1、習題1.1解答1 .將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A,B,C分別表示“第一次出現正面”，“兩次出現同一面”，“至少有一次出現正面”。試寫出樣本空間及事件A,B,C中的樣本點O解：C=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)A=(正，正)，(正，反)；B=(正，正)，(反，反)C=(正，正月(正，反)，(反，正)2 .在擲兩顆骰子的試驗中，事件A,B,C,D分別表示“點數之和為偶數”，“點數之和小于5”，“點數相等”，“至少有一顆骰子的點數為3”。試寫出樣本空間及事件AB,A+B,AC,BC,AB-C-D中的樣本點。解：C=(1,1),(1,2)，(1,6),(2,1),(2,2)，(2,6

2、)，(6,1),(6,2)，(6,6);AB=：(1,1),(1,3),(2,2),(3,1);AB=X1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)?；AC=中；BC=X1,1),(2,2)?；A-B-C-D=X1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)?3 .以A,B,C分別表示某城市居民訂閱日報、晚報和體育報。試用A,B,C表示以下事件：(1)只訂閱日報；(3)只訂一種報；(5)至少訂閱一種報；(7)至多訂閱一種報；(9)三種報紙不全訂閱。解：(1)ABC；(2)ABC；(4)ABC+ABC十

3、ABC;(6)ABC;(7)(2)只訂日報和晚報；(4)正好訂兩種報；(6)不訂閱任何報；(8)三種報紙都訂閱；(3)ABC+ABC+ABC；(5)A+B+C;ABC+ABC十ABC+ABC或AB十AC十BC(8)ABC;(9)A+B4.甲、乙、丙二人各射擊一次，C事件A,A2,A3分別表示甲、乙、丙射中。試說明下列事件所表示的結果：A2,A2A3,A1A2,A1A2,A1A2A3,羯AA2A3AA3.解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。5.設事件A,B,C滿足ABC#中，試把下列事件

4、表示為一些互不相容的事件的和:A+B+C,AB+C,B-AC.解：如圖:ABC-ABCABCABCABCABCABCABC;ABC=ABCC;B-AC=ABCABCABC=BAABC=BCABC6,若事件A,B,C滿足A+C=B+C,試問A=B是否成立？舉例說明解：不一定成立。例如：A=3,4,5,B=3,C=45,那么，A+C=B+C,但A#B。7,對于事件A,B,C,試問A(BC)=(AB)+C是否成立？舉例說明解：不一定成立。例如：A=a,4,5,B=%5,6,C=6,7,那么A-(B-C)=4,但是(A-B)+C=3,6,7)8,設P(A)=1,P(B)=1,試就以下三種情況分別求P(

5、BA):32(1)AB=，(2)AcB,解：(3)P(AB)1(1) P(BA)=P(BAB)=P(B)P(AB)=一；21(2) P(BA)=P(BA)=P(B)P(A)=6一一113(3) P(BA)=P(B-AB)=P(B)P(AB)=，2889.已知P(A)=P(B)=P(C)=4，P(AC)=P(BC)=16，P(AB)=0求事件A,B,C全不發生的概率。解：P(ABC)=PABC=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)P(ABC)1/111c11c=1,-0-0|444161610.每個路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設各色燈的開閉是等可能

6、的。一個人騎車經過三個路口，試求下列事件的概率:A=三個都是紅燈”=“全紅”；B=全綠”；C=“全黃”；D=“無紅；E=“無綠”；F=三次顏色相同”；G=顏色全不相同”；解：H=顏色不全相同”。P(A)=P(B)=P(C)33327；P(D)=P(E)11P(F)二2727P(H)=1-P(F)=1_27一1-113!2一；P(G)=一；93339811.設一批產品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件(分三種情況：一次拿3件;每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，試求:(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：

7、一次拿3件：Cn=C1(1)p=0.0588；Cw0每次拿一件，取后放回，拿3次:2298(1) P=298父3=0.0576.100c2c*+或=0.0594；(2)P=1-的=0.0588；100每次拿一件，取后不放回，拿3次：29897(1)p=29897乂3=0.05881009998989796(2) P=1989796=0.0594100999812 .從0,1,2，9中任意選出3個不同的數字，試求下列事件的概率:A=匕個數字中不含山5工A2=三個數字中不含0或5上解:P(A)c|_2C0二行P(A2)2C*或Si一C3015c8Cw141513 .從0,1,2一，9中任意選出4個

