1、小學奧數教程完美版目錄第一講奇妙的幻方 3練習卷 .9第二講可能性的大小游戲與對策 10練習卷 12第三講圖形的面積一 13第四講認識分數17練習卷21第五講行程中的相遇相遇問題 22練習卷26第六講公因數與公倍數27. 31綜合演練第一講幻方第一課時【知識概述】在一個nXn的正方形方格中，填入一些連續的數字，使得所有的橫、 豎、斜列所加之和都相等，這樣的正方形方格叫做幻方。幻方一般分為奇 數幻方和偶數幻方。n是 幾就 表示為 幾階幻 方。本講， 我們將來學習這方面的知識。例題講學例1在一個3X 3的表格內，填入1-9九個數，不能重復，不能 遺漏，使得3個橫列、3個豎列和2個斜列所加之和都相等

2、。 可以怎 樣填？【和為15】【思路分析】這樣的3X3幻方，在填寫時有一定的規律和口訣:1、四 為 肩，六、八 為 足，左七右三，戴九履一，五為中央。【注：戴指頭，履指腳。】試試填一填吧!幻方第二課時知識概述:上一講中，我們講述了如何填寫 3X 3的幻方，其實在幻方的知識世界里，像3 X 3、5X 5、7X 7 像這樣幻方，稱之為奇數幻方，這一講我們將來學習如何填寫五階幻方。例題：在一個5X 5的方格中，填入1-25這25個數字，使5個橫列、5個豎列、2個斜列所加之和都相等。先試試看！不容易，沒有 口訣真的不行，下面這個口訣要記牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框時左邊寫，上出框時下邊放

3、，雙出占位寫下方。你能按順序繼續寫下去嗎？試試看吧!幻方第三課時根據上講中的方法，把口訣運用到所有的奇數幻方中，可以繼續填寫 七階幻方、九階幻方、十一階幻方，本講，我們繼續試著填寫七階幻 方和九階幻方。【思路點撥】再來重溫一下口訣吧！一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框時左 邊寫，上出框 時下邊放，雙出占位寫下方。把1-81這81個數字填入下面表方格內，使得所有的橫、豎、斜列所加之和都相等。幻方第四課時上面三講我們學習了奇數幻方的填法，那么偶數幻方該怎樣填呢？下面這節課我們將來學習四階幻方的填法。例題講學將1-16這16個數填入下面這個4 X 4的方格內，使得所有的橫、豎、 斜列所加之和都相

4、等。【思路點撥】 首先，偶數幻方的填寫不像奇數幻方那樣有規律，它的填寫要 求是：調換數與數間的調換先把 1-16這16個數按順序填好。如：12345678910111213141516第二步：畫兩條對角線，把對角線所劃住的數字不動。%2395X7189/01213141516第三步：把對角線沒劃住的地方的數字進行交叉調換。2吒 , 34-5 128二 9 v=，最后形成新的方格。11514412679810115133216幻方第五課時知識概述對于幻方中偶數幻方的知識，是非常多的，至于八階幻方，十二階幻方等是四的倍數的幻方有統一的方法與技巧：偶階幻方分兩類：雙偶數：四階幻方，八階幻方、十二階幻

5、方，,4K階幻方，K表示一個非零自然數可用 <對稱交換法 >,方法很簡單：1把自然數依次排成方陣2把幻方劃成4 X 4的小區，每個小區劃對角線，3把這些對角線所劃到的數，保持不動，4把沒劃到的數，按幻方的中心，以中心對稱的方式，進行對調，【與4 X 4幻方的方法一樣】5幻方完成！2345乂6789社11"' 121316171.8沁2021tx2324252627化2829303132333435363738L39404143"4445 '47*484950 '525354565/*5859飛061*1*626364現在試著完成一下八階幻

