1、輔導答疑第一章 微積分的基礎和研究對象1.問：如何理解微積分（大學數學）的發展歷史？微積分與初等數學的主要區別是什么？答：微積分的基礎是-集合、實數和極限，微積分的發展歷史可追溯到17世紀，在物理力學等實際問題中出現大量的（與面積、體積、極值有關的）問題，用微積分得到了很好的解決。到19世紀，經過無數數學家的努力，微積分的理論基礎才得以奠定。可以說，經過300多年的發展，微積分課程的基本內容已經定型，并且已經有了為數眾多的優秀教材。但是，人們仍然感到微積分的教與學都不是一件容易的事，這與微積分學科本身的歷史進程有關。微積分這座大廈是從上往下施工建造起來的。微積分從誕生之初就顯示了強大的威力，解

2、決了許多過去認為高不可攀的困難問題，取得了輝煌的勝利，創始微積分數學的大師們著眼于發展強有力的方法，解決各式各樣的問題，他們沒來得及為這門學科建立起嚴格的理論基礎。在以后的發展中，后繼者才對邏輯細節作了逐一的修補。重建基礎的細致工作當然是非常重要的，但也給后世的學習者帶來了不利的影響，今日的初學者在很長一段時間內只見樹木不見森林。微積分重用極限的思想，重用連續的概念，主要是在研究函數，屬于變量數學的范疇。而初等數學研究不變的數和形，屬于常量數學的范疇。2問：大學數學中研究的函數與初等數學研究的函數有何不同之處？答：在自然科學，工程技術甚至社會科學中，函數是被廣泛應用的數學概念之一，其意義遠遠超

3、過了數學范圍，在數學中函數處于基礎核心地位。函數不僅是貫穿中學代數的一條主線，它也是大學數學這門課程的研究對象。大學數學課程中，將在原有初等數學的基礎上，對函數的概念、性質進行重點復習和深入的討論，并采用極限為工具研究函數的各種分析性質，進而應用函數的性質去解決實際問題。第二章 微積分的直接基礎-極限1問：阿基里斯追趕烏龜的悖論到底如何解決的？答：阿基里斯追趕烏龜的悖論是一個很有趣的悖論。如果芝諾的結論是正確的，則追趕者無論跑得多么快也追不上在前面跑的人，這顯然與我們在生活中經常見到的現象相違背。 芝諾的說法中有合理的成分：阿基里斯追趕烏龜的過程確實是一個無窮的過程-一個無窮的位置變

4、化過程。芝諾的說法中的錯誤在于：他把阿基里斯追趕烏龜的無窮的位置變化過程與無窮的時間變化過程混為一談了。 芝諾的結論"阿基里斯永遠也追不上烏龜"中的"永遠"一詞，指的當然是"時間"。條件中談的是"位置"的變化，結論卻談"時間"，這是芝諾悖論偷梁換柱之所在。事實上，阿基里斯追趕烏龜的悖論的解決借助于高等數學的一部分重要內容-無窮級數，在那里，我們將會看到，盡管是無窮多個數相加，卻可以等于一個有限的數。雖然芝諾將追趕時間一段一段敘述，造成無窮多個時間的迷惑，實際上，這無窮多個時間的和是個有

5、限的數。從而，阿基里斯在有限的時間內就可以追趕上烏龜了，這與我們的生活常識一致。2問：極限的定性描述和定量描述有何不同之處？答：極限的定性描述是用所謂的描述性語言，例如，“無限趨近”“越來越靠近”這些都只是一種模糊的描述，一種直觀的想象，缺乏精確性；為避免直觀想象可能帶來的錯誤判斷，作為微積分工具的極限概念，必須有定量描述的精確定義。在R.克朗的名著數學是什么一書中，數學大師也提到：定量描述極限的語言接受起來有一定的心理上的困難，但是文科學生要通過這種定量定義，理解、領悟、欣賞數學語言區別于自然語言的簡潔、一義、科學、嚴謹的方面。 3問：如何理解連續的概念？連續函數有什么應用？答：自然界中連續

6、變化的現象是很多的，例如，我們身邊的容易理解例子：空氣的流動，植物的生長，溫度的變化，這種種現象反映到數學的函數關系上，就是函數的連續性。實際遇到的情形是：當自變量的改變非常小時，相應的函數值改變也非常小。例如，氣溫作為時間的函數，就有這種性質。一天之中的溫差可能很大，但考慮時間間隔很短的瞬間，溫度的改變將是很微小的。連續函數是大學數學中著重要討論的一類重要函數。一方面，連續函數是人們在科學實驗，生產實踐中經常碰到的一類函數（例如，初等函數在其有定義的區間內均為連續的）；另一方面，在數學上，人們經常用連續函數去逼近非連續函數，進而研究非連續函數的性質和近似計算函數值。第三章 變量變化速度與局部

