1、才子教育小學(xué)奧數(shù)系列第 10 講巧用列舉法解題巧點晴方法和技巧用列舉法解題時需要掌握以下三點：（ 1）列舉時應(yīng)注意次序，有條理地列舉，不能雜亂無章地羅列；（ 2）根據(jù)題意，按范圍和各種情況分類考慮，做到既不重復(fù)又不遺漏；（ 3）排除不符合條件的情況，不斷縮小列舉的范圍。巧指導(dǎo)例題精講A 級沖刺名校·基礎(chǔ)點晴【例 1】明明從家到學(xué)校有2 條路可走，從學(xué)校到少年宮有4 條路可走，明明從家經(jīng)過學(xué)校到少年宮共有幾種走法？分析與解 為了幫助我們理解題意， 可畫出下圖，用表示其中的 6 條路。我們把明明的不同走法一一列舉如下：明明家第一種走法：家第二種走法：家第三種走法：家第四種走法：家第五種走

2、法：家學(xué)校學(xué)校學(xué)校學(xué)校學(xué)校學(xué)校少年宮少年宮少年宮少年宮少年宮少年宮第六種走法：家第七種走法：家第八種走法：家學(xué)校 少年宮學(xué)校 少年宮學(xué)校 少年宮根據(jù)以上列舉可知，明明從家經(jīng)學(xué)校到少年宮，從家到學(xué)校有 2 種不同的走法，從學(xué)校到少年宮有 4 種不同的走法，共有（ 4×2=）8種不同的走法。答：明明從家經(jīng)過學(xué)校到少年宮共有8 種走法。做一做 1從甲地到乙地，有2 條直達鐵路；從乙地到丙地，有3 條直達公路。問從甲地經(jīng)過乙地到丙地有多少種不同的走法？【例 2】用 5，6，7 三張數(shù)字卡片可以排出哪幾個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析 用 5，6，7 三張數(shù)字卡片，很容易排出一些不同的三位數(shù)出來，

3、例如 567，765 等等，但要把所有可能排出的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)都寫出來， 這就需要一定的方法了。 我們不妨用列舉法試一試。先考慮百位，再考慮十位，最后考慮個位。（ 1）首先百位排 5。當(dāng)百位排上 5 后，剩下 2 張卡片： 6 和 7。因此十位可排 6 也可排 7。如果十位排 6，則剩下一張卡片 7 排在個位，得到三位數(shù) 567；如果十位排 7，則剩下一張卡片 6 排在個位，得到三位數(shù) 576。（ 2）其次百位排 6。當(dāng)百位排上 6 后，剩下 5 與 7 兩張卡片。因此十位可排 5 或 7，再討論個位，可得兩個三位數(shù)： 657 及 675。（ 3）最后百位排 7。與上面討論方法相似，可得

4、兩個三位數(shù)：756 及 765。這樣，我們共能排出 6 個不同的三位數(shù)。 這 6 個三位數(shù)數(shù)字沒有重復(fù)，并且已把所有情況都考慮過了。不信你可以剪三張卡片，寫上5，6，7 并動手試一試。百位十位個位解上面的思考過程可通過圖567（表格）或圖來表示。 這兩種方法你576認(rèn)為哪種好用就用哪一種。65767（5 6 7）576（5 7 6）675756657（6 5 7）765所求的三位數(shù)75（6 7 5）56（7 5 6）765（7 6 5）做一做2用 4，9，6三個數(shù)，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【例 3】某副儀器商店現(xiàn)存有 5 千克重的糖果 10 箱，2 千克重的糖果 4 箱， 1 千克

5、重的糖果 6 箱。一位顧客要買 10 千克糖果，為了攜帶方便要求不開箱。 問怎么給這位顧客發(fā)貨？有多少種發(fā)貨方法？分析與解分兩大類列舉出各種情況：有 5 千克一箱的，沒有 5千克一箱的。然后用表格列出。按先5 千克，再 2 千克，最后 1 千克的順序發(fā)貨。箱重5 千克2 千克1 千克所200121取113箱105數(shù)042034026答：共有 7 種發(fā)貨方法，發(fā)貨方法由上面表格列出。做一做 3 某人到銀行取現(xiàn)金 183 元，營業(yè)員抽屜中只有 50 元的鈔票 4 張， 10 元的鈔票 3 張， 5 元的鈔票 2 張， 2 元的鈔票 1 張， 1 元的鈔票 6 張。問有多少種付法？B 級培優(yōu)競賽&#

6、183;更上層樓【例 4】有 1 克、2 克、4 克、8 克的砝碼各一只，用它們每稱一次得一個重量，求一共可以稱出多少種不同的重量？分析與解 用 1 克的砝碼，可稱出 1 克的重量；用 2 克砝碼，可稱出 2 克的重量；用 1 克與 2 克的砝碼，可稱出 3 克的重量。依照上面的稱法，還有：4=48=848=1214=518=9148=1324=628=10248=14124=7128=111248=15所以，用所給的砝碼可以稱出1 克至 15 克的全部整數(shù)克的重量，共 15種。答：一共可以稱出15 種不同的重量。做一做 4 有 1 克、 2 克、 4 克、 8 克、 12 克的砝碼各一只，用

7、它們每稱一次得一個重量，求一共可以稱出多少種不同的重量？【例 5】 兩個自然然的積是 96，它們的和是 22。問這兩個自然數(shù)分別是多少。分析與解 1 由于這兩個自然數(shù)的和是 22，利用列表法來一一列舉這兩個自然數(shù)。一個加數(shù)1234567891011另一個加數(shù)2120191817161514131211乘積214057728596105112117120121從表中可看出：積是 96，和是 22 的這兩個自然數(shù)分別是6與16。分析與解 2由于這兩個自然數(shù)和積是96，而 96的約數(shù)有 1，96，；2，48；3，32；4，24；6，16；8，12。利用列表法一一列舉，找出和是 22 的這兩個自然數(shù)。