6、方吧你能否再按照上述方法完成一個十二階幻方呢？同步精練：把1-144這144個數填入12X 12的方格內，使其成為一個十二 階幻方。恭喜你順利完成了考驗!練習卷按要求填寫幻方:1、 三階幻方2、四階幻方3、五階幻方4、 七階幻方第二講例題講學可能性的大小游戲與對策例1有一堆棋子共53顆，甲、乙兩人輪流從中拿走1顆或2顆棋子。規定誰拿走最后1顆棋子，誰就獲勝。如果甲先拿，那么他有沒有獲勝的策略？【思路點撥】由于甲、乙兩人輪流從中拿走1顆或2顆棋子，即每次保證兩人共拿走 1+2=3顆，53顆共要取53十3=17次2顆,即要保證甲先取獲勝，那么甲應先取余下的那 2顆技巧這樣下面輪流時，甲只需要與乙拿

7、的總和是3就必勝無疑了關鍵看兩個人拿的時候最多合拿幾個，然后再看看剩余幾個，就把那剩余的 先拿走，這樣先拿的人就容易取勝了同步精練1、有287個球，甲、乙兩人用這些球進行取球比賽，比賽規那么是：甲、乙兩人輪流取， 每人每次最多取2個，最少取1個，取最后一個球的人為勝利者。甲要想獲勝，他 應該如何安排？2、有388個球，甲、乙兩人用這些球進行取球比賽。比賽的規那么是：甲乙輪流取，每 人每次取1個、2個、或3個，取最后一個球的人為失敗者。如果甲先取，甲為了取勝, 他應該采取怎樣的策略？3、有197粒棋子，甲乙二人分別輪流取棋子，每次至少取 1個，最多取4粒，不能不 取，取到最后一粒的為勝者，現在兩

8、人通過抽簽決定誰先取？你認為先取的獲勝， 還是 后取的獲勝？第二講 可能性的大小游戲與對策第二課時例2 有兩堆火柴，一對26根，一堆11根。甲乙兩人輪流從中拿走1根 或幾根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，誰拿走最后一根算誰贏，問甲如何取勝?【思路點撥】這是另一類對策游戲。我們先考慮特殊情況。當兩堆的火柴根數相同時，后取者只要根據先取者的取法，在另一堆里取相同的根數，就 能保證取到最后一根。對一般情況，可設法將它轉化為特殊情況，所以要先取 走多的那幾根就行了。同步精練1、有兩個箱子分別裝有63、108個球。甲、乙二人輪流在任意一個箱子中任意取球。規定取到最后一個球的為勝者。甲先取，他應如

9、何才能獲勝？2、取兩堆石子，游戲雙方理你從其中的任意一堆拿走一粒或幾粒石子甚至可以把這 堆石子一次拿走完，但每次至少拿1粒，不準同時在兩堆中拿，誰拿最后一粒誰就獲 勝，問如何才能取勝？3、下面是個圓形，兩人輪流在圓形中畫規定了大小的，沒人每次畫一個，所畫的不能與已畫的相交或重疊，圓形總有被畫滿的時候，誰畫最后一個，誰就獲勝。如何才能獲勝?1、有一枚骰子，六個面分別寫著1-6六個數，兩次擲這枚骰子，將兩次朝上的面上的數相加，和的個位數字最大的可能性是丨。2、有102粒紐扣，兩個人輪流從中取幾粒，每人至少取 1粒，最多取4粒,誰取到最后一粒，就算誰輸。問保證一定獲勝的策略是什么?3、 桌面上有19

10、9根火柴，甲、乙兩人輪流地取 1根或2根，誰取到最后一 根火柴為勝，問獲勝的策略是什么？4、王叔叔體重75千克，他從地里摘了 2筐西瓜，每筐35千克，王叔叔回 家要經過一座小橋，小橋只能載重 100千克，請你給他想個方法，讓他和西瓜 一次平安地過河去。5、一筆畫出筆尖不離開紙由四條線段連接而成的折線，把下面九個點串起來，你能做到嗎？第三講圖形的面積一第一課時例題講學例1平行四邊形的面積是28平方厘米，求陰影局部的面積卜5厘米/4/厘【思路點撥】/米彳4厘米既是平行四邊形的高，也是陰影三角形的高，平行四邊形的面積是28平方厘米，它的底為28 + 4=7厘米,平行四邊形的底減去5厘米就是三角 形的

