1、 目錄摘要3ABSTRACT4前言5微分方程穩定性分析原理6捕魚業的持續收獲模型10種群的相互競爭模型14參考文獻18摘要微分方程穩定性理論是微分方程的一個重要的理論。微分方程理論就是通過一些定量的計算來研究系統的穩定性，也就是系統在受到干擾項偏離平衡狀態后能否恢復到平衡狀態或者是平衡狀態附近的位置。用微分方程描述的物質運動的特點依賴于初值，而初值的計算或者測定不可避免的又會出現誤差和干擾。如果描述這個系統運動的微分方程的特解是不穩定的，則初值的微小誤差和干擾都會導致嚴重的后果。因此，不穩定的特解不適合作為我們研究問題的依據，只有穩定的特解才是我們需要的。本文就一階微分方程和二階微分方程的平衡

2、點及穩定性進行了分析，并且建立了捕魚業持續收獲模型和兩種群相互競爭模型。【關鍵詞】 微分方程；平衡點；穩定性；數學建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of

3、deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitab

4、le will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences. Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis

5、of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models.

6、【key words】 Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling前言在現實世界里，無論是在自然科學或者是社會科學的各領域中，存在著許許多多的變化規律可以用某些特定的數學模型來進行描述。例如我們通過對該數學模型進行定性分析或者是數值模擬，用得到的結果對描述的變化規律給出相應的數學解釋，進而為人們跟進一步地理解和認識相對應的現象，或者對某些過程進行控制。但在實際問題中，有時候我們建立數學模型的目的并不是單純的為了得到事物變化的某一瞬間的形態，而是為了得到在一段相當長的時間后該變化的趨勢。就像在某種條件下描述的

7、過程變量會無限地接近某個確定的數值，在某種情況下描述的過程變量會漸漸地偏離該數值出現過程的不穩定。為了分析該種情況下的穩定和不穩定規律，我們可以直接利用微分方程的穩定性理論來研究平衡狀態。一微分方程穩定性分析原理1.一階方程的平衡點及穩定性設有微分方程 （1.1）如果方程等號右端不是顯然含有自變量t，我們就稱之為自治方程。代數方程 的實根 稱為方程式（1.1）的平衡點（奇點）。它也是方程（1.1）的解。 如果存在某個領域，使方程式（1.1）的解 從這個領域的某個點 出發，滿足 (1.2)則稱平衡點是穩定的（漸進穩定）；否則，稱是不穩定的（非漸進穩定）。判斷平衡點是否穩定通常使用的方法有兩種。利

8、用定義式（1.2）的方法稱為間接法。不求方程式（1.1）的因而不方程式（1.2）的方法稱為直接法。下面介紹直接法。將在點處作泰勒展開，只取一次項，方程式（1.1）可近似為 (1.3)方程式（3）稱為方程式（1）的近似線性方程， 也是方程式（3）的平衡點。關于點穩定有如下結論： （1）.若<0 ，則 對于方程式（1.3）和（1.1）都是穩定的；（2）.若>0 ，則 對于方程式（1.3）和（1.1）都是不穩定的。對于方程式（1.3）的穩定性很容易通過定義式（1.2）證明。記= ，則方程式（3）的一般解為 其中，c是有初始條件確定的常數。顯然，當<0時，方程式（1.3）成立。2二階

9、方程的平衡點和穩定性二階方程可用兩個一階方程表示為 （1.4）等號右端不顯然含t，是自治方程。代數方程組的實根，稱為方程式（1.4）的平衡點。記作。如果存在謀和領域，使方程式（1.3）的解， 從這個領域的某個 出發，滿足 （1.5）則稱平衡點是穩定的（漸進穩定）；不然，稱是不穩定的（不漸進穩定）。 為了用直接法討論方程式（1.4）的平衡點的穩定性，先看線性系數方程 （1.6）系數矩陣記作 為研究方程式（1.6）的唯一平衡點 的穩定性，假定A的行列式 （1.7）的穩定性由式（1.6）的特征方程 （1.8）的根 （特征根）決定。方程式（1.8）可以寫成更加清晰的形式 將特征根記作，則因此方程式（1

10、.6）的一般解的形式為或其中，為任意常數。根據穩定性的定義式（1.5）可知，當為負數或有負實部時，是穩定平衡點；當有一個為正數或有正實部時，是不穩定平衡點。在式（1.7）的條件下，不可能為零。微分方程穩定性理論講平衡點分為結點，焦點，鞍點，中心等類型，完全由特征根或者是相對應的取值決定。表一簡單明了地給出了這些結果，表中最后一列值是按照定義式（1.5）得到的關于穩定性的結論。由表一可以看出，根據特征方程系數的正負可以判斷平衡點的穩定性，準則如下：（1） 若p>0,q>0,則平衡點穩定；（2） 若p<0或q<0，則平衡點不穩定。表一·穩定性條件判定平衡點類型穩定

