不依賴于i的常數)(j，)(lim)(jpnijn則稱此馬氏鏈具有遍歷性其中)(nijp是馬氏鏈的 n 步轉移概率馬氏鏈的遍歷性表明不論從哪一個狀態i出發，當轉移的步數n充分大時，轉移到狀態j的概率都接近于正常數)( j(9)平穩分布平穩分布有給轉移概率P，若存在一個概率分布中的)( jsiijpij0)()(j =0，1，2，s則稱 為平穩分布 。)( j9.1.2馬爾可夫鏈預測原理1馬氏鏈近期預測原理9.1.2馬爾可夫鏈預測原理1馬氏鏈近期預測原理定理定理1 設Xn為一

7、個齊次馬氏鏈，其狀態空間為I，絕對概率為 n步轉移概率為 ，則有：12( )( ),( ),( )NP np np npn)(nijp(1)( )jiiji Ip np n p( )( )(0)njiiji Ipnpp即表明馬氏鏈的絕對概率由其初始分布和n步轉移概率完全確定1)() 1(PnPnPnPPnP)0()(定理定理2 C-K方程（Chapman-Kolmogorov方程）定理定理1 設Xn為一個齊次馬氏鏈，其狀態空間為I， n步轉移概率為 ，則有：)(nijp 注：（1）C-K方程的矩陣形式為： )()()(mkjIknikmnijpppmnmnPP P （2）n步轉移矩陣與一步轉移

8、矩陣之間的關系 nnPP1 （3）定理1與定理2的結合即為馬爾可夫鏈預測模型： nPPnP)0()( 1(0)nPP2馬氏鏈穩態概率分布預測原理則此馬氏鏈是遍歷的，且中的是方程組設有限馬氏鏈0,nXn的狀態空間為I=0,1,2,s如果存在正整數0n，使對一切Iji,都有0)(0nijp，)(lim)(jpnijn)( jsiijpij0)()(j =0，1，2，s的滿足條件0)(j1)(0jsj的唯一解注1定理表明不論從鏈中哪一狀態i出發，都能以正概率經有限次轉移到達鏈中預先指定的其它任一狀態。定理給出了求平穩分布 的方法。)( j注2 3馬爾可夫鏈預測基本步驟馬爾可夫鏈預測基本步驟 （1）劃

9、分狀態區間，確定狀態空間I =1, 2，N；（2）按步驟（1）所劃分狀態區間，確定資料序列中各時段指標值所對應的狀態；（3）對步驟（2）所得的結果進行統計計算，得馬爾可夫鏈的一步轉移概率矩陣,它決定了指標值狀態轉移過程的概率法則；（4）進行“馬氏性” 檢驗；（5）確定初始分布P(0)，利用 ，分別求得n=1,2,3, 各期的絕對分布：從而所預測的狀態j即是： 1( )(0)nP nPP( )(1),(2),()nnnP npppN( )max( ),nnpjp i iI（6）進一步討論遍歷性，確定平穩分布，計算長期穩態時的分布律情況。9.2 案例分析9.2.1市場占有率預測【例9-1】 設有甲

10、、乙、丙3家企業生產同一種生活必需品，供應同一地區的2400戶居民使用，每戶可自由選擇此三家企業產品。經市場調查，某年1月份甲、乙、丙三企業擁有的戶數分別為760戶，580戶，1100戶，2月份用戶可能的流動情況如表9-1所示。試求：（1）2月份市場占有率的分布；（2）5月份市場占有率的分布；（3）當顧客流如此長期穩定下去市場占有率的分布。 到從甲乙丙甲480120160乙90360130丙120180800解（1） 根據市場調查，確定1月份的初始概率分布 A=760 580 1100;P0=A./sum(A) %初始分布%結果為P0 = 0.3115 0.2377 0.4508（2）根據2月

11、份流動情況求一步轉移概率矩陣P）123(0)(,)Pp ppN1=480 120 160;N2=90 360 130;N3=120 180 800;P=N1./sum(N1);N2./sum(N2);N3./sum(N3) %一步 （3）2、5月份市場占有率分布 P1=P0*PP4=P0*P4（5）判斷遍歷性，解方程組，求出平穩分布，即為長期穩態市場占有率syms x1 x2 x3eq1= x1-x1 x2 x3*P(:,1)eq2= x2-x1 x2 x3*P(:,2)eq3= x3-x1 x2 x3*P(:,3)eq4=x1+x2+x3-1x1 x2 x3=solve(eq1,eq2,eq

