1、2015-2016學年山西省晉中市高三（上）期末數學試卷（理科）一、選擇題：本題包括10個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN，則P的子集共有（）A2個B4個C6個D8個2等差數列an中，a5、a7是函數f（x）=x24x+3的兩個零點，則a3+a9等于（）A4B3C3D43 =（）A2iB2+iC2iD2+i4下列命題中正確命題的個數是（）命題“若x23x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x1，則x23x+20”；“a0”是“a2+a0”的必要不充分條件；若pq為假命題，則p，q均為假命題；命

2、題p：x0R，使得x02+x0+10，則p：xR，都有x2+x+10A1B2C3D45若f（x）=，f（f（1）=1，則a的值是（）A1B2C2D16直線ax2by+1=0（a0，b0）平分圓x2+y2+4x2y1=0的面積，則+的最小值為（）A3+2B4+2C6+4D87已知函數f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log5x+x的零點依次為x1、x2、x3，若在如圖所示的算法中，另a=x1，b=x2，c=x3，則輸出的結果是（）Ax1Bx2Cx3Dx2或x38當時，函數f（x）=Asin（x+）（A0）取得最小值，則函數是（）A奇函數且圖象關于點對稱B偶函數且圖象關于點（

3、，0）對稱C奇函數且圖象關于直線對稱D偶函數且圖象關于點對稱9某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A +B1+C D110表面積為40的球面上有四點S、A、B、C且SAB是等邊三角形，球心O到平面SAB的距離為，若平面SAB平面ABC，則三棱錐SABC體積的最大值為（）A2BC6D11雙曲線=1（a0，b0）的左右焦點分別為F1，F2，Q為右支上一點，P點在直線x=a上，且滿足=， =（+）（0），則該雙曲線的離心率為（）A +1B +1C2D12已知數列an共有9項，其中，a1=a9=1，且對每個i1，2，8，均有2，1， ，則數列an的個數為（）A729B491C490D243

4、二、填空題：本題包括4個小題，每小題5分，共20分13曲線x在點處切線的傾斜角為14已知實數x、y滿足約束條件，則目標函數z=2x3y的最大值為15ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、，asinAsinB+bcos2A=2a，則角A的取值范圍是16函數f（x）=，直線y=m與函數f（x）的圖象交于四個不同的點，交點橫坐標從小到大依次記為a，b，c，d，下列說法正確的是（請寫出所有正確答案的序號）m（3，4）；abcd0，e4）；a+b+c+de5+2，e6+2）；若關于x的方程f（x）+x=t恰有三個不同實根，則t=3三、解答題：本題包括6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明

5、過程或演算步驟17在等差數列an中，a1=3，其前n項和為Sn，等比數列bn的各項均為正數，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，q=（1）求an與bn；（2）若對于nN*，不等式+t恒成立，求實數t的取值范圍18如圖，已知四棱錐PABCD的底面是菱形，BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=，AC與BD交于O點，E，H分別為PA，OC的中點（1）求證：PH平面ABCD；（2）求直線CE與平面PAB所成角的正弦值19某省高中男生升高統計調查數據顯示：全省100000名男生的身高服從正態分布N，現從該省某高校三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于157.

6、5cm和187.5cm之間，將測量結果按如下方式分成6組：第一組157.5，162.5，第二組162.5，167.5，第六組182.5，187.5，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖（1）求該學校高三年級男生的平均身高；（同一組數據用該區間的中點值作代表）（2）求被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數；（3）從被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，記該2人中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數記為，求的數學期望20已知橢圓E： +=1（ab0）的左、右焦點分別為F1，F2，且離心率為，M為橢圓上一點，MF

7、1F2的周長為2+2（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點F2，l與圓O：x2+y2=5相交于P，Q兩點，l與橢圓E相交于R，S兩點，若|PQ|4，求F1RS的面積的最大值和最小值21已知函數f（x）=x2ax，g（x）=lnx（1）；令F（x）=f（x）g（x），求F（x）的單調區間；（2）設r（x）=f（x）+g（）對任意a（1，2），總存在x，1使不等式r（x）k（1a2）成立，求實數k的取值范圍四、請考生在第22、23、24題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一題計分【選修4-1：幾何證明選講】22如圖，直線AB經過O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，

