1、第一章 行列式第一講 行列式的定義與性質(zhì)教 學(xué) 目 的：掌握行列式的概念及行列式的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：行列式的概念與性質(zhì)教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教 學(xué) 過 程：1.排列與逆序?qū)τ趥€(gè)不同的元素,我們可以給它們規(guī)定一個(gè)次序,并稱這規(guī)定的次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序.例如這個(gè)自然數(shù),一般規(guī)定由小到大的次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序.定義1 由個(gè)自然數(shù)組成的一個(gè)無重復(fù)的有序數(shù)組,稱為一個(gè)級(jí)排列.例如,1234和2431都是4級(jí)排列,而45321是一個(gè)5級(jí)排列.顯然, 級(jí)排列共有個(gè).排列中元素之間的次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序,這個(gè)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列(通常也稱為自然排列)；其它的排列的元素之間的次序未必是標(biāo)準(zhǔn)次序.定義2 在個(gè)不同元素的任一排列中,當(dāng)某兩

2、個(gè)元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí),就說有一個(gè)逆序.也就是說,在一個(gè)級(jí)排列中,如果一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小的數(shù)之前,即若,則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù),稱為這個(gè)排列的逆序數(shù),記為或.例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4個(gè)逆序.故排列2431的逆序數(shù).根據(jù)定義1.1.2,可按如下方法計(jì)算排列的逆序數(shù)：設(shè)在一個(gè)級(jí)排列中，比大的且排在前面的數(shù)共有個(gè)，則的逆序的個(gè)數(shù)為，而該排列中所有數(shù)的逆序的個(gè)數(shù)之和就是這個(gè)排列的逆序數(shù)即例1 計(jì)算排列45321的逆序數(shù).解 因?yàn)?排在首位,故其逆序數(shù)為0； 比5大且排在5前面的數(shù)有0個(gè)，故其逆序數(shù)為0； 比3大且排在3前面的數(shù)有

3、2個(gè)，故其逆序數(shù)為2； 比2大且排在2前面的數(shù)有3個(gè)，故其逆序數(shù)為3；比1大且排在1前面的數(shù)有4個(gè)，故其逆序數(shù)為4可見所求排列的逆序數(shù)為定義3 如果排列的逆序數(shù)為奇數(shù)，則稱它為奇排列；若排列的逆序數(shù)為偶數(shù)，則稱它為偶排列.例如，2431是偶排列，45321是奇排列；標(biāo)準(zhǔn)排列的逆序數(shù)是0，因此是偶排列.2.對(duì)換定義1 在排列中,將任意兩數(shù)和的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，就得到另一個(gè)排列.這種作出新排列的手續(xù)稱為一次對(duì)換.將相鄰兩數(shù)對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換.例如，對(duì)換排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.經(jīng)過對(duì)換，排列的奇偶性有何變化呢？我們有下面的基本事實(shí).定理1 對(duì)換改變排列的奇偶性.也

4、就是說，經(jīng)過一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，而偶排列變成奇排列. 推論 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).3.階行列式定義1 設(shè)有個(gè)數(shù)，排成行列的表：作出表中位于不同行列的個(gè)數(shù)的乘積，并冠以符號(hào)，得到個(gè)形如的項(xiàng)，其中為自然數(shù)的一個(gè)排列，為這個(gè)排列的逆序數(shù).所有這項(xiàng)的代數(shù)和稱為階行列式，記作.其中表示對(duì)所有的級(jí)排列求和.行列式有時(shí)也簡(jiǎn)記為，這里數(shù)稱為行列式的元素，稱為行列式的一般項(xiàng).定義1.1.5通常稱為行列式的“排列逆序”定義，它具有三個(gè)特點(diǎn)：由于級(jí)排列的總數(shù)是個(gè)，所以展開式共有項(xiàng)；每項(xiàng)必須是取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積；每項(xiàng)前的符號(hào)取決于個(gè)元素列下標(biāo)所組成

5、排列的奇偶性.要注意的是，當(dāng)時(shí)，一階行列式，不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆.例1 證明行列式(其中非副對(duì)角線上的元素全為0).證 根據(jù)階行列式的定義易得.上例中行列式，其非副對(duì)角線上元素全為0，此類行列式可以直接求出結(jié)果，例如 . 證畢類似地，非主對(duì)角線上元素全為0的行列式稱為對(duì)角行列式，顯然對(duì)角行列式的值為主對(duì)角線上元素的乘積，即有.主對(duì)角線以下（上）的元素全為0的行列式稱為上（下）三角行列式，它的值與對(duì)角行列式的一樣.例2 計(jì)算上三角形行列式.解 一般項(xiàng)為，現(xiàn)考慮不為零的項(xiàng).取自第行，但只有，故只能取；取自第行，只有，由于取自第列，故不能取自第列,所以；同理可得，.所以不為零的項(xiàng)只有.所以.在行列

6、式的定義中，為了決定每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)，我們把個(gè)元素按行指標(biāo)排起來.事實(shí)上，數(shù)的乘法是交換的，因而這個(gè)元素的次序是可以任意寫的，階行列式的項(xiàng)可以寫成其中是兩個(gè)級(jí)排列.利用定理1.1.1，可以給出階列式另一種表示法.定理1 階行列式也定義為推論 階行列式也定義為例2 在四階行列式中，應(yīng)帶什么符號(hào)？解 1）按定義1.1.5計(jì)算.因?yàn)椋哪嫘驍?shù)為，所以的前面應(yīng)帶負(fù)號(hào).2）按定理1.1.2計(jì)算.因?yàn)樾兄笜?biāo)排列的逆序數(shù)為，列指標(biāo)排列的逆序數(shù)為.所以的前面應(yīng)帶負(fù)號(hào).4、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換，行列式不變，即性質(zhì)2 交換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號(hào).推論 若行列式中有兩行（列）相同，則該行列式為