7、改變量估值問題-導數與微分 1.問：導數是如何引進的？舉例說明導數的實際運用。答：在生產實踐和科學實驗中，常常需要研究函數相對于自變量變化的快慢程度。例如，要預報人造地球衛星飛過各大城市的時間，就要知道衛星的飛行速度，要研究軸和梁的彎曲變形問題，就必須會求曲線的切線的斜率，等等。求曲線的切線斜率、求速度的問題，叫做求變化率的問題，數學上稱為求導數。例如，我們可以應用導數的概念，證明旋轉拋物面的光學性質。（拋物線繞它的對稱軸旋轉所形成的曲面就是旋轉拋物面。放在焦點處的光源所發出的光，經過旋轉拋物面各點反射之后就形成平行光束，人們利用這一性質制造需要發射平行光的燈具，例如，探照燈、汽車前燈等）。2

8、.問：如何理解微分的概念？答：可以從多個角度和方面來理解和加深對微分的認識。1）從幾何角度考，微分正好是切線函數的增量；2）從代數角度看，微分是增量的線性主要部分，二者之差是一個高階無窮小量；3）有了微分的概念以后，可以把導數的記號解釋為與之商：，故導數也稱為微商；4）可以利用微分做近似計算和誤差估計（），但精度受限。第四章 導數的應用問題-洛必達法則、函數的性質和圖像1.問：微分學的中值定理的作用？如何運用中值定理解決問題答：微分中值定理是由函數的局部性質來研究函數的整體性質的橋梁，其應用十分廣泛。在具體處理問題時，注意首先確定函數以及討論的區間，判斷函數在所討論的區間上是否滿足中值定理的條

9、件。人們常用中值定理證明某些不等式或者涉及函數和它的一階導數的問題。補充一點：中值定理有三種常用的形式：Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，這三種形式一個比一個適用范圍要廣。但最常用的還是Lagrange中值定理，故人們一般提到微分中值定理時均指Lagrange中值定理。2.問：應用計算不定式極限的一般方法-洛必達法則時，有什么注意事項？答：1）洛必達法則可以處理7種函數不定式極限，十分好用；但是在極限不存在的情況下，洛必達法則失效；故，不能從極限不存在推出極限不存在；2）盡管洛必達法則只針對未定式是函數的極限形式，但對于未定式是數列的極限形式，可以通過歸結原則

10、將數列極限轉化為函數極限，再利用洛必達法則。（注意：沒有數列極限的洛必達法則）3. 問：利用導數研究函數的圖像和進行函數圖像的繪制與初等數學中的描點作圖的區別是什么？答：中學代數應用描點法繪制了一些簡單函數的圖像。但是應用描點法得到的函數是比較粗糙的，這是因為，描點法所選取的點不可能很多，而一些關鍵的點，如極值點、拐點等可能被漏掉；曲線的單調性、描述其彎曲性質的凸性等一些重要性態常常得不到確切的反映。因此，用描點法所描繪的函數圖象常與真實的函數圖象相差很多。現在，有了微積分這個工具，我們已經掌握了應用導數討論函數單調性、極值、凸性、拐點、漸近線等的方法，再結合前面所講的周期性、奇偶性等知識就能

11、比較準確地描繪函數的圖像。注意，利用微積分的方法作圖，也具有一定的局限性，更何況許多實際問題所得到的函數不一定可以用公式表示的，而只是測得一系列數據，因而數值計算適當地多算出一些點，然后描點作圖，仍不失為一種有效的作圖方法。隨著電子計算機的發展和應用的普及，用描點作圖就更方便、更精確了。第五章 微積分的逆運算問題-不定積分1.問：不定積分與原函數是同一個概念嗎？答：不是同一個概念。前者是一個集合，是所有原函數構成的集合，后者是集合中的一個元素。2問：不定積分運算與微分運算（求導運算）有何關系？答：由不定積分的定義，有如下關系式： 或 或 由此可見，微分運算 (記號為) 與不定積分運算 (記號為

12、)是互逆的。當記號合在一起時，或者抵消，或者抵消后差一個常數。3.問：第一類換元積分法與第二類換元積分法有何不同？答：第一類換元積分法：若連續可導, 則。第二類換元積分法：設是單調的可微函數,并且又具有原函數. 則有換元公式不同在于：前者是作變量代換，后者是作變量代換。在求不定積分時，先考慮用第一換元積分法，即湊微分法，如果用此法失效，再考慮用第二換元積分法。4.問：在分部積分法如何選取？答：在分部積分公式中，一般來說，選取的原則就是：使得比簡單，具體說有2個原則：（1）積分容易者選為；（2）求導簡單者選為，在二者不可兼得的情況下，首先要保證的是前者。在分部積分法中常用湊微分的形式將湊成，因此

