1、多邊形名師教案(人教版八年級上冊數學)11.3 多邊形及其內角和11.3.1 多邊形(王中煒)一、教學目標1 .學習目標(1) 1.1.1 了解多邊形及有關概念.(2) 1.1.2多邊形對角線條數.(3) 1.1.3區別凸多邊形與凹多邊形，理解正多邊形的概念 .2 .學習重點多邊形對角線條數公式的推導.3 .學習難點區別凸多邊形與凹多邊形，理解正多邊形的概念.二、教學設計(一)課前設計1.預習任務(1)在平面內，由一些線段首尾 相接組成的 封閉圖形 叫做多邊形.(2)多邊形 相鄰兩邊 組成的角叫做多邊形的內角.(3)多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.(4)連接多邊形不相鄰的

2、兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.(5)各個角 都相等,各條邊 都相等的多邊形叫做正多邊形.任務2(6)如圖，五邊形ABCDIW 5 條邊，它們分別是 AB BC CD DE EA;有 5一個 內角，它們分別是 /A、/B、/C /D、/E .在下圖中畫出以A為端點的所有 對角線.該五邊形一共有_5一條對角線.(1)下列圖形中，是正多邊形的是()A直角三角形 B等腰三角形 C.長方形 D.正方形【知識點】正多邊形概念【解題過程】A直角三角形 有一個是直角，其它角不是.所以不是正多邊形；B.等腰三角形 只有有兩邊相等.所以不是正多邊形；C.長方形四個角相等，但四條邊不相等.所以不是正多邊形；D正

3、方形四個角相等，四條邊相等，所以是正多邊形.【思路點撥】正多邊形的邊、角都要相等【答案】D(2)六邊形的對角線有()A6條B.3條C.9條 D8條【知識點】多邊形對角線條數公式【解題過程】解：*3)=9 2【思路點撥】運用多邊形對角線條數的公式計算即可 .【答案】C(二)課堂設計1 .知識回顧(1)由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接成的封閉圖形叫三角形(2)三角形內角和為180° .(3)三角形一邊延長線和另一邊的夾角叫三角形的外角 .2 .問題探究探究一師問：看下面的圖片，其中的房屋結構、蜂巢結構是由一些線段圍成的什么圖形?學生通過預習和已有的生活經驗能回答出五邊形、六邊形，教

4、師順勢板書多 邊形概念.多邊形及有關概念：這種在平面內，由一些不在同一條直線上的線段首尾順 次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.活動多邊形概念的剖析師問：同學們，以上多邊形的概念中關鍵詞有哪些？學生小組討論，舉手發言.說到一處，老師就用紅色粉筆在黑板上標記一處.(1)同一平面(與三角形概念不相同的地方)；(2)不在同一條直線上；(3)首尾順次相接；(4)封閉.活動與多邊形相關的概念多邊形的命名：多邊形按組成它的線段的 條數分成三角形、四邊形、五邊 形、n邊形.這就是說，一個多邊形由幾條線段組成，就叫做幾邊形.三角形 是最簡單的多邊形.多邊形的內角：與三角形類似地，多邊形 相鄰兩邊組成的角叫做多邊形

5、的內 角.如圖中的/ A、/ R /C、/D E E.多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外 角.(一個頂點處有兩個外角，它們是一組對頂角，是相等的.但在計算外角和時， 一個頂點只選一個外角)如圖中的/ 1是五邊形ABCD的一個外角.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.【設計意圖】引導學生觀察發現，從生活中抽象出多邊形的模型，了解多邊形的 相關概念.同時在多邊形概念上體會數學語言的嚴密性.問題探究二多邊形對角線條數四活動 動手操作，大膽猜想，從多邊形的一個頂點可引多少條對角線 ? 師問：同學們，從一個頂點引對角線，四邊形可畫幾條對角線

6、？五邊形可畫幾條對角線？六邊形可畫幾條對角線？請同學們動手畫圖看看 .（培養學生的動 手操作能力）你能猜想從一個頂點引對角線，n邊形可引多少條對角線嗎？（培養學生的觀察分析能力，體現由特殊到一般的數學思維模式）活動集思廣益，合作探究多邊形共多少條對角線 ？四邊形共有幾條對角線？五邊形共有幾條對角線？六邊形共有幾條對角線？你能猜想n邊形有多少條對角線嗎？說說你的想法.因為從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，n個頂點共引n（n-3）條對角 線，又由于連接任意兩個頂點的兩條對角線是相同的，被重復計算了.所以，n邊形有nn二義條對角線.2【設計意圖】鼓勵學生獨立自主探究，讓學生初步感受通過動手