8、O交直線OB于E、D，連接EC、CD（1）求證：直線AB是O的切線；（2）若tanCED=，O的半徑為3，求OA的長選修4-4：坐標系與參數方程選講23已知直角坐標系中動點P（1+cos，sin）參數0，2，在以原點為極點，x軸正半軸為極軸所建立的極坐標系中，動點Q（，）在曲線C：cos=上（1）在直角坐標系中，求點P的軌跡E的方程和曲線C的方程（2）若動點P的軌跡E和曲線C有兩個公共點，求實數a的取值范圍選修4-5：不等式選講24已知函數f（x）=x21，g（x）=a|x1|（1）若關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數解，求實數a的取值范圍；（2）若當xR時，不等式f（x）g（x）

9、恒成立，求實數a的取值范圍2015-2016學年山西省晉中市高三（上）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題包括10個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN，則P的子集共有（）A2個B4個C6個D8個【考點】交集及其運算【專題】計算題【分析】利用集合的交集的定義求出集合P；利用集合的子集的個數公式求出P的子集個數【解答】解：M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN=1，3P的子集共有22=4故選：B【點評】本題考查利用集合的交集的定義求交集、考查一個集合含n個元素，則其子集的

10、個數是2n2等差數列an中，a5、a7是函數f（x）=x24x+3的兩個零點，則a3+a9等于（）A4B3C3D4【考點】等差數列的通項公式【專題】計算題；函數思想；數學模型法；等差數列與等比數列【分析】利用根與系數的關系求出a5+a7=4，再由等差數列的性質得答案【解答】解：a5、a7是函數f（x）=x24x+3的兩個零點，a5、a7是方程x24x+3=0的兩根，則a5+a7=4，由等差數列的性質可得：a3+a9=a5+a7=4故選：D【點評】本題考查等差數列的通項公式，考查了等差數列的性質，是基礎的計算題3 =（）A2iB2+iC2iD2+i【考點】復數代數形式的混合運算【分析】復數的分子

11、、分母同乘分母的共軛復數，化簡即可【解答】解：故選C【點評】本題考查復數代數形式的運算，是基礎題4下列命題中正確命題的個數是（）命題“若x23x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x1，則x23x+20”；“a0”是“a2+a0”的必要不充分條件；若pq為假命題，則p，q均為假命題；命題p：x0R，使得x02+x0+10，則p：xR，都有x2+x+10A1B2C3D4【考點】命題的真假判斷與應用【專題】綜合題；轉化思想；定義法；簡易邏輯【分析】根據逆否命題的定義進行判斷根據充分條件和必要條件的定義進行判斷根據復合命題真假關系進行判斷根據含有量詞的命題的否定進行判斷【解答】解：命題“若x23x+

12、2=0，則x=1”的逆否命題為“若x1，則x23x+20”；故正確，由a2+a0得a1或a0，“a0”是“a2+a0”的必要不充分條件；故正確，若pq為假命題，則p，q質數有一個為假命題；故錯誤，命題p：x0R，使得x02+x0+10，則p：xR，都有x2+x+10故正確，故正確的是，故選：C【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及四種命題的關系，充分條件和必要條件的判斷以及復合命題，含有量詞的命題的否定，綜合性較強，難度不大5若f（x）=，f（f（1）=1，則a的值是（）A1B2C2D1【考點】函數的值【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用【分析】利用分段函數的性質求解【解答】解

13、：f（x）=，f（f（1）=1，f（1）=lg1=0，f（f（1）=f（0）=0+=a3=1，解得a=1故選：D【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要注意分段函數的性質及定積分的性質的合理運用6直線ax2by+1=0（a0，b0）平分圓x2+y2+4x2y1=0的面積，則+的最小值為（）A3+2B4+2C6+4D8【考點】直線與圓的位置關系【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓【分析】根據已知條件得到a+b=，將其代入+，結合基本不等式的性質計算即可【解答】解：直線ax2by+1=0（a0，b0）平分圓x2+y2+4x2y1=0的面積，圓x2+y2+4x2y1=0的圓心（2，1）