8、不同的數字，計算它們能組成一個4位偶數的概率。解:P419014.一個宿舍中住有6位同學，計算下列事件的概率:(1)6人中至少有人生日在10月份;=0.00061;c4c133+C4c1235c；9C52=0.602或P=1cF&C、C；2=0.602習題1.2解答1.假設一批產品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,從中任取一件，結果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令A=取到的是等品，=1,2,3PZAAXP(A14)P(A1)0.62P(A1A3)P(A)P(A3)0.932 .設10件產品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品

9、的概率。解：令A=兩件中至少有一件不合格”“BIT)B=P(B1-P(A)3 .為了防止意外在礦內同時裝有兩種報警系統“兩件都不合格”15I和II。兩種報警系統單獨使用時，系統I和II有效的概率分別0.92和0.93,在系統I失靈的條件下，系統II仍有效的概率為0.85,求(1)兩種報警系統I和II都有效的概率；(2)系統II失靈而系統I有效的概率；(3)在系統II失靈的條件下，系統I仍有效的概率。解：令A=系統(I)有效，B=系統(n)有效”貝UP(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85(1) P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)-P(B)-P(A)P(B|A

10、)=0.93-(1-0.92)0.85-0.862(2) P(BA)=P(AAB)=P(A)P(AB)=0.920.862=0.058(3)p(a|B)=P4!1=0.8286P(B)1-0.934 .設0cP(A)1,證明事件A與B獨立的充要條件是P(B|A)=P(B|A)證：=：;A與B獨立，,二A與B也獨立。P(B|A)=P(B),P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B|A)u:0P(A)1:0P(A)0,P(B)0,則有(1)當A與B獨立時，A與B相容；(2)當A與B不相容時，A與B不獨立。證明：P(A)0,P(B)0(1)因為A與B獨立，所以P(AB)=P(A)P(B)0,A與B

11、相容。(2)因為P(AB)=0,而P(A)P(B)0,二P(AB)=P(A)P(B),A與B不獨立。7 .已知事件A,B,C相互獨立，求證AUB與C也獨立。證明：因為A、B、C相互獨立，P(AB)C=P(ACBC)=P(AC)P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)二P(A)P(B)-P(AB)P(C)=P(AB)P(C)AUB與C獨立。8 .甲、乙、丙三機床獨立工作，在同一段時間內它們不需要工人照顧的概率分別為0.7,0.8和0.9,求在這段時間內，最多只有一臺機床需要工人照顧的概率。解：令A,A2,A3分別表示甲、乙、丙三機床不需要工人照顧，那么

12、P(A)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9令B表示最多有一臺機床需?人照顧，_那么P(B)=P(AiA2A3AiA2A3AiA2A3AA2A3)=P(AA2A3)P(AA2A3)P(AA2A3)P(AA2A3)=0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.1=0.9029 .如果構成系統的每個元件能正常工作的概率為p(0p1).,0,1解：P(X=0)=e,.1=In20!2P(X1)=1-P(X1)=1-P(X=0)P(X=1)111=1一In2=(1-In2)2228 .設書籍上每頁的印刷錯誤的個數X服從Poisson(泊松)分布。經統計發現在某本書

13、上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率。11.2解：:P(X=1)=P(X=2),即一e4=eA,九=21!2!二P(X=0)=e2X4-8P二(e)=e9 .在長度為的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數服從參數為的Poisson分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計)，求(1)某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率；10 在長度為t的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數X服從參數為2的Poisson(泊松)分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計).求(1)

14、某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率;解:3(1) t=3,九二2(2) t=5,，=523P(X=0)=e”11.試求：(1)t的值；(2)X的概率密度;(3)P(-2:二XM2).5P(X-1)=1-P(X=0)=1-e210.已知X的概率分布為:X-2-10123P2a110-3aaa2a2試求(1)a；(2)Y=X1的概率分布。解：,1(1) -2a+3a+a+a+2a=110-1.a-o10(2)Y-1803313P1051015解：1 1(1)(t)父0.5+70.5M3=1t二一1(2) f(x)21-x60

15、21+2x-1,0)x0,3)其它(3) P(-2解：令ff(x)dx=1,即fsinxdx=1二-cosa=1,即cosa=0,a=22.尚再=sinxdxcox|2產二62613.乘以什么常數將使e*變成概率密度函數？-bo解：令cedx=1二4xJ.)21ce2e4dx=114.1 1J.即ce4=1ce4Jn隨機變量XN（N,。2）,其概率密度函數為f(x)7e-6二-bo試求N,。2；若已知ff(x)dx=Cx2-4x：4-6CLJ(x)dx,求C.解：x2-4x41 ：f(x)=e66二:2,(x4)212(3)22二，3，二2二3-be若Jf(x)dx=f(x)dx,由正態分布的