11、性<<0>0,>0,>穩定結點穩定>>0<0,>0,>不穩定結點不穩定<0<<0鞍點不穩定=<0>0,>0,=穩定退化結點穩定=>0<0,>0,=不穩定退化結點不穩定=,<0>0,<0,<穩定焦點穩定=,>0<0,>0,<不穩定焦點不穩定=,=0=0,>o中心不穩定以上是對線性方程式（1.6）的平衡點穩定性的結論，對于一般的非線性方程式（1.4），可以用近似線性方法判斷其平衡點的穩定性。在點處將和做泰勒展開，只取一次項，得到非線

12、性方程式（1.4）的近似線性方程。 （1.9） 記系數矩陣為特征方程系數為 顯然，點對于近似方程（1.9）的穩定性由表一或者準則（1.1），（1.2）決定，而且得出以下結論，若近似線性方程式（1.9）的特征根不為零或者實部不為零，那么點對于方程式（1.4）的穩定性與對于近似線性方程式（1.9）的穩定性相同，即由準則（1），（2）決定。最后，提出幾點注意事項：（1）平衡點及其穩定性的概念只對自治方程和方程式（1.4）才有意義。（2）非線性方程式（1.4）及式（1.7）的平衡點穩定性分別與相對應的近似線性方程式（1.6）和近似線性方程式（1.9）的平衡點穩定性相同,且是在 非臨界情況下（或者，）才

13、相同。在臨界情況下（或 者，）二者的平衡點穩定性可能不相同。（3）在討論平衡點穩定性時，對初始點式的要求是存在一個領域，這是局部穩定的定義。如果要求對任意的初始點，方程式（1.5）和方程式（1.8）成立，稱為全局穩定。對于線性方程，局部穩定和全局穩定是等價的，對于非線性方程，二者不同。（4）對于臨界情況和非線性方程的全局穩定，可以用相軌線分析方法討論。二捕魚業的持續收獲模型漁業資源是一種可再生資源，再生資源我們也要注意開發利用。我們既不能為了一時高產而竭澤而漁，那樣肯定后破壞漁業資源的再生產；反過來，如果我們過分限制了漁業資源的捕撈，又會造成漁業資源的浪費。在一個漁場中，其中的魚按照自然規律生

14、長。如果捕撈量等于增長量，那么漁場的總量將保持在某一數值上。最佳捕撈量的確定就是本章節研究的內容。模型假設：1.設在t時刻下漁場的魚量為；2.在無捕撈的條件下魚量的增長服從Logistic規律。即其中，為固有增長率；為環境的最大容納魚量；為單位時間增長量；3.單位時間的捕撈量與漁場魚量成正相關，比例系數稱為捕撈強度： 模型建立（產量模型）：根據以上假設，我們可以得出捕撈情況下漁場魚量的一個微分方程，記為： （2.01）我們關心的是k在取何值的時候才能保證在漁業穩定的情況下獲得最大持續產量。為此我們可以直接求出方程式（2.01）的平衡點并分析其穩定性。模型求解：令，得到兩個平衡點： ，。 （2.

15、02）可以算出，則 ，所以1.若，有<0，>0；則點穩定，點不穩定。2.若，有>0，<0；則點不穩定，點穩定。3.若，為最大增長率。上述分析表明只要捕撈適度，即捕撈強度小于自然增長率（）就可以使魚量保持在點處，并獲得持續產量；當捕撈過度，即捕撈強度大于自然增長率（）就會導致魚量減至=0，當然就談不上持續產量了。在近一步討論當魚量穩定在了點時，如何控制捕撈強度使得持續產量取得最大的問題。建立直角坐標系作出和的圖形，如圖（1）所示。圖表（1）注意到在原點處的切線為，在下必然與有交點，的橫坐標就是穩定平衡點。在兩條直線之間，當與在拋物線頂點相交時，可以獲得最大持續產量，此時穩

16、定平衡點為 （2.03）且單位時間的最大持續產量為 （2.04）此時可以算出保持漁場魚量穩定的最大捕撈強度為綜上所述，產量模型的結論是將最大捕撈強度控制在自然生長率的一半，或者說是使漁場魚量保持在最大魚量的一半時，可以獲得持續的最大產量。建立模型（效益模型）：問題提出：從經濟角度看，保持產量最大，效益不一定就最好，為此我們在保證漁場魚量穩定的情況下還得考慮怎樣的捕撈強度才能使得經濟效益的最大化。模型假設：4.假設經濟效益是捕撈所獲得的收入來扣除捕撈開支后的利潤來進行計量；5.假設魚的單價為，單位捕撈強度為，單位時間的利潤為。模型建立（效益模型）： （2.05）模型求解：在穩定條件（）下，將方程