14、在直線上，可得2a2b+1=0，即a+b=，因此2（+）（a+b）=2（3+）6+4，當且僅當： =時“=”成立，故選：C【點評】本題考查了圓的方程，考查基本不等式的性質，是一道基礎題7已知函數f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log5x+x的零點依次為x1、x2、x3，若在如圖所示的算法中，另a=x1，b=x2，c=x3，則輸出的結果是（）Ax1Bx2Cx3Dx2或x3【考點】程序框圖【專題】計算題；圖表型；轉化思想；函數的性質及應用；算法和程序框圖【分析】根據零點存在定理，分別求三個函數的零點，判斷零點的范圍，由程序算法的功能即可得解【解答】解：函數f（x）=2x+x

15、，f（1）=1=0，f（0）=10，可知函數的零點x10；函數g（x）=log2x+x=0，g（）=1+=0，g（1）=10，可得函數的零點滿足：x21，函數h（x）=log5x+x=0，h（）=1+=0，h（）=log5+=0，可得函數的零點滿足：x3，則x1x3x2，模擬執行程序算法，可得程序算法的功能是輸出三個數中最大的數，由題意可得：x2故選：B【點評】本題考查的重點是函數的零點及個數的判斷，基本初等函數的單調性的應用，解題的關鍵是利用零點存在定理，確定零點的值或范圍8當時，函數f（x）=Asin（x+）（A0）取得最小值，則函數是（）A奇函數且圖象關于點對稱B偶函數且圖象關于點（，0

16、）對稱C奇函數且圖象關于直線對稱D偶函數且圖象關于點對稱【考點】由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式【專題】計算題【分析】由f（）=sin（+）=1可求得=2k（kZ），從而可求得y=f（x）的解析式，利用正弦函數的奇偶性與對稱性判斷即可【解答】解：f（）=sin（+）=1，+=2k，=2k（kZ），y=f（x）=Asin（x+2k）=Asinx，令y=g（x）=Asinx，則g（x）=Asin（x）=Asinx=g（x），y=g（x）是奇函數，可排除B，D；其對稱軸為x=k+，kZ，對稱中心為（k，0）kZ，可排除A；令k=0，x=為一條對稱軸，故選C【點評】本題考查由y=Asin（

17、x+）的部分圖象確定其解析式，求是難點，考查正弦函數的奇偶性與對稱性，屬于中檔題9某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A +B1+C D1【考點】由三視圖求面積、體積【專題】計算題；轉化思想；空間位置關系與距離；立體幾何【分析】根據已知可得該幾何體是一個四分之一圓錐，與三棱柱的組合體，分別求出它們的體積，相加可得答案【解答】解：根據已知可得該幾何體是一個四分之一圓錐，與三棱柱的組合體，四分之一圓錐的底面半徑為1，高為1，故體積為： =，三棱柱的底面是兩直角邊分別為1和2的直角三角形，高為1，故體積為：×1×2×1=1，故組合體的體積V=1+，故選：B【

18、點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，根據三視圖判斷出幾何體的形狀是解答的關鍵10表面積為40的球面上有四點S、A、B、C且SAB是等邊三角形，球心O到平面SAB的距離為，若平面SAB平面ABC，則三棱錐SABC體積的最大值為（）A2BC6D【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】數形結合；數形結合法；立體幾何【分析】作出直觀圖，根據球和等邊三角形的性質計算SAB的面積和棱錐的最大高度，代入體積公式計算【解答】解：過O作OF平面SAB，則F為SAB的中心，過F作FESA于E點，則E為SA中點，取AB中點D，連結SD，則ASD=30°，設球O半徑為r，則4r2=40，解得r=連

19、結OS，則OS=r=，OF=，SF=2DF=EF=，SE=SA=2SE=2，SSAB=SA2=6過O作OM平面ABC，則當C，M，D三點共線時，C到平面SAB的距離最大，即三棱錐SABC體積最大連結OC，平面SAB平面ABC，四邊形OMDF是矩形，MD=OF=，OM=DF=CM=2CD=CM+DM=3三棱錐SABC體積V=SSABCD=6故選C【點評】本題考查了棱錐的體積計算，空間幾何體的作圖能力，準確畫出直觀圖找到棱錐的最大高度是解題關鍵11雙曲線=1（a0，b0）的左右焦點分別為F1，F2，Q為右支上一點，P點在直線x=a上，且滿足=， =（+）（0），則該雙曲線的離心率為（）A +1B

