1、四、生存概率的方差和區間估計（一）完整數據生存概率的方差估計(x) = deaths that occur after time x = nxSnnnnx 為大于等于 x 的樣本數據的個數，則 nx 服從二項分布，參數為 n 和Sn (x)E(S (x) = E() = nS (x) = S (x)nnxnnnxSn (x)1- Sn (x)ÙVarSn (x) = Var( n ) =n可以證明：Sn(x)是無偏，一致估計量。這種估計方法也可以用來估計經驗概率，設 p = P(a < X < b) ，則估計量 p = Sn (a) - Sn (b) 的方差為p(1- p

2、)Var( p) =nÙVar( p) =(1- p) / npl生命表模型（1）qk 的估計和方差設qk 表示為k 的人在一年內的概率（1-year condition probabilityof mortaliy before age k+1 given that the individual survived to time k），則qk 的無偏估計為= 1- Sn (k +1) = 1- nk +1qkS (k )nnk其中nk 表示樣本中大于 k（存活）的人數。注意：若nk +1 > nk ，qk 為負值。qk 的條件方差(1- qk )Var(q | n survi

3、vors to age k) = qkkknk例：在 data set D1 中，估計q2 及其方差。policyholderTime of deathTime of surrender1-0.124.80.53-0.840.83.953.11.86-1.87-1.88-2.19-2.5102.92.8112.94.612-3.9134.0-14-4.0解：在這個數據集中，n=30，到時刻 2 為止，已經有一個，在時刻，因此S (2) = 29 , S (3) = 27 ，所以3 為止，已有 3 人30303030= S30 (2) - S30 (3) = 2q2S (2)2930但是無法估計

4、q2 的均值和方差，因為若以 X 表示在時刻 0 到時刻 2之間的人數，Y 表示在時刻 2 到時刻 3 之間的人數，則15-4.1164.8-17-4.818-4.819-30-Yq =230 - X注意到 X 有可能等于 30，因此無法估計q2 的均值和方差。但是可以計算條件方差。已知在時刻 2 還有 29 人生存，計算q2 的方差為29(2 / 29)(27 / 29)54Var(q | S (2) =) =2932303029（2） n qx 的估計與方差n qx 表示 x 歲生存的人在 x+n 歲前的概率，則> x) = S(x) - S(x + n)q = P(+ n | Xn

5、 xS(x)數， nx+n 為時刻 x + n 存假設最初樣本量為 n ， nx 為時刻 x 存活的活的數，則因此n qx 的估計值= nx - nx+nqn xnx與qk 類似, n qx 的無條件方差不一定存在，但可以估計n qx 的條件方差：1n q+n )nx+nV q | 在x時刻有n 個人 = q。n xxn xn3nxx(3) t|u q0 的估計和方差概率， t|u q0 =t p0 -t +u設 t|u q0 表示在t t+u 歲之間的p0 , 其中p = S(x + n) 表示在 x 歲生存的條件下，在n 年后仍生存的概率，因此n xS(x)t|u q0 =t p0 -t+

6、up0 = S(t) - S(t + u)n數，由于 p =x+n 假設最初樣本量為n ， n 為時刻t 存活的,因此tn xnxt|u q0 = Sn (t) - Sn (t + u)= 在t和t + u之間的人數0時刻存活的人數n= nt - nt +unt|u q0 的方差(1-t|u q0 )Var( q ) =qt|u 0t|u0n1- nt - nt +u= nt - nt +u ´nnn= (nt - nt +u )(n - nt + nt +u )n3例：The following data is available regarding time of death o

7、f 20 individualsall under observation from time 0.計算 S20(5), 2|2 q0 和q5 的無偏估計和方差。解：= 0.6(1- 0.6)S (5) = n5 = 12 = 0.6 ，Var(S (5)20Ù= 0.01220n20200Time 0f death123456789No. of Death111412343q = S (2) - S (4) = 18 - 13 = 0.2552|2 020202020200.25(1- 0.25)ÙVar(q ) = 0.0093752|2 020q = 1- n6 =

8、1- 10 = 15n12651 (1- 1 )Var(q5 | n5 ) = 66 = 0.01157412例：對于數據集 B 表示原始損失額，假設免賠額為 250，求理賠額至少為 1000 的概率及其方差估計。解：根據數據集 B，有 13 個損失額大于 250，有 4 個數大于 1250，因此理賠額超過 1000 的經驗概率為413S (1250) / S (250) =2020其方差為 4 ´ 9 。1332782115126155161243294340384457680855877974119313401884255815743（二）、分組數據設 xÎ(cj-1,

