1、第二章第二章 導數與微分導數與微分2.1 導數概念導數概念 導數的定義導數的定義 左、右導數左、右導數 用定義計算導數用定義計算導數 可導與連續之間的關系可導與連續之間的關系一、引例1.變速直線運動的瞬時速度問題變速直線運動的瞬時速度問題0ts 0,t求求 時時刻刻的的瞬瞬時時速速度度t,0tt 的時刻的時刻取一鄰近于取一鄰近于, t 運運動動時時間間tsv 平均速度平均速度00( )( )s ts ttt ).(20ttg ,0時時當當tt 取極限得取極限得000(tt)svlimlimt2ttttg 瞬瞬時時速速度度.0gt t物物體體下下降降的的距距離離與與所所經經時時間間 的的21(

2、).2s tgt 關關系系為為自自由由落落體體運運動動中中，2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, MT為曲線為曲線C在在M點處的切線，下面考點處的切線，下面考慮求該切線的斜率。慮求該切線的斜率。).,(),(00yxNyxM設設的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線MT0000( )()tanlim tanlimxxxxf xf xkxx 0lim.xxfx 3 產品總成本的變化率產品總成本的變化率設某產品的總成本設某產品

3、的總成本C是產量是產量q的函數的函數, ,即即).(qfC 當產量由當產量由0q變到變到qq 0時時, ,總成本相應的改變量為總成本相應的改變量為),()(00qfqqfC 故當產量由故當產量由0q變到變到qq 0時時, ,總成本的平均變化率總成本的平均變化率為為qqfqqfqC )()(00 當當0q 時時, ,如果極限如果極限qCq 0limqqfqqfq )()(lim000 存在存在, , 則稱此極限是產量則稱此極限是產量0q為為時的總成本的變化率時的總成本的變化率. .二、導數的定義二、導數的定義定義定義設函數設函數 在點在點 的某個領域內有定的某個領域內有定)(xfy 0 x義義,

4、 當自變量當自變量 在在 處取得增量處取得增量 (點點 仍在仍在0 xxx 0 x x該領域內該領域內)時時, 相應地函數相應地函數 取得增量取得增量y);()(00 xfxxfy 若若 與與 之比當之比當x y 0 x時的極限存在時的極限存在,處可導處可導, 并稱這個極限為函數并稱這個極限為函數 在點在點 處處)(xfy 0 x的導數的導數, 記為記為則稱函數則稱函數 在點在點)(xfy 0 x00),(,0 xxxxdxdyxfy 或或,)(0 xxdxxdf 即即.)()(limlim)(000000 xxfxxfxyxfyxxxx 導數定義的其它形式導數定義的其它形式:令令,xh .)

5、()(lim)(0000hxfhxfxfh 令令,0 xxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 例例2試按導數定義試求下列各極限試按導數定義試求下列各極限(假設各極限假設各極限均存在均存在).)1(;)2()2(limaxafxfax )2(,)(lim0 xxfx其中其中. 0)0( f解解)1(axafxfax )2()2(lim)22(21)2()2(lim22axafxfax axafxfax22)2()2(lim222 ).2(2af 因為因為, 0)0( f于是于是)2(xxfx)(lim00)0()(lim0 xfxfx).0(f 三、左右導數三、左右導數左導數

6、左導數xxfxxfxfx )()(lim)(0000;)()(lim000 xxxfxfxx 右導數右導數xxfxxfxfx )()(lim)(0000.)()(lim000 xxxfxfxx 定理定理 1函數函數 在點在點 處可導處可導)(xf0 x左導數左導數)(0 xf 和右導數和右導數 都存在且相等都存在且相等.)(0 xf 例例3解解求函數求函數 , , , ,00sin)(xxxxxf處的處的導數導數.在在0 x當當0 x時時, ,)0()0(fxfy 0sin x, ,x sin故故xyfx 0lim)0(. .1sinlim0 xxx當當0 x時時, ,)0()0(fxfy 0

7、 x, ,x 故故xyfx 0lim)0(. .1lim0 xxx由由, , 1)0()0( ff得得. .1lim)0(0 xyfx關于導數的幾點說明關于導數的幾點說明(3), Ix 都對應著都對應著 的一個確定的導數值的一個確定的導數值,)(xf個函數叫做原來函數個函數叫做原來函數 的導函數的導函數,)(xf記作記作這這dxdyxfy),(, 或或.)(dxxdf注意注意:;)()(00 xxxfxf (1)就稱函數就稱函數 在開區間在開區間 內可導內可導;I)(xf(2)且且 及及)(af )(bf 都存在都存在, 就稱就稱 在閉區間在閉區間 上可導上可導;)(xf,ba導導,)(xfy