7、操作來掌握 多邊形對角線條數，在其探究過程訓練學生嚴密的邏輯推理能力.例1.填空：（1）十邊形有個頂點，個內角，個外角，從一個頂點出發可畫 條對角線，它共有 條對角線.（2）從多邊形一個頂點出發畫對角線將它分成了四個三角形，這個多邊形是邊形.【知識點】多邊形相關概念和對角線條數【解題過程】（1） 一個n邊形有n個頂點，n個角，2n個外角，從一個頂點能畫出（n一 3）條對角線，共有n（n2 3）條對角線;將n = 10代入即可.（2） 一個n邊形從一個頂點可以引（n3）條對角線，把n邊形分成（n 2） 個三角形，所以n2=4, n=6,這個多邊形是六邊形.【思路點撥】根據概念逐一填寫，根據公式代

8、入求值.【答案】（1） 10 10 20 7 35（2）六問題探究三 活動凸多邊形和凹多邊形£1師問：請同學們認真觀察，下面的兩個多邊形有什么不同？17 / 13在圖（1）中，畫出四邊形ABC的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這 條直線的同一側，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而 圖（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我們畫 B所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側（某一條邊所在的直線將多邊形分成兩部分），我們稱它 為凹多邊形.注意：今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形活動正多邊形的概念我們知道，等邊三角形、正方形的各個角都相等，各條邊都相等，像這樣各 個

9、角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形卜面是正多邊形的一些例子.正六邊形【設計意圖】教師要求學生自己去解決這兩個問題， 可以通過討論、交流的形式去解決，完成以后，教師可以隨機地畫幾個多邊形讓學生進行凸、 凹多邊形 的區分.對于正多邊形的概念，關鍵讓學生掌握住各邊都相等，各角都相等，二 者缺一不可.同時培養學生的動手實踐和觀察分析能力.【例2】 下列說法正確的個數有().(1)各邊都相等的多邊形是正多邊形；(2)由四條線段首尾順次相接組成的圖形是四邊形；(3)各角都相等的多邊形一定是正多邊形；(4)同一正多邊形的各個外角都相等.A. 2B. 1 C. 3 D. 4【知識點】正多邊形的概念【解

10、題過程】(1)不正確，各邊都相等，各角也都相等的多邊形才是正多邊形，這兩個 條件必須同時具備，如菱形雖然四邊都相等，但它不是正多邊形；(2)不正確，一是要在同一平面內，二是不能在同一條直線上；(3)不正確，如長方形四個角都是直角，都相等，但邊不一定相等，所以不是正多邊形；(4)正確，因為同一正多邊形各個內角都相等，同頂點的內角與外角互為 鄰補角，所以各個外角也相等.故選 B.【思路點撥】強調邊和內角都要相等的多邊形才能判定其為正多邊形.【答案】B3 .課堂總結【知識梳理】(1)多邊形相關定義.(2) n邊形對角線條數公式：nn速.2(3)凹、凸多邊形的區別，正多邊形的特點.【重難點突破】在對角

11、線條數公式的探究過程中，從一個點能引幾條對角線到所有點一共能 引多少條對角線，從四邊形、五邊形、六邊形共有幾條對角線到n邊形有多少條 對角線，遵循了由點到面、由特殊到一般的研究路徑，降低了學生的準入門檻.（三）課后作業基礎型自王突破1 .分別畫出卜列各多邊形的對角線，觀察思考 形有條對角線.DEDA.BA ，B【知識點】多邊形對角線條數【解題過程】畫圖部分如下圖：四邊形有2_CD:四邊形有條對角線,五邊C.條對角線，五邊形有_5_條對角線.A B A【思路點撥】根據對角線定義 【答案】2,5 .2.從六邊形的一個頂點出發， 條；B，將不相鄰的兩定點做連接畫出對角線.最多口以引殺對角線，具對角線

12、共有 【知識點】多邊形對角線【解題過程】6-3 = 3, 6父（6-3）=92【思路點撥】根據n邊形的一個頂點可引對角線條數為：數公式：nn二2,將n=6代入即可求出答案。2【答案】3, 93.卜列圖中不是凸多邊形的是（） O /ABCABCDn-3和n邊形對角線條r 0D【知識點】凸多邊形與凹多邊形辨析【思路點撥】將多邊形的每一條邊都延長，被分割了的多邊形就是凹多邊形【答案】C4 .若從多邊形的一個頂點出發，最多可以引10條對角線，則它是（）A.十三邊形 B.十二邊形C.十一邊形 D.十邊形【知識點】從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線【解題過程】n-3=10, n =13.【思路點撥