9、 cj ，由ì0,x £ c0ïc - x(x - c)ï) +j-1 F (c ), c£ x < cF (x) = jF (cí cnj -1njj -1n- cc - cjïïîjj -11,jj -1x > cr當cj-1 £ x < cj ， Fn (x) 也可以寫為c j - x) + (x - c j -1 ) F (cF (x) =F (c)nj -1nc - cc - cnjjj -1jj -1) + Fn (cj ) - Fn (cj -1 ) (x - c

10、= F (c)nj -1j -1c - cjj -1= n - nj -1 +nj(x - c)(c - c)nj -1njj -1= Y (cj - c j -1 ) + Z (x - c j -1 )n(cj - c j -1 )l經驗生存函數(x) = 1- Y (c j - c j -1 ) + Z (x - c j -1 ) ,< x < cScj -1nn(c - c)jjj -1其中Y = n - nj-1 is the number of deaths up to time cj-1 （小于等于 cj-1）Z=nj is the number of death in

11、 interval (cj-1, cj ,Y 和 Z 都是服從二項分布（請問參數各是什么？）Var(Y ) = nS(cj-1)1- S(cj-1)Var(Z) = nS(cj-1) - S(cj )1- S(cj-1) + S(cj )Cov(Y, Z) = -n1- S(cj-1)S(cj-1) - S(cj )(x) = 1- n1- S (c j -1 )(c j - c j -1 ) + nS (c j -1 ) - S (c j )(x - c j -1)E(Snn(c - c)jj -1c j - xx - c j -1= S (c)+ S (c )j -1(c - cj(c -

12、 c)jj -1jj -1因此，Sn(x)是有偏估計。1Var(S (x) =(c - c)2Var(Y ) + (x - c)2Var(Z )jj -1j -1nn(c - c)2jj -1+ 2(c j - cj -1)(x - cj -1)Cov(Y , Z )l密度函數的估計(x) = Sn (c j -1 ) - Sn (c j ) =Zfn(c - c)n(c - c)jj -1jj -1= S (c j -1 ) - S (c j )1- S (c j -1 ) + S (c j )Var(Z )Var( f (x) =nn2 (c - c)2n(c - c)2jj -1jj -

13、1例：已知損失額觀測值可以分為以下幾組（1） 估計損失不大于 25 的概率，并計算這個經驗概率的方差。（2） 估計損失在 25 的密度函數值 f (25) ，并計算估計值的方差。解：（1）區間Number of losses055051060102050204030大于 4010(25) = Y (cj - c j -1 ) + Z (x - c) = 160(40 - 20) + 30(25 - 20)1- Snn(c - c)200(40 - 20)jj -1= 0.8375Ù4040Var(Y ) = 200 ´ Sn (20)(1- Sn (20) = 200 &#

14、215; 200 × (1- 200) = 3240 -104010ÙVar(Z ) = 200 ×(1-+) = 25.52002002004040 -10ÙCov(Y , Z ) = -200(1-)= -2420020032(40 - 20)2 + 25.5(25 - 20)2 + 2(40 - 20)(25 - 20)(-24)ÙVar(Sn (25) = 0.0005398200(40 - 20)2Z（2） f (25) = 0.0075nn(cc-j( 40 - 10 )(1- 40 + 10 )ÙVar( fn (25)

15、 = 200200200200 = 1.594 ´10-6200(40 - 20)2例：Data set A下表是某保險公司在一年內小汽車發生事故次數的統計數據：Number of accidenceNumber of drivers081,714111,306216183250計算 p(2)的經驗估計及其方差，并且求 95%的置信區間。解：設 N2 表示發生次數為 2 的駕駛員的人數，則 Nj 服從參數為 n 和 p(2)的二項式分布，因此，p(2)的經驗估計為1618p(2) = 0.017043949354405 or more7方差的估計值為0.017043(0.982957

16、) = 1.76466´10-79493595%的置信區間為pn (2) - p(2)0.95 = P(1.96 ££ 1.96)p(2)1- p(2)/ n p (2) - p(2)2n= 1.962p(2)1- p(2)/ n2np (2) ±1.962(2np (2) +1.962 ) - 4(n +1.962 )np (2)2p(2) =nnn2(n +1.962 )或者近似區間pn (2)(1- pn (2)p (2) ±1.96nn代入 pn (2) = 0.01743, n = 94935 得置信區間(0.016239,0.017