8、 I如果函數如果函數 在開區間在開區間 內的每點處都可內的每點處都可)(xf),(ba如果如果 在開區間在開區間 內可導內可導,例例4 求函數求函數)()(為常數為常數CCxf 的的導數導數. .解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 , , 0lim0 hCCh即即. .0)( C例例5 5 設函數設函數, ,xxfsin)( 求求)(sin x及及. .4)(sin xx解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh , ,xcos 即即. .xxcos)(sin 4)(sin xx4cos xx. .22 例例6解解求函數求函數)( 為正

9、整數為正整數nxyn 的的導數導數. .hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx, ,1 nnx即即. .1)( nnnxx更一般地更一般地. . )()(1Rxx 例如例如, ,. .xxx2121)(121 111)1()(1 xxx. .21x 例例7解解求函數求函數)10()( aaaxfx, ,的的導數導數. .haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 , ,aaxln 即即, ,aaaxxln)( . .xxee )(例例解解求函數求函數)10(log aaxya, ,的的導數導數. .hxhxyaahlog)(logli

10、m0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 exalog1即即. . exxaalog1)(log . .xx1)(ln 例例8解解求曲線求曲線xy 在點在點)24( , ,處的切線處的切線方程方程. .因為因為故所求切線故所求切線方程為方程為即即, ,xxy21)( , ,414214 xy, , )4(412 xy. .044 yx五、導數的幾何意義五、導數的幾何意義六、可導與連續的關系六、可導與連續的關系定理定理則它在點則它在點0 x處連續處連續.證證因為函數因為函數 在點在點 可導可導,)(xf0 x所以所以).(lim00 xfxyx 于是于是0

11、,)(0 xfxy(當當 ),0 x,)(0 xxxfy , 0)(limlim000 xxxfyxx 證畢證畢.故函數故函數 在點在點 連續連續.)(xf0 x如果函數如果函數)(xfy 0 x可導可導,在點在點注注:但在該點不一定可導但在該點不一定可導.該定理的逆命題不成立該定理的逆命題不成立. 即函數在某點連續即函數在某點連續,例例9討論函數討論函數xxf )(在在0 x處的連續性與可處的連續性與可導性導性. .注注: : 一般一般地地, , 若曲線若曲線)(xfy 的圖形在點的圖形在點0 x處出現處出現尖點尖點, , 則它在該點則它在該點不可導不可導. .例例10 討論討論 0, 00

12、,1sin)(xxxxxf在在0 x處的連處的連續性與可導性續性與可導性.1. 函數函數)(xf在某點在某點0 x處的導數處的導數)(0 xf 與導函數與導函數)(xf 有什么區別與聯系有什么區別與聯系 ？2. 設設)(x 在在ax 處連續，處連續，),()()(22xaxxf 求求).(af 3. 求曲線求曲線32xxy 上與上與x軸平行的切線方程軸平行的切線方程 .課堂練習課堂練習1. 函數函數)(xf在某點在某點0 x處的導數處的導數)(0 xf 與導函數與導函數)(xf 有什么區別與聯系有什么區別與聯系 ？解解)(0 xf 是是)(xf 在點在點0 x的導數值，的導數值， 是一個具體的

13、是一個具體的數值數值.)(xf 是由于是由于)(xf在某區間在某區間I上每一點都可導上每一點都可導而定義在而定義在I上的一個新函數：上的一個新函數： 即即，Ix 有唯一值有唯一值)(xf 與之對應與之對應 .兩者的區別兩者的區別兩者的聯系兩者的聯系一個是數值，另一個是函數一個是數值，另一個是函數 .在某點在某點0 x處的導數處的導數)(0 xf 即是導函數即是導函數)(xf 在在0 x處的函數值處的函數值 .完完2. 設設)(x 在在ax 處連續，處連續，),()()(22xaxxf 求求).(af 解解axafxfafax )()(lim)(axxaxax 0)()(lim22 )()(li

14、mxaxax ).(2aa 3. 求曲線求曲線32xxy 上與上與x軸平行的切線方程軸平行的切線方程 .解解,322xy 令令0 y. 0322 x,32,3221 xx切點為切點為， 9643296432所求切線方程為所求切線方程為964 y和和.964 y完完作業作業Page 90 EX. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 9 Ex. 102.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線

15、位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2 函數的求導法則函數的求導法則 導數的四則運算導數的四則運算 反函數的導數反函數的導數 復合函數的求導法則復合函數的求導法則 初等函數的求導法則初等函數的求導法則一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、

16、商的求導法則定理定理 1若函數若函數 在點在點 處可導處可導,x)(),(xvxu則它們則它們的和、差、積、商的和、差、積、商(分母不為零分母不為零)并且并且(1);()( )()(xvxuxvxu (2);()()()( )()(xvxuxvxuxvxu (3).0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxux在點在點 處也可導處也可導,證證 (3),0)()()()( xvxvxuxf 設設hxvxuhxvhxuhxfhxfxfhh)()()()(lim)()(lim)(00 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxv

17、xuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 u x v xu x v xv x 2( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ). . ( ) ( )推論推論(1); )()(11 niiniixfxf(2);( )(xfCxCf (3) )(1xfini)()()()()()(2121xfxfxfxfxfxfnn ).()(11xfxfkininikk 例例1 求求xxxysin223 的導數的導數.解解)(sin)2()(23 xxxy.cos432xxx 例例2解解求求xxysin2 的導數的導數.)sin(2)sin2( xxxxy)(sin)sin)(2 xx

18、xx xxxxcossin212.cos2sin1xxxx 例例3 求求 的導數的導數.xytan xxxycossin)(tan解解,cos)(cossincos)(sin2xxxxx ,seccos1cossincos22222xxxxx 即即.sec)(tan2xx 同理可得同理可得.csc)(cot2xx 解解xxxxy2cos)(coscos1)(sec .tanseccossin2xxxx 同理可得同理可得.cotcsc)(cscxxx 完完例例求求 的導數的導數.xysec 二、反函數的導數二、反函數的導數定理定理 2 若函數若函數 在某區間在某區間 內單調、可內單調、可( )x

19、y yI導導則它的反函數則它的反函數 在對應在對應( )yf x 區間區間 內也可導內也可導,xI且有且有1 ( )( )f xy 或或dydxdxdy1 即即: 反函數的導數等于直接函數導數的倒數反函數的導數等于直接函數導數的倒數.( )0,y 且且證證任取任取,xIx 給給 以增量以增量x), 0(xIxxxx 由由 的單調性可知的單調性可知)(1xfy , 0 y于是于是,1yxxy )(1xf 連續連續,),0(0 xy又又, 0)( yf,)(11limlim )(001yfyxxyxfyx 證畢證畢.完完例例6解解求函數求函數 的導數的導數.xyalog 且且yax 在在 內單調、

20、可導內單調、可導,),( yI, 0ln)( aaayy在對應區間在對應區間 內有內有), 0( xI.ln1ln1)(1)(logaxaaaxyya 特別地特別地.1)(lnxx 完完例例5 求函數求函數 的導數的導數.xyarcsin 解解yxsin 在在 內單調、可導內單調、可導, 2,2 yI且且, 0cos)(sin yy在對應區間在對應區間 內有內有)1 , 1( xIyyxcos1)(sin1)(arcsin .11sin1122xy 21(arccos ).1xx 同理可得同理可得三、復合函數的求導法則三、復合函數的求導法則定理定理 3若函數若函數 在點在點 可導可導,)(xg

21、u x而而)(ufy 在點在點 可導可導,)(xgu 則復合函數則復合函數 在點在點)(xgfy 可導可導,x且其導數為且其導數為)()(xgufdxdy 或或dxdududydxdy 鏈式法則鏈式法則證證由由 在點在點 可導可導,u)(ufy ),(lim0ufuyu 故故)0lim()(0 uufuy,)(uuufy xuxuufxyxx )(limlim00).()(limlimlim)(000 xgufxuxuufxxx 注注:例如例如, 則復合函數則復合函數)(xfy 的導數為的導數為.dxdvdxdududydxdy 復合求導法則可推廣到多個中間變量的情形復合求導法則可推廣到多個中

22、間變量的情形.),(),(),(xvvuufy 設設完完例例7求函數求函數 的導數的導數.xysinln 解解設設,lnuy .sin xu 則則dxdududydxdy xucos1 xxsincos .cot x 完完例例8求函數求函數 的導數的導數.102)1( xy解解設設. 1,210 xuuy則則xudxdududydxdy2109 .)1(202)1(109292 xxxx例例10 求函數求函數 的導數的導數.32)sin(xxy 解解)sin(32 xxy)sin()sin(3222 xxxx)(sinsin21)sin(322 xxxx).2sin1()sin(322xxx

23、完完例例求函數求函數 的導數的導數.)1(sin2xey 解一解一設中間變量設中間變量, 令令.1,sin,2xwwvvueyu 于是于是xwvuxwvuyy )1()(sin)()(2 xwveu)1(cos2 wveu)1cos()1sin(2)1(sin2xxex .)1(2sin)1(sin2xex 例例求函數求函數 的導數的導數.xxxy 解解)(21 xxxxxxy )(21121xxxxxxx )211(21121xxxxxx.812422xxxxxxxxxx 完完例例11 求導數求導數).0( aaaxyxaaaxa解解)(ln)(ln1 xaaxaaaaaxaaxayxaa.