16、對稱性c可知15.6c=口=2.f(X)=32x,0x10,其他設連續型隨機變量X的概率密度為以Y表示對X的三次獨立重復試驗中XE1”出現的次數，試求概率P(Y=2).1一12一1解：P(X)=2xdx=204-21239P(Y=2)=C3(-)(-)=-o446416.設隨機變量X服從1,5上的均勻分布，試求P(x1Mxx2).如果:x1:5:x2.(1)x11x25；11解:X的概率密度為f(x)=4，0，其他(2)17.P(Xi：二XX2)P(XiX：X2)211dx(x2-1)1445111,、=-dx=(5-x1)4均4設顧客排隊等待服務的時間待服務，若超過10分鐘，他就離開。他未等

17、到服務而離開的次數，試求解：X(以分計)服從九=1的指數分布。某顧客等5他一個月要去等待服務5次，以Y表示一個月內Y的概率分布和P(Y之1).J-10P(X-10)=1-P(X二10)=1-1-e5=e.P(Y=k)=C：(eJ)k(1),k=0,1,2,3,4,5_25P(Y-1)=1-(1-e)5:0.5167習題1.4解答1,已知隨機變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,試求X的分布函數；P(0.5X2)；畫出F(x)的曲線。解：0,x1P(0.5X2)=0.50.2,1x2F(x)=0.5,2x:二31 ,x_3F(x)曲線:F(x)0.5

18、0.202 .設連續型隨機變量X的分布函數為0,x-10.4,-1x1F(x)：0.8,1x:二31,x_3試求：(1)X的概率分布；(2)P(X2|X#1).解：(1)X-113P0.40.40.2P(X-1)2P(X；2|X=1)-=P(X=1)3(2)3.從家到學校的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的概率是相互獨立的，且概率均是0.4,設X為途中遇到紅燈的次數，試求(1)X的概率分布；X的分布函數。解：(1)P(X=k)=C；(2)k(3)3*,k=0,1,2,355列成表格022713361258125125125F(x)=02712581x:00Mx：二1125117125

19、12x：3x-34.解:1.3中第11題X的分布函數,試求習題F(x)設連續型隨機變量X的分布函數為-2xABex0并畫出F(x)的曲線。5.F(x)=54f(x).試求：(1)A,B的值；P(-1X1);(3)概率密度函數解：(1) ;F(y)=lim(A+Blx)=1二A=1X)二又!im(ABex)=F(0)=0,B=一A二-1(2) P(-1：:X二1);F(1)-F(-1)=1-e2c-2X.c(3)f(x)=F(x)=，0,x06.設X為連續型隨機變量，其分布函數為a,x1;F(x)=bxlnxcxd,1MxMe;d,xe.試確定F(x)中的a,b,c,d的值。解：.f(-二)=0

20、.a=1又.f(二)=1.d=1又lim(bxlnxcx1)=a=0.c=一1x1-又：lim(bxlnx-x+1)=d=1，bee+1=1即b=1x)e-7.設隨機變量X的概率密度函數為f(x)=a,，試確定a的值并求二(1x2)F(x)和P(X|t)=P(N(t)=0)=e3t,F(t)-P(Xt)-1-P(Xt)=1_e01t當t0F(x)=，0x0X服從指數分布(九=0.1)(2) F(3)=1e1#之0.26(3) F(5)-F(3)：0.139.設XN(1,16),試計算(1)P(X2.44)；(2)P(Xa1.5)；(3)P(X|1).解：(1)P(X：二2.44)=4；(2.4

21、4(一1)1344)士0.805144(2)P(X-1.5)=1-P(X()=(-)一)4444=：.：,(5).中(3)一1=0.667844(4)P(|X-1|1)=P(X：二0)(X2)=P(X：二0)P(X2),01,21,1,3二：,：,（）1一：.：，（）二口（）1-.：，（一）二0.8253444410.某科統考成績X近似服從正態分布N（70,102）,第100名的成績為60分,問第20名的成績約為多少分？解:而又即P(X-x|X-60)=20100P(X-x|X-60)P(Xx)(X60)1_P(X一x)P(X-60)P(X-60)丁P(X60)=1G1=6(1)=0.8413I10JP(X-x)=0.20.84130.1682670P(X之x)=1-70i=G(1)=0.16826I10J一G-701x-70xx701=083174,70.96,x定79.610J1022.11.設隨機變量X和Y均服從正態