17、886)， 近似區間為（0.016220,0.017866）練習：請估計 p(1)。(三)、censored and/or Truncated datal經驗生存函數的方差由于ìï0 £ t < y1y j -1 £ t < y j , j = 2,., kï1,j -1 æ r - söïSn (t) = íÕç ii ÷,i=1 èriøïïj -1 æ r - söïÕt

18、79; ykç ii ÷ or0,ïîi=1 èriø注意，這個公式的推導j -1S (t) = PT > t = Õ PT > yi | T > yi-1, y j -1 £ t < y j , j £ ki=1由于 si 為在 yi 被觀察的(S( yi ) - S( yi-1) / S( yi-1) ， ri 是在人數，服從二項分布，參數為 ri 和yi 時身故風險的總數，其風險發生的概率相互，因此風險發生的總數si 服從二項分布：si Binom(ri ,1- PT >

19、; yi | T > yi-1)S ( yi )其中： PT > y| T > y =。因此，ii-1S ( y)i-1æör - sr - r 1- S ( y ) / S ( y)S ( yi )=i-1Eiiiiiç÷rrS ( y)èiøi-1iæör - sVar(s )r 1- S ( y ) / S ( y)S( y ) / S( y )=i-1i-1Variiiiiiç÷rr 2r 2èiøii= S( yi-1 ) - S( yi )S(

20、yi )2r S ( yji-1因此，éöùæ r - Srj - S jjjE(S( y j ) = E êÕç ii ÷ú = Õ E()êë i=1 èriøúûi=1rjS ( y j ) = S ( y j ) =jÕ=S ( y j )S ( y)S ( y )i=1j -10在指定的時刻 y j 處的生存概率估計值是無偏的， 而在沒有件發生的時刻，生存概率的估計值是有偏的，偏誤為：事ESn (t) - S(t)

21、= S( yj-1) - S(t), yj-1 £ t < yj 。下面計算其方差，利用Var( X ××× X ) = E( X 2 ××× X 2 ) - E( X ××× X)21n1n1n)2= E( X 2 ) ××× E( X 2 ) - E( X )2 ××× E( X1n1n= (m 2 + s 2 ) ××× (m 2 + s 2 ) - m 2 ×××

22、 m 211nn1n經推導計算得S( y )2 ìïüïéS( y ) - S( y ) ùjÕêVar(S ( y) = j1+ i-1i -1íýún)2S( yr S( y )ïî i=1ïþëû0ii但是這個公式計算很不方便，常用下面的 Greenwood 近似公式來計算jsÙVarS()jå2( y ) = S ( y ) iri (ri - si )njni=1（具體推導過程參見 loss m）

23、Greenword 近似公式可以拓展到一般的時刻t 的情形：siVS (t) = S (t)2 ånnr (r - s )i:yi £ti ii例：對于 Data set D1，計算 S30(t)的方差和近似方差。解：(3 / 30)(27 / 30)81ÙVar(S30 (3) =30330由于， r1 = 30, s1 = 1, r2 = 29, s2 = 2 ，因此 Greenwood 近似方差為æ 27 ö2 æ2ö811+÷ =ç 30 ÷ ç3èø

24、32; 30(29)29(27) ø30例：The following is a sample of 10 payments:4 4 5+ 5+ 5+ 8 10+ 10+ 12 15where + indicates that a loss exceeded the policy limit.Determine Greenwoods approximation to the variance of the product-limit estimate S (11).(A) 0.016(B) 0.031(C) 0.048(D) 0.064(E) 0.075Key:BThe uncens

25、ored observations are 4 and 8 (values beyond 11 are notneeded). The two r values are 10 and 5 and the two s values are 2 and 1. The Kaplan-Meier estimate例：估計 Data Set D2 的S40 (3) 和2 q3 的 95%置信區間。jyjsjrj10.8132-0-2=30=0+32-0-222.9235-1-8=26=30+3-1-633.1137-3-8=26=26+2-2-044.0240-4-10=26=26+3-1-254.11

26、?64.81?0 £ t < 0.80.8 £ t < 2.9ì1,ï30 -1ï= 0.9667,ï30ï26 - 2= 0.8923, 2.9 £ t < 3.1ï0.966726ï(t) = ï0.8923 26 -1 = 0.8580, 3.1 £ t < 4.0Sí2640ïï0.8580 26 - 2 = 0.7920, 4.0 £ t < 4.1ï26ï0.7576,4.1

