1、.形數研究的歷史古希臘的數學家畢達哥拉斯認為：“萬物皆數，數是萬物之“本，只有通過數字才能對自然現象進展解釋。從畢達哥拉斯那個年代開場，古希臘的數學家們就對一些形數進展過研究。左圖上面的一行是一些三角形數，下面的一行是四角形數，或者叫正方形數。對于我們來說，數字是抽象概念，而事物是實際存在的。但我們已經得到了一種數字的抽象，而早期的畢達哥拉斯派還并未完全做到。畢達哥拉斯派與形數在畢達哥拉斯派看來，數字是點或微粒。他們提到三角形數、正方形數、五邊形數時，想到的是點集、晶狀體或點狀物體。如左以下圖的五邊形數和右以下圖的六邊形數。雖然歷史片斷沒有提供準確的年代數據，這一點卻是無疑的，即畢達哥拉斯學派

2、開展并完善了自己的認識。他們開場把數字理解為抽象概念，而物體只不過是數字的詳細化。有了這一后來的特性，我們可以明白菲洛勞斯Philolaus的闡述：“假如沒有數和數的性質，世界上任何事物本身或與別的事物的關系都不能為人所清楚理解。一.num=+1796年7月10日,數學家高斯在日記中寫道：ErPHKA!num=+。這里ErPHKA是希臘文“發現或“找到的意思，高斯的引用了當年阿基米德發現浮力定理時說的話，可見他興奮心情。高斯到底發現了什么?什么使他如此興奮?原來他找到了“自然數可表示為三個三角形數之和的證明num為數的縮寫，表示三角形數。據說此前法國數學家費馬曾猜測：每個自然數皆可用k個k角形

3、數和表示。對于四角形數的問題,我們稍后再談1831年法國數學家柯西在巴黎科學院宣讀了他的論文,論文給出自然數皆可用k個k角形數和表示的證明。二.自然數表為四角形數問題早在公元3世紀前后，數學家丟番圖曾猜測自然數皆可用四個四角形數即完全平方數和表示。其實，許多自然數只須用兩個完全平方數和便可表示如5=12+22，8=22+22等等，但有些不行像3，6，7等等，是費馬首先認識到質數除2之外皆有4k+1或4k+3形狀，而后他發現了：4k+1型質數皆可表為兩完全平方數和形式雙平方和定理。該定理于1754年由數學大師歐拉給出證明1977年拉森L.C.Larson用圖論的方法即“n后問題解法亦給出該定理的

4、一個漂亮證明。此后勒讓德在其所著的“數論書中又指出：4m8n+7型整數必須用四個完全平方數和表示。自然數表為四個完全平方數和問題曾引起不少人的興趣,1621年法國人巴契特Bachet從1驗算到325未發現例外。據稱笛卡兒也試圖討論該問題，然而之后他意識到“它實在太難了!這個等式是說：能表示成四個完全平方數和的兩數之積亦可用四個完全平方數和表示。如此一來,對于整數表為四平方和問題的研究,可轉化為質數表為四完全平方數和的問題相對容易了。1770年,數學家拉格朗日根據歐拉的上述發現,給出了“自然數可表示為四個完全平方數之和四平方和定理的第一個完好證明。1773年,已經雙目失明的66歲的歐拉,也給出該

5、結論的另一證明。大約100年后,德國數學家雅各比又給出另外一種證法。順便指出:四平方和定理中允許一樣數字平方和出現,假如要求四完全平方數皆相異或互質,結論將是另一番情形。圖蘭首先發現:自然數表示成兩兩互質的整數平方和時，四個那么不夠比方8k或6k+5型自然數便如此。鮑赫曼等又發現:當n188時,有31個自然數n不能用四個相異的完全平方數和表示。且他們同時證明了:n188時,n皆可用五個彼此不同的完全平方數和表示。四.華林E.Waring問題人們完成的自然數表為四角形數即完全平方數和問題后,開場把目光集中到它的推廣即自然數用完全立方數、四次方數、五次方數、和表示問題。1782年華林在其所著“代數

6、沉思錄中提出，自然數可用9個完全立方數和、19個四次方數和、表示,人稱“華林問題。為了方便起見我們用gk表示任意自然數可用k次方數和表示的最少個數,那么華林問題便是欲證g3=9，g4=19等。對于g3問題，1939年迪克森L.E.Dickson指出：除23和239這也是雅谷比開列的自然數表成立方數和表中,兩個須用9個立方數和表示的數外，自然數皆可表為8個立方數和。而后，朗道E.G.H.Landau又指出:從某個充分大的N起,自然數皆可表為7個立方數和這類充分大的n的表示問題,人們又用Gk表記，如是朗道證明了G3=7。1909年威弗利茨A.Wieferch嚴格證明了g3=9。對于g4問題的研究，

7、法國數學家柳維爾J.Liouville曾證明g453。接著他又將自然數n表為6x+rr=0，1，2，3，4，5形式。由于任何x皆可表示四個完全平方數和，即x=a2+b2+c2+d2，同時a，b，c，d也有類似表示：a=a21+a22+a23+a24，b=b21+b22+b23+b24，c=c21+c22+c23+c24，d=d21+d22+d23+d24，將它們代入6x=6a2+b2+c2+d2再注意到柳維爾的等式知，6x至多只須6×8=48個四次方數和表示。又r=0，1，2，3，4，5中至多只須用5個四次方數和表示。如是，n至多只須48+5=53個四次方和表示。之后,威弗利茨將g4

8、改進到37。英國數學家哈代又證明：對于充分大的n，g4=19,即G4=19。1939年戴維鮑特Davenport證明了G4=16。老師范讀的是閱讀教學中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學習、模擬。如領讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復傾聽，在反復傾聽中體驗、品味。1986年四位美國數學家聯手證得g4=19。至此華林問題獲解。我國古代的讀書人,從上學之日起,就日誦不輟,一般在幾年內就能識記幾千個漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經綸的文人。為什么在現代

9、化教學的今天,我們念了十幾年書的高中畢業生甚至大學生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學語文教學效果差,中學語文畢業生語文程度低,十幾年上課總時數是9160課時,語文是2749課時,恰好是30%,十年的時間,二千七百多課時,用來學本國語文,卻是大多數不過關,豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中程度以上的學生都知道議論文的“三要素是論點、論據、論證,也通曉議論文的根本構造:提出問題分析問題解決問題,但真正動起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就很難寫出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內容空洞、千篇一律便成了中學生作文的通病。要解決這個問題,不能單在布局謀篇等寫作技方面下功夫,必須認識到“死記硬背的重要性,讓學生積累足夠的“米。對于一般的gk問題,1908年希爾伯特曾證得:對于任何k來講，gk均為有限。但對于g5，g6，.，gk等的估計一直不詳，僅獲部分結果，如陳景潤曾證得g5=37等。宋以后，京師所設小學館和武學堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學一律循之不變。明朝入選翰林院的進士之師稱“教習。到清末，學堂興起