1、成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時3 59 15 問題問題11：在小學，我們已經學過求最大公約數：在小學，

2、我們已經學過求最大公約數的知識，你能求出的知識，你能求出1818與與3030的最大公約數嗎？的最大公約數嗎？創設情景，揭示課題創設情景，揭示課題18 30231818和和3030的最大公約的最大公約數是數是2 23=6.3=6.先用兩個數公有的先用兩個數公有的質因數質因數連續去除連續去除,一直除到所得一直除到所得的商是互質數為止的商是互質數為止,然后然后把所有的除數連乘起來把所有的除數連乘起來.例：求下面兩個正整數的最大公約數：例：求下面兩個正整數的最大公約數：（1）求）求25和和35的最大公約數的最大公約數（2）求）求49和和63的最大公約數的最大公約數25（1） 5535749（2） 77

3、639所以，所以，25和和35的最大公約數為的最大公約數為5所以，所以，49和和63的最大公約數為的最大公約數為7思考：除了用這種方法外還有沒有其它方法？思考：除了用這種方法外還有沒有其它方法？ 問題問題2:2:我們都是利用找公約數的方法來求最大我們都是利用找公約數的方法來求最大公約數，如果公約數比較大而且根據我們的觀察公約數，如果公約數比較大而且根據我們的觀察又不能得到一些公約數，我們又應該怎樣求它們又不能得到一些公約數，我們又應該怎樣求它們的最大公約數？比如求的最大公約數？比如求82518251與與61056105的最大公約數的最大公約數? ? 研探新知研探新知1.1.輾轉相除法輾轉相除法

4、: :例例1 1 求兩個正數求兩個正數82518251和和61056105的最大公約數。的最大公約數。分析：分析：82518251與與61056105兩數都比較大，而且沒兩數都比較大，而且沒有明顯的公約數，如能把它們都變小一點，根有明顯的公約數，如能把它們都變小一點，根據已有的知識即可求出最大公約數據已有的知識即可求出最大公約數. .解：解：82518251610561051 121462146顯然顯然82518251與與61056105的最大公約數也必是的最大公約數也必是21462146的約數，同樣的約數，同樣61056105與與21462146的公約數也必是的公約數也必是82518251的

5、約數，所以的約數，所以82518251與與61056105的最大公約數也是的最大公約數也是61056105與與21462146的最大公約數。的最大公約數。研探新知研探新知1.1.輾轉相除法輾轉相除法: :例例1 1 求兩個正數求兩個正數82518251和和61056105的最大公約數。的最大公約數。解：解：82518251610561051 12146;2146;6105214621813;214618131333333148237;1483740.則則3737為為82518251與與61056105的最大公約數。的最大公約數。以上我們求最大公約數的方法就是輾轉相以上

6、我們求最大公約數的方法就是輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前公元前300300年左右首先提出的。年左右首先提出的。 完整的過程完整的過程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例：例： 用輾轉相除法求用輾轉相除法求225和和135的最大公約數的最大公約數225=1351+90135=901+4590=452顯然顯然37是是148和和37的最大公約數，的最大公約數，也就是也就是8251和和6105的最大公約的最大公約數數

7、顯然顯然45是是90和和45的最大公約數，也就是的最大公約數，也就是225和和135的最大公約數的最大公約數 思考思考1：從上面的兩個例子中可以看出計：從上面的兩個例子中可以看出計算的規律是什么？算的規律是什么？ S1：用大數除以小數：用大數除以小數S2：除數變成被除數，余數變成除數：除數變成被除數，余數變成除數S3：重復：重復S1，直到余數為，直到余數為0 以上我們求最大公約數的以上我們求最大公約數的方法就是輾轉相除法也叫歐方法就是輾轉相除法也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前在公元前300年左右首先提出年左右首先提出的利用輾轉相除法求最大公的利用輾轉相除法求最