13、】用公式直接建立方程即可.【答案】A5 .若一個多邊形共有十四條對角線，則它是（）A.六邊形 B. 七邊形C.八邊形 D.九邊形【知識點】n邊形對角線條數公式：nn辿.2【解題過程】勺=142n = 7【思路點撥】根據多邊形對角線條數公式直接建立方程.【答案】B6 .若一個多邊形的邊數增加1 ,它的對角線條數增加7,則它是（）A.六邊形 B. 七邊形 C.八邊形 D.九邊形【知識點】n邊形對角線條數公式：皿a2【解題過程】（n+1）（n+1-3）- 如3 = 722n=8【思路點撥】用多邊形對角線條數公式建立方程【答案】C能力型師生共研7.若一個多邊形的邊數減少1 ,它的對角線條數減少8,則它

14、是()A.八邊形，B. 十邊形 C.九邊形 D. H 邊形【知識點】n邊形對角線條數公式：叱22【解題過程】 8吐3) 一包三姐士3)=8,n=1022【思路點撥】用多邊形對角線條數公式建立方程【答案】B8 .若多邊形的邊數與對角條數之比是 2: 3,求這該多邊形的邊數.【知識點】n邊形對角線條數公式：他辿2【解題過程】當n=4時，對角線條數是2;當n=5時，對角線條數是5;當n=6 時，對角線條數是9;此時6: 9=2: 3.所以該多邊邊數是6.【思路點撥】由于學生還沒有學習一元二次方程， 用公式建立方程的做法還不能實施.只有根據公式逐一算出多邊形的對角線，再從計算結果中查找發現 .【答案】

15、6探究型多維突破9 .過m邊形的一個頂點有6條對角線，n邊形沒有對角線，求mn的平方根.【知識點】多邊形對角線條數【解題過程】解：由題意可得 m- 3=6,m= 9, n = 3,± mn= 土.【思路點撥】根據題意求出對應的 m、n的值，再代入求值.【答案】.10 .過a邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，b邊形有b條對條線.求(a-b)nl值？【知識點】n邊形對角線條數【解題過程】解：.過a邊形的一個頂點有7條對角線a-3=7即 a =10n邊形沒有對角線. n = 3.b邊形有b條對條線b = 5.(a-b)n=(10-5) 3 = 53 = 125【思路點撥】根據多

16、邊形對角線條數公式，和對角線條數有特殊性的多邊形 的理解.【答案】125自助餐：1 .下列圖形中，是正多邊形的是()A.直角三角形B.等腰三角形 C .長方形 D .正方形【知識點】正多邊形的概念【解題過程】A.直角三角形，不是B.等腰三角形，不是C.長方形 四個角相等，但四條邊不相等，不是D.正方形 四個角相等，四條邊相等， 是【思路點撥】強調正多邊形的每條邊、每個角都相等【答案】D2 .從n邊形的一個頂點出發共有對角線()A. (n-2)條 B . (n-3)條 C . (n-1)條 D . (n-4)條【知識點】多邊形對角線條數【思路點撥】除出發的頂點本身還有相鄰兩頂點外，和其它的每個頂

17、點連接 都可以成為一條對角線.【答案】B3 .已知多邊形的邊數恰好是從這個多邊形的一個頂點出發的對角線條數的2倍, 求此多邊形的邊數.【知識點】多邊形對角線條數【解題過程】解:n = 2( n-3)n = 6【思路點撥】根據對角線條數公式建立方程即可.【答案】6.4 .過m邊形一個頂點可引出6條對角線，n邊形共有5條對角線，則mn=【知識點】n邊形對角線條數【解題過程】解：.過m邊形的一個頂點有6條對角線m3=6即m =9.n邊形共有5條對角線. n = 5mn=9X 5=45【思路點撥】根據多邊形對角線條數公式，和對角線條數有特殊性的多邊形 的理解.【答案】455 . 一個多邊形的對角線的條

18、數等于它的邊數的 4倍，求這個多邊形的邊數.【知識點】n邊形對角線條數公式：皿a2【解題過程】解法一：解：設這是一個 n邊形，依題意得 皿=4n, n32且為整數， n=11.解法二：解：當n=4時，對角線條數是2;當n=5時，對角線條數是5;當n=6時，對角線條數是9;當n=7時，對角線條數是14;當n=8時，對角線條數是20;當n=9時，對角線條數是27;當n=10時，對角線條數是35;當n=11時，對角線條數是44;此時44-11=4.所以該多邊邊數是11.【思路點撥】由于學生還沒有學習一元二次方程， 用公式建立方程的做法還不能 實施.只有根據公式逐一算出多邊形的對角線，再從計算結果中查找發現.【答案】116 .網游星際爭霸頗受網迷的青睞。作為網游工程師，在編程的過程中，若有4個飛船相互射擊，射擊路線最多要設計多少條？若有5個飛船相互射擊，射擊路線最多要設計多少條？若有6個飛船相互射擊，射擊路線最多要設計多少條？若有n個飛船相互射擊，射擊路線最多要設計多少條？【知識點】多邊形對角線條數【解題過程】若有4個飛船，相當于四邊形的4個頂