11、底，7-5=2厘米。根據三角形的面積公式直接求出陰影局部的面積。技巧一求陰影局部的面積最直接的方法是利用計算公式直接求陰影面積; 還可以用總面積減去空白面積求得陰影局部面積。這兩種是最常用最簡 便的方法。同步精練1. 下面的梯形中，陰影局部的面積是 150平方厘米，求梯形的面積2 .平行四邊形的面積是48平方厘米，求陰影局部的面積3.如果用鐵絲圍成如以下圖一樣的平行四邊形,第三講圖形的面積需要第二課時例題講學例2以下圖中甲和乙都是正方形，求陰影局部的面積。單位：厘米【思路點撥】圖中的陰影局部是一個三角形，它的三條邊的長都不知道，三條 邊上的高也不知道。所以，無法用公式計算出它的面積。仔細觀察此

12、題的圖，我們可以發現，如果延長 GA和FC,它們會相交設交 點為H，這樣就得到長方形 GBFH如以下圖，它的面積很容易求，而長方形 GBFH中除陰影局部之外的其他三局部厶 AGB BFCMA AHC的面積都能直 接求出同步精練 1、求右圖中陰影局部的面積。單位：厘米單位：厘米第三講圖形的面積一第三課時例題講學例3如以下圖：，甲三角形的面積比乙三角形的面積大 6平方厘米，求CE 的長度。【思路點撥】 題目中告訴我們，甲三角形的面積比乙三角形的面積大 6平方 厘米，即甲-乙=6平方厘米，而甲和乙分別加上四邊形 ABCF后相減的結果還 是6平方厘米，即：甲-乙=6平方厘米甲+四邊形ABCF -乙+四

13、邊形ABCF =6平方厘米即：正方形ABCD - ABE=6平方厘米 這就是說正方形ABCD勺面積比三角形ABE的面積大6平方厘米。用正方形的面 積減去6就得到三角形ABE的面積，再用三角形的面積乘以2再除以AB就得 到BE的長度，從而求出CE的長度。同步精練1 、四邊形ABCD是一個長為10厘米，寬6厘米的長方形，三角形ADE的面積比三角形 CEF的面積大10平方厘米。求CF的長是多少 厘米？2、正方形ABCD勺邊長是12厘米，DE是EC長度的2倍，求：1 三角形DEF的面積。2CF的長。第四講 認識分數第一課時?知識概述?把單位“ 1平均分成假設干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。其

14、中的一份又叫分數單位。分數與除法的關系可以表示 a* b=b0。分數b可以分為真分數和假分數；分子與分母是互質數，被稱為最簡分數。分數的分子與分母同時乘以或同時除以一個相同的數0除外，分數的大小不變，這就是分數的根本性質。例題精學例1:分母是91的真分數有多少個？最簡真分數有多少個？【思路點撥】真分數是指分子小于分母的分數，最簡真分數是指分子與分母互質的真分數。分母是91的真分數一共有90個，分別是丄，2聖，其分子是19191919190的自然數。在這其中有分子和分母有除 1之外的相同質因數。要求最簡真分 數，那么分子中但凡91的質因數的倍數都應去掉。而 91=7X 13,在190的 自然數中

15、，7的倍數有13-仁12個，13的倍數有7-仁6個這樣分子可 取的數一共有90 12+6=72個。同步精練1. 分母是51的真分數有多少個？最簡真分數有多少個？2. 分子、分母的乘積是420的最簡真分數有多少個？中的a是一個非零自然數，為了使這個分數能夠約分， a最小是多少?a 8第四講 認識分數第二課時例2把一個最簡分數的分子加上1,這個分數就等于1.1如果把這個分數的分母加上1,這個分數就等于8，原分數是多少？92如果把這個分數的分母加上 2,這個分數就等于，原分數是多少？【思路點撥】這道題有兩個小題，總的條件一樣。由于其他的條件不同，兩小題的得數是不同的。有總的條件來看，要求的兩個分數的