8、大公約數的。約數的。練習練習1 1：利用輾轉相除法求兩數：利用輾轉相除法求兩數40814081與與2072320723的最大公約數的最大公約數. . (53)(53)20723=40815+318;4081=31812+265;318=2651+53;265=535+0.利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下： 第一步：用較大的數第一步：用較大的數m m除以較小的數除以較小的數n n得到得到一個商一個商q q0 0和一個余數和一個余數r r0 0；(m=n(m=nq q0 0+r+r0 0) ) 第二步：若第二步：若r r0 00 0，則，則n n為為m m

9、，n n的最大公約的最大公約數；若數；若r r0 000，則用除數，則用除數n n除以余數除以余數r r0 0得到一個得到一個商商q q1 1和一個余數和一個余數r r1 1；(n=r(n=r0 0q q1 1+r+r1 1) ) 第三步：若第三步：若r r1 10 0，則，則r r0 0為為m m，n n的最大公約的最大公約數；若數；若r r1 100，則用除數，則用除數r r0 0除以余數除以余數r r1 1得到一個得到一個商商q q2 2和一個余數和一個余數r r2 2；(r(r0 0=r=r1 1q q2 2+r+r2 2) ) 依次計算直至依次計算直至r rn n0 0，此時所得到的

10、，此時所得到的r rn-1n-1 即為所求的最大公約數。即為所求的最大公約數。思考：你能把輾轉相除法編成一個計算機程序嗎？(1)(1)、算法步驟：、算法步驟：第一步：輸入兩個正整數第一步：輸入兩個正整數m,n(mn).第二步：計算第二步：計算m除以除以n所得的余數所得的余數r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,則則m,n的最大公約數等于的最大公約數等于m； 否則轉到第二步否則轉到第二步. 第五步：輸出最大公約數第五步：輸出最大公約數m.(2)(2)、程序框圖：、程序框圖：開始開始輸入輸入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 輸出輸出m結束結束(3)

11、(3)、程序：、程序：INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND否否4. 4. 輾轉相除法的程序框圖及程序輾轉相除法的程序框圖及程序: :開始開始 輸入兩個正數輸入兩個正數m,nmn?r=m MOD nr0?輸出輸出n結束結束m=xm=nn=r否否是是是是INPUT m,nIF mn THEN x=n n=m m=xEND IFr=m MOD nWHILE r0 m=nn=rr=m MOD n WENDPRINT nENDx=nn=m2.2.更相減損術更相減損術: :我國早期也有解決求最大公約數問題的算我國早期也有解

12、決求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。法，就是更相減損術。更相減損術求最大公約數的步驟如下：可更相減損術求最大公約數的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。減多，更相減損，求其等也，以等數約之。翻譯出來為：第一步：任意給出兩個正數；翻譯出來為：第一步：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用判斷它們是否都是偶數。若是，用2 2約簡；若不是，約簡；若不是，執行第二步。執行第二步。第二步：以較大的數減去較小的數，接著把第二步：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。

13、繼較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。（等數）就是所求的最大公約數。更相減損術更相減損術算法步驟算法步驟:第四步：第四步：輸出最大公約數輸出最大公約數b.第三步：第三步：如果如果br, 那么把那么把b賦給賦給a,把把r賦給賦給b;否則把否則把r賦給賦給a，執行第二步；，執行第二步；第二步：第二步：把把a-b的差賦予的差賦予r;第一步：第一步：輸入兩個正整數輸入兩個正整數a,b(ab,a,b都不是偶數都不是偶數);例例2 2 用更相減損術求用更相減損術求9898與與6363的最

14、大公約數的最大公約數. .解：由于解：由于6363不是偶數，把不是偶數，把9898和和6363以大數以大數減小數，并輾轉相減，減小數，并輾轉相減， 即：即：986335; 633528; 35287; 28721; 21714; 1477.所以，所以，9898與與6363的最大公約數是的最大公約數是7 7。練習練習2 2：用更相減損術求兩個正數：用更相減損術求兩個正數8484與與7272的最大的最大公約數。公約數。 (12)(12)3.3.輾轉相除法與更相減損術的比較輾轉相除法與更相減損術的比較: : （1 1）都是求最大公約數的方法，計算上）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主

