1、2013年普通高等學校招生全國統一考試(北京卷)數學（文）第一部分 （選擇題 共40分）一、 選擇題共8小題。每小題5分，共40分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。1已知集合，則（ ）A B C D2設,且,則 ()（A）（B）（C）（D）3下列函數中，既是偶函數又在區間(0,+ )上單調遞減的是（A） (B) （C） (D) 4在復平面內，復數對應的點位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限5在ABC中，,則（A） （B） （C） （D）16執行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為開始是否輸出結束（A）1 （B）（C） （D）7雙曲線的離心率大于

2、的充分必要條件是A B C D8如圖，在正方體中，為對角線的三等分點，則到各頂點的距離的不同取值有（ ）（A）3個 （B）4個 （C）5個 （D）6個 第二部分（非選擇題 共110分）二填空題共6題，每小題5分，共30分。9若拋物線的焦點坐標為（1,0）則=_;準線方程為_.10某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為_.1俯視圖側（左）視圖正（主）視圖 2 1 1 2 11若等比數列滿足，則公比=_;前項=_.12設為不等式組，表示的平面區域，區域上的點與點（1，0）之間的距離的最小值為_.13函數f（x）=的值域為_.14已知點，.若平面區域D由所有滿足的點P組成，則D的面積為_.三解答

3、題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15（本小題共13分）已知函數.（I）求的最小正周期及最大值； （II）若，且，求的值.16(本小題共13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天.（）求此人到達當日空氣質量優良的概率;（）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率;（）由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大？（結論不要求證明）17（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面底面，和分別是和的中點，求證：

4、（1）底面；（2）平面；（3）平面平面 18（本小題共13分）已知函數.（）若曲線在點)處與直線相切，求與的值。（）若曲線與直線 有兩個不同的交點，求的取值范圍。19（本小題共14分）直線（）：相交于，兩點， 是坐標原點（1）當點的坐標為，且四邊形為菱形時，求的長。（2）當點在上且不是的頂點時，證明四邊形不可能為菱形。20本小題共13分）給定數列.對，該數列前項的最大值記為，后項的最小值記為，.（）設數列為3，4，7，1，寫出，的值;（）設（）是公比大于1的等比數列，且.證明：，是等比數列；（）設，是公差大于0的等差數列，且，證明：，是等差數列.參考答案一選擇題：1B 2D 3C 4A 5B

5、6C 7C 8B 二填空題：92， 103 112， 12 13（，2） 143 三解答題：15解：（I）因為=，所以的最小正周期為，最大值為.（II）因為，所以. 因為，所以，所以，故.16解：（I）在3月1日至3月13日這13天中，1日2日3日7日12日13日共6天的空氣質量優良，所以此人到達當日空氣質量優良的概率是.（II）根據題意，事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價于“此人到達該市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”.所以此人在該市停留期間只有1天空氣質量重度污染的概率為.（III）從3月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大.17（I）因為平面PAD平面ABCD,且

6、PA垂直于這個平面的交線AD所以PA垂直底面ABCD.（II）因為ABCD,CD=2AB,E為CD的中點所以ABDE,且AB=DE所以ABED為平行四邊形，所以BEAD,又因為BE平面PAD,AD平面PAD所以BE平面PAD.（III）因為ABAD,而且ABED為平行四邊形所以BECD,ADCD,由（I）知PA底面ABCD,所以PACD,所以CD平面PAD所以CDPD,因為E和F分別是CD和PC的中點所以PDEF,所以CDEF,所以CD平面BEF,所以平面BEF平面PCD.18解：由，得.（I）因為曲線在點處與直線相切，所以，解得，.（II）令，得. 與的情況如下：所以函數在區間上單調遞減，在

7、區間上單調遞增，是的最小值.當時，曲線與直線最多只有一個交點；當時，, ,所以存在，使得.由于函數在區間和上均單調，所以當時曲線與直線有且只有兩個不同交點.綜上可知，如果曲線與直線有且只有兩個不同交點，那么的取值范圍是.19解：（I）因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分.所以可設，代入橢圓方程得，即. 所以|AC|=.（II）假設四邊形OABC為菱形.因為點B不是的頂點，且ACOB,所以.由，消去并整理得.設A,C，則，.所以AC的中點為M（，）.因為M為AC和OB的交點，且，所以直線OB的斜率為.因為，所以AC與OB不垂直. 所以OABC不是菱形，與假設矛盾.所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形.20解：（I）.（II）因