7、零.性質(zhì)3 用一個(gè)數(shù)乘以行列式的某一行（列），等于用這個(gè)數(shù)乘以此行列式，即第行(或列)乘以,記為(或).推論1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.推論2 若行列式中一行（或列）的元素都為零，則該行列式為零.推論3 若行列式中有兩行（列）成比例，則該行列式為零.性質(zhì)4 若行列式中第行（列）的元素是兩組數(shù)的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和.其中這兩組數(shù)分別是這兩個(gè)行列式第行（列）的元素，而除去第行（列）外，這兩個(gè)行列式其它各行（列）的元素與原行列式的元素是相同的.即 . 若階行列式每個(gè)元素都表示成是兩數(shù)之和，則它可分解成個(gè)行列式.如性質(zhì)5 將行列式的某一行（列）的倍數(shù)

8、加到另一行（列）上，行列式不變.例如以數(shù)乘第行加到第行上（記作），有.以數(shù)乘第列加到第列上，記作.第二講 行列式的計(jì)算教 學(xué) 目 的：掌握行列式的計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：行列式的計(jì)算教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教 學(xué) 過 程：1、化行列式為三角行列式來計(jì)算性質(zhì)2，3，5介紹了行列式關(guān)于行和關(guān)于列的三種運(yùn)算，即，和，.利用這些運(yùn)算可簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，特別是利用運(yùn)算（或）可以把行列式中許多元素化為0，進(jìn)而把行列式化為三角行列式，最后得到行列式的值.例如把行列式化為上三角行列式的步驟是：把行列式化為上三角行列式的步驟是：如果第一列第一個(gè)元素為0，先將第一行與其它行交換使得第一列第一個(gè)元素不為0，然后把第一行分別

9、乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行，使得第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為0.再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式，如此繼續(xù)下去，直至使它成為上三角行列式，這時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是所求行列式的值.例1 計(jì)算行列式解 .例2 計(jì)算階行列式.解 注意到此行列式中各行（列）的個(gè)數(shù)之和相等，故可把第二列至第列都加到第一列上去，然后各行都加上第一行的（1）倍，就有 按本例，特別地有：.2、行列式按行（列）展開定理定義1 在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，余下的（）階行列式，稱為元素的余子式，記為；再記，稱為元素的代數(shù)余子式.例如，對(duì)三階行列式元素的余子式和代數(shù)余子式分別為，.有了定

10、義1，三階行列式可以寫成.引理 一個(gè)n階行列式D,若其中第i行（或第列）所有元素除外都為零，則該行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即.定理1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分別與其所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或 推論 行列式的任一行（或列）的元素與另一行（或列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或 上述定理和推論合起來，稱為行列式按行（列）展開定理.我們可以利用定理1來計(jì)算一些簡(jiǎn)單的行列式.例3 計(jì)算行列式解 因?yàn)橹械诙械臄?shù)字比較簡(jiǎn)單，所以選擇的第二行.應(yīng)用性質(zhì)5得.例4 計(jì)算階行列式.解 將按第1列展開，則有.例5 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式其中記號(hào)“”表

11、示全體同類因子的乘積.證 用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)公式成立.現(xiàn)假設(shè)公式對(duì)于（）階范德蒙德行列式成立，要證對(duì)階范德蒙德行列式也成立.對(duì)降階：從第行開始，后行減去前行的倍，有按第一列展開，并把每列的公因子提出，得到上式右端的行列式是（）階范德蒙德行列式，由歸納假設(shè)，它等于所有因子乘積.故 證畢由例5立即得出，范德蒙德行列式為零的充分必要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.另外，我們可用例5的結(jié)果直接計(jì)算行列式，如.第三講 習(xí)題課教 學(xué) 目 的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容有個(gè)較為全面的理解和掌握，同時(shí)通過練習(xí)來鞏固本章的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2課時(shí)教 學(xué) 過 程： 1 內(nèi)容精要排列，排列的逆

12、序數(shù)，行列式的概念，行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算.2 知識(shí)脈絡(luò)圖3典型例題例1用行列式定義計(jì)算行列式解： 僅有位于不同行、不同列的個(gè)非零元素，即.因此的項(xiàng)中僅有一項(xiàng)非零，故.因?yàn)椋?例2 計(jì)算行列式分析 對(duì)于元素是數(shù)字的行列式，通常運(yùn)用行列式的性質(zhì)將其化為三角行列式來計(jì)算，或?qū)⑵淠骋恍校校┗捎休^多0元素之后，再按該行（列）展開降階.解法一（化為三角形行列式） 解法二（利用行列式的展開定理逐次降階）注 上述兩種解法是計(jì)算數(shù)字行列式常用的方法.例3計(jì)算行列式，.分析 因?yàn)橹鲗?duì)角線上的元素非零，可利用行列式性質(zhì)將第一列（行）除第一個(gè)元素外的其它元素化為零，把行列式變成上（下）三角行列式，從而可

