1、泰山學院信息科學技術學院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱高等數(shù)學研究授課對象授課題目第九講定積分的證明題與應用課時數(shù)2教學目的通過教學使學生掌握有關定積分的存在性問題與不等式的證明方法，掌握微元法、面積、體積及弧長的計算。重點難點1不定積分有關的的存在性問題的證明；2不定積分有關的的不等式的證明；3面積、體積、弧長的計算。教學提綱第九講定積分的證明題與應用一、定積分的性質(zhì)二、定積分證明題（）存在性證明（）積分表示的不等式的證明三、定積分應用1微元法2面積（1）直角坐標情形（2）極坐標情形3體積4弧長1）y=f(x)在區(qū)間a,b上可導，且連續(xù)，則在a,b上的曲線可求長，且弧長，是弧長公式。 2）

2、參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則教學過程與內(nèi)容教學后記第九講定積分的證明題與應用一、定積分的性質(zhì)（）當時，.（）線性性：（）區(qū)間可加性：（）不等性：上，則.（）積分中值定理：如果函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使.當時二、定積分證明題1.存在性證明例1:在上連續(xù)，在上可導，又，證明存在，使得。【分析】凡是微分中值定理中又涉及積分中值定理的，應首先應用積分中值定理獲取一些特定點的函數(shù)值信息，再用微分中值定理證明。【證明】在上連續(xù)，在上使用積分中值定理得，存在，即 ，在上使用羅爾中值定理知存在，使得。例:在上連續(xù)，在上二階可導，又，證明存在，使得。【分析】先用積分中值定理

3、知存在，三次使用羅爾定理得證。【證明】略例:在上連續(xù)，在上二階可導，證明存在，使得。例:在上連續(xù)，在，證明存在不同的點，使得。【證】令，存在使得，,兩次使用中值定理得證。2. 積分表示的不等式的證明例:比較大小【證明】在上，例: 設f(x),g(x)在0，1上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對任何a,有證：，則F(x)在0，1上的導數(shù)連續(xù)，并且，由于時，因此，即F(x)在0，1上單調(diào)遞減.注意到，而 =，故F(1)=0.因此時，由此可得對任何，有例7:設f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，xÎ a , b)，.證明：.【證明】令F(x) = f (x) -g(x)

4、，由題設G(x) ³ 0，xÎ a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) ³ 0，xÎ a , b，故有，即 .因此 .例:設f (x) 在上連續(xù)，且單調(diào)減小，證明，當時，【證明】令.三、定積分應用1微元法許多可以化為求在區(qū)間a , b上的定積分的實際問題，都可以用這種方法處理，這個方法稱為：元素法。其步驟如下：2面積（1）直角坐標情形設圖形由，（a<b）圍成，且， 則所圍成的面積A：例：計算由曲線。【解】 所以：S =（2）極坐標情形設圖形由圍成的曲邊扇形，任取上的小曲邊扇形，則：例：計算心形線(常數(shù)a)所圍成圖形的面積：【解】該心形線所圍成圖形為心狀，根據(jù)求曲邊扇形的面積公式：再根據(jù)圖形的對稱性知，所得面積：。3體積（1）平行截面已知的立方體體積:.（2）旋轉體的體積:對曲線, , .例10：過點作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉體體積。【解】設切點為切線方程Q切點在切線上，切線方程：。4弧長(1)y=f(x)在區(qū)間a,b上可導，且連續(xù)，則在a,b上的曲線可求長，且弧長