1、平移與旋轉壓軸題 1正方形ABCD中，點E、F分別是邊AD、AB的中點，連接EF.（1）如圖1，若點G是邊BC的中點，連接FG，則EF與FG關系為： ；（2）如圖2，若點P為BC延長線上一動點，連接FP，將線段FP以點F為旋轉中心,逆時針旋轉900，得到線段FQ，連接EQ，請猜想EF、EQ、BP三者之間的數量關系，并證明你的結論；（3）若點P為CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，在圖3中補全圖形，并直接寫出EF、EQ、BP三者之間的數量關系： .2在RtABC中，ACB=90，A=30，點D是AB的中點，DEBC，垂足為點E，連接CD（1）如圖1，DE與BC的數量關系是 ；（2）如圖2，若

2、P是線段CB上一動點（點P不與點B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉60，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數量關系，并證明你的結論；（3）若點P是線段CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數量關系3如圖1，在ABC中，A=36，AB=AC，ABC的平分線BE交AC于E（1）求證：AE=BC；（2）如圖（2），過點E作EFBC交AB于F，將AEF繞點A逆時針旋轉角（0144）得到AEF，連結CE，BF，求證：CE=BF；（3）在（2）的旋轉過程中是否存在CEAB？若存在，求出相應的旋轉角；若不存在，請

3、說明理由4在數學活動課中，小輝將邊長為和3的兩個正方形放置在直線l上，如圖1，他連結AD、CF，經測量發現AD=CF（1）他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉一定的角度，如圖2，試判斷AD與CF還相等嗎？說明你的理由；（2）他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉，使點E旋轉至直線l上，如圖3，請你求出CF的長5某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現將RtAEF繞A點按逆時針方向旋轉角（090），如圖（2），AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P（1）求證：AM=AN；（2）當旋轉角=30時，四邊形A

4、BPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由 6如圖，在RtABC中，C=90，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P），當AP旋轉至APAB時，點B、P、P恰好在同一直線上，此時作PEAC于點E（1）求證：CBP=ABP；（2）求證：AE=CP；（3）（相似）當，BP=時，求線段AB的長7（三角函數）如圖1，在平面直角坐標系中，已知AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到ABD（1）求直線AB的解析式；（2）當點P運動到點（，0）時，求此時DP的長及點D的坐

5、標；（3）是否存在點P，使OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由8操作發現，將一副直角三角板如圖擺放，能夠發現等腰直角三角板ABC的斜邊與含30角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合問題解決將圖中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30，點C落在BF上，AC與BD交于點O，連接CD，如圖（1）求證：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的長9如圖1，ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BDCF成立。（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉（090）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不

6、成立，請說明理由。（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45時，如圖3，延長BD交CF于點G。求證：BDCF。（3）在（2）小題的條件下, AC與BG的交點為M， 當AB=4，AD=時，求線段CM的長。10、已知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N當MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），易證BM+DN=MN（1）當MAN繞點A旋轉到BMDN時（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明MBCN圖3AD（2）當MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系？并

7、說明理由BCNM圖2ADBCNM圖1AD11、有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉90后得到矩形AMEF（如圖甲），連結BD、MF，若此時他測得BD=8cm，ADB=30試探究線段BD與線段MF的關系，并簡要說明理由；小紅同學用剪刀將BCD與MEF剪去，與小亮同學繼續探究他們將ABD繞點A順時針旋轉得AB1D1，AD1交FM于點K（如圖乙），設旋轉角為(0 90), 當AFK為等腰三角形時，請直接寫出旋轉角的度數；圖乙圖甲12、有兩塊形狀完全相同的不規則的四邊形木板，如圖所示，木工師傅通過測量可知，。思考一段時間后，一位木工師傅說：“我可以把兩塊木板拼成一個正方形。”另

8、一位木工師傅說：“我可以把一塊木板拼成一個正方形，兩塊木板拼成兩個正方形。”兩位木工師傅把木板只分割了一次，你知道他們分別是怎樣做的嗎？畫出圖形，并說明理由。13如圖14-1，的邊在直線上，且；的邊也在直線上，邊與邊重合，且（1）在圖14-1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出與所滿足的數量關系和位置關系；（2）將沿直線向左平移到圖14-2的位置時，交于點，連結，猜想并寫出與所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想；（3）將沿直線向左平移到圖14-3的位置時，的延長線交的延長線于點，連結，你認為（2）中所猜想的與的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由A（E）BC（

9、F）PlllAABBQPEFFCQ圖14-1圖14-2圖14-3EPC14如圖23-127所示，在平面內直線l上擺放著兩塊大小相同的直角三角板，它們中 較小直角邊的長為6 cm，較小銳角的度數為30. (1)將ECD沿著直線AC翻折到如圖23128(1)所示的位置，ED與AB相交 于點F，求證AF=FD； (2)將ECD沿直線l向左平移到如圖23128(2)所示的位置，使E點落在AB 上，記為E，求出平移的距離； (3)將ECD繞點C逆時針方向旋轉到如圖23128(3)所示的位置，使得點E落 在AB上，記為點E，求出旋轉角的度數平移與旋轉壓軸題答案1、解：（1）垂直且相等。（2）EF、EQ、B