20、+1C2D【考點】雙曲線的簡單性質【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】由=， =（+）（0），可知OQ垂直平分PF2，求出P的坐標，可得Q的坐標，代入雙曲線=1（a0，b0），可得出a，c的數量關系，從而求出雙曲線的離心率【解答】解： =， =（+）（0），OQ垂直平分PF2，|OP|=c，P（a，b），Q（，），代入雙曲線=1（a0，b0），可得=1，ca=a，c=（+1）a，e=+1，故選：A【點評】本題考查雙曲線的性質，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題12已知數列an共有9項，其中，a1=a9=1，且對每個i1，2，8，均有2，1

21、， ，則數列an的個數為（）A729B491C490D243【考點】數列的應用【專題】綜合題；轉化思想；轉化法；等差數列與等比數列【分析】令bi=，則對每個符合條件的數列an，滿足=1，且bi2，1， ，1i8反之，由符合上述條件的八項數列bn可唯一確定一個符合題設條件的九項數列an由此能求出結果【解答】解：令bi=（1i8），則對每個符合條件的數列an，滿足=1，且bi2，1， ，1i8反之，由符合上述條件的八項數列bn可唯一確定一個符合題設條件的九項數列an記符合條件的數列bn的個數為N，由題意知bi（1i8）中有2k個，2k個2，84k個1，且k的所有可能取值為0，1，2共有1+C82C

22、62+C84C44=491個，故選：B【點評】本題考查數列的相鄰兩項比值之和的求法，考查滿足條件的數列的個數的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用二、填空題：本題包括4個小題，每小題5分，共20分13曲線x在點處切線的傾斜角為【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；直線的傾斜角【專題】計算題【分析】首先對曲線的方程求導，代入曲線上的所給的點的橫標，做出曲線對應的切線的斜率，進而得到曲線的傾斜角【解答】解：曲線y=x，曲線在點處切線的斜率是1，切線的傾斜角是故答案為：【點評】本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程和直線的傾斜角，本題解題的關鍵是理解曲線在某一點的導數的幾何意義14

23、已知實數x、y滿足約束條件，則目標函數z=2x3y的最大值為3【考點】簡單線性規劃【專題】計算題；對應思想；數形結合法；不等式【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求出最優解的坐標得答案【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（3，1），化目標函數z=2x3y為y=，由圖可知，當直線y=過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2×33×1=3故答案為：3【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題15ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、，asinAsinB+bcos2A=

24、2a，則角A的取值范圍是（0，【考點】余弦定理；正弦定理【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；解三角形【分析】利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用同角三角函數間的基本關系化簡，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范圍，再由A為三角形的內角，且根據余弦函數的單調性，即可得到A的范圍【解答】解：在ABC中，由正弦定理化簡已知的等式得：sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=2sinA，sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，由余弦定理得：cosA=，A為三角形

25、ABC的內角，且y=cosx在（0，）上是減函數，0A，則A的取值范圍是：（0，故答案為：（0，【點評】此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，基本不等式，以及余弦函數的單調性，熟練掌握定理是解本題的關鍵16函數f（x）=，直線y=m與函數f（x）的圖象交于四個不同的點，交點橫坐標從小到大依次記為a，b，c，d，下列說法正確的是（請寫出所有正確答案的序號）m（3，4）；abcd0，e4）；a+b+c+de5+2，e6+2）；若關于x的方程f（x）+x=t恰有三個不同實根，則t=3【考點】命題的真假判斷與應用；分段函數的應用【專題】數形結合；函數的性質及應用；簡易邏輯【分析】畫出y=

26、f（x）與y=m的圖象即可；，結合圖象把abcd的不等式用m表示出來；同樣用m把a+b+c+d表示出來；若關于x的方程f（x）+x=t恰有三個不同實根，則y=f（x）與y=x+t有三個不同的交點，畫圖即可【解答】解：函數f（x）=，即f（x）=，函數f（x）的圖象如下：若直線y=m與函數f（x）的圖象相交于四個不同的點，由圖可知m3，4），故錯誤；四個交點橫坐標從小到大，依次記為a，b，c，d，則a，b關于x=1對稱，a+b=2，ab=m3，ab0，1），且lnc=2m，lnd=2+m，ln（cd）=4，cd=e4，abcd0，e4），是正確的；由2lnx=4得x=，由2lnx=3得x=，c（