13、計(jì)算出行列式的值.解 .注 本例中的行列式常稱為“爪形”行列式，即非零元素在爪形三線段上，三線段以外的元素均為零；“爪形”行列式是“三對(duì)角”行列式中的一種，常用的計(jì)算方法是把它化為三角形行列式.計(jì)算行列式，.分析 因?yàn)橹鲗?duì)角線上的元素非零，可利用行列式性質(zhì)將第一列（行）除第一個(gè)元素外的其它元素化為零，把行列式變成上（下）三角行列式，從而可計(jì)算出行列式的值.解 .注 本例中的行列式常稱為“爪形”行列式，即非零元素在爪形三線段上，三線段以外的元素均為零；“爪形”行列式是“三對(duì)角”行列式中的一種，常用的計(jì)算方法是把它化為三角形行列式.例4 計(jì)算行列式.分析 該行列式具有特點(diǎn)：各行（列）的元素之和相同

14、，且各列除主對(duì)角線上的元素外均相同，可考慮下面方法求解.解法一 從第2列起將各列加到第1列，然后從第2行起各行加上第1行的（1）倍，得.解法二 把行列式的第1行乘以分別加到第行上去，然后依次將第列加到第1列，得 .例5 計(jì)算階行列式 .分析 這個(gè)行列式大部分元素相同，所以問題的關(guān)鍵是想辦法變出盡可能多的零.解 從第二行開始，各行都減去第行，然后從第二列開始，各列都加到最后一列，再按第一列展開，得 注 結(jié)合行列式的性質(zhì)，利用行列式的展開定理計(jì)算行列式，這是計(jì)算階行列式的又一重要方法.例6 證明：.證明 用數(shù)學(xué)歸納法.記左邊行列式為，則當(dāng)時(shí)，命題成立.假設(shè)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，.對(duì)按第列展開，得.因此由數(shù)學(xué)

15、歸納法，命題對(duì)一切正整數(shù)成立.例7 利用范德蒙德行列式計(jì)算下列行列式(1) (2)分析 這兩個(gè)行列式與范德蒙德行列式形式不同，但若把(1)的最后一行依次與前面各行交換到第一行，新的最后一行再依次與前面各行交換到第二行，這樣繼續(xù)進(jìn)行下去，共經(jīng)過交換次行后可化為范德蒙德行列式；對(duì)(2)只要每列提出公因數(shù)，也可化為范德蒙行列式.解 （1）原式= = = =.（2）原式 .4練習(xí)：1.計(jì)算四階行列式.2.計(jì)算十階行列式.3.計(jì)算行列式.4.計(jì)算行列式 5.計(jì)算三對(duì)角行列式.6.計(jì)算行列式.第二章 矩陣第一講 矩陣及其運(yùn)算教 學(xué) 目 的：1.熟練掌握矩陣的概念，了解常用的特殊矩陣以及性質(zhì)。2.掌握矩陣的

16、線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1.矩陣的乘積2.矩陣可交換，及相關(guān)結(jié)論。教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教 學(xué) 過 程：一、 矩陣的概念定義1：由 個(gè)數(shù)排成 行（橫向）、 列（縱向）的數(shù)表：稱為矩陣，記作 簡(jiǎn)記為 ，或，這個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)記為元.其中為A的第i行第j列的元素.如是3行4列的矩陣（外加方括號(hào)或圓括號(hào)），就稱它為34的矩陣，這里，34是一個(gè)記號(hào)，表明矩陣有3行4列.注意：1. 行列式是算式，其行列數(shù)必須相同；矩陣是數(shù)表，其行列數(shù)可不同. 2. 元素為實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素為復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣，本書中所講的矩陣除特別說明外，

17、均指實(shí)矩陣.矩陣的一些相關(guān)概念定義2：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，稱它們?yōu)橥途仃?如，是同型矩陣.2.矩陣的相等定義3：設(shè)矩陣，為同型矩陣，若則稱矩陣與相等，記為.如，當(dāng)時(shí)，.二、一些常用特殊矩陣（1）行矩陣：只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量.為避免元素間的混淆，行矩陣也可記作.（2）列矩陣：只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱列向量.（3）零矩陣：所有元素都等于0的矩陣，稱為零矩陣，記作.注意：不同型的零矩陣是不同的.如，為矩陣,是行矩陣；為矩陣,是列矩陣；為零矩陣，為零矩陣，但.（4）階方陣：當(dāng)時(shí)，稱為矩陣或階方陣，有時(shí)用表示.1階矩陣被約定當(dāng)作“數(shù)”（即“元素”本身）對(duì)待.（5）上

18、（下）三角陣：設(shè)階方陣，若時(shí)，則稱為上三角陣；若時(shí)，則稱為下三角陣.如，是一上三角形陣，是一下三角形陣.（6）對(duì)角矩陣既是上三角陣、又是下三角陣的矩陣稱為對(duì)角矩陣，簡(jiǎn)稱對(duì)角陣.對(duì)角矩陣可簡(jiǎn)記為.（7）數(shù)量矩陣(又稱標(biāo)量陣)對(duì)角陣中，若，則稱之為數(shù)量矩陣.簡(jiǎn)記為.（8）單位矩陣數(shù)量矩陣中的矩陣稱為單位矩陣，簡(jiǎn)稱單位陣，記作或，即.如，為3階對(duì)角陣，為3階數(shù)量矩陣，為3階單位陣.（9）對(duì)稱矩陣：滿足條件的方陣稱為對(duì)稱矩陣，簡(jiǎn)稱對(duì)稱陣.其特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.（10）反對(duì)稱矩陣：滿足條件的方陣稱為反對(duì)稱矩陣，簡(jiǎn)稱反對(duì)稱陣.其特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相反.如，為對(duì)稱