10、P三者之間的數量關系為：。證明如下：如圖，取BC的中點G，連接FG，由（1）得EF=FG，EFFG，根據旋轉的性質，FP=FQ，PFQ =90。GFP=GFEEFP=90EFP，EFQ=PFQEFP=90EFP。GFP=EFQ。在FQE和FPG中，EF=GF，EFQ=GFP，FQ = FP，FQEFPG（SAS）。EQ=GP。（3）補圖如下，F、EQ、BP三者之間的數量關系為：。2、解：（1）DE=BC。（2）根據旋轉的性質得到PDF=60，DP=DF，易得CDP=BDF，根據“SAS”可判斷DCPDBF，則CP=BF，利用CP=BCBP，DE=BC可得到BF+BP=DE；（3）補全圖形如圖，

11、DE、BF、BP三者之間的數量關系為BFBP=DE。3、解：（1）證明：AB=BC，A=36，ABC=C=72。又BE平分ABC，ABE=CBE=36。BEC=180CCBE=72。ABE=A，BEC=C。AE=BE，BE=BC。AE=BC。（2）證明：AC=AB且EFBC，AE=AF；由旋轉的性質可知：EAC=FAB，AE=AF，在CAE和BAF中，CAEBAF。CE=BF。（3）存在CEAB。由（1）可知AE=BC，所以，在AEF繞點A逆時針旋轉過程中，E點經過的路徑（圓弧）與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點，如圖：當點E的像E與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，BAM=AB

12、C=72，又BAC=36。=CAM=36。 當點E的像E與點N重合時，由ABl得，AMN=BAM=72，AM=AN，ANM=AMN=72。MAN=180272=36。=CAN=CAM+MAN=72。當旋轉角為36或72時，CEAB。4、解：（1）AD=CF。理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，AOC+COD=DOF+COD，即AOD=COF。在AOD和COF中，AO=CO，AOD=COF，OD=OF，AODCOF（SAS）。AD=CF。（2）與（1）同理求出CF=AD，如圖，連接DF交OE于G，則DFOE，DG=OG=OE，正方形ODEF

13、的邊長為，OE=2。DG=OG=OE=2=1。AG=AO+OG=3+1=4，在RtADG中，CF=AD=。5、解：（1）證明：用兩塊完全相同的且含60角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現將RtAEF繞A點按逆時針方向旋轉角（090），AB=AF，BAM=FAN。在ABM和AFN中，ABMAFN（ASA）。AM=AN。（2）當旋轉角=30時，四邊形ABPF是菱形。理由如下：連接AP，=30，FAN=30。FAB=120。B=60，AFBP。F=FPC=60。FPC=B=60。ABFP。四邊形ABPF是平行四邊形。AB=AF，平行四邊形ABPF是菱形。6、解：（1）證明：A

14、P是AP旋轉得到，AP=AP。APP=APP。C=90，APAB，CBP+BPC=90，ABP+APP=90。又BPC=APP（對頂角相等）。CBP=ABP。（2）證明：如圖，過點P作PDAB于D，CBP=ABP，C=90，CP=DP。PEAC，EAP+APE=90。又PAD+EAP=90，PAD=APE。在APD和PAE中，APDPAE（AAS）。AE=DP。AE=CP。（3），設CP=3k，PE=2k，則AE=CP=3k，AP=AP=3k+2k=5k。在RtAEP中，C=90，PEAC，CBP+BPC=90，EPP+PPE=90。BPC=EPP（對頂角相等），CBP=PPE。又BAP=PE

15、P=90，ABPEPP。即。在RtABP中，即。解得AB=107、解：（1）如答圖1，過點B作BEy軸于點E，作BFx軸于點F。由已知得：BF=OE=2，。點B的坐標是（，2）。設直線AB的解析式是y=kx+b（k0），則有，解得。直線AB的解析式是。（2）ABD由AOP旋轉得到，ABDAOP。AP=AD，DAB=PAO。DAP=BAO=60。ADP是等邊三角形。如答圖2，過點D作DHx軸于點H，延長EB交DH于點G，則BGDH。在RtBDG中，BGD=90，DBG=60，BG=BDcos60=DG=BDsin60=。OH=EG=，DH=。點D的坐標為（，）。（3）存在。假設存在點P，在它的運

16、動過程中，使OPD的面積等于。設點P為（t，0），下面分三種情況討論：當t0時，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，DH=2+t。OPD的面積等于，解得（舍去）。點P1的坐標為（，0）。當D在x軸上時，如答圖3，根據銳角三角函數求出BD=OP=，當t0時，如答圖1，BD=OP=t，DG=t，GH=BF=2（t）=2+t。OPD的面積等于，解得。點P2的坐標為（，0），點P3的坐標為（，0）。當t時，如答圖4，BD=OP=t，DG=t，DH=t2。OPD的面積等于，解得（舍去）。點P4的坐標為（，0）。綜上所述，點P的坐標分別為P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0）。8、解；（1）證明：由圖知BC=DE，BDC=BCD。DEF=30，BDC=BCD=75。ACB=45，DOC=30+45=75。DOC=BDC。CDO是等腰三角形。（2）作AGBC，垂足為點G，DHBF，垂足為點H，在RtDHF中，F=60，DF=8，DH=4，HF=4。在RtBDF中，F=60，DF=8，DB=8，BF=16。BC=BD=8。AGBC，ABC=45，BG=AG=4。AG=DH。AGDH，四邊形AGHD為矩形。AD=GH=BFBGHF=1644=124。9、解：（1）BD=CF成立。理由如下：ABC是等腰直角三角形，四邊