1、1.1（續(xù)）（續(xù)） 基本概念基本概念定義定義1:1: 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程分）的關(guān)系式稱為微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列關(guān)系式都是微分方程一、常微分方程與偏微分方程一、常微分方程與偏微分方程 如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2)

2、 ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如 如果在一個(gè)微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上,稱為偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本課程主要研究常微分方程. 同時(shí)把常微分方程簡稱為微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定義定義2 2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的微分的階階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)數(shù)稱為微分方程的階數(shù). . 2 ) 1 (xdxdy是一階微分方程；

3、0 (2) ydxxdy是二階微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四階微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的階二、微分方程的階如:( , ,)0(1)nndyd yF x ydxdxn階微分方程的一般形式為( , ,)0, ,.nnnnnndyd ydyd yF x yx ydxdxdxdxd yyxdx這里是的已知函數(shù)而且一定含有是未知函數(shù)是自變量 2 ) 1 (xdxdy 是線性微分方程是線性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd三 線性和非線性( , ,)0nndyd yF x ydxdx如如

4、,.nndyd yydxdxn的左端為 及的一次有理式則稱其為 階線性方程1.如果方程 是非線性微分方程是非線性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2. n階線性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函數(shù)是這里xxfxaxan不是線性方程的方程稱為非線性方程四 微分方程的解定義4:,),(滿足條件如果函數(shù)Ixxy;)() 1 (階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有對( )( , ,)0.nndyd yyxF x ydxdxI則稱為方程在 上的

5、一個(gè)解例2sin ,cos0(,).yx yxyy 驗(yàn)證都是微分方程在上的一個(gè)解證明:sin ,yx對由于cos ,sinyx yx (,),x 故對有 yyxsin0 xsinsin0(,).yxyy 故是微分方程在上的一個(gè)解cos0(,).yxyy 同理是微分方程在上的一個(gè)解1 顯式解與隱式解( , )0( ),( , ,)0,( , )0nnx yyx xIdyd yF x ydxdxx y如果關(guān)系式所確定的隱函數(shù)為方程的解 則稱是方程的一個(gè)相應(yīng)定義4所定義的解為方程的一個(gè)顯式解.隱式解.注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解.例如dyxdxy 對一階微分方程有顯式解:2211.yxyx

6、和和隱式解:. 122 yx2 通解與特解定義5 如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解.例如:1212sincos ,ycxcx c c為任常數(shù)0.yy是微分方程的通解n階微分方程通解的一般形式為),(1nccxy.,1為相互獨(dú)立的任常數(shù)其中ncc 注1:使得行列式的某一鄰域存在是指個(gè)獨(dú)立常數(shù)含有稱函數(shù),),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例321233226.xxxyc ec ec eyyyy驗(yàn)證

7、是微分方程的通解21232xxxyc ec ec e證明:由于21234,xxxyc ec ec e21238xxxyc ec ec e故22yyyy2123(2)xxxc ec ec e2123(8)xxxc ec ec e21232(4)xxxc ec ec e21232(3)xxxc ec ec e61111(22 )xcccc e2222(22)xcccc e xecccc23333)228(8621233226.xxxyc ec ec eyyyy故是微分方程的通解又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 021233226

8、.xxxyc ec ec eyyyy故是微分方程的解注2:.),(,0),(),(11該微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3:類似可定義方程的隱式通解, 如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該 方程的隱式通解.以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方程的通解. 在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為方程的特解.例如sin ,cos0.yx yxyy都是方程的特解12sincosycxcx可在通解中分別取121,0,:cc得到120,1,:cc得到sin ,yxco

9、s .yx定義63 定解條件 為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實(shí)際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題. 常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個(gè)條件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy時(shí)當(dāng).1,)1(0)1(000個(gè)常數(shù)是給定的這里nyyyxn當(dāng)定解條件是初始條件時(shí),相應(yīng)的定解問題稱為初值問題.注1:n階微分方程的初始條件有時(shí)也可寫為)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常記為問題的解的初值問題也稱滿足條件階微分方程求,)(,)(,)(, 0

10、),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4-412540,(0)2,(0)1.xxyc ec eyyyyy驗(yàn)證是方程的通解 并求滿足初始條件的特解54yyy412()xxc ec e412(16)xxc ec e04125()xxc ec e4124()xxc ec e4125(4)xxc ec e4124()xxc ec e解由于且xxxxeeee4442121cccc0412540.xxyc

11、 ec eyyy故是方程的通解有由初始條件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程組得1, 321cc540(0)2,(0)1yyyyy故方程滿足初始條件的特解為43xxyee五 積分曲線和方向場1 積分曲線一階微分方程( , )dyf x ydx( ),yxxy的解所表示平面上的一條曲線稱為微分方程的積分曲線.( , ),.yx cxy而其通解對應(yīng)平面上的一族曲線稱這族曲線為積分曲線族2 方向場( , ),( , ),( , ),( , ),( , )f x yDDx yf x yx ydyDf x ydx設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)樵?內(nèi)每一點(diǎn)處 都畫上一個(gè)以的值為斜率 中心在點(diǎn)的線段 稱帶有這種直線段的區(qū)域 為方程在方向場中,方向相同的點(diǎn)的幾何