19、陣，為反對(duì)稱陣.三、矩陣的運(yùn)算1.矩陣的加法定義4：設(shè)兩個(gè)矩陣，定義與的和為，即.注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.如，.對(duì)，記，稱為的負(fù)矩陣.有以下結(jié)論(1).(2)規(guī)定矩陣的減法為.矩陣加法運(yùn)算律（設(shè)都是矩陣）.（1）；（2）；（3）；（4）.2.矩陣的數(shù)乘定義5：設(shè)矩陣，為數(shù)，數(shù)與矩陣的乘積定義為，或記為.即矩陣數(shù)乘的運(yùn)算律（設(shè)都是矩陣，為數(shù)）（1）；（2）；（3）；（4）.矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.3.矩陣與矩陣相乘定義6：設(shè)，定義矩陣，其中為矩陣左乘矩陣之積，記作. 乘積矩陣的第行第列元素就是的第行元素與的第列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和.例1設(shè)，求

20、.解 注意:1.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘. 2. 乘積矩陣的第行第列元素就是的第行元素與的第列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和.矩陣乘法的運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.例2設(shè).求與.解；.由此例題可歸納：一般地，對(duì)于單位矩陣，有.或簡(jiǎn)寫為.可見單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1.關(guān)于矩陣的乘法，我們還要注意以下三點(diǎn)：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情形下，.如，設(shè)，則.（2）非零矩陣相乘，可能是零矩陣，即由，不能推出或.如，設(shè)，則，但且（3）兩個(gè)矩陣乘法不滿足消去律，即由，不能推出.如，設(shè)，有則，但.定義7：如果兩個(gè)矩陣相乘，有，則稱

21、矩陣與矩陣可交換，簡(jiǎn)稱與可換.由，可知數(shù)量矩陣與矩陣的乘積等于數(shù)與的乘積.并且當(dāng)為階方陣時(shí)，有這表明數(shù)量矩陣與任意同階方陣都是可以交換的.4.方陣的冪 定義8：設(shè)是階方陣，定義其中為正整數(shù)，這就是說就是個(gè)連乘，稱為的次冪.注：只有方陣，它的冪才有意義.方陣冪的運(yùn)算律(1）；(2）（為正整數(shù)）一般地，對(duì)于兩個(gè)階方陣與，(為正整數(shù))，只有當(dāng)它們可交換時(shí)，才有(其中為正整數(shù)).類似可知，例如，等公式，也只有當(dāng)時(shí)才成立.例3 設(shè)，求解 ，.5.方陣的多項(xiàng)式設(shè) 為的次多項(xiàng)式，為階方陣，記，稱為矩陣的次多項(xiàng)式.因?yàn)榫仃嚭投际强山粨Q的，所以矩陣的兩個(gè)多項(xiàng)式和總是可交換的，即總有，從而的幾個(gè)多項(xiàng)式可以像數(shù)的多

22、項(xiàng)式一樣相乘或分解因式.例如6.矩陣的轉(zhuǎn)置定義9：把矩陣行列互換所得到的一個(gè)新矩陣，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記為.注：若為對(duì)稱矩陣，則；若為反對(duì)稱矩陣，則.矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.證明第(4)式.證 設(shè)矩陣.易知與都是矩陣.而位于的第行第列的元素就是位于的第行第列的元素，因此等于.位于的第行第列的元素就是位于的第行元素與的第列的對(duì)應(yīng)元素之積的和.顯然，上述兩個(gè)式子相等，所以.例4已知求.解法1因?yàn)?所以 .解法2.7.方陣的行列式定義10：由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或.如，則.矩陣行列式的運(yùn)算律（設(shè)是階方陣

23、，是數(shù)）（1）；（2）；（3）；（4）.例5已知，驗(yàn)證：.證因?yàn)椋?又 故 .8.共軛矩陣定義11：設(shè)為復(fù)（數(shù)）矩陣，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記.稱為的共軛矩陣.共軛矩陣的運(yùn)算律（設(shè)是復(fù)矩陣，是數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.第二講 逆矩陣教 學(xué) 目 的：1.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件。2.理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1.矩陣可逆的充分必要條件2.用伴隨矩陣求逆矩陣。教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過程：一、逆矩陣的定義在矩陣的運(yùn)算中，單位矩陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，那么對(duì)于矩陣，如果存在矩陣“”，使得則矩陣“”可

24、否稱為矩陣的逆呢？定義1：設(shè)為 階方陣，若存在 階方陣，使成立，則稱方陣可逆，并稱是的逆矩陣，簡(jiǎn)稱逆陣，記作.于是有結(jié)論：1.可逆矩陣一定是方陣，且適合其逆陣也一定是方陣；2.若矩陣與滿足，則與都可逆，并且互為逆矩陣，即.3.零矩陣是不可逆矩陣；單位矩陣是可逆矩陣，且其逆矩陣是其本身.例1設(shè)，驗(yàn)證可逆，且互為逆矩陣.證 因?yàn)椋耘c是兩個(gè)可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣，即，.定理1：若可逆，則其逆矩陣唯一.證設(shè)都是的逆矩陣，則.從而 . 例2如果其中.驗(yàn)證.證 因?yàn)?， ，所以 . 證畢此例說明：若對(duì)角矩陣對(duì)角線上的元素都不為零，則可逆，且有.二、 矩陣可逆的充分必要條件若已給方陣，怎么判定它是