12、3,eq4) x1 x2 x30.2573 0.2986 0.4441故在市場穩定狀態下甲、乙、丙的市場占有率分別為25.73%、29.86%和44.41%。2、銷售策略對市場占有率的影響從上述結果可知，甲公司的市場占有率從31.15降至最終的25.73，這是假定以狀態轉移概率保持不變為前提的。如果該公司的經營決策者看到了這種不利趨勢，并制定某種策略（如銷售策略）來扭轉這種不利趨勢，則會使公司在市場上保持較有利的地位。 （1） 保留策略指盡力保留公司原有顧客的各種經營方針與對策，譬如采用提供優質服務或對連續兩期購貨的顧客實行折價優惠等方法。 假設甲公司采用保留策略后，減少了其原有顧客向乙、丙兩

13、公司的流失，使保留率從原來的63.16提高到80，同時向乙、丙兩公司的轉移概率分別為9%和11%，此時程序中第（2）步的一步轉移概率矩陣變為：則轉移矩陣為：利用上述程序的第（5）步即可計算出在此轉移矩陣情況、市場穩定狀態下甲、乙、丙的市場占有率分別為39%、24.85和36.15%，顯然甲公司通過保留策略市場占有率由25.73%提高到39%，取得了明顯的效果。0.80.090.110.15520.62070.22410.10910.16360.7273P （2） 爭取策略 指從競爭者擁有的顧客中爭取顧客的各種經營方針與對策。如：通過廣告等方法。設甲公司采用爭取策略后，能從上一期內向另外兩家公司

14、購貨的顧客中分別爭取20與15，此時程序中第（2）步的一步轉移概率矩陣又變為： 同樣利用上述程序的第（5）步即可計算出在此概率矩陣情況、市場穩定狀態下甲、乙、丙的市場占有率分別為31.59%、27.53%和40.88%，顯然甲公司通過爭取策略市場占有率由25.73%提高到31.59%，取得了一定的效果。0.63160.15790.21050.20.57590.22410.150.16360.6864P9.2.2 股票價格走勢預測【例9-2】 青島啤酒2007年2月1日-4月26日的交易日收盤價見表7-10，試用馬爾可夫鏈預測4月27日，4月30日的收盤價區間。先劃分區間，確定狀態：將價格按從小

15、到大劃分為五個區間：低于16元的為狀態a，16元(含)至17元的為狀態b，17元(含)至18元的為狀態c，18元(含)至19元的為狀態d，19元(含)以上的股價為狀態e；進而找出各個狀態所包含的個數及所在的位置。（1）輸入數據X=16.88 15.91 15.92 16.44 16.44 16.87 17.00 17.35 .17.50 17.94 18.52 18.62 19.39 17.45 17.48 16.28 .16.49 15.65 15.80 16.35 16.91 16.57 16.42 17.32 .17.25 17.04 16.40 16.43 16.21 16.16 16

16、.39 16.24 .17.04 17.24 16.97 16.84 17.05 17.41 17.48 18.03 .18.95 18.80 18.76 18.29 18.10 18.61 18.83 19.18 .19.00 18.86 18.67 19.23 20.00 20.24 19.65 19.63;（2）找出各個狀態所包含的個數及所在的位置a=find(X16);b=find(16=X&X17);c=find(17=X&X18);d=find(18=X&X=19);（3）計算一步轉移的頻數矩陣N11=length(find(X(a+1)=16&X(

17、a+1)=17&X(a+1)=18&X(a+1)=19);N21=length(find(X(b+1)=16&X(b+1)=17&X(b+1)=18&X(b+1)=19);N31=length(find(X(c+1)=16&X(c+1)=17&X(c+1)=18&X(c+1)=19);N41=length(find(X(d+1)=16&X(d+1)=17&X(d+1)=18&X(d+1)=19); %X最后一個數據在狀態f，無法轉移，因此不能取N51=length(find(X(f(1:end-1)+1)=