24、lnln211aaaaaaxxaxaaaxxaaa 完完例例9求函數求函數 的導數的導數.)2(21ln32 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(2131)1(112122 xxxxy)2(31211212 xxx.)2(3112 xxx完完例例求導數求導數.log/1 xxxey 解解.ln1lnlnlogxxeex )()(log/1 xxxey xxexln1ln1 xxexxxxln1ln1ln12.ln1ln1212 xxxxxx完完例例12 求函數求函數 的導數的導數. 21, 110,2)(2xxxxxf解解 求分段函數的導數時求分段函數的導數時, 在每一段

25、內的導數可按在每一段內的導數可按一般求導法則求之一般求導法則求之, 但在分段點處的導數要用左但在分段點處的導數要用左右導數的定義求之右導數的定義求之.當當 時時,10 x, 2)2()( xxf當當 時時,21 x,2)1()(2xxxf 當當 時時,1 x2122lim1)1()(lim)1(11 xxxfxffxx121lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx2)1(lim11lim121 xxxxx由由 知知, 2)1()1( ff. 2)1( f所以所以.21,210, 2)( xxxxf完完例例13 已知已知 可導可導,)(uf求函數求函數 的導數的導數.)(sec

26、xfy 解解)(sec)(sec )(sec xxfxfyxxxftansec)(sec 注注:求此類含抽象函數的導數時求此類含抽象函數的導數時, 應特別注意記號應特別注意記號表示的真實含義表示的真實含義, 此例中此例中,)(sec xf 表示對表示對xsec求導求導, 而而 表示對表示對 求導求導. )(sec xfx例例求導數求導數),(tan)(tanxfxfy 且且)(xf可導可導.解解).()(sec)(tansec22xfxfxfxy 完完例例求函數求函數 (n為常數為常數)的導數的導數.)(sinnnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy 11cos)(sin

27、)(sin nnnnnnxxxxn )(sincos113nnnnnxfxxn ).(sin)(sin)(sin1nnnnnxxfx 完完1. 求下列函數的導數：求下列函數的導數：;ln41tan2)1(2xxxy ,.)2(bxaxbay 且且ba,(為常數，為常數，).0, 0 ba.11ln)3(22xxxxy 課堂練習課堂練習2. 若若)(uf在在0u不可導，不可導，)(xgu 在在0 x可導，可導，且且),(00 xgu 則則)(xgf在在0 x處處 ( ) .(1) 必可導；必可導；(2) 必不可導；必不可導； (3) 不一定可導不一定可導.3. 冪函數在其定義域內冪函數在其定義域

28、內( ).(1) 必可導；必可導；(2) 必不可導；必不可導； (3) 不一定可導不一定可導.課堂練習課堂練習完完;ln41tan2)1(2xxxy 解解xxxxxxy4)1()1(tan2)1()tan2()1(2222 .4)1(tan4)1(sec22222xxxxx ,.)2(bxaxbay 解解 bxbxaxbaaxbay.)2(.ln.1bbxbxabxbabaaxba 且且ba,(為常數，為常數，).0, 0 ba.11ln)3(22xxxxy 解解(3) 先化簡，再求導先化簡，再求導xxxxy 11ln212222221)1(ln21xxxx ),1ln(2xx )1(1122

29、 xxxxy分母分母有理化有理化 11221122xxxx.112 x2. 若若)(uf在在0u不可導，不可導，)(xgu 在在0 x可導，可導，且且),(00 xgu 則則)(xgf在在0 x處處 ( ) .(1) 必可導；必可導；(2) 必不可導；必不可導； (3) 不一定可導不一定可導.解解(3) .(1) 例例|)(uuf 在在0 u處不可導，處不可導，xxgusin)( 在在0 x處不可導，處不可導，|sin|)(xxgf 在在0 x處不可導處不可導;解解(2) 例例|)(uuf 在在0 u處不可導，處不可導，4)(xxgu 在在0 x處可導，處可導，44|)(xxxgf 在在0 x

30、處可導處可導.完完3. 冪函數在其定義域內冪函數在其定義域內( ).(1) 必可導；必可導；(2) 必不可導；必不可導； (3) 不一定可導不一定可導.解解(3) (1)例例),(,)(32 xxxf在在0 x處不可導；處不可導；(2)例例),(,)(2 xxxf在定義域內處處可導在定義域內處處可導. 完完作業作業Page 97 Ex. 1 (單號題單號題) Ex. 4 (單號題單號題) Ex. 5 (單號題單號題) Ex. 6, Ex. 11, Ex. 122.3 導數的應用導數的應用 瞬時變化率瞬時變化率 質點的垂直運動模型質點的垂直運動模型 經濟學中的導數經濟學中的導數三、經濟學中的導數

31、三、經濟學中的導數 1、邊際分析、邊際分析在經濟學中在經濟學中, ,函數的導函數稱為函數的導函數稱為邊際函數邊際函數. .設函數設函數)(xfy 可導可導, ,函數的增量與自變量增量的函數的增量與自變量增量的比值比值xxfxxfxy )()(00 表示表示)(xf在在),(00 xxx 內的內的平均變化率平均變化率(速度速度). .根據導數的定義根據導數的定義, ,導數導數)(0 xf 表示表示)(xf在點在點0 xx 處的處的變化率變化率, ,在經濟學中在經濟學中, ,稱其為稱其為)(xf在點在點0 xx 處的處的邊際函數值邊際函數值. .當函數的自變量當函數的自變量x從從0 x改變一個單位