25、否可逆？若可逆時(shí)，又如何求出？為了討論方陣可逆的充分必要條件及得出求逆矩陣的方法，首先引進(jìn)“伴隨矩陣”的概念.1.伴隨矩陣定義2：階方陣的行列式中各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，稱為方陣的伴隨矩陣，記為，即定理2：對(duì)于階方陣及其伴隨矩陣，有證由矩陣乘法及行列式按某一行（列）展開的的公式，可得，所以有. 2.逆矩陣的求法定理3階方陣可逆的充分必要條件是其行列式，且當(dāng)可逆時(shí)，有.（其中為的伴隨矩陣.證必要性.由可逆知，存在階矩陣，滿足，等式兩邊取行列式，可得因此，同時(shí).充分性.設(shè)，且，則由式（2.4）得，兩邊乘以，得.同理可得.由逆矩陣的定義即知，可逆，且 . 證畢該定理不僅給出方陣可

26、逆的充分必要條件，而且給出用伴隨矩陣求逆矩陣的方法，此法稱為伴隨矩陣法.推論 若（或），則.證 由，得，所以，即存在，有，同理可得 . 證畢此推論說明：判斷矩陣是否可逆，只要驗(yàn)證或中的一個(gè)即可.例3設(shè)，求的逆矩陣.解 因?yàn)椋钥赡妫瑒t的伴隨矩陣故一般地，對(duì)二階方陣，當(dāng)時(shí)，有例4判定矩陣是否可逆，若可逆求其逆矩陣.解由，知可逆.而所以 .故.例5設(shè)方陣A滿足方程 證明為可逆矩陣, 并求其逆.證 由，得，或 ，所以可逆，且.定義3 若階方陣的行列式，則稱為非奇異矩陣（又稱非退化矩陣）；若，則稱為奇異矩陣（又稱退化矩陣）.由定理3及定義3可得定理4設(shè)為階方陣,則為可逆矩陣的充分必要條件是為非奇異矩

27、陣；為不可逆矩陣的充分必要條件是為奇異矩陣.3.矩陣方程對(duì)標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程（其中均可逆）.利用矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律和逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，通過在方程兩邊左乘或右乘相應(yīng)矩陣的逆矩陣，可求出其解分別為.對(duì)于其它形式的矩陣方程，則可通過矩陣的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程，再進(jìn)行求解.例6設(shè)是同階矩陣，且A可逆，下列結(jié)論如果正確，試證明之；如果不正確，試舉反例說明之.(1)若則；(2)若則.解 （1）正確.由及可逆，在方程兩邊左乘，得從而有，即.（2）不正確.例如，設(shè)則，顯然有，但.例7設(shè)求矩陣，使?jié)M足.解，都存在.容易求得；又由得到，即有.例8設(shè)求.解 因?yàn)?，而 ，其中 ，故 .例.8的方法常可以用來計(jì)算，

28、由此再來計(jì)算的的多項(xiàng)式.(1)若，則，從而.(2)若為對(duì)角陣，則，從而.三、逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣具有下列性質(zhì)(1)若可逆，則 也可逆，并且；(2)若可逆，則 也可逆，并且 ；(3）若可逆且數(shù) ，則也可逆，并且 ；(4)若、為可逆的同階方陣，則也可逆，并且；(5).性質(zhì)(4)可推廣到有限個(gè)階可逆矩陣相乘的情形，即若階矩陣都可逆，則也可逆，并且有（為正整數(shù)）證 僅證明(4).因?yàn)?，所以 . 例9已知及可逆，試證可逆.證 即可表成可逆陣與的乘積，故知為可逆陣. 第三講 矩陣的初等變換與矩陣的秩教 學(xué) 目 的：掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法教

29、學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教 學(xué) 過 程：1、初等變換定 義1下面三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）初等對(duì)換變換：對(duì)換矩陣的兩行（列）.對(duì)換兩行(列)的初等行(列)變換，記作；（2）初等倍乘變換：用非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）中所有元素.以乘矩陣的第行(列)的初等行（列）變換，記作 ()；（3）初等倍加變換：將矩陣的某行(列)乘以數(shù)k再加入另一行（列）中去.矩陣的第行（列）乘k后加到第j行(列)的初等行（列）變換，記作().矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.顯然，矩陣的三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換.變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換為(或記作)

30、；變換的逆變換為(或記作)2、等價(jià)矩陣定義1：若一個(gè)矩陣經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣，就稱矩陣與行等價(jià)，記作（或）；若矩陣經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣，就稱矩陣與列等價(jià)，記作（或）；若矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與等價(jià)，記作（或）.一般地，在理論表述或證明中，常用記號(hào)“”，在對(duì)矩陣作初等變換運(yùn)算的過程中常用記號(hào)“”.（2）.性質(zhì)矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列基本性質(zhì):(1)反身性：；(2)對(duì)稱性：若，則；(3)傳遞性：若，則.定理1 對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等變換，化為標(biāo)準(zhǔn)形：，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形由三個(gè)數(shù)完全確定，其中是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)（）.根據(jù)定理1及初等變換的可逆性，有推論 如

31、果A為n階可逆矩陣，則矩陣A經(jīng)過有限次初等變換可化為單位矩陣E，即.例1 設(shè)，把化為標(biāo)準(zhǔn)形.解 上面最后一個(gè)矩陣即為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.3、初等矩陣定義1 對(duì)單位矩陣施行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換分別對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣.(1)初等對(duì)換矩陣：把階單位矩陣的第行(列)互換得到的矩陣(2)初等倍乘矩陣：把階單位矩陣的第行(列)乘以非零數(shù)得到的矩陣(3)初等倍加矩陣：把階單位矩陣的第行（第列）乘以數(shù)加到第行（第列）上得到的矩陣對(duì)于單位矩陣進(jìn)行初等列變換時(shí)，特別注意的是應(yīng)當(dāng)把的第列乘以數(shù)加到第列上，得到的是.由于初等行（列）變換只有上述三種，所以由初等行（列）變換得到的初等矩陣只有上述的