18、16&X(f(1:end-1)+1)=17&X(f(1:end-1)+1)=18&X(f(1:end-1)+1)=19);（4）計算一步轉移概率矩陣Pp1=N11 N12 N13 N14 N15./sum(N11 N12 N13 N14 N15);p2=N21 N22 N23 N24 N25./sum(N21 N22 N23 N24 N25);p3=N31 N32 N33 N34 N35./sum(N31 N32 N33 N34 N35);p4=N41 N42 N43 N44 N45./sum(N41 N42 N43 N44 N45);p5=N51 N52 N53 N5

19、4 N55./sum(N51 N52 N53 N54 N55);P=p1;p2; p3 ;p4 ;p5（5）以4月26日開始，分別預測以后的兩個交易日價格情況P0=0 0 0 0 1; %以4月26日最后一個數據所在的狀態 作為初始分布P1=P0*P %下一個交易日4月27日的分布律P2=P0*P2 %4月26日以后的第2個交易日4月30日 的分布律P1 = 0 0 0.1429 0.1429 0.7143P2 = 0 0.0306 0.1939 0.2296 0.5459故兩個收盤價范圍都在第5個狀態f，即在19元以上的區間 9.2.3 加權馬氏鏈法預測證券指數走勢加權馬氏鏈法預測步驟:（1

20、）將證券指數序列由小到大排列，劃分區間，產生狀態空間I（2）確定各時段價格指數所處的狀態；（3）馬氏性檢驗；（4）計算各階自相關系數 （5）對各階自相關系數規范化 211()()/()n knkll klllrxx xxxx1/mkkkkwrr（6）對步驟（5）所得的結果進行統計，可得不同滯時(步長)的馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣； （7）分別以前面若干時間段的證券價格指數為初始狀態，結合其相應的轉移概率矩陣即可預測出該時段證券價格指數的狀態概率 （ k為滯時） （8）將同一狀態的各預測概率加權和作為證券價格指數處于該狀態的預測概率，即 所對應的i即為該時段股票價格狀態的預測 ( )kipmax(

21、,)ip iI【例9-3】 已知2008年3月27日5月30日上證A股收盤價指數數據如表9-2，試用加權馬氏鏈法預測下一個交易日的指數范圍。序號收盤價狀態序號收盤價狀態序號收盤價狀態序號收盤價狀態13578.9221234591233696.743343802.85523756.124133513.242243875.225353782.37433643.243143453.861253946.455363612.64343492.781153381.681263917.75373718.98453512.972163247.441273755.654383657.49363616.38317

22、3270.771283837.085393644.39373777.254183303.091293791.524403530.58283790.694193439.851303805.755413541.75293581.822203759.614313735.74423629.333103642.653213732.854323837.745433568.882113664.843223645.583333816.55443602.663（1）先將價格指數按從小到大劃分為五個區間：低于3500的為狀態1，3500(含)至3600的為狀態2，3600(含)至3700的為狀態3，3700(含)

23、至3800的為狀態4，3800(含)以上的股價為狀態5；相應地找出每個數據所在的狀態， （2）計算各階自相關系數 rk=autocorr(X,8)%rk= 1.0000 0.7844 0.5760 0.4516 0.3584 0.2347 0.0511 -0.0977 取滯后5期 （3）將各階自相關系數規范化可以得到各階滯時的馬爾可夫鏈權重wk=rk(2:6)./sum(rk(2:6)（4）不同滯時的馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣： 1）滯后一步轉移矩陣 程序類似例9-2中的程序，只是將區間范圍值替換即可 2）滯后二步轉移矩陣 程序同1），只是將程序中的“1”改為“2”，注意一下最后兩個數據不轉換

24、3）滯后三步轉移矩陣 程序同1），只是將程序中的“1”改為“3”，注意一下最后三個數據不轉換 4）滯后四步轉移矩陣 程序同1），只是將程序中的“1”改為“4”，注意一下最后四個數據不轉換 5）滯后五步轉移矩陣 程序同1），只是將程序中的“1”改為“5”，注意一下最后五個數據不轉換（5）選定最后五天為初始日（5月26日至30日），其所在的狀態結合其相應的轉移概率矩陣即可預測出該時段證券價格指數的狀態概率 初始日狀態滯時/天權重狀態空間概率123455-26250.09760.500000.5000005-27240.14900.20000.60000.2000005-28330.18780.11