15、，更相減損術以減法為輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主主; ;計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。別較明顯。（2 2）從結果體現形式來看，輾轉相除法）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為體現結果是以相除余數為0 0則得到，而更相減損則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到術則以減數與差相等而得到. .（2）輾轉相除法輾轉相除法算法步驟算法步驟第一步：輸入兩個正整數第一步：輸入兩個正整數a,b(ab);第二步：把第二步：把a/b的余數賦給的余

16、數賦給r;第三步：如果第三步：如果r 0, 那么把那么把b賦給賦給a,把把r賦給賦給b,轉到第二步轉到第二步;否則轉到第四步；否則轉到第四步；第四步：輸出最大公約數第四步：輸出最大公約數b.案例案例2 秦九韶算法秦九韶算法一、三維目標一、三維目標（a a）知識與技能）知識與技能了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數提高計算效率的實質。算法可以減少計算次數提高計算效率的實質。（b b）過程與方法）過程與方法模仿秦九韶計算方法，體會古人計算構思的巧妙模仿秦九韶計算方法，體會古人計算構思的巧妙. .（c c）情感態度與價值觀）情感態度

17、與價值觀通過對秦九韶算法的學習，了解中國古代數學家通過對秦九韶算法的學習，了解中國古代數學家對數學的貢獻，充分認識到我國文化歷史的悠久。對數學的貢獻，充分認識到我國文化歷史的悠久。二、教學重難點二、教學重難點重點：重點：1.1.秦九韶算法的特點秦九韶算法的特點; ;難點難點: 2.: 2.秦九韶算法的先進性理解秦九韶算法的先進性理解 . .秦九韶（約秦九韶（約1202-1261），字道），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，縣

18、），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數學四大家。楊輝，朱世杰并稱宋元數學四大家。早年在杭州早年在杭州“訪習于太史，又嘗從訪習于太史，又嘗從隱君子受數學隱君子受數學”，1247年寫成著年寫成著名的名的數書九章數書九章。數書九章數書九章全書凡全書凡18卷，卷，81題，分為九大類。題，分為九大類。其最重要的數學成就其最重要的數學成就-“大衍總數大衍總數術術”（一次同余組解法）與（一次同余組解法）與“正負正負開方術開方術(高次方程數值解法），使高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。上占有突出的地位。教學設計教學設計問題問題1設計

19、求多項式設計求多項式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當當x=5時的值的算法時的值的算法,并寫出程序并寫出程序.x=5f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7PRINT fEND程序程序點評點評:上述算法一共做了上述算法一共做了15次乘法運算次乘法運算,5次次加法運算加法運算.優點是簡單優點是簡單,易懂易懂;缺點是不通用缺點是不通用,不能不能解決任意多項多求值問題解決任意多項多求值問題,而且計算效率不高而且計算效率不高. 這析計算上述多項式的值這析計算上述多項式的值,一共需要一共需要9次乘次乘法運算法運算,5次加法運算次加法運算.問題問題2有沒有更高效的算法有沒有更高效的算

20、法?分析分析:計算計算x的冪時的冪時,可以利用前面的計算結可以利用前面的計算結果果,以減少計算量以減少計算量,即先計算即先計算x2,然后依次計算然后依次計算222,(),()xx xxxxxxx的值的值.第二種做法與第一種做法相比第二種做法與第一種做法相比,乘法的運乘法的運算次數減少了算次數減少了,因而能提高運算效率因而能提高運算效率.而且對于而且對于計算機來說計算機來說,做一次乘法所需的運算時間比做一做一次乘法所需的運算時間比做一次加法要長得多次加法要長得多,因此第二種做法能更快地得到因此第二種做法能更快地得到結果結果.問題問題3能否探索更好的算法能否探索更好的算法,來解決任意多來解決任意多

21、項式的求值問題項式的求值問題?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以,當當x=5時時,多項式的值是多項式的值是2677.這種求多項式值的方法就叫這種求多項式值的方法就叫秦九韶算法秦九韶算法.例例1:用秦九韶算法求多項式