32、三種類型，并且有.對(duì)于上述的三種類型的初等矩陣，因?yàn)樗鼈兊男辛惺蕉疾坏扔诹悖虼顺醯染仃嚩伎赡?另外，若對(duì)初等矩陣再作一次同類初等變換，就可以化為單位矩陣.初等矩陣的逆矩陣是同類初等矩陣，由此得出初等矩陣的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）.定理1設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，就相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，就相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.4、求逆矩陣的初等變換法及矩陣可逆的充要條件定理1 階方陣可逆的充分必要條件是可以表示為若干初等矩陣的乘積.證明必要性.由定理2的推論知，若可逆，則經(jīng)若干次初等變換可化為，即存在初等矩陣，使那么 或 故矩陣可以表示為若干初等

33、矩陣的乘積.因初等矩陣可逆，所以充分條件是顯然的. 證畢下面介紹用初等變換求逆矩陣的方法. 若為可逆矩陣，則也可逆，由定理2.3.4，存在初等矩陣，使用右乘上式兩邊，得 （2.7）又 （2.8）比較（2.7）與（2.8）兩式，（2.7）式中的與（2.8）式中的左乘的一系列初等矩陣是對(duì)應(yīng)相同的，這說明當(dāng)把經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣時(shí)，同樣這些初等行變換就把化為了. 證畢因此，用初等行變換法求矩陣的逆矩陣的具體做法是：在矩陣的右邊寫上與同階單位矩陣，就構(gòu)造了一個(gè)矩陣，然后對(duì)進(jìn)行一系列初等行變換，把變?yōu)閱挝痪仃嚕c此同時(shí)，被變?yōu)榫仃?用式子表示為 即 .我們已經(jīng)知道，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位

34、矩陣.事實(shí)上，可逆矩陣的的行最簡(jiǎn)形矩陣也是單位矩陣，即推論1方陣可逆的充分必要條件是.證因?yàn)榉疥嚳赡娴某浞直匾獥l件是可以表示為若干初等矩陣的乘積，即有初等矩陣，使，也就是，上式表示經(jīng)過有限次初等變換可化為，即.推論2矩陣與等價(jià)的充分必要條件是存在階可逆矩陣及階可逆矩陣，使.例1用初等行變換法求的逆矩陣.解因?yàn)?.所以 .利用初等行變換求求矩陣的逆矩陣時(shí)，對(duì)只能用行變換，不能用列變換.當(dāng)然也可用初等列變換求出的逆矩陣，其方法是：在矩陣的下面寫上與同階的單位矩陣，形如而后對(duì)其施行列變換，把變?yōu)椋@時(shí)下半部就變?yōu)椋?5.用初等變換法求解矩陣方程由定理2.3.4的推論1說明了若的行最簡(jiǎn)形矩陣是，則就

35、是的行最簡(jiǎn)形矩陣，即；并且有，即.前面已知對(duì)于任何方陣，可逆的充要條件是，且當(dāng)可逆時(shí)， .現(xiàn)在設(shè)矩陣可逆，則求解矩陣方程等價(jià)于求矩陣，為此，可采用類似初等行變換求矩陣的逆的方法，具體做法是：構(gòu)造矩陣，對(duì)其施以初等行變換將矩陣化為單位矩陣，則上述初等行變換同時(shí)也將其中的矩陣化為，即 .同理，求解矩陣方程等價(jià)于計(jì)算矩陣亦可利用初等列變換求矩陣，即.例1求解矩陣方程其中解 把所給方程變形為可見，因此可逆，且.第四講 矩陣的秩與分塊矩陣教 學(xué) 目 的：理解矩陣秩的概念和了解分快矩陣教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：矩陣秩的理解教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教 學(xué) 過 程：1、矩陣的秩（1）矩陣秩的概念定義1若為矩陣，在中任意取行

36、、列，則位于這些行與列交叉處的個(gè)元素，不改變它們?cè)谥兴幍奈恢么涡蚨玫降碾A行列式，稱為矩陣的階子式.顯然，若為矩陣，則的階子式共有個(gè).當(dāng)時(shí)，它的任何子式都為零.當(dāng)時(shí)，它至少有一個(gè)元素不為零，即它至少有一個(gè)一階子式不為零.再考察二階子式，若中有一個(gè)二階子式不為零，則往下考察三階子式，如此進(jìn)行下去，最后必達(dá)到中有階子式不為零，而再?zèng)]有比更高階的不為零的子式.這個(gè)不為零的子式的最高階數(shù)反映了矩陣內(nèi)在的重要特征，在矩陣的理論與應(yīng)用中都有重要意義.定義2 設(shè)為矩陣，如果存在的階子式不為零，而任何階子式(如果存在的話)皆為零，則稱數(shù)為矩陣的秩，記為.并規(guī)定零矩陣的秩等于0.由定義2，根據(jù)行列式的性質(zhì)易知

37、，矩陣的秩就是矩陣的最高階非零子式的階數(shù).（2）矩陣秩的性質(zhì)性質(zhì)1若為矩陣，則.性質(zhì)2若矩陣中有某個(gè)階非零子式，則；若矩陣中所有階子式全為零，則.性質(zhì)3若矩陣的秩，則.定義3設(shè)為階方陣，若，則稱矩陣為滿秩矩陣；若，則稱矩陣為降秩矩陣.由此可得定理1階矩陣為可逆矩陣的充分必要條件是矩陣為滿秩矩陣；階矩陣為不可逆矩陣的充分必要條件是矩陣為降秩矩陣.性質(zhì)5若矩陣，則.性質(zhì)6若矩陣可逆，則.性質(zhì)7若矩陣與的秩分別為，則，特別地，當(dāng)為列向量時(shí)，則有.性質(zhì)8若矩陣與的秩分別為，則.性質(zhì)9若矩陣，則（證明見第4章例4.4.7）.例1設(shè)為階矩陣，且,證明.證因?yàn)椋尚再|(zhì)7得而，所以.又,由性質(zhì)9得.綜合即得.

