1、雙曲線知識點 一、 雙曲線的定義：1. 第一定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡（為常數）這兩個定點叫雙曲線的焦點 要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|. 當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支； 當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支； 當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當2a|F1F2|時，動點軌跡不存在. 2. 第二定義：動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數e(e1)時，這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫

2、做雙曲線的準線二、 雙曲線的標準方程： （a0，b0）(焦點在x軸上)； （a0，b0）(焦點在y軸上)；1. 如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上. a不一定大于b.2. 與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是3. 雙曲線方程也可設為：例題：已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且過點，求雙曲線的軌跡方程。三、 點與雙曲線的位置關系，直線與雙曲線的位置關系：1 點與雙曲線：點在雙曲線的內部點在雙曲線的外部點在雙曲線上2 直線與雙曲線： （代數法）設直線，雙曲線聯立解得1) 時，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）； ，或k不存在時直線與雙曲線沒有交點；2) 時，存在

3、時，若，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若， 時，直線與雙曲線相交于兩點；時，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；若不存在，時，直線與雙曲線沒有交點； 直線與雙曲線相交于兩點； 3. 過定點的直線與雙曲線的位置關系：設直線過定點，雙曲線1).當點在雙曲線內部時：，直線與雙曲線兩支各有一個交點；，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；或或不存在時直線與雙曲線的一支有兩個交點；2).當點在雙曲線上時： 或，直線與雙曲線只交于點；直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；（）或 （）或或不存在，直線與雙曲線在一支上有兩個交點；當時，或不存在，直線與雙

4、曲線只交于點；或時直線與雙曲線的一支有兩個交點；直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；3).當點在雙曲線外部時：當時，直線與雙曲線兩支各有一個交點；或或不存在，直線與雙曲線沒有交點；當點時， 時，過點的直線與雙曲線相切 時，直線與雙曲線只交于一點；幾何法：直線與漸近線的位置關系例：過點的直線和雙曲線，僅有一個公共點，求直線的方程。四、 雙曲線與漸近線的關系：1. 若雙曲線方程為漸近線方程：2. 若雙曲線方程為（a0，b0）漸近線方程：3. 若漸近線方程為雙曲線可設為, .4. 若雙曲線與有公共漸近線則雙曲線的方程可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）五、 雙曲線與切線方程：1. 雙曲線

5、上一點處的切線方程是.2. 過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.3. 雙曲線與直線相切的條件是.六、 雙曲線的性質： 雙曲線標準方程（焦點在軸）標準方程（焦點在軸）定義第一定義：平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數（小于）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。PP第二定義：平面內與一個定點和一條定直線的距離的比是常數，當時，動點的軌跡是雙曲線。定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數（）叫做雙曲線的離心率。PPPP范圍，對稱軸軸 ，軸；實軸長為,虛軸長為對稱中心原點焦點坐標 焦點在實軸上，；焦距：頂點坐標（,0） (,0)(0, ,) (0，

6、)離心率1)， ， e越大則雙曲線開口的開闊度越大準線方程準線垂直于實軸且在兩頂點的內側；兩準線間的距離：頂點到準線的距離頂點（）到準線（）的距離為頂點（）到準線（）的距離為焦點到準線的距離焦點（）到準線（）的距離為焦點（）到準線（）的距離為漸近線方程 () ()共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關系：利用轉化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項系數為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長通徑：過雙曲線上一點的切線 或利用導數 或利用導數七、 弦長公式： 若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則。通徑的定義：過

7、焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點，則弦長。若弦AB所在直線方程設為，則。特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解，例：直線與雙曲線相交于兩點，則=_八、焦半徑公式：雙曲線（a0，b0）上有一動點當在左支上時,當在右支上時,注：焦半徑公式是關于的一次函數，具有單調性，當在左支端點時，當在左支端點時，九、等軸雙曲線：（a0，b0）當時稱雙曲線為等軸雙曲線；則：1. ；2.離心率；3.兩漸近線互相垂直，分別為y=；4.等軸雙曲線的方程，；5. 等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。 十、共軛雙曲線： 1.定義：以已知雙曲線的

