1、2012年東北三省四市教研協作體等值診斷聯合考試2012年長春市高中畢業班第三次調研測試數學(文科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，其中第卷22題24題為選考題，其它題為必考題.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項：1 答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內.2 選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3 請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不

2、準使用涂改液、刮紙刀.第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.1. 若，則 A. B. C. D.2. 若集合，則集合 A.B.C.D.3. 直線：與圓M：相切，則的值為A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或 4. 各項都是正數的等比數列中，成等差數列，則 A.B.C.D.5. 對四組數據進行統計，獲得以下散點圖，關于其相關系數比較，正確的是相關系數為 相關系數為相關系數為 相關系數為A. B. C. D. 6. 函數的零點個數為A.2 B.3 C.4 D.57. 一個算

3、法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結果是，則判斷框內應填入的條件是A.<4 B.>4C.<5 D.>58. 函數的圖像與軸的交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列，要得到函數的圖像只需將的圖像A.向左平移 B.向右平移C.向左平移 D.向右平移9. 若滿足條件AB=，C=的三角形有兩個，則邊長BC的取值范圍是 A. B.C.D.10. 現有2名女教師和1名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為A.B.C.D.11. 雙曲線，過其一個焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線交于、兩點，O是坐標原點，滿

4、足，則雙曲線的離心率為A.B.C.D.12. 四棱錐的所有頂點都在同一個球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內，當此四棱錐的體積取得最大值時，它的表面積等于，則球的體積等于A.B.C.D.第卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 平面區域的周長為_.14. 某長方體的三視圖如右圖，長度為的體對角線在正視圖中的長度為，在側視圖中的長度為，則該長方體的全面積為_.15. 等差數列的首項為，公差為，其前

5、項和為，則數列為遞增數列的充分必要條件是_.16. 如果直線和函數的圖像恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內部或圓上，那么的取值范圍是_.三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17. （本小題滿分12分）在中，向量，向量，且滿足.求角的大小；求的取值范圍.18. （本小題滿分12分） 2012年2月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準利率. 某大型銀行在一個星期內發放貸款的情況統計如圖所示：求本周該銀行所發放貸款的貸款年限的標準差；求在本周內一位購房者貸款年限不超過20年的概率；求在本周內該銀行所借貸客戶的平均貸款年限（取過剩近

6、似整數值）.19. （本小題滿分12分）已知四棱柱中，,，. 求證：； 求四面體的體積.20. （本小題滿分12分）已知分別為橢圓的左右焦點， 分別為其左右頂 點，過的直線與橢圓相交于兩點. 當直線與軸垂直時，四邊形的面積等于2，且滿足.求此橢圓的方程；當直線繞著焦點旋轉但不與軸重合時，求的取值范圍.21. （本小題滿分12分）已知函數.討論函數的單調性；對于任意正實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；求證:當時，對于任意正實數，不等式恒成立. 請考生在22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講.自圓外一點引圓的一條切

7、線，切點為，為的中點，過點引圓的割線交該圓于兩點，且，.求證： 與相似；求的大小.23. （本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數方程選講.在直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數)，若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：（其中為常數）.若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍；當時，求曲線上的點與曲線上點的最小距離.24. （本小題滿分10分）選修45：不等式選講.已知函數 解不等式； 若關于的方程的解集為空集，求實數的取值范圍.2012年東北三省四市教研協作體等值診斷聯合考試2012年長春市高中畢業班第三次調研測試數學(文科)參考答案及評分標準一

8、、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1.C 2.C 3. B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B簡答與提示：1. C由已知. 故選C.2. C將逐一帶入,得y=0,1,2,3，故選C.3. B圓的方程化為，由直線與圓相切，可有,解得. 故選B.4. D由已知于是,由數列各項都是正數，解得, . 故選D.5. A 由相關系數的定義以及散點圖所表達的含義可知. 故選A6. B在同一坐標系內畫出函數和的圖像，可得交點個數為3. 故選B.7. C初始值，第一次循環后，第二次循環后，第三次循環后，第四次循環后，因此循環次數應為4次，故可以作為判斷