27、 £ t < 4.84.8 £ t < 5.0ïï0.7215,ïïî0.7215or0or0.7215t /5 0 , t ³ 50解：在這個例子中，完整數據的經驗法不適用，因為存在censored 和Truncated data，隨時間的推移不同量并不明確，隨時間不斷變換。由于r1 = 30, r2 = 26, s1 = 1, s2 = 2 ，因此S40 (3) = 0.8923Greenwood 近似方差為不斷進入和，這里的樣本容(0.8923)2 æö = 0.0034671

28、12+ç 30(29)26(24) ÷èø95%的置信區間為0.8923 ±1.96 0.0034671 = 0.8923 ± 0.1154請問這樣的是否有問題?置信區間的上界為 1.0077 大于 1，這個值是沒有意義的。在小樣本情形，直接運用正態近似，極有可能得到這樣的結果。解決這個問題的方法是使用對數轉換的置信區間(log-transformed confidence interval)進行估計。對數轉換的基本原理如下：令Yn = g( Xn ) ，其中 g (.) 是連續可微的函數， Xn 是對 EX n 的一致估計。則在適當

29、的正則性條件下，Yn - EYn = g( Xn ) - Eg( Xn ) = g( Xn ) - g(EXn ) + g(EXn ) - Eg( Xn )= g '( Xn )( Xn - EXn ) + o( Xn - EXn )因此：Var(Y ) »g '(X )2Var(X ) 。nnn我們取Y = ln-ln(Sn (t) ，相應地 g '(。而 Kaplan-MeierVarSn (t)估計 S (t) 是 S (t) 的一致估計。因此，Var(Y ) =。由此估nS (t) ln S (t)2nn計q = ln-ln S (t) 的端點為Var

30、Sn (t)ln-ln S (t) ±1.96nS (t) ln S (t)nn對應的S (t) 的置信區間端點為：(t )±1 96 Var Sn (t )Sn (t ) ln Sn (t ) ln-ln Snexp-e±1 96 Var Sn (t )Sn (t ) ln Sn (t ) = expln S (t) enexp±1 96 Var Sn (t ) = S (t) Sn (t ) ln Sn (t )n這樣得到的區間總在(0,1)之內。U因此置信區間的上界為Sn (t) ,éùÙ 1.96 v其中v = Va

31、r Sn (t) ，U = exp。ê S(t) ln S (t) úëûnn1/U類似的，下界為Sn (t)。例：計算上例的S40 (3) 的置信區間。é 1.96 0.0034671 ù解：U = exp ê 0.8923ln(0.8923) ú = 0.32142 ，因此置信區間的下界為ëû0.89231/0 32142 = 0.70150 ，上界為0.89230 32142 = 0.96404 。下面考慮2 q3 的估計。由前面的例子知> x) = S(x) - S(x + n)q

32、 = P(+ n | Xn xS(x)如果用乘積極限估計，則j -1 r - s= Õ ii qn xri=k i其中 yk £ x < yk +1, yj-1 £ x + n < yj ，類似于乘積極限的 Greenwood 近似的推導，可以得出方差的估計值。æ S (x + n) ö2j -1ÙsåVarn qx = ç n ÷ ir (r - s )Sn (x)èøi=k i ii已知在數據集 D2 中，r3 = 26, r4 = 26, r5 = 23, r6 =

33、21, s3 = 1, s4 = 2, s5 = 1, s6 = 1方差的估計值為æ 0.7215 ö2 æ1ö121+ç 0.8923 ÷ è 26(25)26(24)23(22)21(22) øç÷èøl力函數的 Nelson-Aalen 估計方差jåi=1ÙsVar(H (x) = i r2i近似方差假設在時間ti 上的人數服從參數為ri h(ti ) 的泊松分布，其方差也為ri h(ti ) ，近似的等于ri (si / ri ) = si 。假設

34、各時間點上則人數是的，ÙæöjjjÙÙsVar(s )sååi=1åi=1éùVar H ( y ) = Var= i i i ç÷ëûjr2r 2rè i=1i øii一般的時間t ，我們有：Var H (t) = Var( å si ) =siåy :y £t ry :y £t r 2iii ii i置信區間為ÙH (t) ± zVar ëH (t)û&