32、改變一個單位(即即)1 x 時時, ,函數的增量為函數的增量為)()1(00 xfxf 但當但當x改變的改變的“單位單位”很小時很小時, ,或或x的的“一個單位一個單位”與與0 x值相對來比很小時值相對來比很小時, ,則有近似式則有近似式),()()1(000 xfxfxf 它表明它表明:當自變量在當自變量在0 x處產生一個單位的改變時處產生一個單位的改變時, ,函數函數)(xf的改變量可近似地用的改變量可近似地用)(0 xf 來表示來表示. .經濟學中經濟學中, , 解釋邊際函數值的具體意義時解釋邊際函數值的具體意義時, ,去去“近似近似”二字二字. .在在通常略通常略例如例如, ,設函數設

33、函數,2xy 則則,2xy 邊際函數值邊際函數值,20)10( y它表示當它表示當10 x時時, ,變一個單位變一個單位, ,y(近似近似)改變改變20個單位個單位. .在點在點10 x處的處的x改改邊際收入與邊際利潤邊際收入與邊際利潤在估計產品銷售量在估計產品銷售量x時時, ,給產品所定的價格給產品所定的價格)(xP稱為稱為價格函數價格函數, ,可以期望可以期望)(xP應是應是x的遞減函數的遞減函數. .于是于是收入函數收入函數)()(xxPxR 利潤函數利潤函數)()()(xCxRxL )(xC是成本函數是成本函數)收入函數的導數收入函數的導數)(xR 稱為稱為邊際收入函數邊際收入函數;利

34、潤函數的導數利潤函數的導數)(xL 稱為稱為邊際利潤函數邊際利潤函數. .為求最大利潤為求最大利潤, ,令令)(xL 0)()( xCxR)()(xCxR 例例4 設某產品的需求函數為設某產品的需求函數為,1001000Px 求量求量300 x時的總收入時的總收入, , 平均收入和邊際收入平均收入和邊際收入. .解解 銷售銷售x件價格為件價格為P的產品收入為的產品收入為,)(xPxR 由需求函數由需求函數Px1001000 xP01. 010 代入得總收入函數代入得總收入函數.01. 010)01. 010()(2xxxxxR 平均收入函數為平均收入函數為.01. 010)()(xxxRxR

35、邊際收入函數為邊際收入函數為.02. 010)01. 010()(2xxxxR 求當需求當需平均收入為平均收入為, 730001. 010)300( R邊際收入為邊際收入為. 430002. 010)300( R當當300 x時的總收入為時的總收入為,210030001. 030010)300(2 R2、彈性分析、彈性分析前面所引入的邊際函數的概念前面所引入的邊際函數的概念實際上是研究函數實際上是研究函數的絕對改變量與絕對變化率的絕對改變量與絕對變化率, ,經濟學中常需研究一經濟學中常需研究一個變量對另一個變量的相對變化情況個變量對另一個變量的相對變化情況, ,為此引入下為此引入下面定義面定義

36、. .定義定義設函數設函數)(xfy 可導可導, ,函數的相對改變量函數的相對改變量)()()(xfxfxxfyy 與自變量的相對與自變量的相對改變量改變量,/xxyy xx 之比之比稱為函數稱為函數)(xf從從x到到xx 兩點間的彈性兩點間的彈性(或相對變化率或相對變化率). .而極限而極限xxyyx/lim0 稱為函數稱為函數)(xf在點在點x的的彈性彈性(或或相對變化率相對變化率), ,記為記為xxyyEExxy/lim0 yxxyx 0lim.yxy 或或靈敏度靈敏度. .數值上數值上, ,)(xfExE表示表示)(xf在點在點x處處, ,的改變時的改變時, ,函數函數)(xf近似地改

37、變近似地改變)%,(xfExE當當x產生產生1%用問題中解釋彈性的具體意義時用問題中解釋彈性的具體意義時, ,通常略去通常略去“近似近似”二字二字. .在應在應注注:函數函數)(xf在點在點x的彈性的彈性ExEy反映隨反映隨x的變化的變化)(xf變化幅度的大小變化幅度的大小, ,即即)(xf對對x變化反應的強烈程度變化反應的強烈程度例如例如, ,求函數求函數xy23 在在3 x處的彈性處的彈性. .解解, 2 yyxyExEy ,232xx 3 xExEy32332 .3296 完完需求彈性需求彈性設需求函數設需求函數),(PfQ 這里這里P表示產品的價格表示產品的價格. .是是, ,可具體定

38、義該產品在價格為可具體定義該產品在價格為P時的時的需求彈性需求彈性如如)(P PPQQP/lim0 QPPQP 0lim)()(PfPfP 當當P 很小時很小時, ,)()(PfPfP ,)(PQPfP 故需求彈性故需求彈性 近似地表示在價格為近似地表示在價格為P時時, ,價格變動價格變動1%, ,需求量將變化需求量將變化%, 通常也略去通常也略去“近似近似”二字二字. .于于下下:注注: 一般地一般地, ,需求函數是單調減少函數需求函數是單調減少函數, ,需求量隨價需求量隨價格的上漲而減少格的上漲而減少(當當), ,0 P 時時, ,0 Q 故需求彈性故需求彈性注注: 一般地一般地, ,需求