17、式（2.02）代入方程式（2.05）中得到 （2.06）為了求出最大利潤，我們對方程式（2.06）求導 當時可以得到滿足利潤達到最大時的捕撈強度為： （2.07）將代入可得最大利潤下漁場穩定魚量以及單位時間持續產量為： （2.08） （2.09）通過產量模型與效益模型的結果比較可以看出，在最大效益前提下捕撈強度和持續產量都有所減少，漁場魚量有所增多。并且當捕撈成本（）增加時，捕魚強度和單位時間持續產量將減小，漁場穩定魚量將增多；當銷售價格（）增加時捕撈強度和單位時間持續產量將增大，漁場穩定魚量將減少，這顯然是符合實際情況的。建立模型（捕撈過度）：在上述模型中均是以封閉式捕撈為前提，即漁場是由單

18、獨的經營者經營并進行有計劃的捕撈。如果是開放式捕撈，那么眾多的經營者必然會為了最求自己經濟效益的最大化而進行盲目的捕撈，從而造成捕撈過度，那么上述模型將不適用。下面討論這個模型。方程式(2.06)給出了利潤與捕撈強度的關系，令的解為，可以解得： （2.10）當時利潤，眾多的經營者必然會加大捕撈強度；當時利潤，他們肯定會減小捕撈強度。所以是開放式捕撈下的臨界強度。我們將方程式（2.10）代入式（2.02）中可以得出在開放式捕撈下漁場的穩定魚量為：我們可以看出在開放式捕撈下漁場的穩定魚量完全有成本價格的比例所決定了，隨著價格的上漲和成本的降低，將迅速減小，出現捕撈過度。通過將方程式（2.10）和方

19、程式（2.07）進行比較，可得，即在開放式捕撈下的捕撈強度是最大效益下捕撈強度的2倍。模型評價與應用：為了研究漁業的產量，經濟效益和捕撈過度的問題，首先在自然增長和捕撈情況的合乎常理的假設下，建立了方程式（2.01），并且運用平衡點穩定性對保持漁場魚量穩定的條件進行了分析。產量模型，效益模型和過度捕撈模型都是在穩定的前提下一步步進行，一步步深入，推導過程簡單，但結果在定性關系上卻是與實際情況相符合的。如果改變了自然增長和捕撈情況的假設，那么模型和結果將改變。三兩種群的相互競爭模型在自然界中一直以來就有著這么一句話“適者生存，不適者淘汰”。在同一個自然環境中有多個種群共同存在，它們相互依存或相互

20、競爭亦或是相互捕食。近年來，隨著環境問題的日益頻發和自然生態平衡的打破，生態學越來越為人們所重視，數學生態學也應運而生。數學中的抽象概念和推理方法對未來生態學起到了顯著地作用。在研究實際問題中，我們關心的或許并不是系統與時間變化的過程，而是系統最終的發展狀態（穩定）。問題提出：在同一個自然環境中有兩個種群生存，它們之間是相互競爭關系，即它們會為了生存而去爭奪它們共同的食物和生存空間。在這種情況下，隨著時間的推移必然后有一種生物滅亡，另一種生物達到該自然環境下的最大容納量。本章將從穩定狀態角度建立一個模型來分析這種局面的產生條件。模型假設：1.假設存在A，B兩個種群，它們在時刻下的數量分別為，；

21、，為關于的連續函數；2.當它們分別在同一自然環境下生存時，數量的增長服從Logistic規律，即： 其中，分別為A,B兩個種群在該自然環境下的固有增長率和最大容納量；表示的是該物種自身對環境資源的消耗對它本身增長的阻滯作用。可以看成是在假設環境資源總量為1下，相對于最大容納量而言單位數量的該物種所消耗的環境資源。模型建立：當這兩個種群在該自然環境下共同生存時，A消耗的生物資源必然會對B的增長產生一定的影響，故而我們可以合理的在中減少一項，該項與A的數量成正比，我們可以得到種群B的增長方程為： （3.01）表示的是相對于單位數量的種群A消耗的生物資源量是相對于單位數量的種群B消耗的生物資源量的倍

22、。同樣的B的存在于影響了A的增長，種群B的增長方程為： （3.02）表示的是相對于單位數量的種群B消耗的生物資源量是相對于單位數量的種群A消耗的生物資源量的倍。我們可以看出：如果>1，那么在消耗供養種群A的生物資源中，種群B消耗的多于種群A消耗的，故而種群B對種群A的阻滯作用大于種群A本身對于自己的阻滯作用，即種群B的競爭力強于種群A；如果>1，那么在消耗供養種群B的生物資源中，種群A消耗的多于種群B消耗的，故而種群A對于種群B的阻滯作用大于種群B本身對于自己的阻滯作用，即種群A的競爭力強于種群B。由于，b之間沒有確切的數量關系，故我們認為兩個種群在消耗資源中對物種A的阻滯作用和對物種B的阻滯作用是相同的。因為單位數量的種群A和B消耗的供養種群A的生物資源的比為1:，消耗供養種群B的生物資源的比為:1，阻滯作用相同即1:=:1，我們可以定量表示為 =1我們假設=100，=100，=2，=0.5，=3，=2，=10，=10，運用MATLAB編程如下：function dx=shier(t,x,r1,r2,N1,N2,a,b) N1=100,N2=100,a=2,b=