35、#233;ùa /2 類似的，其對數變換區間估計為éù ùÙézVar H ( y)H (t)U ,whereU = exp ê±júëûa /2 êúH (t) êúêëúû例：計算 data set D2 的 H(3)的 95%的置信區間12解： H (3) =+= 0.110263026估計的方差為12+= 0.0040697302262置信區間為0.11026 ±1.96 0.004069

36、7 = 0.11026 ± 0.12504即(-0.01478, 0.23530).對數置信區間為é 1.96(0.0040697)1/2 ùU = exp ê±ú = exp(±1.13402) = 0.32174to3.108130.11026ëû因此置信區間的上界為0.11026(0.32174) = 0.03548 ，下界為0.11026(3.10813) = 0.34270例：For a survival study with censored and truncated data, you a

37、re given:Calculate the 95% log-transformed confidence interval for H（3）, based on the Nelson-Aalen estimate.(A) (0.30, 0.89)(B) (0.31, 1.54)Time (t)Number at RiskFailures at Time t642555204(C) (0.39, 0.99)(D) (0.44, 1.07)(E) (0.56, 0.79)Key:D*五、對于大樣本數據的 Kaplan-Meier 近似估計當數據量很大的時候，如果使用 Kaplan-Meier 估

38、計方法，必須進行大量的數據排序和計算工作，但是從結果看，如此繁雜的工作是不必要的。比如在生命表的估計中，我們只需要計算整數的函數值，而不需要知道每個觀測值處的生存函數。因此，可以采用近似的方法進行估計。設c0 < c1 < . < ck ，dj 為cj , cj+1) 中被 left truncated 的觀察值的個數。uj 為(cj , cj+1 中被 right censored 的觀察值的個數，xj 為(cj , cj+1 中 uncensored observations 的個數,注意，這里開區間的處理是不同的，這是因為：如果截斷發生在cj+1 ，或者刪失發生在cj

39、，則對于這個我們對它在區間(cj , cj +1 ) 上的生存狀況一無所知。(The interval endpoints difference because truncation ispossible at the left end of the first interval but not at the right end of the lastinterval. The reverse is true for censoring. Note thateach observationcontributes to exactly oned j ,but only observationst

40、hatareactuallycensored can contribute to some u j .)k -1k -1樣本總量n = ådj = å(uj + xj )j =1j =1近似計算的思想是引入一個假定的值c* Î(c, c ) 并且假設所有未jj -1j刪失都發生在c* 處。（all of the uncensored observations in an intervaljoccur at the same value within that interval, say c* , that all left truncatedjvalues are

41、 less than c* ），這樣，我們就可以用 c* 處的風險集來近似jj*(cj-1, cj ) 上的風險集。則c j 處的風險集r = #d : d < c* - #x : x < c* - #u : u < c*jiijiijiij= #di : di < c j-1 - #xi : xi < c j-1 - #ui : ui < c j -1+ #d : c£ d < c* - #u : c£ u < c*ij-1ijij-1ij（1）= P + #d : c£ d < c* - #u : c

42、63; u < c*ij-1ijij-1ijjP0 = 0j-1Pj = å(Di - Xi - Ui )i=1注意,在cj-1 時刻風險集的大小 Pj 是可以計算的，而其他三項需要基于一定的假設進行調整。一般情況下，我們假設在c, c* ) 上截斷的個j -1j體數占cj-1, cj ) 上截斷數占(cj-1, cj 上刪失數 Dj 的比例是100a % ，在c, c* ) 上刪失的j -1j數Uj 的比例是100b % 。這樣，就有：#d : c£ d < c* = D 100a %ij -1ijj#u : c£ u < c* = U 100

43、b %ij -1ijjrj = Pj + aDj - bUj ,0 < a, b < 1 ，（2）則常用的近似方法有兩種.第一種應用于生命表的估計中。Thefirst method assumes thatalltruncation points occur at the beginning of the interval and all censored observations were censored at the end of the interval. It does not matter where the uncensored observations fall,

44、but it is easiest to assumenone of them are at the end points.首先，令S(c0 ) = 1。注意到在第一個 uncensored observation 的時刻。風險集是d0 ，在整個(c0 , c1 ) 區間上的數據都是完整數據，因此在第二個區間的風險集是 r1 = d0 - x0 - u0 + d1 ，類似的，在第二個(c1, c2 ) 區間上的數據都是完整數據，類推，可得區間的近似公式。依此在壽險的生存模型中，若 cj 表示整數j，則這就是傳統生命表構造中的粗率的估計。第二種方法是假設 truncation and censo