22、用秦九韶算法求多項式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當當x=5時的值時的值.解法一解法一:首先將原多項式改寫成如下形式首先將原多項式改寫成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以,當當x=5時時,多多項式的值是項式的值是2677.然后由內向外逐層計算一次多項式的值然后由內向外逐層計算一次多項式的值,即即若將若將x的值代入變形后的式子中，那么求的值代入變形后

23、的式子中，那么求值的計算過程是怎樣的值的計算過程是怎樣的? 計算的過程可以列表表示為：計算的過程可以列表表示為：多項式多項式x系數系數25436710251055402670變形后變形后x的的系數系數25211085342677f(x) =(2x5)x4)x+3)x6)x+7, x=52 -5 -4 3 -6 7x=5105252110510854053426702677所以所以,當當x=5時時,多項式的值是多項式的值是2677.原多項式原多項式的系數的系數多項式多項式的值的值.例例1:用秦九韶算法求多項式用秦九韶算法求多項式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當當x=5時的值

24、時的值.解法二解法二:列表列表22 -5 0 -4 3 -6 0 x=5105252512512160560830403034所以所以,當當x=5時時,多項式的值是多項式的值是15170.練一練練一練:用秦九韶算法求多項式用秦九韶算法求多項式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x當當x=5時的值時的值.解解:原多項式先化為原多項式先化為: f(x)=2x6-5x5 +0 x4-4x3+3x2-6x+0列表列表21517015170 注意注意:n次多項式有次多項式有n+1項項,因此缺少哪一項因此缺少哪一項應將其系數補應將其系數補0.f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2

25、+a1x+a0.我們可以改寫成如下形式我們可以改寫成如下形式:f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.求多項式的值時求多項式的值時,首先計算最內層括號內一首先計算最內層括號內一次多項式的值次多項式的值,即即 v1=anx+an-1,然后由內向外逐層計算一次多項式的值然后由內向外逐層計算一次多項式的值,即即一般地一般地,對于一個對于一個n次多項式次多項式v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.這樣這樣,求求n次多項式次多項式f(x)的值就轉化為求的值就轉化為求n個個一次多項式的值一次多項式的值.這種算法稱為這種算法稱為秦九韶算法秦九韶

26、算法.點評點評:秦九韶算法是求一元多項式的秦九韶算法是求一元多項式的值的一種方法值的一種方法.它的特點是它的特點是:把求一個把求一個n次多項式的值次多項式的值轉化為求轉化為求n個一次多項式的值個一次多項式的值,通過這種轉通過這種轉化化,把運算的次數由至多把運算的次數由至多n(n+1)/2次乘法次乘法運算和運算和n次加法運算次加法運算,減少為減少為n次乘法運算次乘法運算和和n次加法運算次加法運算,大大提高了運算效率大大提高了運算效率.v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.觀察上述秦九韶算法中的觀察上述秦九韶算法中的n個一次式個一次式,

27、可見可見vk的計算要用到的計算要用到vk-1的值的值. 若令若令v0=an,得得v0=an,vK=vK-1x+an-k(k=1,2,n這是一個在秦九韶算法中反復執行的步這是一個在秦九韶算法中反復執行的步驟驟,因此可用循環結構來實現因此可用循環結構來實現.問題問題畫出程序框圖畫出程序框圖,表示用秦九韶算法求表示用秦九韶算法求5次多次多項式項式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0當當x=x0 (x0是任意實數是任意實數)時的值的過程時的值的過程,然后寫出程序然后寫出程序.否否程序框圖程序框圖開始開始輸入輸入a0,a1,a2,a3,a4,a5輸入輸入x0n5?n=1v=a5

28、v=vx0+a5-nn=n+1輸出輸出v結束結束是是INPUT a0,a1,a2,a3,a4,a5INPUT x0n=1v=a5WHILE n=5 v=vx0+a5-n n=n+1WENDPRINT vEND程序程序成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第

29、第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人

30、教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時

31、成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第一章 1.3 第第1課時課時成才之路成才之路 高中新課程高中新課程 學習指導學習指導 人教人教A版版 數學數學 必修必修3 第一章第