16、分子都比分母小1. 1 分母加上1，分子應比分母小2，現在8的分子比分母小1，說明進行過約分了，9未約分前的分子比分母小2,說明是用2約分的，也就是說原分數的分母加上1 之后，再把分子分母同時除以 2所得到的分數是8，說明約分前是16，這樣原918分數應是16。第2題請你自己思考。17同步精練1. 一個最簡分數的分子縮小5倍，分母擴大9倍后是気，原分數是多少?2. 個分數約分成最簡分數是7，原分子、分母的和是90，原分數是多少?第四講 認識分數第三課時例3分數 空的分子和分母都減去同一個整數，所得的分數約分后是？，求減1369去的數。2 , 9-2=7,因此可知約去的數是 63+ 二蘭，這樣就

17、可以求出減去的數是99 981多少了。同步精練1. -的分子、分母同時加上多少后就可以約分為 -？1332. 一個真分數的分子、分母是兩個連續的自然數，如果分母加上4，這個分數約分后是2，原來這個數是多少？3. 一個分數，分子加上1后，其值為1，分子減去1后，其值為-，求這5個分數第四講認識分數第四課時例4分數55的分子減去某數，而分母同時加上這個數后，所得的新分數化簡64后為-，求某數。13【思路點撥】分子減去一個數，同時分母加上這個數，那么分子與分母的和不變。原分數的分子、分母之和為55+64=119,說明新分數的分子、分母之和也是119,而新分數約分后是-，分子、分母的和是4+13=17

18、,因此可知約去13的數是119+ 17=7。新分數為土工 竺。這樣可以推算出這個原數了。13 791同步精練1.的分子減去某數，而分母加上某數后約分為 1，求某數。2有一個分數，分子加上1可約分為3，分子減去1可約分為5，求這個 數。3. 一個分數，如果分子加上16,分母減去166，那么約分后是？；如果分4子加上124,分母加上340,那么約分后是弓，求原分數是多少？練習卷1、填空題1一個最簡分數的分子、分母之積是30,這個最簡分數是。2一個最簡真分數的分子、分母之和是15,這個最簡真分數是 。3分母是85的真分數共有 丨個，分母是85的最簡真分 數共有 丨個。4一個分數的分子、分母之和是90

19、,約分后是7，求原來的分8數是。5一個最簡真分數，把它的分母擴大5倍，而分子縮小4倍，化簡后是丄，求這個最簡真分數是。522、 分數丄的分子分母同時加上同一個自然數，新分數化簡得1，求這12 2 個自然數。3、 分數-的分子加上一個數，分母減去同一個數，新分數化簡為-，163求這個數。4、 一個真分數的分子、分母是兩個相鄰的奇數，如果分母加上3后, 這個分數約分為3，求原分數是多少？4第五講相遇問題相遇問題中數量之間的根本關系式：速度和X相遇時間=相遇路程相遇路程寧速度和=相遇時間相遇路程相遇時間=速度和【例 1】：一輛公共汽車和一輛小轎車同時從相距450 千米的輛兩地相向而行，公共汽車每小時

20、 40 千米，小轎車每小時行 50 千米，問幾小時后兩車相距 90 千米？【分析與解】 兩車在相距 450千米的兩地相向而行， 距離逐漸縮短， 在相遇 前某一時刻兩車相距 90 千米，這時兩車共行的路程應為 450-90千米。需要注意的是當兩車相遇后繼續行駛時，兩車之間的距離又從零逐漸增 大，到某一時刻，兩車再一次相距 90 千米。這時兩車共行的路程為 450+90千米。所以：450-90+ 40+50=4小時或450+90+ 40+50=6小時答：兩車在出發后 4小時相距 90千米，在出發后 6再一次相距 90千米。 同步精練1. 一個圓形操場跑道的周長是 500 米，兩個學生同時同地相背而

21、行。甲 每分鐘走 66 米，乙每分鐘走 59 米。經過幾分鐘才能相遇？2、兩地相距 1200 千米，甲乙兩輛火車從兩地相向而行，同時出發，甲每小時行 120千米，乙每小時行 180千米，多少小時后，兩車相差 300千米？ 【例 2】甲乙兩列火車從相距 770 千米的兩地相向而行，甲車每小時行 45 千米，乙車每小時行 41千米，乙車先出發 2 小時后，甲車才出發。甲車行幾小 時后與乙車相遇？【分析與解】 甲、乙兩車出發時間有先有后，乙車先出發 2 小樹，這 段時間甲車沒有行駛，那么乙車這 2 小時所行的路程不是甲、乙兩車同時相對 而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度