38、（3）矩陣秩的求法定理矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變.也就是說，若，則根據(jù)這個(gè)定理，我們得到利用初等變換求矩陣的秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩.例1 求矩陣的秩.解 ，所以.2、分塊矩陣（1）分塊矩陣的定義定義1 將矩陣用若干橫線和縱線分成一些小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.如，設(shè),若記,則A可表示為.(2)分塊矩陣的運(yùn)算1設(shè)矩陣與的行數(shù)相同、列數(shù)相同，采用相同的分塊法，若其中與的行數(shù)相同、列數(shù)相同，則2設(shè)，為數(shù)，則3設(shè)為矩陣，為矩陣，分塊成其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，則其中 4分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)，則5設(shè)為階

39、矩陣，若的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在主對(duì)角線上的子塊都是方陣，即，其中都是方陣，則稱為分塊對(duì)角矩陣.(3).分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)分塊對(duì)角矩陣具有以下性質(zhì)：1若，則，且；2若可逆，則；3同結(jié)構(gòu)的分塊對(duì)角矩陣的和、差、積、數(shù)乘及逆仍是分塊對(duì)角矩陣，且運(yùn)算表現(xiàn)為對(duì)應(yīng)子塊的運(yùn)算.例如，設(shè)有二個(gè)分塊對(duì)角陣:, .其中矩陣與都是階方陣，則.即分塊對(duì)角陣相乘時(shí)，只需將主對(duì)角線上的塊相乘即可.例1 設(shè)矩陣用分塊矩陣計(jì)算.例2 設(shè)矩陣用分塊矩陣計(jì)算.例3 設(shè)求.解 ；所以 .(4)矩陣的按行分塊和按列分塊對(duì)矩陣分塊時(shí)，有兩種分塊應(yīng)該給予特別重視，這就是按行分塊和按列分塊.矩陣按行

40、（列）分塊是最常見的一種分塊方法.一般地，矩陣有行，稱為矩陣的個(gè)行向量，若記第行為則矩陣就可表示為又矩陣有列，稱之為矩陣的個(gè)列向量，若第列記作.則 對(duì)于矩陣與的乘積矩陣，若把按行分成塊，把按列分成塊，便有其中由此可進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)矩陣相乘的定義. 以對(duì)角陣左乘矩陣時(shí)，把按行分塊，有可見以對(duì)角陣左乘的結(jié)果是的每一行乘以中與該行對(duì)應(yīng)的主對(duì)角線上的元素.以對(duì)角陣右乘時(shí)，把按列分塊，有可見以對(duì)角陣右乘的結(jié)果是的每一列乘以中與該列對(duì)應(yīng)的主對(duì)角線上的元素.例4 設(shè)A是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣.對(duì)按行分塊：，其中是的第個(gè)行向量；同時(shí)對(duì)作一個(gè)行塊、一個(gè)列塊的分塊，則有.例5 設(shè)為實(shí)矩陣，且，證明.證 設(shè)，把用列分塊表示

41、為，則，即的第行第列元素為，因，故.特別地，有，而 由 (因?yàn)閷?shí)數(shù))，得即 . 證畢第五講 習(xí)題課教 學(xué) 目 的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容有個(gè)較為全面的理解和掌握，同時(shí)通過練習(xí)來鞏固本章的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2課時(shí)教 學(xué) 過 程：1 內(nèi)容精要矩陣的概念及運(yùn)算；矩陣的秩、矩陣的初等變換與初等矩陣；逆矩陣的概念、性質(zhì)及求法；分塊矩陣及其應(yīng)用.2 知識(shí)脈絡(luò)圖3典型例題例1設(shè)證明，其中為正整數(shù).分析 由于，所以這個(gè)結(jié)論對(duì)1，2正確，因此可考慮采用數(shù)學(xué)歸納法證明證明 當(dāng)時(shí)，等式顯然成立.設(shè)時(shí)等式成立，即設(shè)下面要證時(shí)成立，此時(shí)有由數(shù)學(xué)歸納法原理可得，對(duì)正整數(shù)，有成立例2 設(shè)是階方陣，證明：（

42、1）若，則；（2）若，則證明 （1）因?yàn)椋裕删仃囍鹊男再|(zhì)得另一方面，由矩陣秩的性質(zhì)又可得故（2）因?yàn)椋裕删仃囍鹊男再|(zhì)得另一方面，由矩陣秩的性質(zhì)又可得故注 關(guān)于矩陣秩的證明，常見思路如下：思路一，；思路二，例3 求階矩陣的秩 分析 思路一：先用初等變換將矩陣化為階梯形矩陣，然后再討論參數(shù)的取值，確定矩陣的秩思路二：先求出，然后令求出參數(shù)的值，最后再根據(jù)的取值情況確定矩陣的秩解法一 因?yàn)樗裕?）時(shí)，2）時(shí)，3）時(shí)，解法二 因?yàn)樗?）時(shí)，故2）時(shí)，故3）時(shí)，故注 （1）初等變換不改變矩陣的秩（2）階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)例4 求下列矩陣的逆矩陣分析 常用求逆矩陣的方法有兩種，一