8、一個約數(shù)123468另一個約數(shù)964832241612和975035282220答：積是 96，和是 22 的這兩個自然數(shù)分別是6和16。做一做 5 兩個自然數(shù)和積是98，它們的和是 21。求這兩個自然數(shù)分別是多少。【例 6】 從 19 這 9 個數(shù)中，每次取 2 個數(shù)字，這 2 個數(shù)的和必須大于 10。問能有多少種不同的取法？分析與解不同的取法可列舉如下：2與 9（1種）3 與 8，3 與 9（2 種）4 與 7，4 與 8，4 與 9（3 種）5 與 6，5 與 7，5 與 8，5 與 9（4 種）6 與 7，6 與 8，6 與 9（3 種）7 與 8，7 與 9（2 種）8 與 9（1

9、種）答：共有（ 1234321=）16 種不同的取法。做一做 6 從 1，2， 100 這 100 個數(shù)中，每次取 2 個數(shù)，使其和大于 100，問共有多少種不同的取法？C級 （選學(xué)）決勝總決賽·勇奪冠軍【例 7】有一批長度分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11cm 的細(xì)木條，它們的數(shù)量足夠多，從中適當(dāng)選取3 根木條人微言輕三條邊，可圍成一個三角形，如果規(guī)定底邊是11cm，你能圍成多少個不同的三角形。分析與解 1因為三角形的兩邊之和大于第三邊，故以兩邊之和大于 11 構(gòu)成三角形可分為11 類，列表如下：取為一條邊的再取為另一條細(xì)木條的可能構(gòu)成三角形個數(shù)細(xì)木條長度長度11

10、11210，11239，10，11348，9，10，11457，8，9，10，11566，7，8，9，10，11677，8，9，10，11588，9，10，11499，10，1131010，11211111從表中可看出共有2×1（12345）6=36 個不同三角形。分析與解 2設(shè)三角形的最短邊長為 , 次短邊長為 b，最長邊長是 11，則必有 26b11, 故 b6。按次短邊的長分為以下 6 類，列表如下：b 取值可能取值（ b11）三角形個數(shù)66175，6，7384，5，6，7593，4，5，6，77102，3，4，5，6，79111，2，3，4，5，6，711從表中可以看出共有

11、1357911=36 個三角形。做一做 7已知五條線段的長分別是3，5，7，9，11，如果每次以其中三條線段為邊可以組成三角形， 那么最多可以組成多少個不同的三角形？巧練習(xí)溫故知新（十）A 級 沖刺名校·基礎(chǔ)點睛1有一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大3，百位上的數(shù)字是個位上的數(shù)字的平方，問這個三位數(shù)是多少？2有甲、乙、丙、丁、戊五個足球代表隊進行比賽，每個隊都要和其他隊賽一場，問總共要賽多少場？3某班學(xué)生訂閱A， B，C 三種雜志，每人最多訂閱兩種，最少訂閱一種，問共有多少種訂閱方法？4馬拉松長跑比賽中有100 名運動員，分別給他們 1100 的號碼布，問號碼布上的數(shù)字7 的運

12、動員有多少名？5兩個人見面都要握一次手，照這樣規(guī)定，問6 人見面共互想握手多少次？B 級 培優(yōu)競賽·更上層樓6有紅、黃、藍(lán)色的小旗各 1 面，從中選用 1 面、 2 面或 3 面升上旗桿，表示各種不同信號，問一共可以表示多少種不同信號？ （順序不同表示不同信號）7已知三個自然數(shù)的乘積等于12，這三個自然數(shù)分別是多少？8把分別寫有 5，6，7，8 的四張卡片，排成一個三位數(shù)，使它是 5 的倍數(shù)，請你把所有這樣的三位數(shù)寫出來。9用分別寫有2，3，4，的三張卡片，能排成多少個不同的三位偶數(shù)？寫出這些數(shù)來。10有 1 枚伍分幣、 4 枚貳分幣、 8 枚壹分幣，要組成8 分錢，問有多少種不同的

13、組成方法？（請你用列表法解答）C級 （選學(xué)）決勝總決賽·勇奪冠軍11從 1，2，3，4，5 中選出四個數(shù)填入下圖中的方格內(nèi)，使得右邊的數(shù)比左邊的大，下面的數(shù)比上面的大。問共有多少種填法？（1993 年小學(xué)教學(xué)奧林匹克初賽試卷A 卷）6712用一臺天平和質(zhì)量為1 克、 3 克、 9 克的砝碼各一個（不再用其他物體），可稱出多少種不同的質(zhì)量？13現(xiàn)有 1 克、2 克、3 克重的天平砝碼，要用10 個砝碼稱出重20 克的物體。（ 1）在取出的砝碼中，設(shè)有 3 個 1 克重的砝碼，那么 3 克的砝碼應(yīng)有多少個？（ 2）設(shè)任一種砝碼至少取一個，除（ 1）的情況處，取出的砝碼還有哪幾種情況？14. 有 A，B 兩種鋼筆，它們的單價都是整整元，且 A 種鋼筆比 B種鋼筆貴，如果將這兩種筆各買一支，共需 17 元。葉老師打算用 35 元錢來買這兩種筆 （或只買其中的某一種鋼筆） ，可是他無論怎么買，都不能把 35 元錢恰好用完。問 A 種鋼筆的單價是多少元？15