22、和， 才是甲、乙兩車同時相對而行的時間。乙車先行的路程：41 X 2=82千米，甲乙兩車冋時相對而行路程：770-82=688千米，甲車行的時間：688+ 45+41=8小時答：甲車行 8 小時后與乙車相遇。解題技巧： 關鍵抓住先走的車，它所行的路程，把它所走的路程先刨除在外，然后計 算兩車人真正相距的路程，是解答此類問題的關鍵。同步精練 小麗家距學校有 1500 米，中午 11:40 分放學回家時， 小麗從學校以每分 鐘50米的速度回家， 走了 4分鐘后， 爸爸騎自行車從家出發去接小麗， 爸爸的 速度是每分鐘 150米，爸爸出發多長時間會接到小麗？ 某送貨員從A鄉鎮往B鄉鎮去送貨，他以每小時

23、40千米的速度開摩托車 前往，走了 0.5 小時后，接貨人開汽車去接他，結果接貨人在出發 2 小時后接 到了送貨員，接貨人的速度是每小時 60千米。問：A、B兩個鄉鎮相距多 少千米？【例 3】兩地相距 900 米，甲乙二人同時同地向同一方向行走，甲每分鐘 走 80 米，乙每分鐘走 100 米，當乙到達目標后，立即返回，與甲車相遇，從出 發到相遇共經過多少分鐘？【分析與解】 甲、乙二人開始是同向行走，乙走得快，先到達目的地后， 然后返回，途中與甲相遇，這又變成了相遇問題，把同向走的時間與相遇走的 時間相加就是共同經過的時間。已到達目的地時間：900- 100=9：分鐘，甲9分鐘走的路程：80X

24、9=720米 甲距目標還有：900-720=180米相遇時間：180+ 100+80=1分鐘， 共用的時間為： 9+1=10分鐘。同步精練1 、兄妹二人同時離家上學， 哥哥每分鐘走 90米，妹妹每分鐘走 60米，哥哥 到校門時，發現忘帶課本，立即沿原路回家去取，行至離學校 180 米處與妹妹 相遇，他們家離校多遠？2、甲、乙二人同時從 A地到B地，甲每分鐘走250米，乙每分鐘走90米。甲 到達B地后立即返回A地，在離B地3.2千米處與乙相遇，A B兩地間的距離 是多少千米？例 4】：甲乙兩人同時從兩地出發，相向而行，距離是100千米，甲每小時走6 千米，乙每小時走 4 千米，甲帶著一只狗，狗每

25、小時走 10 千米，這只狗同甲 一道出發，碰到乙的時候，它又掉頭朝甲這邊走，碰到甲時又往乙那邊走，直 到兩人相遇，問這只狗一共走了多少千米？【分析與解】 要求狗一共走了多少千米， 如果你認為求出狗與甲和乙相遇了 多少次，每次用多長時間，那么你是求不出來的，因為這些都是無法知的量。問題可以這樣看，我們可以求出狗一共行了多長時間，狗行的時間其實就 是甲乙二人相遇的時間，因為狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并沒有 停下來，所以，問題的關鍵又轉回了人身上。甲乙二人相遇時間：100寧6+4=10小時狗走的路程為：10X 10=100千米。同步精練 甲乙兩隊學生從相隔 18 千米的兩地同時出發，相向而

26、行，一名學生騎 自行車以每小時 14千米的速度在兩隊間不停地往返聯絡， 甲隊每小時行 5千米， 乙隊每小時行 4千米，兩隊相遇時，騎自行車的學生共行多少千米？ A、B兩地相距400千米，甲乙兩車同時從兩地相對開出，甲車每小時行 35千米，乙車每小時行 45千米。一只鴿子以每小時 50千米的速度和甲同時出 發，向乙飛去，遇到乙車又折回向甲車飛來，遇到甲車又往回飛向乙車，這樣 一直飛下去。鴿子飛多少千米時，兩車正好相遇？練習卷1、一輛汽車和一輛摩托車同時從相距 860米的兩地出發， 相向而行，汽車每小 時行 45千米，摩托車每小時行 70千米， 6 小時后兩車相距多少千米？2、小強和小明家相距 2