27、，又cd=e4，a+b+c+d=c+2在（，是遞減函數，a+b+c+de5+2，e6+2）； 是正確的；若關于x的方程f（x）+x=t恰有三個不同實根，則y=f（x）與y=x+t有三個不同的交點，而直線y=x+3 與y=x+均與y=f（x）有三個交點，t不唯一故錯誤，故正確的是，故答案為：【點評】本題主要考查與函數有關的命題的真假判斷，利用數形結合以及分段函數的性質是解決本題的關鍵綜合性較強，難度較大三、解答題：本題包括6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17在等差數列an中，a1=3，其前n項和為Sn，等比數列bn的各項均為正數，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，

28、q=（1）求an與bn；（2）若對于nN*，不等式+t恒成立，求實數t的取值范圍【考點】數列的求和；數列遞推式【專題】計算題；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列【分析】（1）通過設等差數列an的公差為d，聯立b2+S2=12及q=，計算即得公差和公比，進而可得結論；（2）通過（1）裂項可知=（），進而利用并項相消法計算、放縮即得結論【解答】解：（1）設等差數列an的公差為d，b2+S2=12，q=，q+6+d=12、q=，解得：q=3或q=4（舍），d=3，an=3+3（n1）=3n，bn=3n1；（2）由（1）可知=（），+=（1+）=（1），n1，（1），t【點評】本題考查數列的通項及前

29、n項和，考查運算求解能力，利用裂項相消法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題18如圖，已知四棱錐PABCD的底面是菱形，BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=，AC與BD交于O點，E，H分別為PA，OC的中點（1）求證：PH平面ABCD；（2）求直線CE與平面PAB所成角的正弦值【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定【專題】證明題；轉化思想；向量法；空間位置關系與距離【分析】（1）連結OP，推導出OPBD，ACBD，從而BD平面PAC，由此能證明PH平面ABCD（2）過點O作OZPH，以O為原點，OA、OB、OZ所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標

30、系，利用向量法能求出直線CE與平面PAB所成角的正弦值【解答】證明：（1）連結OP，如圖所示，PB=PD，OPBD，在菱形ABCD中，ACBD，又ACOP=O，BD平面PAC，又PH平面PAC，BDPH，在RtPOB中，OB=1，PB=2，OP=，又PC=，H為OC的中點，PH平面ABCD解：（2）過點O作OZPH，則OZ平面ABCD，如圖，以O為原點，OA、OB、OZ所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A（），B（0，1，0），C（，0，0），P（，0，），E（，0，），=（，1，0），=（，0，），=（，0，），設平面PAB的法向量=（x，y，z），則，令x=1，則=（1，）

31、，cos=直線CE與平面PAB所成角的正弦值為【點評】本題考查垂直的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養19某省高中男生升高統計調查數據顯示：全省100000名男生的身高服從正態分布N，現從該省某高校三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于157.5cm和187.5cm之間，將測量結果按如下方式分成6組：第一組157.5，162.5，第二組162.5，167.5，第六組182.5，187.5，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖（1）求該學校高三年級男生的平均身高；（同一組數據用該區間的中點值作代表）（2）求被抽取的

32、50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數；（3）從被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，記該2人中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數記為，求的數學期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；眾數、中位數、平均數；離散型隨機變量及其分布列【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統計【分析】（1）由頻率分布直方圖能求出該校高三年級男生平均身高（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.2，由此能求出這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數（3）由題意隨機變量可取0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出的數學

33、期望【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得該校高三年級男生平均身高為：160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171.5（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.2，人數為0.2×50=10，即這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數為10人（3）P=0.9974，P（182.5）=0.0013，而0.0013×100000=130，全省前130名身高在182.5cm以上，這50人中182.5cm以上的有5人，隨機變量可取0，1，2，P（=0

34、）=，P（=1）=，P（=2）=，E（）=1【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質的合理運用20已知橢圓E： +=1（ab0）的左、右焦點分別為F1，F2，且離心率為，M為橢圓上一點，MF1F2的周長為2+2（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點F2，l與圓O：x2+y2=5相交于P，Q兩點，l與橢圓E相交于R，S兩點，若|PQ|4，求F1RS的面積的最大值和最小值【考點】橢圓的簡單性質【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（1）由已知得e=，2a+2c=2+2，由此能求出橢圓