39、函數是單調減少函數需求函數是單調減少函數, ,需求量隨價需求量隨價格的上漲而減少格的上漲而減少(當當), ,0 P 時時, ,0 Q 故需求彈性故需求彈性一般是負值一般是負值, ,它反映產品需求量對價格變動反應的它反映產品需求量對價格變動反應的強烈程度強烈程度(靈敏度靈敏度). .完完例例6 設某種商品的需求量設某種商品的需求量x與價格與價格P的關系為的關系為.411600)(PPQ (1) 求需求彈性求需求彈性);(P (2) 當商品的價格當商品的價格10 P(元元)時時, , 再上漲再上漲1%, ,品需求量變化情況品需求量變化情況. .解解 (1) 需求彈性為需求彈性為)()()(PQPQ

40、PP PPP 41160041ln411600PPP 41160041160041ln P求該商求該商P)2ln2( .39. 1P 需求彈性為負需求彈性為負, ,說明商品價格說明商品價格P上漲上漲1%時時, ,商品需求商品需求Q將減少將減少1.39%. .量量這表示價格這表示價格10 P(元元)時時, , 價格上漲價格上漲1%, , 商品的需求商品的需求若價格降低若價格降低1%, ,加加13.9%. .(2)當商品價格當商品價格10 P(元元)時時, , 9 .131039. 1)10( 13.9%. .量將減少量將減少商品的需求量將增商品的需求量將增內容小結內容小結1. 邊際函數邊際函數

41、函數的變化率函數的變化率函數函數)(xfy 在在0 xx 處的處的邊際函數值邊際函數值為為.lim)(00 xyxfx 函數函數)(xfy 在在),(00 xxx 內的內的平均變化平均變化率率為為;xy 2. 函數的彈性函數的彈性 函數的相對變化率函數的相對變化率函數函數)(xfy 在點在點x的的彈性彈性.limlim00yxyyxxyxxyyExEyxx 它反映了它反映了)(xf對對x變化反應的強烈程度或變化反應的強烈程度或靈敏度靈敏度 .作業作業Page 102Ex. 1Ex. 6Ex. 92.4 高階導數高階導數高階導數的定義高階導數的定義定義定義 如果函數如果函數的導數的導數在點在點處

42、可導處可導, ,)(xf)(xf x即即xxfxxfxfx )()(lim) )(0存在存在, ,則稱則稱為函數為函數) )( xf)(xf在點在點處的處的二階二階x記為記為導數導數, ,二階導數的導數稱為二階導數的導數稱為三階導數三階導數, ,記為記為),(xf ,y .33dxyd),(xf ,y 或或.)(22dxxfd22dxyd一般地一般地, ,的的階導數的導數稱為階導數的導數稱為的的)(xf1 n)(xfn階導數階導數, ,記為記為),()(xfn,)(nynndxyd.)(nndxxfd或或相應地相應地, ,)(xf稱為稱為零階導數零階導數; ;)(xf 稱為稱為一階導數一階導數

43、. .注注: :二階和二階以上的導數統稱為二階和二階以上的導數統稱為高階導數高階導數. .完完計算高階導數的方法計算高階導數的方法1. .直接法直接法: : 由高階導數的定義逐步求高階導數由高階導數的定義逐步求高階導數. .例如例如, , baxy 則有則有,ay , 0 y).3(0,)( nyn,xey 通過導數的通過導數的則有則有,xey ,xey ,xey ).3(,)( neyxn一般地一般地, ,xney )(2. .間接法間接法: : 利用已知的高階導數公式利用已知的高階導數公式, ,四則運算四則運算, ,變量代換等方法變量代換等方法, ,求出求出n階導數階導數. .見例見例7-

44、例例8. .完完例例2解解設設,arctan)(xxfy ,112xy 211xy,)1(222xx ()()xyx 2221,)1()13(2322xx 0322)1()13(2)0( xxxf. 2 完完求求).0(f 例例4 設設(),ayxaR求求( ).ny解解( )(1)(1)(1),na nya aanxn 若若a為自然數為自然數,n則則( )( )()!,nnnyxn(1)( !)0.nyn ,1 aaxy,)1()(21 aaxaaaxy,)2)(1()1(32 aaxaaaxaay例例5設設ln(1),yx求求( ).ny解解(4)43!,(1)yx ( )1(1)!( 1