9、循環終止的條件. 故選C.8. A由條件知函數的周期為，可知，即函數，可將化為，由此可知只需將向左平移個單位即可獲得.故選A.9. C若滿足條件的三角形有兩個，則應，又因為，故，. 故選C.10. C通過將基本事件進行列舉，求得概率為. 故選C. 11. B由題意可有：，由此求得. 故選B.12. B由題意可知四棱錐的所有頂點都在同一個球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內，當體積最大時，可以判定該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可得知底面正方形的對角線長度為球的半徑，且四棱錐的高，進而可知此四棱錐的四個側面均是邊長為的正三角形，底面為邊長為的正方形，所以該四棱錐的表面積為 ，于是，進而球的

10、體積. 故選B.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 14. 15.且16. 簡答與提示：13. 畫出圖形，可得該區域圖形為邊長為的正方形，故其周長為.14. 由體對角線長，正視圖的對角線長，側視圖的對角線長，可得長方體的長寬高分別為，2，1，因此其全面積為.15. 由，可得，整理得，而，所以且. 因此數列單調遞增的充要條件是: 且.16. 根據指數函數的性質，可知函數恒過定點.將點代入，可得. 由于始終落在所給圓的內部或圓上，所以. 由，解得或，這說明點在以和為端點的線段上運動，所以的取值范圍是.三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)17. (本小題

11、滿分12分)【命題意圖】本小題借助向量的垂直與數量積考查三角函數的化簡，并且考查利用三角函數的變換與輔助角公式求取三角函數的值域等有關知識.【試題解析】解：由，可知.然而 ，所以有，得.(6分).(9分)又，則，所以 ,即的取值范圍是.（12分） 18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查統計與概率的相關知識，具體涉及到統計圖的應用、平均值的求取以及概率的初步應用.【試題解析】解：貸款年限依次為10，15，20，25，30，其平均值.，所以標準差. (4分)所求概率. (8分)平均年限(年). (12分)19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體

12、涉及到線面的垂直關系以及幾何體體積的求法.【試題解析】解：由四邊形是正方形，所以.又平面，所以，而，所以平面，.又，所以平面，從而. (6分)設所給四棱柱的體積為V，則，又三棱錐的體積等于三棱錐的體積，記為，三棱錐的體積又等于三棱錐的體積，記為.而，所以所求四面體的體積為. (12分) 20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識.【試題解析】解：當直線與x軸垂直時，四邊形AMBN面積: 得. 又，于是，得 ，又，解得.因此該橢圓方程為. (4分)(2)設直線，由消去并整理得：

13、. 設，則有. (6分)由，可得. (8分),所以. (10分) 由于,可知的取值范圍是. (12分) 21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數與導數的綜合應用能力，具體涉及到用導數來研究函數的單調性、極值以及函數零點的情況. 【試題解析】解：令,得.當時，；當時，.所以函數在上單調遞減，在上單調遞增. (3分)由于，所以.構造函數，則令，得.當時，；當時，.所以函數在點處取得最小值，即.因此所求的的取值范圍是. (7分).構造函數，則問題就是要求恒成立. (9分)對于求導得 .令，則，顯然是減函數. 當時，從而函數在上也是減函數.從而當時，即，即函數在區間上是減函數.當時，

14、對于任意的非零正數，進而有恒成立，結論得證. (12分)22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明及其運算，具體涉及到圓的性質以及三角形相似等有關知識內容.【試題解析】解：因為為圓的切線，所以又為中點，所以.因為，所以與相似. （5分）由中與相似，可得.在中，由，得. （10分）23. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關系以及點到直線的距離等內容.【試題解析】對于曲線M,消去參數，得普通方程為,曲線 是拋物線的一部分； 對于曲線N，化成直角坐標方程為，曲線N是一條直線. (2分)(1)若曲線M,N只有一個公共點，則有直線N過點時滿足要求，并且向左下方平行運動直到過點之前總是保持只有一個公共點，再接著向左下方平行運動直到相切之前總是有兩個公共點，所以滿足要求；相切時仍然只有一個公共點，由，得，求得. 綜合可求得的取值范圍是：或. （6分） (2)當時，直線N: ，設M上點為，則 ，當時取等號，滿足，所