35、的方程（2）設l：x=my+1，與橢圓聯立，得（2m2+3）y2+4my4=0，由此利用點到直線距離公式、根的判別式、韋達定理、弦長公式，結合題意條件能求出F1RS的面積的最大值和最小值【解答】解：（1）橢圓C： +=1（ab0）的離心率e=，e=，F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上任意一點，且PF1F2的周長為2+2，2a+2c=2，聯立，解得a=，c=1，b2=31=2，橢圓的方程為=1（2）由題知直線l的斜率為0時不滿足題意，設l：x=my+1，O到l的距離d=，|PQ|=24，0m23聯立，得（2m2+3）y2+4my4=0，=（4m）2+16（2m2+3）0恒成立，設R（x1，y

36、1），S（x2，y2），則，|y1y2|=，=|y1y2|F1F2|=，令t=m2+11，4，=，f（t）=4t+在1，4上單調遞增，f（t）=5，F1RS的面積的最大值是，最小值是【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值及最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式、根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用21已知函數f（x）=x2ax，g（x）=lnx（1）；令F（x）=f（x）g（x），求F（x）的單調區間；（2）設r（x）=f（x）+g（）對任意a（1，2），總存在x，1使不等式r（x）k（1a2）成立，求實數k的取值范圍【考點】利用導數研究函數的單調性

37、；利用導數求閉區間上函數的最值【專題】函數思想；綜合法；導數的概念及應用【分析】（1）求出F（x）的導數，解關于導函數的方程，從而求出函數的單調區間即可；（2）a（1，2）時，求出F（x）的導數，判斷函數在（，+）時，F（x）是增函數，于是問題等價于：對任意的a（1，2），不等式ln+1a+k（a21）0恒成立，再利用導函數研究不等式左邊的最小值看是否符合要求，即可求實數m的取值范圍【解答】解：（1）F（x）=f（x）g（x）=x2axlnx，x0F（x）=2xa=，令h（x）=2x2ax1，=a2+80，解h（x）=0得：x1=0（舍），x2=0，F（x）在（0，）遞減，在（，+）遞增；（2

38、）r（x）=f（x）+g（）=x2ax+ln，r（x）=，a（1，2），x（，+）時，F（x）是增函數，x，1，F（x）max=F（1）=1a+ln，a（1，2），對任意的a（1，2），總存在x，1，使不等式F（x）k（1a2）成立，對任意的a（1，2），不等式1a+lnk（1a2）成立于是問題等價于：對任意的a（1，2），不等式ln+1a+k（a21）0恒成立記g（a）=ln+1a+k（a21），（1a2）則g（a）=（2ka1+2k），當k=0時，g（a）=0，g（a）在區間（1，2）上遞減，此時，g（a）g（1）=0，由于a210，k0時不可能使g（a）0恒成立，故必有k0，g（a）=（

39、2ka1+2k）若11，可知g（a）在區間（1，min2，1）上遞減，在此區間上，有g（a）g（1）=0，與g（a）0恒成立矛盾，故11，這時，g'（a）0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g（a）g（1）=0，滿足題設要求，即k，實數k的取值范圍為，+）【點評】本題考查利用導數研究函數單調性，考查函數恒成立問題，考查函數與方程思想、分類討論思想，綜合性強，難度大四、請考生在第22、23、24題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一題計分【選修4-1：幾何證明選講】22如圖，直線AB經過O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，O交直線OB于E、D，連接EC、CD（1）求證：直線AB是O的切線；（2）若tanCED=，O的半徑為3，求OA的長【考點】圓的切線的性質定理的證明；直線與圓的位置關系；矩陣與矩陣的乘法的意義；簡單曲線的極坐標方程；直線的參數方程【專題】計算題；證明題【分析】（1）要想證AB是O的切線，只要連接OC，求證ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，BCDBEC，得BD與BC的比例關系，最后由切割線定理列出方程求出OA的長【解答】解：（1）如圖，連接OC，OA=OB，CA=CB，OCABAB是O的切線；（2）BC是圓O切線，且BE是圓O割線，BC2=BDBE，tanCED=，BCDBEC，