8、虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線 2.方程： 3.性質：共軛雙曲線有共同的漸近線； 共軛雙曲線的四個焦點共圓它們的離心率的倒數的平方和等于1。 （a>0;b>0）的焦點為與，且p為曲線上任意一點，。則的面積焦點三角形面積公式：高二數學橢圓知識點1、橢圓的第一定義：平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數 ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.2、橢圓的標準方程1）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，

9、其中；3、橢圓：的簡單幾何性質13（1）對稱性：對于橢圓標準方程：是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足，。（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，。 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而

10、越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：；4、橢圓的令一個定義：到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率的點所構成的圖形。即上圖中有5：橢圓 與 的區別和聯系標準方程 圖形性質焦點，焦距范圍，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，軸長長軸長=，短軸長=離心率準線方程焦半徑，拋物線知識點1、掌握的定義 :平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線2、方程、圖形、性質標準方程圖形統一方程焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心

11、率焦半徑3、 通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑，通徑長為 ；4、 拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；5、 注意強調的幾何意義： 。方程及性質1、拋物線的頂點是坐標原點,對稱軸是x軸,拋物線過點(,2),則拋物線的標準方程是( )A.y2=-2x B.y2=2x C. y2=-4x D.y2=-6x2、拋物線的焦點到準線的距離是（ ）(A) 1 (B)2 (C)4 (D)83、拋物線的焦點坐標是_4、拋物線的準線方程是_;5、設拋物線的焦點為，點.若線段的中點在拋物線上，則到該拋物線準線的距離為_。6、過點的拋物線的標準方程

12、是_.7、對于拋物線上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|a|，則a的取值范圍是ABC0，2D（0，2）8、設O為坐標原點，F為拋物線的焦點，A是拋物線上一點，若，則點A的坐標是（ ）AB（1，2），（1，2）C（1，2）D拋物線曲線幾何意義11、動點到點的距離與它到直線的距離相等,則的軌跡方程為_.13、以拋物線的焦點為圓心,且過坐標原點的圓的方程為( )A. B. C. D. 14、點到點，及到直線的距離都相等，如果這樣的點恰好只有一個，那么的值是( )A B C或 D或17、以拋物線上的點M與定點為端點的線段MA的中點為P，求P點的軌跡方程18、已知圓的方程為，若拋物線過點, 0)，

13、B(1, 0)且以圓的切線為準線，則拋物線焦點的軌跡方程為( )ABCD20、在直角坐標系中，到點(1，1)和直線x+2y=3距離相等的點的軌跡是（ ）A.直線B.拋物線C.圓D.雙曲線焦半徑24、拋物線上的兩點A、B到焦點的距離之和是5，則線段AB中點到y軸的距離是_。25、已知過拋物線的焦點的直線交該拋物線于、兩點,則_ .26、設拋物線上一點P到y軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D.1227、若拋物線上的點到直線的距離為2，則點到該拋物線焦點的距離為_。30、從拋物線上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設拋物線的焦點為F，則

14、MPF的面積為（ ） A5B10C20D31、拋物線上一點的縱坐標為4，則點與拋物線焦點的距離為( )A.2 B.3 C.4D. 535、已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 .37、過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),如果x1+x2=6,那么|AB|=( )A.8 B.10 C.6 D.439、 已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為( ) （） （） （） （）過焦點弦45、過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于3，則這樣的直線 （ ）A有且只有一條 B有且只有兩條 C有無窮多條 D不存在 46、過拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，若線段、的長分別為、，則等于（ ） A. B. C. D. 47、 設拋物線與過其焦點的直線交于兩點，則的值（ ）A BC D 50、過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線l交拋物線于A、B兩點,若, 則此拋物線方程為（ ）AB C D51、過拋物線的焦點作直線,交拋物線于兩點,交其準線于 點.若,則直線的斜率為_.52、已知以F為焦點的拋物線上的兩點A、B滿足,則弦AB的中點到準線的距離為_.最值問題54、已知拋