25、110.33330.333300.22225-29220.23950.16670.16670.50000.166705-30310.32610.20000.20000.30000.20000.1000（加權和）0.20460.25710.35880.10510.0743（6）將同一狀態的各預測概率加權和作為證券價格指數處于該狀態的預測概率 將表中“狀態空間概率”用矩陣Q表示：Q=P5(2,:);P4(2,:);P3(3,:);P2(2,:);P1(3,:)wk=wkp1=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,1)p2=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,2)p3=sum(wk(5:-1:

26、1).*Q(:,3)p4=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,4)p5=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,5)結果為：p1 = 0.2046；p2 = 0.2571；p3 =0.3588；p4 =0.1051；p5 =0.07439.2.4 期望利潤預測 在企業當中，除需要摸清銷路的變化情況外，還要對利潤的變化進行預測。如：某商品的銷售狀態有暢銷和滯銷兩種狀態，則通過調查、統計，可得銷售狀態的轉移概率矩陣P和轉移利潤矩陣R.111212122ppPpp111212122rrRrr其中， 表示盈利， 表示虧本0ijr 0ijr 則根據已知的轉移概率矩陣P和轉移利潤矩陣R.對未來利潤進行

27、預測。已知一步轉移概率矩陣P和其對應的一步轉移利潤矩陣R為 其中， 表示盈利， 表示虧本0ijr 0ijr 則根據兩轉移矩陣P和R，對現在所處的狀態i 經過n步轉移之后的利潤進行預測。 111212122212NNNNNNppppppPppp111212122212NNNNNNrrrrrrRrrr， 期望利潤預測步驟：記 表示產品現在所處的狀態i( )經過n步轉移之后的期望利潤。( )iv n1,2,iN（1） 經過一步轉移之后的期望利潤為1122(1)iiiiiiNiNvr pr pr p1Nijijjr p（3） 經過二步轉移之后的期望利潤為111222(2) (1)(1)(1)iiiii

28、NiNiNvvrpvrpvrp1(1)Njijijjvr p11(1)NNjijijijjjvpr p1(1)(1)Nijijjvvp（3） 經過n步轉移之后的期望利潤遞推公式( )iv n1(1)Njijijjv nr p當n0時，規定：(0)0iv1,2,iN上述過程的矩陣表示：1(1)(1)Nijijjvv np(1)(1)(0)VVP V(2)(1)(1)VVP V( )(1)(1)V nVP V n21( )() (1)nV nIPPPV11(1)nkkPV12( ) ( ),( ),( )TNV nv n v nvn1122(1)iiiiiiNiNvr pr pr p1Nijijj

29、r p 【例9-4】 某企業產品銷路分為暢銷、一般銷售和滯銷三種狀態，經過調查知，三種狀態的轉移概率為表9-6，其對應的狀態轉換利潤如表9-7，如果基期（n0）不管處于那種狀態，預測其后1至3月各月總期望利潤。轉移概率 到從暢銷一般滯銷暢銷0.50.30.2一般0.160.60.24滯銷0.150.30.55 到從暢銷一般滯銷暢銷1263一般642滯銷325轉換利潤 （1）先寫出轉移概率矩陣P與轉移利潤矩陣R （2）令基期V(0)=0 0 0，算出V(1)（3）利用 相應地算出各月的期望利潤0.50.30.20.160.60.240.150.30.55P1263642325R 21( )() (1)nV nIPPPVP=0.5 0.3 0.2;0.16 0.6 0.24;0.15 0.3 0.55;R=12 6 3;6 4 2;3 2 -5;V1=sum(P(1,:).*R(1,:);sum(P(2,:).*R(2,:);sum(P(3,:).*R(3,:) %1個月后的利潤I=eye(3);V2=(I+P)*V1 %2個月之后的利潤V3=(I+P+P2)*V1 %3個月之后的利潤例：最佳維修策略的選擇 研究一化工企業對循環泵進行季度維修的過程。該化工企業對泵進行定期檢查