45、)(1)nnnnyx (1,0!1).n 完完,11xy ,)1(12xy ,)1(! 23xy 例例6解解y y ,22sin2 kxky kxkcos ,2sin kxk)( y 22sin2 kxk 2cos2 kxk)( y 22cos3 kxk求求sinykx , , 求求.)(ny,23sin3 kxk)(ny,2sin nkxkn即即.2sin nkxkn)()(sinnkx同理可得同理可得)()(cosnkx.2cos nkxkn完完常用初等函數的高階導數公式常用初等函數的高階導數公式aaanxnxln)()( ),0( a xnxee)()( )2sin()(sin)( nk

46、xkkxnn )2cos()(cos)( nkxkkxnn.)1()1()()(nnxnx .)!1()1()(ln)1()(nnnxnx .!)1()1(1)()( nnnxnx完完(1)(2)(3)(4)(5)(6)萊布尼茨公式萊布尼茨公式高階導數的運算法則高階導數的運算法則設函數設函數)(xu和和)(xvn具有具有 階導數階導數, ,則則(1);()()()()()()(xvxuxvxunnn (2);()()()(xCuxCunn (3);()()()(baxuabaxunnn (4)vunnvnuvuvunnnn )2()1()()(! 2)1()()()()(!)1()1(nkkn

47、uvvukknnn .0)()( nkkknknvuC例例7解解設設,112 xy求求.)100(y)1)(1(1 xx,111121 xx)100(y.)1(1)1(12!100101101 xx完完112 xy 101101)1(!100)1(!10021xx例例8解解因為因為所以所以于是于是, , 利用高階導數運算法則和已知高階導數公利用高階導數運算法則和已知高階導數公式式, , 得得設設),321ln(2xxy 求求.)(ny)321ln(2xxy ).31ln()1ln(xx )(nynnnnnnxnxn)31()!1(3)1()1()!1()1()1(11 )()()31ln()1

48、ln(nnxx .)1(1)31(3)1()!1(1 nnnnxxn完完)(ny1. 求函數求函數xxylncos2 的二階導數的二階導數.完完2. 設設)(xg 連續，連續， 且且),()()(2xgaxxf 求求).(af 3. 求函數求函數232 xxxy的的n階導數階導數 .課堂練習課堂練習1. 求函數求函數xxylncos2 的二階導數的二階導數.解解xxxxxy2coslnsincos2 xxxx2cosln2sin 22cossincos22sinln2cos2xxxxxxxxxy .cos2sin2ln2cos222xxxxxx 完完2. 設設)(xg 連續，連續， 且且),(

49、)()(2xgaxxf 求求).(af 解解)(xg可導，可導，).()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在 . 故用定義求故用定義求).(af axafxfafax )()(lim)(axxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax ).(2ag 完完3. 求函數求函數232 xxxy的的n階導數階導數 .解解)2)(1(11232 xxxxxx)2)(1(121 xxx,1122 xx( )( )( )( )( )( )nnnyxx212111)1(!)1()2(!)1(2 nnnnxnxn.)1(1)2(2!)1(11 nnnxxn完完作業作

50、業Page 106 Ex. 1 (7) (8) (9) Ex. 5 Ex. 62.5 隱函數的導數隱函數的導數 隱函數的導數隱函數的導數 對數求導法對數求導法 參數方程表示的函數的導數參數方程表示的函數的導數4,xdyyedx則則例例：4443()4xxexx e lncos(),xdyyedx則則1cos()xe( sin()xe xe( )0f x 已已知知且且可可導導，求求下下列列例例：函函數數的的導導數數. .2()(1)( )(2)( )(3)ln(sin )(4)f xfxxf xfxeln|_.yxy ，則則1x0( )xyxyeeyy x 思思求求由由方方程程確確定定考考：的的

51、函函數數的的導導數數. .0(0)( )xxyexyy x 求求由由方方程程確確例例：定定的的函函數數的的導導數數. .一一、隱函數的導數、隱函數的導數定義定義: :.)(稱為隱函數稱為隱函數由方程所確定的函數由方程所確定的函數xyy .)(形式稱為顯函數形式稱為顯函數xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化問題問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數求導法則隱函數求導法則: :用用復合函數求導法則復合函數求導法則直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導.例例.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數的導數所確定的隱函數所確定的隱函數

52、求由方程求由方程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2解解在題設方程兩邊同時對自變量在題設方程兩邊同時對自變量x求導求導, , 得得解得解得求由方程求由方程所確定的函數所確定的函數1ln yxy在點在點處的切線方程處的切線方程. .)(xfy )1 , 1(M01 yyxyy12 xyyy在點在點處處)1 , 1(M1111211 yxy21 于是于是, , 在點在點處的切線方程為處的切線方程為)1 , 1(M)1(211 xy即即. 032 yx

53、完完例例解解設設, 144 yxyx求求在點在點處的值處的值.y )1 , 0(方程兩邊對方程兩邊對求導得求導得x, 04433 yyyxyx)1(代入代入1, 0 yx得得;4110 yxy將方程將方程(1)兩邊再對兩邊再對求導得求導得x, 04)(122123222 yyyyyxyx代入代入, 1, 0 yx4110 yxy.16110 yxy二、對數求導法二、對數求導法問題問題32(1)1(1),(4)xxxyxxe 的求導問題的求導問題. .xxytan 對數求導法對數求導法先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, ,然后利用隱函然后利用隱函數的求導方法求出導數數的求導方法求出導數. .