27、400 米，兩人同時從家中出發相向而行，小強每分鐘走50 米，小明每分鐘走 70 米。求：1他們經過多長時間相遇？23分鐘時，他們還相距多少米？315 分鐘時，他們相距多少米？3、甲乙兩輛汽車同時從東西兩地相向開出，甲車每小時56 千米，乙車每小時48千米，兩輛車在離中點 32 千米處相遇，求東西兩地間相距多少千米？ 4 、小明從甲地向乙地走，小強同時從乙地向甲地走，當各自到達終點后， 又迅速返回，行走過程中，各自速度不變，兩人第一次相遇在距甲地 400 米 處，第二次相遇在距乙地 150 米處。問，甲、乙兩地之間相距多少米？第六講公因數和公倍數學習文檔僅供參考第一課時【知識概述】 我們知道：

28、幾個數共有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數，一般地，把自然數a和b的最大公因數記為a, b。幾個數共有的倍數， 叫做這幾個數的公倍數， 其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍 數，一般地，把自然數a和b的最小公倍數記為a，b。兩個數的最大公因數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。即：a，bx a，b=a b【例題 1】 有兩根彩帶， 分別長 45 厘米和 30 厘米。現在要把這兩根彩帶剪成長度相等的 短彩帶且沒有剩余，每段短彩帶最長是多少厘米？【點撥與解】 這兩根彩帶要剪成長度一樣的小段， 且無剩余， 每段長度必是 45 厘米和 30 厘米的公因數。又要求每

29、段盡可能的長，所求的每段長度就是 45和 30的最大公因數。 45,30 =15答：每段短彩帶最長是 15 厘米。同步精練1、陸老師買了 36個本子、 24 支鋼筆，分別平均將給五 4班三好學生，結果正好全局部 完，問五 4班最多共有多少名三好學生？2、把一張長 12厘米、寬 20 厘米的長方形紙，裁成同樣大小、面積盡可能大的的正方形，裁完后沒有剩余，至少可以裁多少個？第二課時 例 2 有一批地磚， 每塊長 45厘米，寬 30 厘米，至少要用多少塊這樣的地磚才能鋪成正 方形地？【點撥與解】 要用這種地磚鋪成正方形地， 可知正方形地的邊長是地磚長和寬的公倍數； 又因為要用盡可能少的地磚鋪地， 可

30、知鋪成的正方形地要盡可能小，即正方形地的邊長要盡 可能小，所以正方形地的邊長是地磚長和寬的最小公倍數。45,30=9090- 45X90十 30=2X 3=6塊答：至少要 6 塊才能鋪成正方形地。同步精練1、有一批強化地板，長 150 厘米，寬 20 厘米，至少要用多少塊這樣的地板才能鋪成正方形 地？2、一路和二路公交車早上 6 點同時從汽車站發車，一路車每 7 分鐘發一輛車，二路車每 8 分鐘發一輛車。這兩輛車第二次同時發車是幾時幾分？3、柴油機上有兩個互相咬合的齒輪，甲齒輪有72 個齒，乙齒輪有 28 個齒，其中某一對齒，從第一次相遇到第二次相遇，兩個齒輪各轉了多少圈？第三課時 例 3 兩個數的最大公因數是 15，最小公倍數是 300，其中一個數是 75， 求另一個數是多少？【點撥與解】 根據兩個數的最大公因數與最小公倍數的乘積等于這兩個數 的乘積，可以直接求出另一個數來。300 X 15- 75=60同步精練1 、兩個數的最大公因數是 21 ，最小公倍數是 126，其中一個數是 42， 求另一個數是多少？2、兩個自然數的積是 3072，最大公因數是 16，求這兩個數的最小公 倍數是