43、是利用公式求逆矩陣，二是利用初等變換求逆矩陣，前者常常用于低階矩陣，后者多用于高階矩陣.解 （1）利用公式求解因?yàn)?所以 可逆，又因?yàn)橛谑?解 （2）利用初等變換求解因?yàn)樗宰ⅲ河霉角蠓疥嚨哪婢仃嚂r(shí)，應(yīng)注意的行列位置；用初等變換求方陣的逆矩陣時(shí)，應(yīng)注意并排成時(shí)，用矩陣的行初等變換求解，若排成豎排時(shí)，應(yīng)用矩陣的列初等變換求解例5 設(shè)三階方陣滿足關(guān)系式，且，求矩陣.分析由關(guān)系式中，已知求，可類似于中學(xué)數(shù)學(xué)里解一元一次方程一樣，將看成未知數(shù)，其余當(dāng)作已知數(shù)進(jìn)行求解 解 由 得因?yàn)?可逆，且所以顯然可逆.于是又因?yàn)?所以例6設(shè)都是可逆矩陣，證明可逆，并求.分析 為了證明可逆，要充分利用的可逆性，因此

44、要設(shè)法把和式化為及其逆矩陣的乘積形式.證明 由于由于可逆,所以可逆，且注 （1）若將上式用代替，則可得這時(shí)要求矩陣，均可逆.（2）由可逆不能推出可逆，例，則顯然可逆，而不可逆（3）例7設(shè)階矩陣為對(duì)稱矩陣，為反對(duì)稱矩陣. 證明：為對(duì)稱矩陣的充分必要條件是.分析為對(duì)稱矩陣、為反對(duì)稱矩陣的定義為，再注意矩陣轉(zhuǎn)置乘積性質(zhì)就容易得證.證明 必要性：設(shè)為對(duì)稱矩陣，則因?yàn)樗杂谑牵闯浞中裕涸O(shè)，則，故為對(duì)稱矩陣. 4、練習(xí)：1. 設(shè)矩陣滿足關(guān)系式，其中，求矩陣.2. 設(shè)，3.已知其中，求.4.已知，求（為正整數(shù)）.5. 設(shè)，求. 6設(shè)三階矩陣問滿足什么條件時(shí)，的伴隨矩陣的秩等于1三、 證明題1設(shè)為階矩陣，且

45、為對(duì)稱陣，證明也是對(duì)稱矩陣.2設(shè)為階非零矩陣，為的伴隨矩陣，且，證明.第三章 向量與向量空間第一講 維向量及其運(yùn)算、線性組合與線性表示教 學(xué) 目 的：1.理解維向量的定義，掌握維向量的計(jì)算及性質(zhì)。2.掌握向量的線性組合與線性表示的概念，了解并會(huì)用線性表示的判別法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1.有限維向量與矩陣的關(guān)系2.線性表示的判別法。教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教 學(xué) 過 程：一、維向量的定義定義1：個(gè)有序數(shù)組成的數(shù)組稱為維向量，數(shù)稱為該向量的第個(gè)分量維向量可寫成：或，前者稱為維列向量，后者稱為維行向量維列向量可看作是1矩陣，而維行向量可看作是1矩陣，因此維列（行）向量的轉(zhuǎn)置是維行（列）向量可見，行向量理論與

46、列向量理論是平行的，把有關(guān)列（行）向量的結(jié)論中的列（行）改為行（列），就得到行（列）向量的相應(yīng)結(jié)論為敘述方便，若無特別說明，本書所討論的向量都是列向量常用小寫希臘字母 表示維向量，用小寫拉丁字母， 表示維向量的分量如維向量=，或=附：分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量本書中若無特別說明，所討論的向量都是實(shí)向量向量的一些相關(guān)概念（1）零向量：分量全是零的向量，稱為零向量，記作0（2）負(fù)向量：向量稱為向量=的負(fù)向量，記作 -（3）維單位坐標(biāo)向量：向量叫做維單位坐標(biāo)向量（4）向量相等：設(shè)向量=，=，若，則稱向量與相等，記作注意：兩個(gè)向量只有維數(shù)相同時(shí)才有相等或不相等的概念（5

47、）向量組：由若干個(gè)同維數(shù)的向量組成的集合，稱為向量組例如一個(gè)矩陣的全體列向量就是由個(gè)維列向量組成的向量組；反之，若給定個(gè)維列向量組成的向量組，則以這些向量為列，就得到一個(gè)矩陣因此，含有限個(gè)向量的有序向量組可以與矩陣一一對(duì)應(yīng)二、維向量的運(yùn)算1向量的加法定義2：設(shè)向量=，=，則向量稱為向量與的和，記作，即=利用向量的加法及負(fù)向量，可定義向量的減法：=注：兩個(gè)向量只有維數(shù)相同時(shí)，才能進(jìn)行加法和減法運(yùn)算1向量的數(shù)乘定義3：設(shè)向量=，是一個(gè)數(shù)，則向量稱為數(shù)與向量的乘積，簡(jiǎn)稱數(shù)乘，記作，即=向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算是矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算的特例，因此向量的兩種運(yùn)算滿足以下