54、適用于多個函數相乘適用于多個函數相乘設設)()()(xvxuxf ),0)( xu兩邊取對數得兩邊取對數得),(ln)()(lnxuxvxf )()(xvxu的情形的情形. .指函數指函數和冪和冪兩邊對兩邊對x求導得求導得)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxfxf 從而從而完完.)()()()(ln)()()()( xuxuxvxuxvxuxfxv例例4解解 等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得設設),0(sin xxyx求求.yxxylnsinln 兩邊對兩邊對求導得求導得x,1sinlncos1xxxxyy xxxxyy1sinlncos.sinlncossin xxxxxx

55、完完例例5解解在題設等式兩邊取對數在題設等式兩邊取對數等式兩邊對等式兩邊對x求導求導, , 得得解得解得設設,)(sin)(cosyxxy 求求.yxyyxsinlncosln .sincossinlncossincoslnxxyxyyyyxy .sinlntancotcoslnxyxxyyy 完完例例6解解等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得設設),1()4(1)1(23 xexxxyx求求.y,)4ln(2)1ln(31)1ln(lnxxxxy 上式兩邊對上式兩邊對求導得求導得x, 142)1(3111 xxxyy.142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx完完例例7解解求導數

56、求導數.xxxxxxy ,lnlnxxxxxeexy )ln()ln(1lnlnxxexxeyxxxxxx )1(ln1 xxx)1(ln1 xxx完完)(lnln)(xxxxxxxxx .ln)1(ln1 xxxxxxxxx三、參數方程表示的函數的導數三、參數方程表示的函數的導數若參數方程若參數方程( )( )xtyt 確定確定 與與間的函數關系間的函數關系, ,yx稱此稱此函數關系所表達的函數為函數關系所表達的函數為例如例如, , 22tytx,2xt ,42222xxty .2xy 由參數方程所確定的函數由參數方程所確定的函數.存在問題存在問題 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消

57、參如何求導?一般地一般地, ,設設)(tx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數),(tx )(ty 都可導都可導, ,且且, 0)( t 則由則由復合函數及反函數的求導法則得復合函數及反函數的求導法則得).(1xy ),(1xt 則變量則變量 與與yx構成復合函數關系構成復合函數關系,)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 即即.dtdxdtdydxdy 若函數若函數),(tx )(ty 二階可導二階可導, ,則則dxdtttdtddxdydxddxyd )()(22 即即223( ) ( )( )( )( )d yttttdxt 2( ) ( )( )( )

58、1( )( )tttttt 完完例例8所表示所表示解解求由參數方程求由參數方程 )1ln(arctan2tytx的函數的函數的導數的導數. .)(xyy dtdxdtdydxdy 221112ttt .2t 完完例例解解求由擺線的參數方程求由擺線的參數方程 )cos1()sin(tayttax所表示的函數所表示的函數的二階導數的二階導數. .)(xyy dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin ),2(Znnt dxdydxddxyd22 ttdxdcos1sindtdxttdtd1cos1sin 2)cos1(1)cos1(1cos11tatat ).,2(Znn

59、t 完完課堂練習課堂練習1.求由方程求由方程)ln(sinyxy 所確定函數的所確定函數的二階導數二階導數.22dxyd2.,)1(tan2xxy 求求.y 1.解解求由方程求由方程)ln(sinyxy 所確定函數的所確定函數的二階導數二階導數.22dxyd方程兩邊對方程兩邊對x求導得求導得),1(1cosyyxyy ,1cos)(1 yyxy故故21cos)(1cos)( yyxyyxy21cos)(sin)(cos)1( yyxyyyxyy.1cos)(sin)(cos)(32 yyxyyxyyx2.,)1(tan2xxy 求求.y 解一解一這是冪指函數，用對數求導法，這是冪指函數，用對數

60、求導法，取對數，得取對數，得).1ln(tanln2xxy 兩邊求導，得兩邊求導，得,12tan)1ln(sec1222xxxxxyy 即即.1tan2)1ln(sec)1(222tan2 xxxxxxyx先兩邊先兩邊內容小結內容小結1. 隱函數的導數隱函數的導數隱函數即由方程隱函數即由方程0),( yxF所確定的函數所確定的函數).(xfy 直接在方程直接在方程0),( yxF兩邊對兩邊對x求導再解出求導再解出,y 但應注意但應注意F對變元對變元y求導時，求導時，要利用復合求導法則要利用復合求導法則 .2. 對數求導法對數求導法當函數式較復雜當函數式較復雜(含乘、除、乘方、開方、冪指含乘、除