13、應熟記常見的湊微分形式。5.問：是不是所有的初等函數都可以求出其不定積分？答：不是。如都“積不出來”，它們都不能用初等函數表示。第六章 求總量的問題-定積分1.問：定積分與不定積分有何區別？答：定積分和不定積分有很大的不同，不定積分表示函數的所有原函數構成的集合，而是一個常數。并且定積分有明顯的幾何意義。但在計算方法上二者是相通的，各種求不定積分的方法都適用于定積分，結合牛頓-萊布尼茲公式便可以求得定積分。2.問：積分中值定理與微分中值定理有何區別？答：積分中值定理：如果函數在閉區間上連續，則在積分區間上至少存在一點，使下式成立:。積分中值定理中的在整個閉區間上取值，且結論中含有的是函數在處的

14、函數值，而不是函數在處的導數。而微分中值定理中的在開區間內取值，且結論中含有的是函數在處的導數。第七章 偶然中蘊含必然的問題-概率統計初步1問：隨機現象有規律性嗎？答： 有。 例如：在相同條件下，多次重復地拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的次數大致占總拋擲次數的一半，再如：從嬰兒出生的調查來看，男、女嬰孩的可能性各占一半。這種規律性稱為統計規律性。在大量試驗中才顯示出來，不是個別試驗或某個對象顯示的特性。 2.問： "頻率"與"概率"之間有何關系？ 答：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數與試驗總次數的比值，它具有一定的穩定性，即穩定在某一常數附近，而偏離的

15、可能性很小。為了說明這種規律，我們把這個常數稱為這個隨機事件的概率，即頻率的穩定值就是時間的概率。它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小，而頻率在大量重復試驗的前提下可近似地作為這個事件的概率。例如，一根棒在一定條件下具有"長度"這一特性，而我們通常用某次測量的結果作為其長度。 3.問："互斥"與"等可能"的區別是什么？ 答："互斥事件"和"等可能事件"是迥然不同的兩個概念。在一次試驗中，由于某種對稱性條件使得若干個隨機事件中每一事件發生的可能性是完全相同的，則稱這些事件為等可能事件。在數目

16、上它可為2個或多個。而互斥事件僅指不可能同時發生的兩個事件。例如：擲一個均勻骰子，"出現1或2"與"出現2或3"這兩個事件是等可能的，但它們不是互斥事件。4.問："事件互斥"和"事件對立"的關系如何？答：互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發生的事件。因此，對立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說,"互斥"是"對立"的必要但不充分的條件。例如：擲一個均勻骰子，"出現1點"和"出現2點"是互斥的

17、，但不是對立的，因為有可能1點和2點都不出現。又如：擲一個硬幣，"出現正面"和"出現反面"是對立的。 5.問：如何理解“兩個事件相互獨立”這一概念，如何判斷兩個事件是否相互獨立？答：在實際生活中，我們常常注意到事件之間的聯系。例如：“昨天晚上沒休息好”和“今天考試成績差”是有聯系的。雖然沒休息好不一定導致成績不好，但增大了成績不好的可能性。“兩個事件互不影響”抽象為數學模型，就得到“獨立事件”的數學概念，但我們還要注意兩者之間的差別。前一句話，是日常生活用語，是不準確的，如果用它來代替“獨立事件”的概念，就會產生錯誤。例如：“廣州下雨”和“北京在同一天下

18、雨”這兩個事件，看來是互不相關的，但是它們并不是互相獨立的事件。又如擲一個均勻的骰子，“出現偶數點”和“出現1或2”這兩個事件是互相獨立的，但如果骰子不是均勻的，那么這兩個事件就不一定互相獨立的。所以，判定兩個事件A,B是否相互獨立，一般要按定義，即根據條件是否成立來決定。在實際問題中，判斷兩個事件的獨立性常常可憑經驗，只要一個事件發生與否不影響另一個事件發生的概率，或者兩個事件之間沒有關聯或關聯很微弱，就可以認為這兩個事件相互獨立。6.問： 如何求“至少.”或“至多.” 等事件發生的概率？答： 求某個事件的概率時，常遇到求“至少.”或“至多.” 等事件概率的問題。若從正面考察這些事件，它們往往是諸多事件的和或積，求解時很繁瑣。但“至少.”、“至多.”這些事件的對立事件卻又比較簡單，且其概率也很容易求出。此時，采用先求其對立事件的概率，然后再求原來事件的概率。7.問： 如何正確看待"小概率事件"？ 答："小概率事件"通常指發生的概率小于5%的事件。對于這類事件來說，在大量重復試驗中，平均每試驗20次才發生1次，所以認為小概率事件在一次試驗中是幾乎