45、ring take place throughout theinterval. Assume that the truncation points (the ds) and the censoring points (the us) occur uniformly through each interval but that the uncensoredobservations (the xs) all occur at the midpoint。類似于第到風險集法，可得于是可以得到經驗生存函數的乘積極限估計和 qj 的估計。注：（1）法不同的是，在第二種方法中需要對 censor與第和 tr

46、uncate 作出假設。 （make different assumptions fordifferent intervals）。（2）對生存時間隨量T 分析時，僅考慮了這一決定未來生存時間的因素，我們把只考慮這一影響因素的生存模型稱為一元生存模型、一元衰減模型或者單減因生存模型，。前面所估計的q 通常記為q' 。jj（3）事實上，在生命表構造中，退保率（也就是 censoring rates）是和率同樣重要的因素。在實際中，往往需要考慮多種影響未來生存或存續時間的因素，比如解約、退休、殘疾及期滿等。我們把考慮多種影響未來存續時間因素的模型稱之為多元生存模型、多元衰減模型或者多減因模型

47、，在多元生存模型中，把未來生存時間稱為存續時間，把由于、解約、退休、殘疾及期滿等因素造成稱為終止或衰減。例假設進入和研究項目的在區間內均勻分布，注意這里免賠和保單限額都發生在區間的端點，因此合理的假設是采用第一種假設，即 all truncation points occur at the beginning of theinterval and all censored observations were censored at the end of the interval.多元終止概率的估計(自行閱讀)在壽險中，我們有時會考慮多因素模型，分別計算各個因素造成的概率。這個概念可以推廣到非壽

48、險模型中，在一次研究項目中，可以同時考慮多個因素同時造成的觀測值數目的衰減，計算多元終止概'(i )率 (multiple-decrement probability)，我們用q j表示單個因素i 引起的終止概率 。例如，在生命表估計中，衰減可以由身故d 、退保w 和退'( w)休r 造成的，則可以用q j表示在身故和退休都沒有發生的前提下，年( w)齡為cj 的在cj+1 前退保的概率，而qj表示在身故和退休可能發生的情況下相應的退保概率。'(i )(i )在生命表模型中，我們已經討論了在不同假設下， qj和qj的相互推算關系。此處我們僅考慮在均勻分布假設下終止概率的

49、估計，這時ln(1-m'(i) ) 表示總終止概率。其中ji=1關于 q( j) 、 q'( j) 和 q(t ) 的大小，有如下關系：xxx) £ q'( j ) £ q(t )xx例運用下面中的數據，以整數年份劃分區間，根據合理假設，估計相應的單個衰減因子和多元衰減相關量。表10 年定期保單觀測數據集編號初始觀測時間最后觀測時事間件編號初始觀測時最后觀測時事間間件100.2s200.5d301.0s401.6s501.6d602.4d703.6s803.8s904.2s1005.0s1105.6s1708.0d1808.5d1908.8s2009

50、.5s2130010.0e310.610.0e321.410.0e332.08.2d343.66.2d354.27.8s365.89.6s解：注意對端點的處理。在 0 處截斷的數據實際上是沒有截斷的，因此D0 = 30 ，而 D1 = 1 。 根據時間均勻分布的假設， 就可以得到r1 = P1 + 0.5(D1 -U1 ) = 29.5 。其他區間計算利用式(1)、(5)和(6)計算。結果如表 8-9 所示。表 8-1 例 8-26Kaplan-Meier 近似計算法估計生存函數編號初始觀測時間最后觀測時事間件編號初始觀測時最后觀測時事間間件1205.8d1306.8s1406.9d1506.

51、9s1607.2s376.08.0d386.410.0e397.810.0e407.910.0eS(c )q '(d ) (= XcDUXPr/ r )jjjjjjjjjj01234567893011111122002102212210111001222- 302827272625242220- 29.528.027.526.525.525.024.022.019.50.00000.03390.03570.03640.00000.00000.04000.08330.09090.10261.00000.96610.93160.89770.89770.89770.86180.79000.71820.6445S(c )q '(d ) (= XcDUXPr/ r )jjjjjjjjjj100170178.50.00000.6445對于退保的情形，可以依據公式(6)進行計算，如下表所示.表多元衰減估計(t )qjq j(= U / r )'( w)jjcjUjX jrj'( d )q j( d )q j( w)q j012340210201110- 29.52